第02講平面向量的數(shù)量積目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：題型篇 2題型一：重點(diǎn)考查根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計(jì)算 2題型二：重點(diǎn)考查平面向量數(shù)量積的幾何意義計(jì)算 3題型三：重點(diǎn)考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算 6題型四：重點(diǎn)考查求平面向量的夾角（傳統(tǒng)法與坐標(biāo)法 8題型五：重點(diǎn)考查根據(jù)向量模求參數(shù) 12題型六：重點(diǎn)考查向量的投影與投影向量對(duì)比 13題型七：重點(diǎn)考查平面向量垂直關(guān)系及等價(jià)條件 17題型八：重點(diǎn)考查平面向量成銳角或鈍角求參數(shù) 19第二部分：方法篇 24方法一：求向量數(shù)量積的幾何意義法 24方法二：求向量數(shù)量積（最值，范圍）的自主建系法 29方法三：求向量數(shù)量積（最值，范圍）的極化恒等式法 34第三部分：易錯(cuò)篇 38易錯(cuò)一：已知兩個(gè)向量成銳角（鈍角）求參數(shù)忽略了共線 38第一部分：題型篇題型一：重點(diǎn)考查根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計(jì)算典型例題例題1．（2023春·北京·高一匯文中學(xué)校考期中）已知菱形邊長(zhǎng)為1，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，由菱形的幾何性質(zhì)可得：AB=BD=DC=1，，故.故選:D例題2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓為的外接圓，，，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【詳解】如圖，圓的直徑為，故，，故.故選：B.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期中）已知向量，，且與的夾角為45°，則=________.【答案】1【詳解】因?yàn)?，所以，且，與的夾角為45°，所以，故答案為：1.2．（2023春·甘肅張掖·高一高臺(tái)縣第一中學(xué)校考期中）若向量與的夾角為，且則_________．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且所以.故答案為：.題型二：重點(diǎn)考查平面向量數(shù)量積的幾何意義計(jì)算典型例題例題1．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知為圓O的一條弦，且，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【詳解】取AB的中點(diǎn)E，連接OE，則，如圖所示，因?yàn)?，所以，所?故選：D.例題2．（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高一朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎蛄吭谏系耐队跋蛄繛?，則__________.【答案】【詳解】設(shè)向量的夾角為，由在方向上的投影向量為，則，即，所以．故答案為：．例題3．（2023春·四川成都·高一成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤簦?，且與的夾角為，則______．【答案】－1【詳解】由于.故答案為：－1.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C． D．5【答案】B【詳解】由題設(shè)，.故選：B2．（2023春·山東淄博·高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校兑捉?jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH邊上的一點(diǎn)，則的最小值是（

