PAGEPAGE1專題21內切球與外接球一．高考命題類型1.構造長方體、正方體（長方體、正方體的體對角線即為外接球的直徑）2.幾何體放進球中求解3.內切球的切割法4.與三視圖有關的球的問題5.折展轉問題中的球6.數(shù)學文化中的球的問題1．相識柱、錐、臺、球及其簡潔組合體的結構特征，駕馭柱、錐的簡潔幾何體性質．2．了解空間圖形的兩種不同表示形式(三視圖和直觀圖)，了解三視圖、直觀圖與它們所表示的立體模型之間的內在聯(lián)系．3．能畫出簡潔空間圖形及實物的三視圖與直觀圖，能識別三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖．4．會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡潔空間圖形的三視圖與直觀圖．2.三視圖空間幾何體的三視圖由平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形態(tài)和大小是全等和相等的，三視圖包括正視、側視、俯視．3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是：(1)畫幾何體的底面在已知圖形中取相互垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸、y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知圖形中平行于x軸、y軸的線段在直觀圖中平行于x′軸、y′軸；已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?(1)多面體的表面積是各個面的面積之和.圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，其表面積為側面積與底面積之和；(2)組合體的表面積要留意重合部分的處理；(3)三棱錐體積的計算用等體積法計算時，三棱錐的頂點和底面是相對的，可以變換頂點和底面，使體積計算簡潔；(4)求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補體法、轉化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算問題的常用方法.二．高考命題陷阱解讀和訓練1.構造長方體、正方體（長方體、正方體的體對角線即為外接球的直徑）例1.已知三棱錐的四個頂點都在同一個球面上，，，，平面，則此三棱錐外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【方法規(guī)律總結】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以干脆找出球心和半徑.練習1.已知在三棱錐中，平面，，，，則此三棱錐外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D練習2.已知長方體中，,則長方體外接球的表面積為A.B.C.D.【答案】C【解析】∵長方體中，∴長方體的對角線∵長方體的各頂點都在同一球面上，

∴球的一條直徑為可得半徑因此，該球的表面積為故選C.練習3.已知三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直，且，則此三棱錐的外接球的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可知：可將三棱錐放入長方體中考慮，則長方體的外接球即三棱錐的外接球，故球的半徑為長方體體對角線的一半，設，則，故，得球的體積為，故選B.2.幾何體放進球中求解例2.已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是斜邊長為的等腰直角三角形，側視圖是直角邊長為的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】所以點O即為該幾何體的外接球的球心，球半徑為，所以表面積為，故選C.【方法規(guī)律總結】求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩相互垂直時，可復原為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再依據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）假如設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心.練習1.已知是球的直徑，是球球面上的兩點，且，若三棱錐的體積為，則球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D練習2.已知SC是球O的直徑,A,B是球O球面上的兩點,是邊長為的等邊三角形,若三棱錐S-ABC的體積為,則球O的表面積為A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可知，的面積為又∵三棱錐S-ABC的體積為∴由三棱錐的體積公式可得點S到平面ABC的距離為4∵是邊長為的等邊三角形∴的外接圓的半徑r=1依據(jù)三角形中位線定理可知，球心到平面ABC的距離是點S到平面ABC的距離的一半，即為2設球的半徑為R，則R2=r2+22=5∴球的表面積S=故選C點睛：求多面體的外接球的面積或體積問題是高考常見問題，屬于高頻考點，有肯定的難度.求多面體的外接球的半徑的基本方法有三種，第一種：當三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直時，可還原為長方體，長方體的體對角線就是外接圓的直徑；其次種：“套球”當棱錐或棱柱是較特殊的形體時，在球內畫出棱錐或棱柱，利用底面的外接圓為球小圓，借助底面三角形或四邊形求出小圓的半徑，再利用勾股定理求出球的半徑，第三種：過兩個多面體的外心作兩個面的垂線，交點即為外接球的球心，再通過關系求半徑.練習3.在體積為的三棱錐S－ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，SA＝SC，且平面SAC⊥平面ABC，若該三棱錐的四個頂點都在同一球面上，則該球的體積是()A.B.C.D.12π【答案】B【解析】外接圓半徑三棱錐的體積為，究竟面的距離∴球心到平面的距離為，

