生物醫(yī)學(xué)信號處理習(xí)題集

第一章生物醫(yī)學(xué)信號概論

1.生物醫(yī)學(xué)信號處理的對象是什么信號？

解答：

包括生理過程自發(fā)產(chǎn)生的信號，如心電、腦電、肌電、眼電、胃電等電生理信號和血壓、體溫、脈

搏、呼吸等非電生理信號；還有外界施加于人體的被動信號，如超聲波、同位素、X射線等。

2.生物信號的主要特點(diǎn)是什么？

解答：

隨機(jī)性強(qiáng)，噪聲背景強(qiáng)。

第二章數(shù)字信號處理基礎(chǔ)

YoucanuseMatlabwhereyouthinkit'sappropriate.

l.FIR濾波器和HR濾波器的主要區(qū)別是什么？

解答：

FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)是有限長的序列，該濾波器沒有極點(diǎn)，具有穩(wěn)定性。

HR濾波器的單位脈沖響應(yīng)是無限長的序列，該濾波器有極點(diǎn)，有可能不穩(wěn)定。

2.兩個濾波器級聯(lián)，第一個的傳遞函數(shù)為H/Z)=1+2Z」+Z-2,第二個為H?(z)=l-z,當(dāng)輸入為單

位脈沖時，求輸出序列，畫出級聯(lián)濾波器的頻率響應(yīng)。

解答：

H(Z)=(1+2/+Z-2)(l-Z-')=1+z<_z-2_z-3

h(n)=[l,l,-l,-l],n=0,1,2,3.即輸入單位脈沖時的輸出序列值。

freqz(h,1)

50

&

p

)

8

p

n-50

100

-6l

e

s

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

NormalizedFrequency(xnrad/sample)

1000

(

as

|a

86

)p-100

-200

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

NormalizedFrequency(x?rad/sample)

3.A3rd-orderlowpassfilterisdescribedbythedifferenceequation:

y(n)=0.0181x(n)+0.0543x(n-1)+0.0543x(n-2)+0.0181x(n-3)

+1.76y(n-1)-1.1829y(n-2)+0.278ly(n-3)

Plotthemagnitudeandthephaseresponseofthisfilterandverifythatitisalowpassfilter.

解答：

b=[0.0181,0.0543,0.0543,0.0181];

a=[1.0000,-1.7600,1.1829,-0.2781];

m=O:length(b)-1;1=0:length(a)-l;

K=500;k=1:1:K;

w=pi*k/K;%[0,pi]分成501個點(diǎn).

num=b*exp(?j*m，*w);%分子計(jì)算

den=a*exp(-j*l'*w);%分母計(jì)算

H=num./den;

magH=abs(H);angH=angle(H);

subplot(1,1,1);

subplot(2,l,l);plot(w/pi,magH);grid;axis([0,1,0,1])

xlabel(M);ylabel(lHr);

titleC幅度響應(yīng));

subplot(2,l,2);plot(w/pi,angH/pi);gridon;axis([0,l,-l,l])

xlabelC以pi為單位的頻率，)；ylabeledpi弧度為單位的相位工

title，相位響應(yīng)，

幅度響應(yīng)

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

相位響應(yīng)

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

以pi為單位的頻率

或freqz(b,a)

&

)p

a

p

n

u

u

o

e

s.2001---------1---------1----------1---------1----------1---------1---------1----------1---------1----------

(00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

S

8

3

J

6

3

P

)

明顯是低通濾波器，Wc大概在0.25pi。（衰減3個dB,下降一半）

4.Findtheinversez-transformofx(z)=3z2-4z+1.TochecktheresultusingMatlabfunctionresiduez.

解答：

X(z)=----------=---------：------=1/2(--------r

3Z2-4Z+13-4Z-I+Z_21-Z-,

—z

3

b=[0J];a=[3,-4,l];

[R,p,C]=residuez(b,a)

[b,a]=residuez(R,p,C)

R=0.5000

-0.5000

p=1.0000

0.3333

C=[1

b=-0.00000.3333

a=1.0000-1.33330.3333

筆算和程序結(jié)果一致。

5.ChooseanappropriatewindowtodesignadigitalFIRlowpassfilterwiththefollowingspecifications:

①「=0.2^,Ap=0.25dB以=0.3名A,=50dB

Determinetheimpulseresponseandprovideaplotofthefrequencyresponseofthedesignedfilter,(help

firlfunction)

解答：

wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;

tr_width=ws-wp；

M=ceil(6.6*pi/tr_width)；%查表求得窗長度，hammingwindow即可

n=[0:l:M-l];

wc=(ws+wp)/2

b=firl(M,wc/pi);

h=b(l:end-l);

[hh,w]=freqz(h,[l]；whole');%默認(rèn)就是hammingwindow

hhh=hh(1:255);ww=w(1:255);

