2022.2023學年上海市金山區(qū)張堰二中九年級（上）期末數(shù)學試

卷

一、選擇題（本大題共6小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.根據(jù)4。=5b,可以組成的比例有（)

Aa4a_5

B?洛D-=-

b=4'5~b

2.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（)

A.y=—3%+5B.y=2x2

C.y=(x+l)2—x2nD.y」3

3.在位小比中，Z.C=90°,BC=1,AB=3,下列各式中，正確的是（)

.A1，1

A.sinA=-Bn.cosA=-1C.tanA=-D.cotA=-

4.如圖，以下條件不能推得的是（）

A.AD：AB=AE：AC

B.AD：DB=AE：EC

C.AD：AE=DB：EC

D.AD：AB=DE：BC

5.已知五=33，下列說法中不正確的是（）

A.a—3b=0B.五與方方向相同C.a//bD.

6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a*0）的圖象如圖所示，那么下

列結論中正確的是（）

A.a>0

B.bV0

C.c<0

D.b=-2a

二、填空題（本大題共12小題，共48.0分）

7.如果兩個相似三角形對應高的比為3：4,那么這兩個三角形的面積比為.

8.已知點P是線段4B上的黃金分割點，且AB=2,AP>BP,那么4P=.

9.若將拋物線y=2（%-+3向下平移3個單位，則所得到的新拋物線表達式為

10.平面直角坐標系內有一點P(l,2),那么。P與x軸正半軸的夾角為a,tana=

11.如果拋物線y=(k-2)/的開口向上，那么k的取值范圍是.

12,二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點的坐標滿足如表：

X-4-3-2-10

ym-3-2-3—6

那么m的值為

-11

13.如圖，在A4BC中，sinB=7，tanC=AB=4,貝SC的長為____

4L

14.如圖，2。平分NB2C,DE//AB,如果笠=$AB=6,

那么&E=.

15.如果一個行人在斜坡為1：2.4的坡面上行走130米，則他升高了米

16.如圖，BE、4D分別是△ABC的兩條中線，設前=2a，BD=b，

那么向量正用向量五，3表示為

17.如果梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美梯

形”.如果一個直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2,下底等于4,那么它的周長為

18.如圖，已知在△ABC中，ZC=90°,BC=8,cosB=

點P是斜邊48上一點，過點P作PM1AB交邊4C于點M,過點P

作2C的平行線，與過點M作2B的平行線交于點。如果直線CQ1AB,那么2P的長為

三、解答題(本大題共7小題，共78.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19.(本小題10.0分)

2cos30°

計算：2tan45°——2sin260°.

cot30°

20.(本小題10.0分)

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a/+"+c過點4(一1,0)、5(2,0),和點C(0,-4)

三點.

(1)求拋物線的表達式;

(2)P為拋物線第四象限上的一個動點，連接4P交線段BC于點G,如果4G：GP=3,求點P的

坐標.

21.(本小題10.0分)

如圖，在四邊形ABC。中，BD平分UBC,NBDC=NA=90。，cos^ABD=1.

(1)求證：△ABDsADBC且求出瞿的值；

(2)如果BC=25,求四邊形4BCD的面積.

A

22.(本小題10.0分)

無人機在實際生活中應用廣泛.如圖所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P

處，測得樓CD樓頂。處的俯角為45。，測得樓4B樓頂力處的俯角為60。.已知樓力B和樓CD之間

的距離BC為100米，樓AB的高度為10米，從樓4B的4處測得樓CD的。處的仰角為30。(點48、

C、D、P在同一平面內).

(1)填空：^APD=度，^ADC=______度;

(2)求樓CD的高度(結果保留根號)；

(3)求此時無人機距離地面BC的高度.

23.(本小題12.0分)

己知：如圖，在A4BC中，點。在邊8c上，AE//BC,BE與AD、AC分別相交于點F、G,AF2=

FG-FE.

(1)求證：ACAD-ACBG；

(2)聯(lián)結DG,求證：DG-AE=AB-AG.

24.(本小題12.0分)

已知拋物線y=/+6x+c經(jīng)過點2(—3,0)和3(0,-3).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標C.