由平面⊥平面，利用勾股定理可得球的半徑為：球的體積：故選B．練習4.在四棱錐中，底面，底面為正方形，，，記四棱錐的外接球與三棱錐的外接球的表面積分別為，則___．【答案】【解析】設正方形的邊長為，設為的中點，因為平面，而平面，所以，又，故，又，故平面，平面，所以，故為直角三角形，為斜邊，所以．同理也為直角三角形，結合，所以，又，，所以平面，平面，所以，為直角三角形，所以，為三棱錐外接球的球心，且半徑．同理設為的中點，則為四棱錐外接球的球心，且半徑，所以．填．點睛：球的半徑的計算，關鍵在球心位置的確定，三棱錐中均為直角三角形，因此外接球的球心就是的中點，因為它到四個頂點的距離是相等的．同理四棱錐外接球的球心就是的中點．練習5.在四面體中，，二面角的余弦值是，則該四面體的外接球的表面積是__________．【答案】【解析】練習6．如圖，在四面體中，平面，是邊長為的等邊三角形，若，則四面體外接球的表面積為_________【答案】【解析】設的中心為，作交的中垂線于，為外接球的中心，．四面體外接球的表面積為：．點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何學問找尋幾何中元素間的關系求解．(2)若球面上四點構成的三條線段兩兩相互垂直，且，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用求解．3.內切球的切割法例3.正方體內切球與外接球體積之比為()A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9【答案】C故答案為C。點睛：幾何體的內切球和外接球問題是高考的熱點也是難點；內切球常見的解決方法是等體積法求球的半徑；外接球也是找球的半徑，常見方法有，提圓心，建系，直角三角形共斜邊，假如三棱錐的側棱長都相等則，頂點在底面的投影肯定落在底面的外心上，而球心就在三棱錐的高線上。練習1.如圖所示是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為驕傲的發(fā)覺．我們來重溫這個宏大發(fā)覺．圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比分別為()A.，1B.，1C.，D.，【答案】C【解析】設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，∵?！?。∵。∴.選C。練習2.一個正方體的棱長為2，現(xiàn)有三個球，球切于正方體的各面，球切于正方體的各棱，球過正方體的各頂點，則這個三個球的表面積之和為__________．【答案】【解析】∵由題可知球的半徑分別為∴三個球的表面積之和為故答案為練習3.如圖是某幾何體的三視圖.（1）求該幾何體外接球的體積；（2）求該幾何體內切球的半徑.【答案】(1)；(2).試題解析：（1）由三視圖可知，幾何體是三條側棱兩兩垂直的三棱錐，如圖，設為三棱錐.以為長、寬、高構造一個長方體，則該長方體的對角線長等于其外接球的直徑，設該外接球半徑為.∴，∴.∴外接球的體積為.（2）設內切球的半徑為，球心為，連接，把三棱錐分成四個小三棱錐，四個小三棱錐的體積和等于三棱錐的體積.∴.解得.∴所求幾何體內切球的半徑為.點睛：本題主要考查了三視圖以及幾何體的外接球和內切球半徑問題，屬于中檔題。本題在求三棱錐外接球半徑時，采納的是構造長方體，由該長方體的對角線長等于其外接球的直徑，求內切球半徑時，依據(jù)，把三棱錐分成四個小三棱錐，四個小三棱錐的體積和等于三棱錐的體積，再算出內切球半徑。4.與三視圖有關的球的問題例4.某三棱錐的三視圖如圖所示，若該三棱錐的體積是，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A故答案為：A?！痉椒ㄒ?guī)律總結】：這個題目考查的是三視圖和球的問題相結合的題目，涉及到三視圖的還原，外接球的體積或者表面積公式。一般三試圖還原的問題，可以放到特殊的正方體或者長方體中找原圖。找外接球的球心，常見方法有：提圓心；建系，直角三角形共斜邊則求心在斜邊的中點上。練習1.某三棱柱的三視圖如圖粗線所示，每個單元格的長度為1，則該三棱柱外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】把三視圖還原為幾何體是：底面是等腰直角三角形的直三棱柱，側棱長為2，底面三角形直角邊為2，斜邊為2，取前后面的斜邊中點連線的中點為點，則O為該三棱柱外接球的球心，由此求得球的半徑為，所以球的表面積為.故選C練習2．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中六邊形是邊長為1的正六邊形，點為的中點，則該幾何體的外接球的表面積是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個六棱錐，其底面是邊長為的正六邊形，有一個側面是底邊上的離為的等腰三角形，且有側面底面，設球心為，半徑為究竟面的距離為，底面正六邊形外接球圓半徑為，解得此六棱錐的外接球表面枳為，故選C.【方法點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象實力和抽象思維實力以及外接球的表面積，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象實力最常見題型，也是高考熱點.視察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要留意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特殊留意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.練習3.如圖所示，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意可知三視圖復原的幾何體是一個球去掉后的幾何體，如圖：