%畫圖

subplot(2,2,3);stem(n,h);title('實(shí)際脈沖響應(yīng)')

axisdOM-l-0.10.3]);xlabel('n');ylabel('h(n)’)

subplot(2,2,4);plot(ww/pi,20*logl0(abs(hhh)));title('幅度響應(yīng)(單位：dB),);grid

axis([01?10010]);xlabel('頻率(單位:pi));ylab&C分貝,)

set(gca,'XTickMode','manual?XTick',[0,020.3,l])

set(gca,'YTickMode','manual?YTick',[?50,0])

實(shí)際脈沖響應(yīng)

第三章隨機(jī)信號基礎(chǔ)

1.什么是平穩(wěn)各態(tài)遍歷的隨機(jī)過程？

解答：

如果隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特性與開始進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的時刻無關(guān)，則為平穩(wěn)隨機(jī)過程，否則為非平穩(wěn)隨機(jī)

過程.對于平穩(wěn)過程，如果所有樣本在固定時刻的統(tǒng)計(jì)特征和單一樣本在全時間上的統(tǒng)計(jì)特征一致,

則為各態(tài)遍歷的隨機(jī)過程。平穩(wěn)且各態(tài)遍歷是本課程分析醫(yī)學(xué)信號的一個前提假設(shè)

2.判斷隨機(jī)相位正弦波在均值意義下是否各態(tài)遍歷。x(r)=Asin(gf+O),人口。是固定值，0是隨

p(@)——,04O<2〃

機(jī)變量，分布為均勻分布：24，其它為零。

解答：

1T

mx=lim——[Asin(例t+0)dt=O

該隨機(jī)過程的時間平均為：T^2TJr'

士桔上nT釣1Vi什配出"E(x)=ixp(x)dx=『Asin(4t+O)p?)dO=°

該隨機(jī)過程的總體平均為：-A0

因此該過程在均值意義下是各態(tài)遍歷的。

3.討論相互獨(dú)立、互不相關(guān)、相互正交的區(qū)別和聯(lián)系。

解答：

隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件為：P(x，y)=p(x)p(y)

互不相關(guān)的條件為：cov(x,y)=°

正交的條件為：E(xy)=°

對于一般的隨機(jī)變量：統(tǒng)計(jì)獨(dú)立則互不相關(guān)；當(dāng)其中有任意一個變量的均值為零，則互不相關(guān)和正

交可以互相推導(dǎo)。

對于高斯隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立和互不相關(guān)可以相互推導(dǎo)；當(dāng)其中有任意一個變量的均值為零，則三

者都能互相推導(dǎo)。

4.輸入序列的一階概率密度函數(shù)是P(Z)=2e-2'”“(x”)。證明：E(x?)=05；如y=2x,+4x2,

為、9都是具有上述分布的隨機(jī)序列，求"(y)。

解答：

2x2x

E(xn)=Cx?p(xn)dxn=f7xn2e-"dx?=ff-xnde-"

+OO+0°+oo

2x

=-xne—+Je-dxn=je-dx“=-0.5Jde-—0.5(ef。)

00ii=0=0.5

E(y)=E(2xi+4X2)=E(2X?)+E(4X2)=3

5.已知平穩(wěn)隨機(jī)過程x的自相關(guān)函數(shù)如下，求其功率譜密度及均方，并根據(jù)所得結(jié)果說明該隨機(jī)過

程是否含有直流分量或周期性分量。

r

(j)Rx(r)=4e-lcos^r+cos3^r

r4r

(ii)()=25e_l'cos61)r+16

解答：

211

(i)")=N(”『「=93+3萬)+次。-3初+8[用』+不1不】

E(X2)=R,(0)=4+1=5

2

Px(0)=8|——-RO

因?yàn)?+丁，所以含有直流分量；

因?yàn)橹芷谛盘柕淖韵嚓P(guān)函數(shù)也是周期性的，而R中包含有一個周期性的成分，因此該隨機(jī)過程含有

周期性分量。

2?11

P、(⑷=JRX(療-.(1T=32芯(⑷+501------3+---------TJ

(n)xix16+(0+4)216+(。一%)-

2

E(X)=RX(0)=25+I6=41

2

Px(0)=324+50[------]W0

因?yàn)?6+4一,所以含有直流分量；

因?yàn)橹芷谛盘柕淖韵嚓P(guān)函數(shù)也是周期性的，而R中沒有包含周期性的成分，因此該隨機(jī)過程不含有

周期性分量。

6.設(shè)X(t)是平穩(wěn)過程，y(t)=x(t)+x(t—T),證明的y(t)功率譜是：

P,(。)=2PX(。)(1+cos<2/r)

解答：

>r

?.-Py(<y)=TRy(r)e-dr

其中Ry(r)=E(y(t)y(t+f))=E[(x(t)+x(t-T))-(x(t+T)+x(t+r-T))]

