PAGE8-課時素養(yǎng)評價三排列數(shù)的綜合應(yīng)用(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2024·哈爾濱高二檢測)現(xiàn)有5名學(xué)生,甲、乙、丙、丁、戊排成一隊照相,則甲與乙相鄰,且甲與丁不相鄰的站法種數(shù)為()A.36 B.24 C.22 D.20【解析】選A.依據(jù)題意,按甲的站法分2種狀況探討:①若甲站在兩端,甲有2種狀況,乙必需與甲相鄰,有1種狀況,剩余3人全排列,支配在剩余的3個位置,有A3則此時有2×1×6=12種站法;②若甲不站在兩端,甲可以站在中間的3個位置,有3種狀況,乙必需與甲相鄰,也有2種狀況,甲與丁不能相鄰,丁有2個位置可選,有2種狀況,剩余2人全排列,支配在剩余的2個位置,有A2則此時有3×2×2×2=24種站法;則一共有24+12=36種站法.2.由1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),按從小到大的依次排成一個數(shù)列{an},則a72等于()A.1543B.2543C.3542D.4532【解析】選C.首位是1的四位數(shù)有A4首位是2的四位數(shù)有A4首位是3的四位數(shù)有A4由分類加法計數(shù)原理得,首位小于4的全部四位數(shù)共3×24=72(個).由此得a72=3542.3.(2024·開封高二檢測)甲同學(xué)與本校的另外2名男同學(xué)2名女同學(xué)一同參與《中國成語大全》的海選,5人坐成一排,若甲與2名女同學(xué)都相鄰,則不同坐法的種數(shù)為()A.6 B.12 C.18 D.24【解析】選B.把甲與2名女同學(xué)“捆綁”在一起與另外2名男同學(xué)全排列有A33種狀況,再將2名女同學(xué)全排列有A22種狀況,故滿意條件的不同坐法的種數(shù)為4.甲、乙、丙3位志愿者支配在周一至周五的5天中參與某項志愿者活動,要求每人參與一天且每天至多支配一人,并要求甲支配在另外兩位前面.不同的支配方法共有()A.20種B.30種C.40種D.60種【解析】選A.分三類:甲在周一,共有A42種排法;甲在周二,共有A32種排法;甲在周三,共有A22種排法.所以有二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2024·雞西高二檢測)現(xiàn)有高一學(xué)生兩人,高二學(xué)生兩人,高三學(xué)生一人,將這五人排成一行,要求同一年級的學(xué)生不能相鄰,則不同的排法總數(shù)為________.

【解析】依據(jù)題意,將五個人全排列,共有A5其中高一學(xué)生相鄰或高二學(xué)生相鄰兩種狀況,有2A2高一學(xué)生相鄰且高二學(xué)生相鄰狀況,有A2故同一年級的學(xué)生不能相鄰的排法是120-96+24=48(種).答案:486.把5件不同產(chǎn)品擺成一排.若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有________種.

【解析】先將A,B捆綁在一起,有A22種擺法,再將它們與其他3件產(chǎn)品全排列,有A44種擺法,共有A22A答案:36三、解答題(每小題10分,共20分)7.從-3,-2,-1,0,1,2,3,4八個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)字作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a,b,c,問:(1)共能組成多少個不同的二次函數(shù)?(2)在這些二次函數(shù)中,圖像關(guān)于y軸對稱的有多少個?【解析】(1)方法一(干脆法——優(yōu)先考慮特別位置)因為a≠0,所以確定二次項系數(shù)有7種,確定一次項和常數(shù)項有A72種,所以共有7方法二(干脆法——優(yōu)先考慮特別元素)當(dāng)a,b,c中不含0時,有A73個;當(dāng)a,b,c中含有0時,有2A72個,故共有方法三(間接法)共可構(gòu)成A83個函數(shù),其中當(dāng)a=0時,有A72個均不符合要求,從而共有(2)依題意b=0,所以共有A78.某小組6個人排隊照相留念.(1)若分成兩排照相,前排2人,后排4人,有多少種不同的排法?(2)若分成兩排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必需在前排,乙必需在后排,有多少種排法?(3)若排成一排照相,甲、乙兩人必需在一起,有多少種不同的排法?(4)若排成一排照相,其中甲必在乙的右邊,有多少種不同的排法?(5)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相鄰有多少種排法?(6)若排成一排照相,且甲不站排頭乙不站排尾,有多少種不同的排法?【解題指南】(1)相當(dāng)于6個人全排列,即A6(2)利用特別對象優(yōu)先的原則,將甲排在前排A21,乙排在后排A4(3)利用捆綁法,甲、乙視為一個人,即看成5人全排列問題,再將甲、乙兩人排列,依據(jù)分步乘法原理可得.(4)甲必在乙的右邊屬于定序問題,用除法A6(5)3名男生不相鄰,用插空法,依據(jù)分步乘法原理可得.(6)利用特別位置優(yōu)先原則,分乙在排頭A55和乙不在排頭【解析】(1)前排2人,后排4人,相當(dāng)于6個人全排列,共有A6(2)先將甲排在前排A21,乙排在后排A41,其余4人全排列(3)甲、乙視為一個人,即看成5人全排列問題A55,再將甲、乙兩人排列依據(jù)分步乘法原理可得,A5(4)甲必在乙的右邊屬于定序問題,用除法,A6(5)將3名男生插入3名女生之間的4個空位,這樣保證男生不相鄰,依據(jù)分步乘法原理得,A3(6)方法一:乙在排頭其余5人全排列,共有A5乙不在排頭,排頭和排尾均為A41,其余4個位置全排列有A4再依據(jù)分類加法原理得,A55+方法二:(間接法)A66-2A5(15分鐘·30分)1.(5分)在由數(shù)字1,2,3,4,5組成的全部沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中,大于23145且小于43521的數(shù)共有()A.56個 B.57個 C.58個 D.60個【解析】選C.采納分類加法計數(shù)原理,第1類:23154,1個;第2類:形如234□□和235□□的數(shù)有A22×2=4個;第3類:形如24□□□和25□□□的數(shù)有A33×2=12個;第4類:萬位為3的數(shù)有A44=24個;第5類:形如42□□□和41□□□的數(shù)有A33×所以共有1+4+12+24+12+4+1=58個.2.(5分)在一次射擊競賽中,8個泥制的靶子掛成三列,其中兩列各掛3個,一列掛2個,如圖所示.一射手依據(jù)下列規(guī)則去擊碎靶子:先選擇一列,然后必需擊碎這列中尚未擊碎的靶子中最低的一個.若每次射擊都遵循這一原則,擊碎全部8個靶子可以有________種不同的射擊方案.