(2)求tan乙4cB的值.

(3)若原拋物線經(jīng)過平移后經(jīng)過點P(8-t,4)和點Q(t-4,s),若PQ的中點恰好在x軸上，且

CQ=5且點Q在點C的右側，求平移后拋物線的表達式.

O

25.(本小題14.0分)

已知ABAC的余切值為2,4B=2，弓，點。是線段4B上一動點(點D不與點4、B重合)，以點。

為頂點的正方形DEFG的另兩個頂點E、尸都在射線4C上，且點尸在點E的右側，聯(lián)結BG,并

延長BG交射線4c于點P.

(1)聯(lián)結4G,求證：cotzGXF=3；

(2)如圖1,當點P在線段EF上時，如果NGPF的正切值為2,求線段BD的長；

(3)聯(lián)結4G,當△AGP為等腰三角形時，求線段的長.

B

備用圖3

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4d，

b5

5a=4b,故A不符合題意；

B、

45

???5a=4b,

故B不符合題意；

c、zb=P4

???4a=5b,

故。符合題意；

a4

。n、亍『

ab=20,

故。不符合題意.

故選：C.

根據(jù)比例的性質，進行計算即可解答.

本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵.

2.【答案】B

【解析】解：4函數(shù)是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；

員函數(shù)是二次函數(shù)，故本選項符合題意；

C.y=(x+l)2-%2=2%+1,函數(shù)是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；

。.函數(shù)不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；

故選：B.

根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個判斷即可.

本題考查了二次函數(shù)的定義，能熟記二次函數(shù)的定義是解此題的關鍵，形如y=a/+陵+穴心

b、c為常數(shù)，a70)的函數(shù)，叫二次函數(shù).

3.【答案】A

【解析】解：,??NC=90。，BC=1,2B=3,

???AC=VAB2-BC2=732—12=

.BC1.AC2/7,.BC1—._

?-sinAA=—=cosA=—==一，tanA=---=--^=-,COt/Ai-孩=2<7.

Ab3AB3AC2。4DC

故選：A.

先利用勾股定理計算出力C,然后根據(jù)正弦、余弦、正切和余切的定義對各選項進行判斷.

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：正確理解正弦、余弦、正切和余切的定義是解決問題的關鍵.

4.【答案】D

【解析】解：■■AD-.AB^AE：AC,

而=Z.BAC,

??.AADE-^^ABC,

Z.ADE=乙B,

DEIIBC,所以4選項不題意；

AD：DB=AE：EC,

即AD：AE=DB：EC,

DEIIBC,所以B選項不符合題意；

???AD：AE=DB：EC,

AD：DB=AE：EC,

：.DE〃BC,所以C選項不符合題意；

由力。：AB=DE：ADE-AABC,貝l|不能確定

??.不能確定N4DE=NB,

???不能判斷。E〃BC,所以。選項符合題意.

故選：D.

利用AD：AB=AE：AC和ND4E=ABAC可證明△ADE-AABC,所以NADE=NB,利用平行線

的判定方法DE〃BC,則可對4選項進行判斷；利用比例的性質和4選項的判定方法可對B、C選項

進行判斷；由于2。：AB=DE-.BC不能判斷△2DEsA4BC,則不能確定乙4DE=48,從而不能

判斷0E〃BC,則可對D選項進行判斷.

本題考查平行線分線段成比例定理，找準對應關系，避免錯選其他答案.也考查了相似三角形的

判定與性質.

5.【答案】A

【解析】解：4、由1=33知：a-3b=0，原說法不正確，符合題意；

B、由反=39知：五與另的方向相同，原說法正確，不符合題意；

C、由31知：胃與3的方向相同，則N〃石，原說法正確，不符合題意；

D、由1=3石知：|方|=|39|，原說法正確，不符合題意.

故選：A.

根據(jù)已知條件可知：1與另的方向相同，其模是3倍關系.

本題主要考查了平面向量，注意：平面向量既有方向，又有大小.

6.【答案】D

【解析】解：4由圖可知：

拋物線開口向下，

???a<0,

故A錯誤，不符合題意；

???拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，

c>0,

故C錯誤，不符合題意；

??,對稱軸為直線X=1,

b

?一五j1

即b=-2a,

故。正確，符合題意；

???b>0,

故8錯誤，不符合題意.