=E[x(t)x(t+r)+x(t-T)x(t+r)+x(t)x(t+r-T)+x(t-T)x(t+r-T)]

-Rx(r)+Rx(r+T)+Rx(r-T)+Rx(r)

Kor

.?.Py(°)=[Ry(r)edr=^[2R(r)+R(r+T)+R(r_T)je-j^dr

=2")+【二田'(7+T)+R、(7-T)]e-jfurd7

=2Px(0)[l+eT'"+eM]

=2Px3)(1+cos6)，得證。

7.一個隨機(jī)信號x小)的自相關(guān)函數(shù)是RO)=AA",另一個隨機(jī)信號X?⑴的自相關(guān)函數(shù)為

,r|

R2(T)=A2e>在下列條件下，分別求信號相加后x(t)=x0)+xz(t)的自相關(guān)函數(shù)R,")。

(i)x《)，X?⑴相互獨(dú)立；

(ii)x《)，x?(t)來自同一信號源，只是幅度差一個常數(shù)因子K(K不為1)：X2(t)=Kx/t).

解答：

(i)x《)，X2(t)相互獨(dú)立

R、⑶=E(x(t)x(t+T))=E[(xl(t)+x,(t))-(x,(t+r)+x2(t+r))]

=E[xl(t)xl(t+r)+x2(t)x((t+r)+x,(t)x2(t+r)+x2(t)x2(t+T)]

=R,(f)+E[x,(t)]E[x2(t+r)]+E[x,(t+r)]E[x2(t)]+R2(f)

?rlimR[?)=limE[X](t)x《+r)]=E(x[(t))?E(x,(t+7))=E2[x](t)]

t—y=°

22

.-.E[x1(t)]=O>Rg/.E[x2(t)]=O

-|r!

r.Rm=Ri(r)+R2(c)=(A,+A2)e

(ii)x,(t)=Kx,(t)

由前面計(jì)算可得RX(T)=R1(f)+E[x](t)x2(t+r)]+E[x](t+r)x2(t)]+R2(r)

=R,(T)+E[x1(t)Kx!(t+T)]+E[x1(t+r)Kx)(t)]+R2(r)

=Rl(r)+2KR,(r)+R2(r)

=(A,+2KA,+A,)e-|r|

8.%是零均值，方差為吠的白噪過程，把它先送入一個平均器，得*=5('+”"T),然后再將y“送

給一個差分器z“=y“-y,i,求z“的均值、方差、自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。

解答：

7=V-v=：(x“+x,i)-1(Xn.i+x.2)=：(x“一演-2)

乙〃JnJH-l，，乙

E(zn)=E(1(xn-xn-2))=0

W=E(z：)-E2(z0)=曳；(-溝=E*x：-2x°xn<+^)]=犬？=R(0)

R—向「E|3』2)DR

。(2)=E(Z?Z?+2)=嗚(—(x…x“)]="：/4

當(dāng)|m|>=3,自相關(guān)都為0。

R(m)：c；[6(m)-:3(m-2)-：6(m+2)]

v7

Zn=222

P,,(w)=卜：[1一**=gc》_cos2w]

9.隨機(jī)序列與各次采樣互相獨(dú)立，且均勻分布于一1?1之間，設(shè)尤=%一七一，

z“=￡+2x,i+A,w”=-OS%+x“，求x”的均值和方差；打、Z"、嗎的自相關(guān)函數(shù)和

功率譜。

解答：

均值：E(xn)=亡xnp(x0)dxnJ；xn0.5dxn=0

均方值：E(x：)=J：x：p(xn)dxn=「H0.5dxn=g

2

E(x^)-E(xn)=-

方差：Var(xn)=nn3

2

Ry.(O)=E(y：)=E(斗-X,T)2=]

R%(1)=E(ynyn+1)=E[(xn-x^Xx^,-xn)]=

%<2)=取著%+2)=曳6—1)a?+2-*m)]=0,當(dāng)|m|>=2時，y的自相關(guān)函數(shù)都為零

1211-2

R(m)-[2J(m)-<J(m-1)-(J(m+1)]p()=—[1--e|We|W]=—[1-cosw]

>'nX7=3,YnV7w32230

2

R,.(0)=E(z；)=E(x0+2x?_,+x?-2)=2

4

R,“⑴=￡(2立用)=E[(xn+2xn_1+xn-2)(x?+l+2xn+xn.,)]=-

R,“⑵=E(Z"Z"2)=E[(x?+2x?_,+x吁2)(x?+2+2x?+1+xn)]=1

當(dāng)|m|>=3時，z的自相關(guān)函數(shù)都為零

R(m)+4<J(m-1)+4<J(m+1)+<J(m-2)+J(m+2)]

?'n''=3,

1.82

p(亞)=j[6+4ejw+4ejw+e-o2jw+ej2w]=2+1cosw+|cos2w

Rw.(0)=E(w：)=E(x,-O.5w,T)2=E(Xn)-E(X.WnT)+wE(w,i),由于中間一項(xiàng)為零，所以有

R%(0)=軟x：)J,

R%⑴=E(W?wn+,)=E[(xn+1-0.5wn)wn]=-0.5RWn(0)

