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文檔簡介
第第頁專題01平行線四種常見模型解題技巧題型一:“豬蹄”模型題型二:“鉛筆”模型題型三:“雞翅”模型題型四:“骨折”模型模型一:“豬蹄”模型如圖,若AB//CD,你能確定∠B、∠D與∠BED的大小關(guān)系嗎?解:∠B+∠D=∠DEB.理由如下:過點E作EF//AB又∵AB//CD.
∴EF//CD.
∴∠D=∠DEF.∠B=∠BEF.∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB
即∠B+∠D=∠DEB.豬蹄模型的基本特征:一組平行線,中間有一個點,分別與平行線上的點構(gòu)成“豬蹄”。如圖,已知AB∥CD,求∠E、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系.思路1:過拐點作平行線過點E作EF∥AB,∴∠B=∠BEF,又∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠D=∠DEF,∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.∴∠E=∠B+∠D.思路2:延長BE交CD于點F∵AB∥CD,∴∠B=∠BFD,∴∠D+∠BFD=∠BED,∴∠B+∠D=∠E.小結(jié)
證明的方法還有很多,同學(xué)們可以多多嘗試。重點在于構(gòu)造平行線的三線八角,就可以得到經(jīng)典結(jié)論:豬蹄模型頂點在同一側(cè)的角之和等于頂點在另一側(cè)的角之和。
豬蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)結(jié)論:∠B+∠D=∠E步驟總結(jié)步驟一:過豬蹄(拐點)作平行線步驟二:借助平行線的性質(zhì)找相等或互補的角步驟三:推導(dǎo)出角的數(shù)量關(guān)系模型二、“鉛筆”模型如圖,AB//CD,探索∠B、∠D與∠DEB的大小關(guān)系?解:∠B+∠D+∠DEB=360°.理由如下:過點E作EF//AB.
又∵AB//CD.
∴EF//CD.
∴∠B+∠BEF=180°.
∠D+∠DEF=180°.∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF=360°.
即∠B+∠D+∠DEB=360°.從豬蹄模型可以看出,點E是凹進(jìn)去了,如果點E是凸出來,如下圖:那么,像這樣的模型,我們就稱為鉛筆頭模型。模型結(jié)論:∠B+∠E+∠D=360°二、模型證明如圖,若AB//CD,求證:∠B+∠E+∠D=360°證明一:如圖,過點E作FG//AB∵
AB//FG,AB//CD
∴
FG//CD∵
AB//FG∴∠BEF+∠B=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)∵FG//CD∴
∠D+∠DEF=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)∴
∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°證明二:如圖,連接BD,∵AB//CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中,∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴
∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴
∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°證明該模型結(jié)論的還有其他方法,這里就沒有全部寫出來,可以自行證明。從前面學(xué)過的豬蹄模型和這里的鉛筆頭模型我們都能看出,最簡單的方法就是過點E作平行線,利用平行線的性質(zhì)得到結(jié)論。三、豬蹄模型和鉛筆頭模型關(guān)系1、將豬蹄模型轉(zhuǎn)化為鉛筆頭模型ABEDC為豬蹄模型,F(xiàn)BEDG為鉛筆頭模型由豬蹄模型可得,∠ABE+∠CDE=∠BED
∵∠ABE+∠FBE=180°,∠CDE+∠GDE=180°
∴
∠ABE=180°-∠FBE,∠CDE=180°-∠GDE∴
180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED
∴
∠FBE+∠GDE+∠BED=360°2、將鉛筆頭模型轉(zhuǎn)化為豬蹄模型ABEDC為鉛筆頭模型,F(xiàn)BEDG為豬蹄模型由鉛筆頭模型得,∠ABE+∠BED+∠CDE=360°∵
∠ABE+∠FBE=180°,∠CDE+∠GDE=180°
∴
∠ABE=180°-∠FBE,∠CDE=180°-∠GDE∴
180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360°∴
∠FBE+∠GDE=∠BED模型三、“雞翅”模型如圖,已知AB//CD,試猜想∠A、∠E、∠C的關(guān)系,并說明理由.解:∠AEC=∠A-∠C,理由如下:過點E作EF//AB又∵AB//CD.