【解析】自左至右,自下而上分別用字母A1,A2,A3;B1,B2;C1,C2,C3表示三列靶子.打完8個靶子的全部不同次序相當(dāng)于把8個字母排個隊,但A1,A2,A3;B1,B2;C1,C2,C3三組內(nèi)部的先后次序排定.因為各種排列情形是等可能出現(xiàn)的.所以擊碎8個靶子的不同次序有8!答案:5603.(5分)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,假如分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是________.

【解析】先分組后用安排法求解,5張參觀券分為4組,其中2張連號的有4種分法,每一種分法中的排列方法有A44種,因此共有不同的分法4答案:96種4.(5分)校內(nèi)某處并排連續(xù)有6個停車位,現(xiàn)有3輛汽車須要停放,為了便利司機上下車,規(guī)定:當(dāng)有汽車相鄰?fù)７艜r,車頭必需同向;當(dāng)車沒有相鄰時,車頭朝向不限,則不同的停車方法共有________種.(用數(shù)字作答)

【解析】(1)當(dāng)三輛車都不相鄰時有4A33(2)當(dāng)兩輛車相鄰時有3A33×4+2A33×4+2A33×4+2(3)當(dāng)三輛車相鄰時有4A33則共有192+288+48=528(種).答案:5285.(10分)將數(shù)字1,2,3,4,5,6排成一列,記第i個數(shù)為ai(i=1,2,…,6),若a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5,則不同的排列方法共有多少種?【解題指南】本題有6個對象和6個位置,其中有3個對象,1,3,5和3個位置a1,a3,a5是受限制的對象和位置,故可考慮分類法計算其方法種數(shù),且應(yīng)優(yōu)先支配特別對象或特別位置.【解析】以特別位置進行分類,由于a1≠1,且在a1,a3,a5中a1最小,故a1只能取2,3,4三個數(shù),故可以以a1的取值進行分類.第一類,當(dāng)a1=2時,a3可以取數(shù)字4或5,共2種選擇,不管a3取何值,a5只能取數(shù)字6,其他位置不受限制,有A33種排列方法,故當(dāng)a1=2時,排列方法有2×其次類,當(dāng)a1=3時,a3可以取數(shù)字4或5,共2種選擇,不管a3取何值,a5只能取數(shù)字6,其他位置不受限制,有A33種排列方法,故當(dāng)a1=3時,排列方法有2×第三類,當(dāng)a1=4時,a3只能取數(shù)字5,只有1種選擇,a5只能取數(shù)字6,其他位置不受限制,有A33種排列方法,故當(dāng)a1=4時,排列方法有1×依據(jù)分類加法計數(shù)原理,滿意題意的排列方法共有12+12+6=30(種).【易錯警示】利用分類探討思想解決問題時,首先要明確分類的標(biāo)準(zhǔn),如本例以a1的取值作為分類的標(biāo)準(zhǔn),其次要做到不重不漏,合理簡潔.1.一條鐵路途上原有n個車站,為了適應(yīng)客運的須要,在這條鐵路途上又新增加了m(m>1)個車站,客運車票增加了62種,則n=________,m=________.

【解析】由題意得An+m2-An因為m,n均為正整數(shù),所以2n+m-1也為正整數(shù).所以m=2答案:1522.編號為A,B,C,D,E的5個小球放在如圖所示的5個盒子里,要求每個盒子只能放1個小球,且A球不能放在1,2號盒子里,B球必需放在與A球相鄰的盒子中,求不同的放法有多少種?【解析】依據(jù)A球所在位置分三類:(1)若A球放在3號盒子內(nèi),則B球只能放在4號盒子內(nèi),余下的三