2

R”.⑵=E(wnw?+2)=E[w?(xn+2-0.5wn+,)]=-0.5".(1)=(-0.5)RWn(0)；

所以人")=(45嚴(yán)R")=*。5)阿，

1

,(1+一—=§

=_4H91+0.5厘l+0.5e」“5

P”“(<y)=DTFT[Rw(m)]DTFT[-(-0.5)]-+costw

第四章數(shù)字相關(guān)和數(shù)字卷積

1.設(shè)x=[1234]；h=[4321]；求conv(x,h)、filter(h,l,x)、filter(x,l,h)的結(jié)果,并寫出后兩個函數(shù)對應(yīng)

的傳遞函數(shù)。

解答：

conv(x,h)=[411203020114]

由于卷積的前后互換性，filter(h,l,x)=filter(x,l,h)=[4112030]

Hl(z)=4+3ZT+2Z<+Z-3,H2(Z)^\+2Z~'+3Z~2+4Z-3

2.輸入到線性系統(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程x是零均值、方差為1,輸出信號的功率譜為

1

s‘(ew)=----------------------,a=0.5

1-2acos0+/,求此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(Z)?要求該系統(tǒng)穩(wěn)定。

解答：

??,S.L，

==I_2.，+」2M=0.5

因?yàn)橄到y(tǒng)要求穩(wěn)定

11

/.H(ew)=--------------,”(z)=-----------

1-O.5e，0l-0.5z-r'

3.列舉相關(guān)技術(shù)在生物醫(yī)學(xué)信號處理中的部分應(yīng)用。

解答：

從噪聲中檢測信號，例如檢測超聲脈沖回波。

估計(jì)兩個相似信號的時間延遲，例如測定微血管中的紅血球流速，提取腦電誘發(fā)響應(yīng)。

用于生物系統(tǒng)的辨識等。

-1N>|-1

4.估計(jì)相關(guān)函數(shù)時如果采用“'叫"N2)X"X"+m,估計(jì)是否為無偏估計(jì)？是否為一致估計(jì)?

解答：

偏差：

A1N-|m|-lN—Iml

E[Rx(m)]=-￡E[Xnxn+m]=—^Rx(m)

Nn=ON

N?o,E[Rx(m)]=Rx(m)

m越大，偏差越大,m=N時,E[Rx(m)]=0,偏差了RJN)

所以不是無偏估計(jì)，但是漸進(jìn)無偏。

估計(jì)的方差當(dāng)N無窮時，趨于零。

因此該估計(jì)法是一致估計(jì)。

5.已知心電圖的頻率上限約為50Hz,采集數(shù)據(jù)時候的采樣頻率至少為多少？如果采樣頻率為300Hz,

要求的頻率分辨率為1Hz,試確定做譜估計(jì)時每段數(shù)據(jù)的點(diǎn)數(shù)。

解答：

由于采樣頻率至少要為信號最高頻率的兩倍，所以這時采樣頻率至少要為100Hz。

?.?△f」N2工=300

N,Af，做譜估計(jì)時每段數(shù)據(jù)的點(diǎn)數(shù)要大于300,考慮DFT的計(jì)算，最好取2的

嘉次，可以取512點(diǎn)數(shù)據(jù)，或者補(bǔ)零到512點(diǎn)長。

第五章維納濾波

x(n)=S(TI)+n(n)y(n)=1?(〃)

h(n)

以下三題的系統(tǒng)模型圖都參看該圖。

I.設(shè)上圖濾波器的方程是yn=X“-Xn”輸入sn是確定性信號Sn=bn，b是常數(shù)。為是白噪序列，零均

值，方差為反。求

(1)輸出中的信號分量；

(ii)輸出中噪聲分量的均方和方差；

(iii)輸出中噪聲分量的功率譜。

解答：

(i)輸出中的信號分量

y?=x?-x,,.,=sn+nn-sn_1-n?.1=b?-bn—+n“-n“_|

前兩項(xiàng)是由于信號s引起的輸出，后面兩項(xiàng)是噪聲分量引起的輸出。

(ii)輸出中噪聲分量的均方和方差

理瑪-nn_J=0,因此輸出中噪聲分量的均方等于方差：

2

E[(n?-nn.l)]=E[n：+n；1-2n11nlJ=2(7；

(iii)輸出中噪聲分量的功率譜

由于H(z)=l-z,則H(e"")=l-eT、巳(小)=田

w|W

11?Pgise(e"")=|H(e')|P?(e)=c：(2-2cos劭

2.對于上圖中的系統(tǒng)模型，假設(shè)h(n)是因果的，用相關(guān)函數(shù)法推導(dǎo)出維納濾波器的維納-霍夫方

程的離散形式，以及從該方程中解出了最佳濾波器4/"(〃)后的最小均方誤差的最簡式。

解答：

y(〃)=1(〃)=￡/?(相比(〃一加)目/(〃)]=E(s(〃)-￡一機(jī))尸

/?(〃)=0,3n<0,,?=o,L?>=o」，

2E(s(〃)-￡%("2)x(〃-m))x(〃-/)=0j=0,1,2--?