∴EF//CD.∴∠A+∠FEA=180°,∠C+∠FEC=180°∴∠AEC=∠FEC-∠FEA=180°-∠C–(180°-∠A)=∠A-∠C即:∠AEC=∠A-∠C模型四、“骨折模型”如圖,已知BC//DE,試猜想∠A、∠B、∠D的關(guān)系,并說明理由.解:∠BAD=∠D-∠B,理由如下:過點A作AG//BC又∵CB//DE.
∴AG//DE∴∠GAB+∠B=180°,
∠GAD+∠D=180°∴∠BAD=∠GAB-∠GAD=180°-∠B–(180°-∠D)=∠D-∠B即:∠BAD=∠D-∠B注:平行線四大模型大題不可直接使用,必須證明后再用,選擇填空滿足條件即可直接用!題型歸納題型一:豬蹄模型【例1】(2023春?贛縣區(qū)期末)【問題背景】:同學(xué)們,觀察小豬的豬蹄,你會發(fā)現(xiàn)一個熟悉的幾何圖形,我們就把這個圖形的形象稱為“豬蹄模型”,豬蹄模型中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系.【問題探究】:(1)如圖1,,為、之間一點,連接、,得到與、之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;【類比遷移】:(2)請你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法,完成下面的問題:如圖2,直線,若,,,求的度數(shù);【靈活應(yīng)用】:(3)如圖3,直線,若,,則25度.【分析】(1)過點作,利用豬腳模型即可解答;(2)過點作,利用豬腳模型可得:,,從而可得,進(jìn)行計算即可解答;(3)先利用三角形內(nèi)角和定理可得,從而利用對頂角相等可得,然后利用豬腳模型可得,最后進(jìn)行計算即可解答.【解答】解:(1),理由:過點作,,,,,,;(2)過點作,由(1)可得:,,,由(1)可得:,,,,,的度數(shù)為;(3)如圖:,,,,,由(1)可得:,,故答案為:25.【點評】本題考查了平行線的性質(zhì),根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.【變式1-1】(2022春?鐵東區(qū)校級月考)感知與填空:如圖①,直線.來證:.(1)閱讀下面的解答過程,請?zhí)钌线m當(dāng)?shù)睦碛桑C明:過點作直線(已知),(2)應(yīng)用與拓展:如圖②,直線.若,,,求的度數(shù).(3)方法與實踐:如圖③,直線.若,,則度.【分析】(1)過點作直線,由兩直線平行,內(nèi)錯角相等得出,由兩直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行得出,由兩直線平行,內(nèi)錯角相等得出,由,等量代換得出.(2)過點作,則,由感知與填空得,,即可得出結(jié)果.(3)設(shè)交于,,由感知與填空得,即可得出結(jié)果.【解答】解:(1)過點作直線,(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),(已知),,(兩直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行),(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),,(等量代換),故答案為:兩直線平行,內(nèi)錯角相等;兩直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;等量代換;(2)過點作,則,如圖②所示:由(1)得:,,,,,,即的度數(shù)為;(3)設(shè)交于點,如圖③所示:,,,由感知與填空得:,,故答案為:25.【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識;熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式1-2】.(2023春?儀征市期末)如圖1,已知線段、線段被直線所截于點、點,,的度數(shù)是的3倍少.(1)求證:;(2)如圖2,連接,沿方向平移得到,點在上,點是上的一點,連接、,,,求的度數(shù);(3)如圖3,點是線段上一點,點是射線上一點,度數(shù)為,度數(shù)為,度數(shù)為,請直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系.(本題的角均小于【分析】(1)根據(jù)已知先求得的鄰補角的度數(shù),得到即可得結(jié)論;(2)過作,利用平行線的性質(zhì)定理和平行公理的推論即可;(3)利用平行線的性質(zhì)定理和平行公理的推論即可.【解答】證明:(1),的度數(shù)是的3倍少,,,,;(2)過作,,,,,;(3),與(2)同理可得:,,,,,,,,即.【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)定理及平行公理的推論,理解題意是解決問題的關(guān)鍵.【變式1-3】.(2022春?贛榆區(qū)期末)已知:如圖,,.求證:.(1)下面是小明同學(xué)的推理過程,請按先后順序填寫空格:解:連接.(已知),(內(nèi)錯角相等,兩直線平行).,(已知),(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),即.(2)試用其他方法進(jìn)行推理,并書寫證明過程.【分析】(1)連接,根據(jù)已知,得出,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,再根據(jù)得出,進(jìn)而得出即可得出答案;(2)延長交的延長線于,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,再利用等量代換可得,進(jìn)而可判定,然后可得.【解答】(1)解:連接.(已知),(內(nèi)錯角相等,兩直線平行).兩直線平行,內(nèi)錯角相等),(已知),(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)等式的基本性質(zhì)),即.