故選：D.

根據(jù)二次函數(shù)的圖象逐一判斷即可.

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，從圖象中獲取信息并結合圖象去分析是解題的關鍵.

7.【答案】9：16

【解析】解：???兩個相似三角形對應高的比為3：4,

這兩個三角形的面積比為：9：16.

故答案為：9：16.

根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可.

本題考查的是相似三角形的性質，熟知相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊

上的高）的比也等于相似比，相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵.

8.【答案】5—1

【解析】解：?.?點尸是線段ZB上的一個黃金分割點，且AB=2,AP>BP,

???AP=1x2=A/-5—1.

故答案為：V-5—1.

根據(jù)黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中

項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（要）叫做黃金比.

本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的定義是解題的關鍵.

9.【答案】y=2（%-2）2.

【解析】解：由“左加右減、上加下減”的原則可知，把拋物線y=2（久-1）2+3向下平移3個單

位，所得到的新拋物線表達式為y=2（久-1產，

故答案為：y=2（%-2）2.

根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可.

本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.

10.【答案】2

【解析】解：過點P作;M1X軸于點4,如圖：

???點P(l,2),

PA=2,OA=1,

P42c

T=2.

???tana=—OA=1

故答案為：2.

過點p作pax軸于點a,由P點的坐標得PH、oa的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義得結論.

本題考查了點在平面直角坐標系里的意義及解直角三角形.解決本題的關鍵是構造直角三角形.

11.【答案】fc>2

【解析】解：由題意可知：/c—2>0,

k>2.

故答案為：k>2.

本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與性質.

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質即可求出答案.

12.【答案】—6

【解析】解：???乂=一3、乂=一1時的函數(shù)值都是一3,相等，

???函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-2,

?-,x——4和久=0關于直線久=—2對稱，

???m=—6,

故答案為：-6.

根據(jù)二次函數(shù)的對稱性解答即可.

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟記二次函數(shù)的對稱性是解題的關鍵.

13.【答案】y/~~5

41

4-

1

A1

Dc2

----

1

ta2-

???AC=VAD2+CD2=VI2+22=V5，

故答案為：

過點2作IBC,垂足為。，先在RtAABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出力D的長，再在Rt△

ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，然后根據(jù)勾股定理求出力C的長即可解答.

本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵.

14.【答案】4

【解析】解:?.?4D平分NB4C,

???乙BAD=Z-CAD,

???DE〃AB,

Z-BAD=乙ADE,

???Z.EAD=乙ADE,

???AE=DE,

???DE〃AB,

CDE~ACBAy

.CE_DE

ACAB

..—4E=_一1,

AC3

,CE_2

—=—f

AC3

DE_2

.t..—=一,

63

DE=4,

AE=DE—4.

故答案為：4.

根據(jù)角平分線的定義得到ABAD=NC4D,根據(jù)平行線的性質得到NB4D=乙4DE,求得NE4D=

^ADE,得到2E=DE,根據(jù)相似三角形的判定和性質即可得到結論.

本題主要考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理；

熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問題的關鍵.

15.【答案】50

【解析】解：???斜坡為1：2.4,

二坡度為1：2.4,

設升高的高度為x米，則水平距離為2.4萬米，

則在坡面上走的距離為：y/x2+(2.4x)2=2.6%,

令2.6x=130,

解得久=50,

即一個行人在斜坡為1：2.4的坡面上行走130米，他升高的高度為50米，

故答案為：50.

根據(jù)斜坡為1：2.4,可知坡度為1：2.4,然后根據(jù)勾股定理，可以得到高為1時的斜邊的長度，從

而可以求得一個行人在斜坡為1：24的坡面上行走130米時升高的高度.

本題考查解直角三角形的應用一坡度坡角問題，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的高度

16.【答案】2b-3a

【解析】解：???BE、分別是△ABC的兩條中線，

；?BC=2BD,BE=”0,

BO=2灑BD-b，

BC=2b,BE=3a,

EC=BC—BE=2b—3五,

故答案為：2b-3a-

根據(jù)BE、2。分別是AABC的兩條中線得出BC=2BD,BE=|B。，再根據(jù)平面向量的減法運算

法則即可求解.