_ZM=0_

E[s(n)x(n-力]=工％(m)E[x(n-m)x(n-；)]J>0

ni=0

R"(/)=￡%j>0

維納-霍夫方程：，”=。

￡21

k(?)l?in=E(5(?)-￡hopl(w)x(n-m))

最小均方誤差為：L?=oJ

-f-OO-f-OO4-00

=E[s'(n)-2s(〃)Z/?(m)x(〃一⑼+ZZ%(加)x(“一⑼%(r)x(zz-r)]

m=0m=0r=0

?{■co-f-00-f-00

=(0)-2E%("2)R、S(〃2)+E%(機(jī))E%⑺R.u(".r)

/M=0m=0Lr=0_

士2(〃)人=鼠(0)-

/M=0

.32Sd)」

J-

3.設(shè)線性系統(tǒng)如上圖所示，已知與，〃"相互獨(dú)立，且S,(e'3)=sin2°,"2o要求設(shè)計(jì)一

個濾波器H(eW)=csin20,試確定。使得濾波后的輸出儲與真實(shí)信號5”的均方誤差最小，即

砒,-釬]最小。

解答：

設(shè)誤差為e.=s?-8n

其自相關(guān)為：

Re(m)=E(eoen+ra)=E[(s?-sn)(sn+m-sn+in)]=Rs(m)-R^Cm)-RSs(m)+R§(m)

jMja，ja>

做傅立葉變化：=Ss(e)-SsS(e)~SSs(e)+S式e/0)

j<a2j(u2624

S；(，3)=|H(eW)『Sx(/)=|H(e)|[Ss(e)+S?(/)]=csin<y+1csin6y

i<8to4

黑(e"。)=H(ei")S，x(e?)=H(e)Ss(e)=csinco

itt,itt),ia,iw4

S*(e，“)=H*(e)Sxs(e)=H(e)Ss(e)=csinco

求導(dǎo)等于零：C°PI-4

4.x(n)是白噪過程，零均值，方差為c：,把x(n)作為輸入加到一線性系統(tǒng)上，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是

h(n),輸出是丫⑺)。證明：

(i)E[x(n)y(n)]=(7；h(0)

(ii)

解答:

E[x(n)y(n)]=E[x(n)Zx(n-m)h(m)]

=Sh(m)E[x(n)x(n-m)J

/.、=Zh(m)Rx(m)

(1)m

當(dāng)m=0時，R、(°)=瓏，當(dāng)m為其它時R*(m)=°,代入上式,

E[x(n)y(n)]=c：h(O)

...、=Ely^,,]=E[Ih(m)x(n-m)Ih(k)x(n-k)]

(H)mk

=XEh(m)h(k)E[x(n-m)x(n-k)]

XZh(m)h(k)R(m-k)

mkx

當(dāng)m=k時，R、(m-k)=c：,當(dāng)m為其它時R'(m-k)=°,代入上式,

=Zh2(k”：fh2(n)

kn=-8

得證。

第六章卡爾曼濾波

1.有一信號s(n),其自相關(guān)函數(shù)&(，〃)=0.7叫，〃=0,±1,±2-1被一零均值，方差為0.4的白噪n(n)所

淹沒，s(n)與n(n)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

(i)設(shè)計(jì)一個長度等于3的FIR數(shù)字濾波器，其輸出丫⑺)使得E[(y(n)-s(n))2]最小化。

(ii)設(shè)計(jì)一個因果的最優(yōu)濾波器，并說明如何在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。

解答：

(i)根據(jù)均方誤差最小準(zhǔn)則得到W-H方程：

N-\

R、\j)=￡%(m)R，j-m)一

M=O，其中x=s+n,表示輸入信號，

因?yàn)镹=3,且R"(m)=R*(m)+R?(m),

Rxs(m)=E[x(n)s(n+m)]=E[(s(n)+n(n))s(n+m)]=R.(m),代入W.H方程得:

2

尺(力=Z%(,n)[/?s(j-/M)+R?U-m)]j=0,1,2

m=0

把/?,(")=0.7叫〃?=0,士l,±2…，R“(m)=0.45(m)代入上式得三個方程：

h則(0)0.6121

hOp,(D0.1681

h(2)0.0517

解得:opt

所以設(shè)計(jì)的濾波器的傳遞函數(shù)為：H(z)=0.6121+0.168—+0.0517Z

(ii)設(shè)計(jì)一個因果的最優(yōu)濾波器

因?yàn)镽*、(m)=R，(m)+R“(m)