故答案為:,;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;;等式的基本性質(zhì).(2)證明:延長交的延長線于,,,.,,.【點評】本題考查了平行線的判定和性質(zhì),熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵,平行線的性質(zhì):兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補;兩直線平行,內(nèi)錯角相等.平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時,一定要弄清題設(shè)和結(jié)論,切莫混淆.題型二:“鉛筆”模型【例2】(2023春?巴南區(qū)月考)已知直線,點、分別在直線、上,點在直線和之間.(1)如圖1,求證:;(2)如圖2,,點在直線上,且,求證:;(3)如圖3,平分,平分,且.若,直接寫出的度數(shù).【分析】(1)過點作,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得即可得證.(2)由得出,結(jié)合即可得證.(3)由平行線的性質(zhì)得到,再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得出,最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解.【解答】(1)證明:過點作,如圖:,,,,.(2)證明:.,,,,,.(3)解:.,,,,平分,平分,,,又,,,,..【點評】本題考查了平行線的性質(zhì),熟記平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵.【變式2-1】請在橫線上填上合適的內(nèi)容.(1)如圖(1)已知//,則.解:過點作直線//.∴(
).(
)∵//,//,∴(
)//(
).(如果兩條直線和第三條直線平行,那么這兩直線平行)∴(
).(
).∴.∴.(2)如圖②,如果//,則()【答案】(1)∠B,兩直線平行,內(nèi)錯角相等,EF,CD,∠D,兩直線平行,內(nèi)錯角相等;(2)360°【分析】(1)過點E作直線EF∥AB,則∠FEB=∠B,繼而由EF∥CD可得∠FED=∠D.所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED,即∠B+∠D=∠BED;(2)過點E作直線EF∥AB,則∠FEB+∠B=180°,繼而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°.所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°,即∠B+∠BED+∠D=360°.【詳解】解:(1)解:過點E作直線EF∥AB.∴∠FEB=∠B.(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD(如果兩條直線和第三條直線平行,那么這兩直線平行).∴∠FED=∠D(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED.∴∠B+∠D=∠BED.故答案為:∠B,兩直線平行,內(nèi)錯角相等,EF,CD,∠D,兩直線平行,內(nèi)錯角相等;(2)解:過點E作直線EF∥AB,如圖.∴∠FEB+∠B=180°.兩直線平行,內(nèi)錯角相等).∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD(如果兩條直線和第三條直線平行,那么這兩直線平行).∴∠FED+∠D=180°(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°.∴∠B+∠BED+∠D=360°.故答案為:360°.【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì),平行公理及其推論,熟練掌握平行線判定、性質(zhì)說理是關(guān)鍵.【變式2-2】如圖,,定點,分別在直線,上,在平行線,之間有一個動點,滿足.(1)試問:,,滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?解:由于點是平行線,之間一動點,因此需對點的位置進(jìn)行分類討論.如圖1,當(dāng)點在的左側(cè)時,易得,,滿足的數(shù)量關(guān)系為;如圖2,當(dāng)點在的右側(cè)時,寫出,,滿足的數(shù)量關(guān)系_________.(2)如圖3,,分別平分和,且點在左側(cè).①若,則的度數(shù)為______;②猜想與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;③如圖4,若與的角平分線交于點,與的角平分線交于點,與的角平分線交于點,以此類推,則與滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?(直接寫出結(jié)果)【答案】(1);(2)①130°;②,見解析;③∠EPF+22021∠EQ2020F=360°【分析】(1)過點P作PHAB,利用平行線的性質(zhì)即可求解;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論結(jié)合角平分線的定義,平角的定義,運用整體思想即可求解.