本題考查了三角形重心的性質，平面向量的減法運算法則，熟練掌握三角形重心的性質，平面向

量的減法運算法則是解題的關鍵.

17.【答案】8+247

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的性質，直角梯形，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵.

過。作DE1BC于E,根據(jù)矩形的性質得到BE=AD=2,求得BD=CD,根據(jù)相似三角形的性質

即可得到結論.

【解答】

BE=AD=2,

??.BC=4,

CE=BE=2,

BD=CD,

???梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似,

ABD?ADCB,

.竺_竺

~BD='CDJ

——AD=——BD=1v,

ABCD

AB=AD=2,

BD=CD=CAD=2。，

???它的周長為2+2+4+2<7=8+2/2,

故答案為：8+2/2.

18.【答案】1

【解析】解：如圖，設4P=m.

???PQ//ACMQ//AB,

???四邊形4PQM是平行四邊形，乙4=乙CMN,

AP=MQ=m,

,i4

在△ABC中，ZC=90°,BC=8,cosB=

___________

22

???AB=-cosB-=10,AC=VAB—BC=6,

??,PMLAB,

AM=PZ+cosA=|m,

??.CM=AC-AM=6-|m,

vCQLAB,AB“MN,

???CQ1MN,

???cosZ-CMQ=cosA=空=

yCM5

m3

*'?二5二二，

6—/3

9

???m=-,

經(jīng)檢驗m5是分式方程的解，

??.AP=|.

故答案為：

如圖，設4P=m.證明4P=MQ=m,根據(jù)cos/A=coszCMQ=構建方程求解.

本題考查直解直角三角形，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方

程解決問題.

V~3

19.【答案】解：原式=2x1—o尋一2x(?)2

=2-1-1

__1

=~2,

【解析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可.

本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵.

20.【答案】解：(1)設拋物線的解析式為y=a(x+1)(%-2).

將C(0,—4)代入得:-2a=-4,

解得a=2,

???拋物線的解析式為y=2(%+1)(%-2),即y=2x2-2x-4；

(2)過點P作尸ElX軸于點E,交于點F,過點/作AD1%軸交BC的延長線于點。，

??.AD//PE,

ADG^APFG,

ADAGc

...而=而=3.

設直線的解析式為y=kx-4,

代入8(2,0)得，2k-4=0,

解得々=2,

?,?直線BC的解析式為y=2%-4,

y=2x—4=—6,

AD=6,

設P(7n,2m2—2m—4),則F(zn,27n—4),

.?.PF=2m—4—(2m2—2m—4)=-2m2+4m.

...也=6=

PF—2m2+4m'

整理得相？—2m+1=0,

解得m=1,

???尸(1,一4).

【解析】(1)設拋物線的解析式為y=磯％+1)。-2),將點C的坐標代入可求得a的值，從而得到

拋物線的解析式；

(2)過點P作尸%軸于點E,交BC于點F,過點/作AD，無軸交的延長線于點。，證明

PFG,得出署=卷=3,求出直線BC的解析式為y=2x—4,設Pg,2m2-2m-4),則F(m,2m-

4),可得出黑=?黑4=3,解方程可得出結論.

本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質和判定，函數(shù)圖象上

點的坐標特征，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

21.【答案】解：(1)?；BD平分4ABC,

???Z.ABD=Z.CBD,

???Z-BDC=^A=90°,

???△ABD~>DBC,

tAD_AB

***'CD='BD"

在Rt△ABO中，

accAB4

???cosZ.ABD

DD5

,—AD——4.

**CD-5，

(2)???乙ABD=乙CBD,

「

???cosZ-CBr>D=—BD=74,

DC5

???BC=25,

BD=20,

CD=VBC2-BD2=15，

cosZ-ABD=黑=

DD5

AB=16,

AD=VBD2-AB2=12，

AS四邊形ABCD=S^ABD+S.CD

=^AB-AD+^BD-CD

=Ix16x12+|x20x15

=96+150

=246.