所以輸入信號的z變換為：

R(z)=R、(z)+Rn(z)=-------孕-------+0.4

(l-0.7z-')(l-0.7z)

1.1060-0.28z-'-0.28zb(l-az-')(l-az)

(l-0.7z-')(l-0.7z)-(l-0.7z-')(l-0.7z)

Jb+a0.28=1.1060

列出方程求系數(shù)a與b,1ab=0.28利用solve函數(shù)解出a,b：

a=[3.68,0.2718],b=[0.76,1.03],a取小于1的數(shù)，所以a=0.2718,b=1.03

c,、1.03(1-0.2718z-1)(1-0.2718z)

R(z)=---------------：----------------

因此(l-0.7z-')(l-0.7z)

(1-0.2718Z-1),(1-0.2718z)

則，=1.03,(1-0.7Z-1),(l-0.7z)

:[火“(Z)/5(ZT)L

l-0.7z-'_________0^_________

?)一^.B(z)=—<B(z)1.03(1-0.2718z'')(1-0.7z-')(1-0.2718z)

1-0.7ZT________0.62980.6298

1.03(1-0.2718ZT)[(1-0.7ZT)

1.03(1-0.2718z-1)

n

hopt(n)=0.6115(0.2718)u(n)

N-1

頊/(〃氏而=凡(°)-Z%(M&s(⑼

計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)可以利用均方誤差m=0當(dāng)取N與N+1時它們的

均方誤差非常接近時就可以確定N了。

2.比較維納濾波和卡爾曼濾波方法的區(qū)別和聯(lián)系。

解答：

維納濾波和卡爾曼濾波都是解決線性濾波和預(yù)測問題的方法，并且都是以均方誤差最小為準(zhǔn)則的，

在平穩(wěn)條件下兩者的穩(wěn)態(tài)結(jié)果是一致的。但是它們解決問題的方法有很大區(qū)別。維納濾波是根據(jù)全

部過去觀測值和當(dāng)前觀測值來估計(jì)信號的當(dāng)前值，因此它的解形式是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)”紅）或單位

脈沖響應(yīng)〃（〃）.卡爾曼濾波是用當(dāng)前一個估計(jì)值和最近一個觀測值來估計(jì)信號的當(dāng)前值，它的解形

式是狀態(tài)變量值。維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程，卡爾曼濾波就沒有這個限制。設(shè)計(jì)維納濾波器

要求已知信號與噪聲的相關(guān)函數(shù)，設(shè)計(jì)卡爾曼濾波要求已知狀態(tài)方程和量測方程，當(dāng)然兩者之間也

有聯(lián)系。

3.寫出卡爾曼濾波的狀態(tài)方程與量測方程，并解釋。畫出卡爾曼濾波的信號模型。

解答：

狀態(tài)方程：S(k)=A(k)S(k-l)+W|(k-l)

表示的含義就是在k時刻的狀態(tài)S(k)可以由它的前一個時刻的狀態(tài)S(k-l)來求得，即認(rèn)為卜一1

時刻以前的各狀態(tài)都已記憶在狀態(tài)S(k-1)中了。

量測方程：X(k)=C(k)S(k)+w(k)

用X(k)表示量測到的信號矢量序列，w(k)表示量測時引入的誤差矢量，C(k)稱為量測矩陣，它的

引入原因是，量測矢量X(k)的維數(shù)不一定與狀態(tài)矢量S(k)的維數(shù)相同，因?yàn)槲覀儾灰欢苡^測到

所有需要的狀態(tài)參數(shù)。

卡爾曼濾波的信號模型:

「k)

*?-------->X(k)

4.根據(jù)卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和量測方程，假設(shè)A(k)和C(k)是已知的，X(k)是觀測到的數(shù)據(jù)，也

是己知的，假設(shè)信號的上一個估計(jì)值§化-1)已知，如何來求當(dāng)前時刻的估計(jì)值§住)？

解答：

S(k)=A(k)S(k-l)+w,(k-l)(X(k)=C(k)S(k)+w(k)

假設(shè)暫不考慮歸化)與w(k),用上兩式得到的C(k)和文化)分別用€'(k)和文'(k)表示，得：

Sz(k)=A(k)S(k-1),Xz(k)=C(k)Sz(k)=C(k)A(k)S(k-1)

必然，觀測值X(k)和估計(jì)值文'(k)之間有誤差，它們之間的差友(k)稱為新息(innovation)：

X(k)=X(k)-Xz(k)

新息的產(chǎn)生是由于我們前面忽略了w/k)與w(k)所引起的，也就是說新息里面包含了w/k)與

w(k)的信息成分。因而我們用新息文(k)乘以一個修正矩陣H(k),用它來代替式的W1(k)來對S(k)

進(jìn)行估計(jì):

S(k)=A(k)S(k-1)+H(k)X(k)