【詳解】解:(1)如圖2,當(dāng)點P在EF的右側(cè)時,過點P作PMAB,則PMCD,∴∠AEP+∠EPM=180°,∠PFC+∠MPF=180°,∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF=360°,即:∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;故答案為:∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;(2)①由(1)得:∠DFQ+∠BEQ=∠EQF,∠PEA+∠PFC=∠EPF,∵∠EPF=100°,∴∠PEA+∠PFC=100°,∵QE,QF分別平分∠PEB和∠PFD,∴∠DFP=2∠DFQ,∠BEP=2∠BEQ,∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°,∴∠PFC+2∠DFQ=180°,∠PEA+2∠BEQ=180°,∴∠PFC+2∠DFQ+∠PEA+2∠BEQ=360°,∴100°+2∠DFQ+2∠BEQ=360°,∴∠DFQ+∠BEQ=130°,∴∠EQF=∠DFQ+∠BEQ=130°,故答案為:130°;②∠EPF+2∠EQF=360°,理由如下:∵QE,QF分別平分∠PEB和∠PFD,∴∠DFP=2∠DFQ,∠BEP=2∠BEQ,∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°,∴∠PFC+2∠DFQ=180°,∠PEA+2∠BEQ=180°,∴∠PFC+2∠DFQ+∠PEA+2∠BEQ=360°,∴∠PFC+∠PEA+2(∠DFQ+∠BEQ)=360°,∵由(1)得:∠DFQ+∠BEQ=∠EQF,∠PEA+∠PFC=∠EPF,∴∠EPF+2∠EQF=360°;③∵Q1E,Q1F分別平分∠QEB和∠QFD,∴∠DFP=2∠DFQ=22∠DFQ1,∠BEP=2∠BEQ=22∠BEQ1,∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°,∴∠PFC+22∠DFQ1=180°,∠PEA+22∠BEQ1=180°,∴∠PFC+22∠DFQ1+∠PEA+22∠BEQ1=360°,∴∠PFC+∠PEA+22(∠DFQ1+∠BEQ1)=360°,∵由(1)得:∠DFQ1+∠BEQ1=∠EQ1F,∠PEA+∠PFC=∠EPF,∴∠EPF+22∠EQ1F=360°;同理可得:∠EPF+23∠EQ2F=360°,∠EPF+24∠EQ3F=360°,……∴∠EPF+22021∠EQ2020F=360°.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),平行公理及推論,角平分線的定義等知識點,作輔助線后能求出各個角的度數(shù),利用整體思想解決第(2)問是解此題的關(guān)鍵.【變式2-3】已知,連接A,C兩點.(1)如圖1,與的平分線交于點E,則等于度;(2)如圖2,點M在射線反向延長線上,點N在射線上.與的平分線交于點E.若,求的度數(shù);(3)如圖3,圖4,M,N分別為射線,射線上的點,與的平分線交于點E.設(shè),請直接寫出圖中的度數(shù)(用含α,β的式子表示).【答案】(1)90(2)(3)或【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,利用角平分線的定義求出,即可求出答案;(2)過點E作,得到,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,根據(jù)角平分線的定義求出,即可得到答案;(3)由平行線的性質(zhì):兩直線平行同旁內(nèi)角互補,兩直線平行內(nèi)錯角相等,即可求解.【詳解】(1)解:如圖1,∵,∴,∵分別平分,∴,∴,∴;故答案為:90.(2)如圖2,過點E作,∵,∴,∴,∵分別平分,∴,∴;(3)①如圖3,過點E作,∵,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴;②如圖4,過點E作,∵,∴,∴,,∵,∴,∴.【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的定義,解題的關(guān)鍵是正確掌握平行線的性質(zhì):兩直線平行同旁內(nèi)角互補,兩直線平行內(nèi)錯角相等.題型三:“雞翅”模型【例3】如圖,若,則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為【答案】180°【分析】延長EA交CD于點F,則有∠2+∠EFC=∠3,然后根據(jù)可得∠1=∠EFD,最后根據(jù)領(lǐng)補角及等量代換可求解.【詳解】解:延長EA交CD于點F,如圖所示:,∠1=∠EFD,∠2+∠EFC=∠3,,,;故答案為180°.【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì),熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式3-1】如圖所示,,,,求的度數(shù).【答案】.【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì),由靴子圖ABEFC知,,,由靴子圖知,,又因為,得到,所以.【詳解】因為,結(jié)合題意,由靴子圖ABEFC知,,,由靴子圖知,,,即,,【點睛】本題考查平行線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì).【變式3-2】AB∥CD,點P為直線AB,CD所確定的平面內(nèi)的一點.(1)如圖1,寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;(2)如圖2,寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;(3)如圖3,點E在射線BA上,過點E作EF∥PC,作∠PEG=∠PEF,點G在直線CD上,作∠BEG的平分線EH交PC于點H,若∠APC=30°,∠PAB=140°,求∠PEH的度數(shù).【答案】(1)∠A+∠C+∠APC=360°,證明詳見解析;(2)∠APC=∠A?∠C,證明詳見解析;(3)55°.【分析】(1)首先過點P作PQ∥AB,結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD,然后由“兩直線平行,同旁內(nèi)角互補”進(jìn)一步分析即可證得∠A+∠C+∠APC=360°;(2)作PQ∥AB,結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD,根據(jù)“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”進(jìn)一步分析即可證得∠APC=∠A?