可得：它的表面積是：故選A練習4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個組合體：在一個半球上疊加一個圓錐，且挖掉一個相同的圓錐，所以該幾何體的體積和半球的體積相等，因此該幾何體的體積，故選A.練習5.如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為，粗實線畫出的某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】練習6.某棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】依據(jù)三視圖復原原幾何體為三棱錐P-ABC如圖，其中，，平面，計算可得，，放在外接球中，把直角三角形復原為正方形，恰好在一個球小圓中，AC為球小圓的直徑，分別過和做圓的垂面，得出矩形和矩形，兩矩形對角線交點分別為，連接并取其中點為，則【點睛】如何求多面體的外接球的半徑？基本方法有種，第一種：當三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直時，可還原為長方體，長方體的體對角線就是外接圓的直徑；其次種：“套球”當棱錐或棱柱是較特殊的形體時，在球內畫出棱錐或棱柱，利用底面的外接圓為球小圓，借助底面三角形或四邊形求出小圓的半徑，再利用勾股定理求出球的半徑，第三種：過兩個多面體的外心作兩個面的垂線，交點即為外接球的球心，再通過關系求半徑.本題運用“套球”的方法，復原底面為正方形，放在一個球小圓里，這樣畫圖便利一些，最主要是原三視圖中的左試圖為直角三角形，告知我們平面平面，和我們做的平面是同一個平面，另外作平面和平面的作用是找球心，因為這兩個矩形平面對角線的交點所連線段的中點就是球心，再依據(jù)正、余弦進行計算就可解決.5.折展轉問題中的球例5.如圖，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，點D為AC的中點，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，連接PC，得到三棱錐P－BCD，若該三棱錐的全部頂點都在同一球面上，則該球的表面積是()A.7πB.5πC.3πD.π【答案】A【解析】依題意可得該三棱錐的面PCD是邊長為的正三角形，且BD⊥平面PCD，設三棱錐P－BDC外接球的球心為O，△PCD外接圓的圓心為O1，則OO1⊥平面PCD，所以四邊形OO1DB為直角梯形，由BD＝，O1D＝1，及OB＝OD，可得OB＝，則外接球的半徑R＝.所以該球的表面積S球＝4πR2＝7π.答案A。6.數(shù)學文化中的球的問題例6.《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，平面，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C故選C.練習1.17世紀日本數(shù)學家們對于數(shù)學關于體積方法的問題還不了解，他們將體積公式“V＝kD3”中的常數(shù)k稱為“立圓術”或“玉積率”，創(chuàng)用了求“玉積率”的獨特方法“會玉術”，其中，D為直徑，類似地，對于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱)、正方體也有類似的體積公式V＝kD3，其中，在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長．假設運用此“會玉術”，求得的球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”分別為k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3＝()A.∶∶1B.∶∶2C.1∶3∶D.1∶∶【答案】D【解析】球中，；等邊圓柱中，；正方體中，；所以.故選D.三．高考真題演練1.【2017課標3，理8】已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】【考點】圓柱的體積公式【名師點睛】(1)求解以空間幾何體的體積的關鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能干脆利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解.2.【2017課標II，理4】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（）B．C．D．【答案】B【解析】【考點】三視圖；組合體的體積【名師點睛】在由三視圖還原為空間幾何體的實際形態(tài)時，要從三個視圖綜合考慮，依據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不行見輪廓線在三視圖中為虛線。在還原空間幾何體實際形態(tài)時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結合側視圖進行綜合考慮。求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形態(tài)以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應體積公式求解。