=A(k)S(k-1)+H(K)[X(k)-C(k)A(k)S(k-1)]

S(k)=A(k)S(k-1)+H(K)[C(k)S(k)+w(k)-C(k)A(k)S(k-1)]

=A(k)S(k-1)+H(K)[C(k)[A(k)S(k-1)+W1(k-1)]+w(k)-C(k)A(k)S(k-1)]

=A(k)S(k-1)[I-H(k)C(k)]+H(K)C(k)[A(k)S(k-1)+w,(k-1)]+H(k)w(k)

根據(jù)上式來求最小均方誤差下的H(k),然后把求到的H(k)代回去則可以得到估計(jì)值C(k)。

第七章參數(shù)濾波

I對于一個隨機(jī)信號，可以對它進(jìn)行頻譜分析，敘述AR譜法和周期圖法相比的優(yōu)點(diǎn)。

解答：

平滑、需要較短數(shù)據(jù)即可、頻率分辨率高、峰值包絡(luò)線的好估計(jì)等。

尺(加)=—(0.8同)-—(0.4同)，加=0,±1,±2…

2.設(shè)已知-1111，用L-D算法為此信號估計(jì)p=l,2,3

階AR模型的系數(shù)和激勵白噪的功率。

解答：

143

R(0)=------==1

計(jì)算自相關(guān)函數(shù)：1111

143

R(1)=—0.8--0.4=0.9091

八1111

143

R⑵=-0.64--0.16=0.7709

1111

143

凡⑶=10.512-10.064=0.6342

下面為了簡寫，省略下標(biāo)s。

按照L-D算法得初始功率和系數(shù)為：E。=6(0)=l,a。=1

aI(l)=-R(l)/E0=-0.9091

p=1：E尸E0[l—a：⑴]=0.1736

式2)=:%)一丑!)做)=0.32

E,

a26=a0)[l+a2⑵]=一1.2

P=2：E2=E』l-a,2)]=0.1558

-/?(3)-a,(l)/?(2)-a(2)R(l)

---------=-----------2-------QU

a3(3)=

E2

a3(l)=a2(l)+a3(3)a2(2)=-1.2

a3(2)=a2(2)+a3(3)a2(l)=0.32

p=3：E2=E1[l-a^(2)]=0.1558

H(z)=--------：----------------------------

3.某隨機(jī)過程用AR模型擬和的結(jié)果是1+3.5ZT+4.58Z-2+2.6Z-3+0.58Z",試由它導(dǎo)

出一個ARMA(2,1)模型。

解答：

HB(z)_1+bk

設(shè)A(z)l+a,z+a2z，要使得它與H(z)相等則有

l+b/Ti

-2-2-3-4

]+aI+a2z-i+3.5z-1+4.58z+2.6z+0.58z

列出各系數(shù)方程：

，+3.5=

b,3.5+4.58=a2

2.6+4.58b,=0

0.58+2.66,=0

0.58“=°,利用后三個方程，最小二乘法解出也來，然后再利用前兩個方程求出;，32

4.582.6

2.6E+0.58e2

0.580,兩邊同乘以[4.582.60.58J

得偽逆解bi=-0.4779,所以ai=3.022l,a2=2.9074

?(、1-0.4779Z-

HARMA(Z)=-------------------------------------------

ARMA(2,I)模型為:I+3.022m+2.9074z-2

4.如何用MATLAB實(shí)現(xiàn)對一段腦電數(shù)據(jù)的AR建模？該段數(shù)據(jù)如下[1.7190.743-0.722-2.187