∠C;(3)由(2)知,∠APC=∠PAB?∠PCD,先利用平行線性質(zhì)得出∠BEF=∠PQB=110°,然后進(jìn)一步得出∠PEG=∠FEG,∠GEH=∠BEG,最后根據(jù)∠PEH=∠PEG?∠GEH即可得出答案.【詳解】(1)∠A+∠C+∠APC=360°,證明如下:如圖1所示,過點P作PQ∥AB,∴∠A+∠APQ=180°,又∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠C+∠CPQ=180°,∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°,即∠A+∠C+∠APC=360°;(2)∠APC=∠A?∠C,證明如下:如圖2所示,過點P作PQ∥AB,∴∠A=∠APQ,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠C=∠CPQ,∵∠APC=∠APQ?∠CPQ,∴∠APC=∠A?∠C;(3)由(2)知,∠APC=∠PAB?∠PCD,∵∠APC=30°,∠PAB=140°,∴∠PCD=110°,∵AB∥CD,∴∠PQB=∠PCD=110°,∵EF∥PC,∴∠BEF=∠PQB=110°,∵∠PEG=∠PEF,∴∠PEG=∠FEG,∵EH平分∠BEG,∴∠GEH=∠BEG,∴∠PEH=∠PEG?∠GEH=∠FEG?∠BEG=∠BEF=55°.【點睛】本題主要考查了利用平行線性質(zhì)與角平分線性質(zhì)求角度的綜合運用,熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.【變式3-3】問題探究:如下面四個圖形中,ABCD.(1)分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中,∠1與∠2、∠3三者之間的關(guān)系.(2)請你從中任選一個加以說明理由.解決問題:(3)如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面,從位于O點的燈泡發(fā)出兩束光線OB、OC經(jīng)燈碗反射后平行射出.如果∠ABO=57°,∠DCO=44°,那么∠BOC=_______°.【答案】(1)圖1:∠1+∠2=∠3;
圖2:∠1+∠2+∠3=;圖3:∠1=∠2+∠3;
圖4:∠1+∠3=∠2;(2)見解析;(3)【分析】(1)圖1:首先過點P作PEAB,由ABCD,即可得ABPECD,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,即可求得答案;圖2:首先過點P作PEAB,由ABCD,即可得ABPECD,然后根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,即可求得答案;圖3:由ABCD,根據(jù)兩直線平行,同位角線相等,以及三角形外角的性質(zhì),即可求得答案;圖4:由ABCD,根據(jù)兩直線平行,同位角線相等,以及三角形外角的性質(zhì),即可求得答案.(2)選圖1,過點P作PEAB,由ABCD,即可得ABPECD,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,即可求得答案;(3)利用圖1結(jié)論進(jìn)行求解【詳解】(1)圖1:∠1+∠2=∠3;
圖2:∠1+∠2+∠3=
圖3:∠1=∠2+∠3;
圖4:∠1+∠3=∠2;(2)選擇圖1,如圖所示:過點P作EP//AB∵ABCD,EPAB∴ABEPCD∴∠1=∠APE,∠2=∠EPC又∵∠3=∠APE+∠EPC∴∠1+∠2=∠3;(3)由圖1可得:∠BOC=∠ABO+∠DCO,又∵∠ABO=57°,∠DCO=44°,∴∠BOC=57°+44°=101°【點睛】考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,兩直線平行,內(nèi)錯角相等以及兩直線平行,同位角相等定理的應(yīng)用與輔助線的作法.題型四:“骨折”型【例4】已知AB//CD,求證:∠B=∠E+∠D【答案】見解析【分析】過點E作EF∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠B=∠BOD,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF,結(jié)合角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】證明:過點E作EF∥CD,如圖∵AB∥CD,∴∠B=∠BOD,∵EF∥CD(輔助線),∴∠BOD=∠BEF(兩直線平行,同位角相等);∠D=∠DEF(兩直線平行,內(nèi)錯角相等);∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D(等量代換),∴∠BOD=∠E+∠D(等量代換),即∠B=∠E+∠D.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算,解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等或互補的角.【變式4-1】探索:小明在研究數(shù)學(xué)問題:已知,AB和CD都不經(jīng)過點P,探索與、的數(shù)量關(guān)系.發(fā)現(xiàn):在圖1中,;如圖5小明是這樣證明的:過點Р作∴___________∵,.∴__________∴∴即(1)為小明的證明填上推理的依據(jù);(2)理解:①在圖2中,與、的數(shù)量關(guān)系為_____________________;②在圖3中,若,,則的度數(shù)為_________________;(3)拓展:在圖4中,探究與、的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)兩直線平行,內(nèi)錯角相等;平行于同一直線的兩直線平行;(2)①;②40°;(3),理由見解析.