【解析】(1)先利用兩角對應相等判斷△ABDSADBC,再利用直角三角形的邊角間關系和相似三

角形的性質得結論；

(2)利用直角三角形的邊角間關系先求出BD、AB,再利用勾股定理求出4。、CD,最后利用三角

形的面積公式得結論.

本題主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性質、直角三角形的邊角間關系及勾股

定理是解決本題的關鍵.

22.【答案】解：(1)Z.MPA=60°,4NPD=45°,

4APD=180°-NMPA-乙NPD=75°.

貝ikZME=30°,

???/.ADC=180°-90°-30°=60°.

故答案為：75；60.

(2)由題意可得4E=BC=100米，EC=AB=10米,

在R2AED中，ADAE=30°,

,加DEDE口

tan30°=-=—=—，

解得DE=丑歲，

???CD=DE+EC=+10)米.

.??樓CD的高度為(萼Z+10)米.

(3)過點P作PG1BC于點G,交4E于點F,

則NP/M=AAED=90°,FG=AB=10米,

???MN//AE,

???^.PAF=AMPA=60°,

???/.ADE=60°,

??.Z.PAF=乙ADE,

???Z.DAE=z30°,

??.Z.PAD=30°,

???^APD=75°,

???/.ADP=75°,

???Z-ADP=Z-APD,

貝!L4P=/D,

??.△ZPF三△DAEQW),

??.PF=AE=100米，

???PG=PF+FG=100+10=110(米).

???此時無人機距離地面BC的高度為110米.

【解析】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本

題的關鍵.

(1)由平角的性質可得N4PD;過點4作力E1CD于點E,則ND4E=30。，根據(jù)三角形內角和定理可

得ZADC.

(2)由題意可得2E=8C=100米，￡7:=43=10米，在RtAAED中，［加30。=絲=匹=夕，

AE1003

解得DE=丑產，結合CD=DE+EC可得出答案.

(3)過點P作PG1BC于點G,交4E于點F,證明△4PF三△D4E,可得PF=4E=100米，再根據(jù)

PG=PF+FG可得出答案.

A

23.【答案】證明：(1)?；4尸2=FG-FE.>r-------------E

AF__EF_

'FG~AF

???Z.AFG=Z.EFA,

???△FAG^AFEA,

???Z.FAG=Z-E,

,:AE”BC,

???Z.E=Z-EBC,

???Z.EBC=Z-FAG,

Z.ACD=Z-BCG,

CAD~XCBG；

(2)???△乙4。?△CBG,

tCA_CD_

?'~CB=~CG，

???Z.DCG=乙ACB,

CDG~ACABf

tDG__CG_

***~AB='CB"

???AE//BC,

.AE_AG

BCGC

tAG_GC

AEBC

tDG__AG_

?'AB=AEf

???DG-AE=AB-AG.

【解析】(1)通過證明^FAG-LF瓦4,可得4凡4G=乙E,由平行線的性質可得4E=乙EBC=乙凡4G,

且可證△CAD?△CBG；

(2)由相似三角形的性質可得胃=年，且“CG=〃CB,可證△COG?△C4B,可得整=需由

CDLuADCD

平行線分線段成比例可得需=共，可得結論.

CDL(J

本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常

考題型.

24.【答案】解:(1)?.?拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點4(—3,0)和B(0,—3),

(9-3b+c=0

lc=-3

該拋物線的函數(shù)表達式為y=/+2x—3；

y=x2+2x-3=(x+l)2—4,

二頂點C坐標為(-1,-4)；

(2)連接ZB,AC,BC,如圖所示：

v.4(-3,0),B(0,-3),C(-l,-4),

AB2=(-3―0)2+(0+3)2=9+9=18,

AC2=(-3+l)2+(0+4)2=4+16=20,

5C2=I2+(-3+4)2=1+1=2,

AC2=AB2+BC2,

???AABC=90°,

tan〃CB=-=—=3;

(3)〈PQ中點在x軸上,

竽=。,

s=-4,即點Q坐標為(t一4,一4),

CQ=5,點Q在點C右側,且點C坐標為

...t-4-(-1)=5,

解得t=8,

???P,Q坐標為(0,4