-2.187-1.2110.2540.7430.7430.2540.2540.7431.7191.231

-0.234-2.187-3.652-3.164-1.2111.2312.2071.231-0.722-1.699

-2.187-0.7220.2541.2310.743-0.234-1.699-3.164-4.14-5.117

-5.605-5.117-3.652-2.187-1.211-1.211-2.187-4.14-5.117-5.117

-4.14-3.164-2.675-2.675-2.675-3.164-3.164-3.164-2.675-2.187

-1.699-1.211-1.211-1.699-2.187-2.187-2.187-2.187-2.187-1.699

-1.211-0.2340.254-0.234-1.699-2.675-3.652-2.675-1.2110.254

0.254-0.722-1.699-2.187-2.675-2.675-3.164-3.652-3.164-2.187

-0.722-0.234-0.722-2.187-2.675-2.675-1.699-0.722-0.722-1.211

-0.7220.2541.2311.231-0.234-2.675-4.628-4.628-2.675-0.234

1.2310.743-0.234-1.699-1.699-2.187-2.187-2.187-2.187-1.699

-0.722-0.722-1.211-1.211-1.699-1.699-1.699-2.187-2.675-4.14

-4.14-3.164-1.699-1.699-3.164-4.628-5.117-4.628-3.652-2.187

-1.699-2.187-2.187-2.187-1.211-0.2340.254-0.234-0.722-1.699

-2.187-2.187-2.187-0.7220.7431.7191.7190.743-0.722-0.722

-0.7220.2541.2310.254-0.234-1.211-1.211-0.7220.2541.231

1.2310.743-0.722-2.675-3.652-4.14-3.652-2.187-0.7220.743

1.7192.2072.2072.2071.7191.2311.2311.2311.7192.207

1.7190.743-0.722-2.187-2.675-2.187-1.211-0.234-0.234-1.699

-3.164-3.652-3.164-1.699-0.2340.7430.7430.254-0.722-1.211

-1.211-0.722-0.2340.2540.2540.2540.7431.2311.7192.696

2.6962.2070.743-0.722-1.211-0.7220.2540.2540.2540.254

-0.234-0.2340.254-0.234-1.211-1.699-1.699-0.7220.2540.743

0.254-1.211-2.187-2.187-1.211-0.2340.7430.7430.2540.254

0.2540.254-0.234-0.234-1.211-1.211-0.722-0.2340.7431.231

1.2310.254]

解答：

在MATLAB中有專門的函數(shù)實(shí)現(xiàn)AR模型的參數(shù)估計(jì)：[aE]=aryule(x,p),輸入x表示觀察信號，

p表示建模的階數(shù)，輸出a表示估計(jì)的參數(shù)，E表示噪聲信號的估計(jì)方差。也可以用arburg函數(shù)實(shí)現(xiàn)

AR模型參數(shù)估計(jì)。

代入本題的數(shù)據(jù)后可以得到：

[be]=aryule(a,5)

b=1.0000-1.69690.88400.2906-0.46800.0464

e=0.2592

fbe]=aryule(x,10)

b=1.0000-1.66780.75930.4191-0.2989-0.27640.00590.2789

-0.0469-0.22110.0906

e=0.2373

第八章自適應(yīng)信號處理

1.畫出自適應(yīng)噪聲抵消的框圖，并證明濾波后的輸出將在最小均方意義下抵消噪聲，同時，抵消后

的結(jié)果將在最小均方意義下逼進(jìn)信號。

解答：

因?yàn)镋(s(〃)-e(〃))2=E(y(〃)一〃(〃))2

E(s(n)-e(n))2=E(s(n))2+E(e(n))2一2E(s(〃)e(〃))

=-E(s(〃))2+E(e(〃)y-2E(s(〃)〃(〃))+2E(y(〃)s(〃))

=-E(s(〃))2+E(e(〃)>

所以當(dāng)均方誤差最小時，s與e最逼近，同時y與n也最逼近。即濾波后的輸出y將在最小均方意義

下抵消噪聲n,同時:抵消后的結(jié)果e將在最小均方意義下逼進(jìn)信號s。

”(〃)=s(〃)+〃(〃)

>+

e(〃)

x(〃)=〃(〃),z/>(〃)

--------------?n[n)-----

自適應(yīng)算法

框圖:v

2.列舉自適應(yīng)信號處理在生物醫(yī)學(xué)信號處理中的部分應(yīng)用。

解答：

自適應(yīng)噪聲抵消：例如母腹電極上胎兒心電的提取，心電圖中工頻干擾的抑制，心電圖中高頻手術(shù)

刀干擾的去除，呼吸阻抗中心電偽跡的消除等。

自適應(yīng)譜線增強(qiáng)：誘發(fā)腦電的提取等。

自適應(yīng)系統(tǒng)辨識：血壓與血管收縮藥物之間的系統(tǒng)自適應(yīng)控制等。

3.簡述橫向結(jié)構(gòu)的隨機(jī)梯度法算法步驟。

解答：

步驟1：觀察到P個值N（T）=[XT，XT」,XTU「-XT.”|]'

步驟2：計(jì)算W（T+l）=W（T）+2//eT*T）,初值W與預(yù)先給出，⑼先給定。

當(dāng)有新觀測值XT+I后，令又（T+1）=[XT+[,XT，…XT_P+21'

z

步驟3：計(jì)算新的誤差：eT+1=dTtl-W（T+l）X（T+l）

轉(zhuǎn)入步驟2,代入得到W（T+2）,e（T+2）..…使得W接近最優(yōu)解。停止循環(huán)的判斷規(guī)則多樣。

生物醫(yī)學(xué)信號處理試卷集

試卷一：

一、假設(shè)有兩個離散平穩(wěn)隨機(jī)過程x（〃），y（“）,&（加）=0.6同，0（團(tuán)）=0.8網(wǎng)，它們統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求這

兩個隨機(jī)過程的乘積的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。（14分）

二、設(shè)線性系統(tǒng)如圖所示，己知S"，”，，相互獨(dú)立，且S.,（e，3）=sin2O,—50要求設(shè)計(jì)一

個濾波器"（〃"）=csin?3,試確定。使得濾波后的輸