PAGE微專題82求二項(xiàng)式綻開后的某項(xiàng)一、基礎(chǔ)學(xué)問：1、二項(xiàng)式綻開式，從恒等式中我們可以發(fā)覺這樣幾個特點(diǎn)（1）完全綻開后的項(xiàng)數(shù)為（2）綻開式依據(jù)的指數(shù)進(jìn)行降冪排列，對于綻開式中的每一項(xiàng)，的指數(shù)呈此消彼長的特點(diǎn)。指數(shù)和為（3）在二項(xiàng)式綻開式中由于按的指數(shù)進(jìn)行降冪排列，所以規(guī)定“”左邊的項(xiàng)視為，右邊的項(xiàng)為，比如：與雖然恒等，但是綻開式卻不同，前者按的指數(shù)降冪排列，后者按的指數(shù)降冪排列。假如是，則視為進(jìn)行綻開（4）二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式（留意是第項(xiàng)）2、二項(xiàng)式系數(shù)：項(xiàng)前面的稱為二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的和為二項(xiàng)式系數(shù)的來源：多項(xiàng)式乘法的理論基礎(chǔ)是乘法的運(yùn)算律（安排律，交換律，結(jié)合律），所以在綻開時有這樣一個特征：每個因式都必需出項(xiàng)，并且只能出一項(xiàng)，將每個因式所出的項(xiàng)乘在一起便成為了綻開時中的某項(xiàng)。對于可看作是個相乘，對于意味著在這個中，有個式子出，剩下個式子出，那么這種出法一共有種。所以二項(xiàng)式綻開式的每一項(xiàng)都可看做是一個組合問題。而二項(xiàng)式系數(shù)便是這個組合問題的結(jié)果。3、系數(shù)：是指該項(xiàng)經(jīng)過化簡后項(xiàng)前面的數(shù)字因數(shù)注：（1）在二項(xiàng)式定理中要留意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)。二項(xiàng)式系數(shù)是綻開式通項(xiàng)公式中的，對于確定的一個二項(xiàng)式，二項(xiàng)式系數(shù)只由確定。而系數(shù)是指綻開并化簡后最終項(xiàng)前面的因數(shù)，其構(gòu)成一方面是二項(xiàng)式系數(shù)，同時還有項(xiàng)本身的系數(shù)。例如：綻開式中第三項(xiàng)為，其中為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而化簡后的結(jié)果為該項(xiàng)的系數(shù)（2）二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念不同，但在某些狀況下可以相等：當(dāng)二項(xiàng)式中每項(xiàng)的系數(shù)均為時（解除項(xiàng)本身系數(shù)的干擾），則綻開后二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同。例如綻開式的第三項(xiàng)為，可以計算出二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)均為103、有理項(xiàng)：系數(shù)為有理數(shù),次數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)，比如就是有理項(xiàng)，而就不是有理項(xiàng)。4、與的聯(lián)系：首先視察他們的通項(xiàng)公式：：：兩者對應(yīng)項(xiàng)的構(gòu)成是相同的，對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)。其肯定值相等。所以在考慮系數(shù)的肯定值問題時，可將其轉(zhuǎn)化為求系數(shù)的問題5、二項(xiàng)式系數(shù)的最大值：在中，數(shù)值最大的位于這列數(shù)的中間位置。若為奇數(shù)（共有偶數(shù)項(xiàng)），則最大值為中間兩個，例如時，最大項(xiàng)為，若為偶數(shù)（共有奇數(shù)數(shù)項(xiàng)），則最大值為中間項(xiàng)，例如時，最大項(xiàng)為證明：在中的最大項(xiàng)首先要比相鄰的兩項(xiàng)大，所以不妨設(shè)最大項(xiàng)為，則有所以解得：即所以當(dāng)為奇數(shù)時（），不等式變?yōu)?，即或?yàn)橹虚g項(xiàng)當(dāng)為偶數(shù)時（），不等式變?yōu)椋礊橹虚g項(xiàng)6、系數(shù)的最大值：由于系數(shù)受二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)自身系數(shù)影響，所以沒有固定的結(jié)論，須要計算所得，大致分為兩種狀況：型：不妨設(shè)項(xiàng)的系數(shù)為，則理念與二項(xiàng)式系數(shù)最值類似，最大值首先要比相鄰項(xiàng)大，所以有，再依據(jù)通項(xiàng)公式代入解不等式即可型：其綻開式的特點(diǎn)為項(xiàng)的符號有正有負(fù)，所以在解決此類問題時有兩種方法：一種是只選取其中的正項(xiàng)進(jìn)行比較，但序數(shù)相隔。