）．A． B． C． D．4【答案】B【詳解】過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，，如圖，由平面向量數(shù)量積的幾何意義可知，等于的模與在方向上的投影的乘積，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在方向上的投影取最小值，此時(shí)，，，，故的最小值為.故選：B.3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知O為的外心，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】A【詳解】取中點(diǎn)，因?yàn)镺為的外心，故，故故選：A題型三：重點(diǎn)考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算典型例題例題1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）已知向量，，則（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【詳解】由題意可得，故，故選：B例題2．（2023春·遼寧大連·高一校聯(lián)考期中）直角三角形中，，，若點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．0【答案】B【詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)，以和所在的直線分別為軸、軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，因?yàn)?，可得，解得，即，則，所以.故選：B.例題3．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）中，，為上一點(diǎn)，，則_______．【答案】/【詳解】作交于，如圖，則，又，則，因此，．故答案為:.精練核心考點(diǎn)1．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知正方形的邊長(zhǎng)為為正方形的中心，是的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以故選：C.2．（2023春·天津西青·高一天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校校考期中）在矩形中，，，點(diǎn)和點(diǎn)分別在線段和上，且，，則的值為_(kāi)_____.【答案】【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，，所以，，所以，則.故答案為：題型四：重點(diǎn)考查求平面向量的夾角（傳統(tǒng)法與坐標(biāo)法）典型例題例題1．（2023春·寧夏銀川·高一銀川一中?？计谥校┮阎橇阆蛄浚瑵M足=2，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，即，于是有，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所?故選：B.例題2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得，則，即得，故，則，故，由于，故，故選：C.例題3．（2023春·遼寧錦州·高一?？计谥校┮阎矫嫦蛄?，，則與夾角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)與的夾角為，則，.故選：B.例題4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，，，，，，與交于點(diǎn)，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：建立如圖直角坐標(biāo)系，則,得,所以，故選：D.精練核心考點(diǎn)1．（2023·江西·江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是單位向量，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，得，即，所以，則，，則，又，所以，即向量與的夾角為.故選：C.2．（2023春·北京海淀·高一人大附中校考期中），則的夾角為_(kāi)_____________．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，又，所以，即的夾角為.故答案為：.3．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，則向量與的夾角為_(kāi)_____．【答案】【詳解】，則，則，又，則故答案為：.4．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知向量，且，那么與的夾角的大小是___________.【答案】/【詳解】，，，所以，故答案為：題型五：重點(diǎn)考查根據(jù)向量模求參數(shù)典型例題例題1．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)向量，且，則=_________.【答案】-2【詳解】試題分析：由題意得例題2．（2023春·遼寧錦州·高一?？茧A段練習(xí)）已知平面向量滿足：，.設(shè)向量的夾角為，若存在，使得，則的取值范圍______．【答案】【詳解】若，則，又因?yàn)椋?，所以即，所以，解得或，所?故.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·天津南開(kāi)·高一南開(kāi)中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)，若向量與同向，，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】【詳解】設(shè)，則，，則，故，又因?yàn)椋?，故，則.故答案為：.2．（2023·安徽亳州·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量，，滿足，則__________．【答案】/或/或【詳解】因?yàn)?，，所以，，得．故答案為：題型六：重點(diǎn)考查向量的投影與投影向量對(duì)比典型例題例題1．（2023春·安徽滁州·高一滁州市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）已知△ABC是正三角形，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椤鰽BC是正三角形，且，所以以為鄰邊作平行四邊形，則四邊形是菱形，是的中點(diǎn)，所以，即與的夾角為，所以在上的投影向量為（其中表示與同方向的單位向量）.故選：B.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在上的投影向量為，故選：C例題3．（2023春·遼寧錦州·高一校考期中）若，與的夾角為，則向量在上的投影向量為_(kāi)__________．【答案】【詳解】，與的夾角為，則，所以向量在上的投影向量為．故答案為：.例題4．（2023春·安徽·高一安徽省舒城中學(xué)校聯(lián)考期中）已知在等腰中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，則在上的投影向量的長(zhǎng)度為_(kāi)_________.【答案】/1.25【詳解】如圖，由題可知.設(shè)，由余弦定理可得，解得.作AC邊上的高BD，因?yàn)?，所以，所以，由投影向量的幾何意義可知，投影向量的長(zhǎng)度為.故答案為：.例題5．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，，分別以為直徑作半圓弧，是半圓弧的中點(diǎn)，為半圓弧上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意可得，所以向量在向量上的投影向量為：故選：C.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·四川德陽(yáng)·高一四川省德陽(yáng)中學(xué)校校考階段練習(xí)）若向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．（，）C．（，） D．（4，2）【答案】B【詳解】向量在向量上的投影向量為，故選：B2．（2023春·四川成都·高一成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）已知向量，，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【詳解】因，為單位向量，，所以在方向上的投影向量為，故答案為：.3．（2023春·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知向量的夾角為，則在方向上的投影向量的模為_(kāi)_________.【答案】/【詳解】在方向上的投影向量的模為.故答案為：4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知平面向量，為單位向量，且，則向量在向量上的投影數(shù)量為_(kāi)_____．【答案】【詳解】由已知可得，，.又，所以，，即，所以，所以，向量在向量上的投影數(shù)量為.故答案為：.題型七：重點(diǎn)考查平面向量垂直關(guān)系及等價(jià)條件典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，．若與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以，又且與垂直，所以，解得.故選：A例題2．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，若，則___________.【答案】【詳解】由可得：，又因?yàn)椋煽傻茫?，解得?故答案為：.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，．若，則=______．【答案】2【詳解】由題意，，所以，故答案為：.例題4．（2023春·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，．(1)若，求的值；(2)若與垂直，求的值．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，又，所以，即?/p>

