10.2偏導(dǎo)數(shù)10.2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計(jì)算法

例如,二元函數(shù)

z=f(x,y),先讓

y固定

(即y為了一元函數(shù)的變化率,我們引入了導(dǎo)數(shù)的概念.對(duì)于多元函數(shù),我們先考慮它關(guān)于一個(gè)自變量的變化率.稱為二元函數(shù)

z

對(duì)

x的偏導(dǎo)數(shù).視為常數(shù)),這時(shí)z就是

x的一元函數(shù),z對(duì)

x的導(dǎo)數(shù),設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y),P0(x0,y0)為平面上一點(diǎn).定義1如果z=f(x,y0)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義且在x0點(diǎn)即極限存在,則稱此極限為函數(shù)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),記為或可導(dǎo),同理,可定義函數(shù)

在點(diǎn)

處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為記為或的偏導(dǎo)數(shù),

如果函數(shù)

z=f(x,y)在區(qū)域D

內(nèi)任一點(diǎn)

(x,y)處那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的

同理,可以定義函數(shù)

對(duì)自變量

y簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù).函數(shù),記作或記作或有時(shí)也會(huì)記做.請(qǐng)注意根據(jù)上下文區(qū)分.對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,

稱其為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量

x的偏導(dǎo)函數(shù)，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法,利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法對(duì)x求導(dǎo)即可.解例1求

在點(diǎn)

處的偏導(dǎo)數(shù)．如求只需將y看作常量,證證畢．例2

設(shè)證明偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如

在

處

解利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性,有例3

求的偏導(dǎo)數(shù).證例4

已知理想氣體的狀態(tài)方程(R

為常數(shù)),求證:設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)有如圖,為曲面偏導(dǎo)數(shù).上的一點(diǎn),過點(diǎn)作平面此平面與曲面相交得一曲線,曲線的方程為由于偏導(dǎo)數(shù)等于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)故由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義10.2.2偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知:偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)x軸的斜率;偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)y軸的斜率.例5

求曲線在點(diǎn)(2,4,5)處的切線與x軸正向所成的傾角.解因所以有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明:例6解1.偏導(dǎo)數(shù)

是一個(gè)整體記號(hào),不能拆分;2.分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求;按定義得一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù).多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，在(0,0)處,例如,函數(shù)例7研究函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的解因?yàn)檫B續(xù)性與可導(dǎo)性.

所以,函數(shù)在(0,0)點(diǎn)連續(xù).

而所以,純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).10.2.3高階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為證利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性,有例8

設(shè)拉普拉斯方程驗(yàn)證函數(shù)u滿足因此解例9

求的四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù).

問題:混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?怎樣的條件才相等?驗(yàn)證解例10設(shè)因此一般地,多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)如果連續(xù)就與求導(dǎo)次序無