即，在運(yùn)算上較為困難；一種是先考慮系數(shù)肯定值的最大值，從而把問題轉(zhuǎn)化為的最大值問題，然后在考慮符號確定系數(shù)最大值。例1：二項(xiàng)式綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是_________方法一：思路：考慮先求出此二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0，求出的值再代入計算即可解：依題意可得：常數(shù)項(xiàng)為方法二：思路：對中的8個因式所出的項(xiàng)進(jìn)行安排，若最終結(jié)果為常數(shù)項(xiàng)，則須要兩個式子出，六個式子出相乘，所以常數(shù)項(xiàng)為：答案：7小煉有話說：通過本題說明求二項(xiàng)式綻開式中某項(xiàng)的兩種主流方法：一是通過通項(xiàng)公式，先化簡通項(xiàng)公式，再利用題目中所求項(xiàng)的特征求出的值，進(jìn)而求解；二是分析綻開式中每一項(xiàng)構(gòu)成的本質(zhì)，即每一個因式僅出一項(xiàng)，然后相乘得到，從而將找尋所求項(xiàng)須要的出項(xiàng)方案，將其作為一個組合問題求解。例2：在的綻開式中，的系數(shù)是____________思路一：考慮二項(xiàng)綻開的通項(xiàng)公式：由所求可得：思路二：可將其視為6個因式出項(xiàng)的問題，若要湊成，須要個，個所以該項(xiàng)為：答案：小煉有話說：利用二項(xiàng)式定理求某項(xiàng)，通常兩種思路：一種是利用二項(xiàng)式綻開的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件求出的值再求出該項(xiàng)；另一種是將問題轉(zhuǎn)化為因式如何支配出項(xiàng)的問題。例3：若二項(xiàng)式的綻開式中的第四項(xiàng)等于7，則的值是____________思路：條件中涉及到項(xiàng)的序數(shù)，那么只能考慮利用通項(xiàng)公式：，第四項(xiàng)中，，解得：答案：例4：已知的綻開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為__________思路：先利用通項(xiàng)公式求出的項(xiàng)，在利用系數(shù)的條件求出的值即可解：答案：例5：已知二項(xiàng)式的綻開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是16，則綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是____思路：要想求得綻開式的某項(xiàng)，首先要先確定的取值，先利用二項(xiàng)式系數(shù)和求出：即，再求綻開式的常數(shù)項(xiàng)為答案：例6：的綻開式中，項(xiàng)的系數(shù)為___________思路：已知表達(dá)式綻開式中的每一項(xiàng)由兩部分相乘而成，要想湊得，不妨從其中一個式子切入進(jìn)行分類探討（以為例）1：出1，則出，該項(xiàng)為：2：出，則出，該項(xiàng)為：3：出，則出，該項(xiàng)為：綜上所述：合并后的項(xiàng)的系數(shù)為5例7：綻開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.B.C.D.思路：本題不利于干脆綻開全部項(xiàng)，所以考慮將其轉(zhuǎn)化為10個因式如何安排所出項(xiàng)的問題：若要湊成有以下幾種可能：（1）：1個，1個，8個1，所得項(xiàng)為：（2）：3個，7個1，所得項(xiàng)為：所以項(xiàng)的系數(shù)為答案：A例8：二項(xiàng)式綻開式中，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（）項(xiàng)A.B.C.D.思路：有理項(xiàng)是指變量的指數(shù)是整數(shù)，所以考慮從通項(xiàng)公式入手：，其中，的取值只須要讓，則，所以共有7個有理項(xiàng)小煉有話說：在整理通項(xiàng)公式時可將的根式（或倒數(shù)）轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，便利進(jìn)行化簡。例9：二項(xiàng)式綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為___________思路：考慮綻開式的通項(xiàng)公式為，其系數(shù)設(shè)為，即，若要最大，則首先要大于相鄰項(xiàng)，即，代入解得的范圍即可確定出的值，從而求出該項(xiàng)解：設(shè)項(xiàng)的系數(shù)為若最大，則解得：或經(jīng)檢驗(yàn)：系數(shù)最大的項(xiàng)為答案：例10：已知，若，則（）A.B.C.D.思路：由條件中恒等式的特點(diǎn)可得對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，在中，與相關(guān)的最高次項(xiàng)為，故以此為突破口求，等式左邊的系數(shù)為，而右邊的系數(shù)為，所以，只需再求出即可，同樣選取含的最