解得或．（2）因?yàn)?，，所以?/p>

又與垂直，，所以，

解得．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·北京海淀·高一北大附中校考期中）已知，，若，則__________．【答案】【詳解】由題設(shè)，，又，所以，則.故答案為：2．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，，若，則實(shí)數(shù)________.【答案】或【詳解】∵，，∴.∵，∴，解得：或故答案為：或.3．（2023春·安徽六安·高一六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，，．若，則實(shí)數(shù)___________．【答案】/【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，解得，故答案為?．（2023春·廣東深圳·高一翠園中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，.若向量與垂直，則的值為_(kāi)_______.【答案】/【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橄蛄颗c垂直，則，解得.故答案為：題型八：重點(diǎn)考查平面向量成銳角或鈍角求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？茧A段練習(xí)）已知，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】夾角為鈍角，，且，由得：，解得：；當(dāng)共線時(shí)，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.例題2．（2023春·四川成都·高一?？计谥校┮阎蛄浚?，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】若，則，解得.因?yàn)榕c的夾角為銳角，∴.又，由與的夾角為銳角，∴，即，解得.又∵，所以.故選：.例題3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，且的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的范圍_______【答案】【詳解】由于與的夾角為鈍角，則且與不共線，，，，解得且，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是且，故答案為：且.例題4．（2023春·安徽六安·高一六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚?1)設(shè)，求的最小值；(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得：，所以所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.（2）由于，，向量與向量的夾角為鈍角，所以，且向量與向量不能共線，即即所以，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為：精練核心考點(diǎn)1．（多選）（2023春·湖北襄陽(yáng)·高一襄陽(yáng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，若為銳角，則實(shí)數(shù)可能的取值是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】由題意可知，，，因?yàn)闉殇J角所以可得當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)為銳角時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：ABD．2．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┤粝蛄浚膴A角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【詳解】依題意，向量與的夾角為鈍角，所以，解得且，所以的取值范圍是.故答案為：.3．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_________.【答案】【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，，解得，由題意得與不共線，則，解得，的取值范圍是.故答案為：4．（2023春·湖北武漢·高一武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）校考期中）已知，.(1)當(dāng)為何值時(shí)，與垂直；(2)當(dāng)為何值時(shí)，與的夾角為銳角.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，，則，，因?yàn)榕c垂直，則，解得.（2）解：因?yàn)榕c的夾角為銳角，則，解得且，因此，當(dāng)時(shí)，與的夾角為銳角.5．（2023春·湖北武漢·高一華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期中）已知平面向量．(1)若，且，求的坐標(biāo)；(2)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）由，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，解得，或，所以的坐?biāo)為或.（2）由，所以，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以且與不共線，，解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.第二部分：方法篇方法一：求向量數(shù)量積的幾何意義法典型例題例題1．（2023·河南·校聯(lián)考三模）如圖，這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)做交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).因?yàn)椋?所以.由圖可知當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最大值1，當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最小值，又因?yàn)?，所以的取值范圍?故選：D例題2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？计谥校┮阎峭饨訄A的圓心?若，，則（

