專題05最短路徑的三種考法類型一、坐標系的最值問題（和最小，差最大問題）例．在平面直角坐標系中，B(2，2·)，以OB為一邊作等邊△OAB（點A在x軸正半軸上）.（1）若點C是y軸上任意一點，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD.①如圖1，當點D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點C的坐標；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點M是FB一動點，點N是OB一動點，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.【變式訓練1】如圖所示，點A(a,0)，B(0,b)，且a，b滿足(a-1)2+|2b-2|=0．若P為x軸上異于原點O和點A的一個動點，連接PB，以線段PB為邊構(gòu)造等腰直角△BPE（P為頂點連接AE.(1)如圖1所示，直接寫出點A的坐標為，點B的坐標為；(2)如圖2所示，當點P在點O，A之間運動時，則AB、AE之間的位置關(guān)系為；并加以證(3)如圖3所示，點P在x軸上運動過程中，若AE所在直線與y軸交于點F，請直接寫出F點的坐標為，當OE+BE的值最小時，請直接寫出此時OE與BE之間的數(shù)量關(guān)系.【變式訓練2】在平面直角坐標系中，B(2，2·)，以OB為一邊作等邊△OAB（點A在x軸（1）若點C是y軸上任意一點，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD.①如圖1，當點D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點C的坐標；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點M是FB一動點，點N是OB一動點，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.類型二、幾何圖形中的最短路徑問題上．當CP十CD十DE取最小值時，此時7PCD的度數(shù)為()例2．如圖，在三角形△ABC中，7BAC=50o，AB=AC，BDTAC于D，M，N分別是線段BD，BC上的動點，BM=CN，當AM十AN最小時，7MAD=.【變式訓練1】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等邊三角形，P是上BAC的平分線上一動點，連接PC，PD，則PC+PD的最小值為.【變式訓練2】如圖，等腰三角形ABC的底邊BC的長為4，面積為24，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點E，F(xiàn)，若D為BC邊的中點，M為線段EF上一動點，則CM+MD的最小值為()【變式訓練3】如圖，在等邊△ABC中，BF是AC邊上的中線，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，當△AEF周長最小時，∠CFE的大小是()類型三、最短路徑問題的實際應用例1.如圖1，直線a，b表示一條河的兩岸，且a∥b現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長度等于河寬度且橋與河岸垂直．使村莊A經(jīng)橋過河到村莊B現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學在圖2設計兩種：小明：作AD丄a，交a，b于點D，點C．在CD處建橋．路徑是A-C-D-B.小紅：作AD丄a，交a，b于點D，點C；把CD平移至BE，連AE，交b于G，作GF丄a于F．在FG處建橋．路徑是A-G-F-B.（1）在圖2中，問：小明、小紅誰設計的路徑長較短？再用平移等知識說明理由.（2）假設新橋就按小紅的設計在FG處實施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點某小船從舊橋下到新橋下，到達后立即返回，在兩橋之間不停地來回行駛，船的航行方向和水流方向與橋保持垂直船在靜水每小時14千米，水流每小時2千米，第二天早上6點時小明發(fā)現(xiàn)船在兩橋之間（未到兩橋）且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離.例2．如圖a，圓柱的底面半徑為4cm，圓柱高AB為2cm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線．小明設計了兩條路線：路線1：高線AB＋底面直徑BC，如圖a所示，設長度為l1.路線2：側(cè)面展開圖中的線段AC，如圖b所示，設長度為l2.(1)你認為小明設計的哪條路線較短？請說明理由；(2)小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱底面半徑為2cm，高AB為4cm”繼續(xù)按前面的路線進行計算結(jié)果保留π)①此時，路線1的長度l1=，路線2的長度l2=；②所以選擇哪條路線較短？試說明理由.【變式訓練】閱讀下列材料，解決提出的問題：最短路徑問題:如圖（1點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在直線l上找到一個點C，使得點C到點A，點B的距離和最短？我們只需連接AB，與直線l相交于一點，可知這個交點即為所求.如圖（2如果點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點C，使得這個點到點A、點B的距離和最短？我們可以利用軸對稱的性質(zhì)，作出點B關(guān)于的對稱點B，這時對于直線l上的任一點C，都保持CB＝CB，從而把問題（2）變?yōu)閱栴}（1因此，線段AB與直線l的交點C的位置即為所求.為AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小.任務：數(shù)學思考（1）材料中劃線部分的依據(jù)是.（2）材料中解決圖（2）所示問題體現(xiàn)的數(shù)學思想是填字母代號即可）A．轉(zhuǎn)化思想B．分類討論思想C．整體思想遷移應用（3）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠BAC＝15°,點P為AC邊上的動點，點D為AB邊上的動點，若AB＝8cm，則BP+DP的最小值為cm.課后訓練1．如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點，且AE＝CF，當BF+CE取得最小值時，∠AFB=°.點，則AP+PQ的最小值等于()DE上分別找到一點M、N，使得△AMN的周長最小，則上AMN+上ANM的度數(shù)為()4．如圖，△ACD中，AB垂直CD于點B，且AB=CD，在直線CD上方有一動點M滿足S△MCD=S△ACD，則點M到C、D兩點距離之和最小時，上MDB=度.5．如圖，在銳角ΔABC中，AC=8cm，SΔABC=18cm2，AD平分上BAC，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是cm.6．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的最小值為.7．如圖1，已知直線l的同側(cè)有兩個點A、B，在直線l上找一點P，使P點到A、B兩點的距離之和最短的問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線l的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線l的交點就是所要找的點，通過這種方法可以求解很多問題.（1）如圖2，在平面直角坐標系內(nèi)，點A的坐標為(1,1)，點B的坐標為(4,3)，動點P在x軸上，求PA+PB的最小值；M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+M