3.【2017天津，理10】已知一個正方體的全部頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為.【答案】【解析】設正方體邊長為，則，外接球直徑為.【考點】球【名師點睛】求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩相互垂直時，可復原為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再依據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）假如設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心，本題就是第三種方法.4.【2016高考新課標1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】試題分析： 該幾何體直觀圖如圖所示：是一個球被切掉左上角的,設球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個扇形面積之和故選A．考點：三視圖及球的表面積與體積【名師點睛】由于三視圖能有效的考查學生的空間想象實力,所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必考內容,高考試題中三視圖一般常與幾何體的表面積與體積交匯.由三視圖還原出原幾何體,是解決此類問題的關鍵.5.【2014高考北京理第8題】如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，動點E，F(xiàn)在棱A1B1上，動點P，Q分別在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y(tǒng)，DP＝z(x，y，z大于零)，則四面體P—EFQA．與x，y，z都有關B．與x有關，與y，z無關C．與y有關，與x，z無關D．與z有關，與x，y無關【答案】D【解析】考點：點到面的距離;錐體的體積.【名師點睛】本題考查空間下幾何體中相應點的坐標以及四面體的體積，點到面的距離，本題屬于基礎題，要精確確定三角形的底和高，利用錐體的體積求出多面體的體積.6.【2014湖南7】一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖2所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考點定位】三視圖內切圓球三棱柱【名師點睛】解決有關三視圖的題目，主要是依據(jù)三視圖首先得到幾何體的空間結構圖形，然后運用有關立體幾何的學問進行發(fā)覺計算即可，問題在于如何正確的判定幾何體的空間結構，主要是依據(jù)“長對正，高平齊，寬相等”進行推斷.7.【2015高考山東，理7】在梯形中，，.將梯形繞所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）（A）QUOTE（B）QUOTE（C）QUOTE（D）【答案】C【解析】直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為1，母線長為2的圓柱挖去一個底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為：故選C.【考點定位】1、空間幾何體的結構特征；2、空間幾何體的體積.【名師點睛】本題考查了空間幾何體的結構特征及空間幾何體的體積的計算，重點考查了圓柱、圓錐的結構特征和體積的計算，體現(xiàn)了對學生空間想象實力以及基本運算實力的考查，此題屬中檔題.8.【2014高考陜西版理第5題】已知底面邊長為1，側棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（）【答案】【解析】試題分析：依據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對角線，故，即得，所以該球的體積，故選.考點：正四棱柱的幾何特征；球的體積.【名師點晴】本題主要考查的是正四棱柱的幾何特征；球的體積，屬于簡潔題．解題時肯定要留意正四棱柱的幾何特征（事實上是一個特殊的長方體），求出球的直徑，進而得到半徑，然后利用球的體積公式干脆運算即可9.【2014新課標，理6】如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）A.B.C.D.【答案】C【考點定位】1.三視圖；2.簡潔幾何體的體積.【名師點睛】本題考查了三視圖，直觀圖，組合體的體積，屬于中檔題，留意由三視圖還原幾何體的解題的關鍵，留意計算的精確性．10.【2015高考新課標2，理9】已知A,B是球O的球面上兩點，∠AOB=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．【考點定位】外接球表面積和椎體的體積．【名師點睛】本題以球為背景考查空間幾何體的體積和表面積計算，要明確球的截面性質，正確理解四面體體積最大時的情形，屬于中檔題．11.【2015高考新課標1，理6】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（）(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛【答案】B【解析】設圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B.【考點定位】圓錐的性質與圓錐的體積公式【名師點睛】本題以《九章算術》中的問題為材料，試題背景新奇，解答本題的關鍵應想到米堆是圓錐，底面周長是兩個底面半徑與圓的和，依據(jù)題中的條件列出關于底面半徑的方程，解出底面半徑，是基礎題.12.【2015高考新課標1，理11】圓柱被一個平面截