）A．10 B．20 C． D．【答案】C【詳解】，設(shè)中點(diǎn)為D，BA中點(diǎn)E，因O是△ABC外接圓的圓心，則在方向上的投影向量為,在方向上的投影向量為，則，.故.故選：C例題3．（2023春·北京海淀·高一?？计谥校┰谀暝氯张e行的北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪花元素為觀眾帶來(lái)了一場(chǎng)視覺(jué)盛宴，象征各國(guó)、各地區(qū)代表團(tuán)的朵“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來(lái)”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形（如圖②）．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)滿足，則______；若點(diǎn)是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的最大值是_______．【答案】/0.5/1.5【詳解】由題可知，∴，∴，設(shè)向量的夾角為，設(shè)在直線的射影為，要使的最大則，因?yàn)?，如圖可知當(dāng)在處時(shí)，最大，此時(shí).故答案為：；.例題4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是一個(gè)正六邊形，將下列向量的數(shù)量積按從小到大的順序排列：，，，．【答案】．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)向量投影的定義，可得：，，，，所以，，，，∴．精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在四邊形ABCD中，，作于點(diǎn)H．若，則（

）A． B．10 C． D．12【答案】D【詳解】設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，因?yàn)?，所以．又于點(diǎn)H，且，所以，所以．故選：D2．（2023春·浙江溫州·高一樂(lè)清市知臨中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方形中，邊長(zhǎng)為，是邊上的一點(diǎn)，，以為圓心，為半徑畫弧交于點(diǎn)，是弧上（包括邊界點(diǎn)）任一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】過(guò)作于點(diǎn)H，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)槭腔∩希òㄟ吔琰c(diǎn)）任一點(diǎn)，所以,又因?yàn)?，所以，所以?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，最小，且最小為，所以，且最大為；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，最大，且最大為，所以最小為，所以的取值范圍是.故選：B.3．（2023春·四川成都·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，為圓的一條弦，且，則A．4 B．-4 C．8 D．-8【答案】D【詳解】分析：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連接OM，運(yùn)用圓的垂徑定理，可得OM⊥AB，運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和解直角三角形的知識(shí)，即可得到．詳解：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連接OM，則OM⊥AB，則=2?=2||?||?cos=-2×2?||?cos=-4||=-8．故選D．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，，垂足為，且，則=_____.【答案】2【詳解】如圖，延長(zhǎng)，過(guò)作延長(zhǎng)線的垂線，所以在的方向投影為，又為中點(diǎn)，可知，所以．故答案為：2方法二：求向量數(shù)量積（最值，范圍）的自主建系法典型例題例題1．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考期中）在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形中，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，則，當(dāng)時(shí)，則的最小值是.故選：D.例題2．（2023春·北京·高一101中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，，P為所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），所以.（2）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為．所以，，所以，所以的取值范圍是．例題3．（2023春·天津武清·高一天津英華國(guó)際學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖所示，梯形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，若向量在向量上的投影向量的模為，設(shè)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，，則的取值范圍是______________.【答案】【詳解】∵，∴，以為原點(diǎn)，直線，分別為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，∵向量在向量上的投影向量為，∴，∴，由已知，設(shè)，，（，），則，，，∵，∴，即，∴，∴，，∴，又∵，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，，∴，解得，且，，∴，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)，，則由以上基本不等式所求最小值可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，∴的最小值為，最大值為∴的取值范圍是.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點(diǎn)，．當(dāng)點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為_(kāi)________．【答案】/【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，則，由，得，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故答案為：.2．（2023春·天津武清·高一天津英華國(guó)際學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知中，，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________.【答案】【詳解】過(guò)作，垂足為，以為原點(diǎn)，直線，分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，在中，，，∴，，，由題意，設(shè)，，則，，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.3．（2023春·廣東江門·高一新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）在平面四邊形中（如圖所示），，若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____________；

【答案】/【詳解】因，則以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，過(guò)點(diǎn)C作于G，作于F，因?yàn)椋?，即，于是有，，則，而，則有，設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故答案為：.方法三：求向量數(shù)量積（最值，范圍）的極化恒等式法典型例題例題1．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知圖中正六邊形的邊長(zhǎng)為6，圓的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓的直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)檎呅蔚倪呴L(zhǎng)為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，所以正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，外接圓的半徑，又由，因?yàn)?，即，可得，所以的取值范圍?故選：D例題2