【分析】(1)過點作,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,,即可得出答案;(2)①過點作,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,,即可得出答案;②根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出即可;(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,求出,根據(jù)得出,即可得出答案.【詳解】(1)證明:過點作,∴(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),.(平行于同一直線的兩直線平行)即故答案為:兩直線平行,內(nèi)錯角相等;平行于同一直線的兩直線平行;(2)①解:過點作,所以,,.,,,,即,故答案為:;②解:,,,,,故答案為:;(3)解:.理由是:如圖4,過點作,,,,,(平行于同一直線的兩直線平行),,.【點睛】本題考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)和判定,能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.【變式4-2】已知直線AB∥CD,P為平面內(nèi)一點,連接PA、PD.(1)如圖1,已知∠A=50°,∠D=150°,求∠APD的度數(shù);(2)如圖2,判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為.(3)如圖3,在(2)的條件下,AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+∠PAB=∠APD,求∠AND的度數(shù).【答案】(1)∠APD=80°;(2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°;(3)∠AND=45°.【分析】(1)首先過點P作PQ∥AB,則易得AB∥PQ∥CD,然后由兩直線平行,同旁內(nèi)角互補以及內(nèi)錯角相等,即可求解;(2)作PQ∥AB,易得AB∥PQ∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì),即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°;(3)先證明∠NOD=∠PAB,∠ODN=∠PDC,利用(2)的結(jié)論即可求解.【詳解】解:(1)∵∠A=50°,∠D=150°,過點P作PQ∥AB,∴∠A=∠APQ=50°,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠D+∠DPQ=180°,則∠DPQ=180°-150°=30°,∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°;(2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°,如圖,作PQ∥AB,∴∠PAB=∠APQ,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠CDP+∠DPQ=180°,即∠DPQ=180°-∠CDP,∵∠APD=∠APQ-∠DPQ,∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°;∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°;(3)設(shè)PD交AN于O,如圖,∵AP⊥PD,∴∠APO=90°,由題知∠PAN+∠PAB=∠APD,即∠PAN+∠PAB=90°,又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°,∴∠POA=∠PAB,∵∠POA=∠NOD,∴∠NOD=∠PAB,∵DN平分∠PDC,∴∠ODN=∠PDC,∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC),由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°,∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD,∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°,即∠AND=45°.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義.注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.【變式4-3】如圖,已知:點A、C、B不在同一條直線,
(1)求證::(2)如圖②,分別為的平分線所在直線,試探究與的數(shù)量關(guān)系;(3)如圖③,在(2)的前提下,且有,直線交于點P,,直接寫出.【答案】(1)見解析(2),理由見解析(3)【分析】(1)過點C作,則,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出、,據(jù)此可得;(2)過點Q作,則,根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出,結(jié)合(1)的結(jié)論可得出;(3)由(2)的結(jié)論可得出①,由可得出②,聯(lián)立①②可求出的度數(shù),再結(jié)合(1)的結(jié)論可得出的度數(shù),將其代入中可求出結(jié)論.【詳解】(1)在圖①中,過點C作,則.
∵,∴,∴.(2)在圖2中,過點Q作,則.
∵,∴.∵平分,平分,∴,∴.∵,∴.(3)∵,∴,∴.∵,∴.又∵,∴,即,∴,∴,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查平行線的的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、添加輔助線構(gòu)建平行線.過關(guān)檢測1.為更好地理清平行線與相關(guān)角的關(guān)系,小明爸爸為他準(zhǔn)備了四根細(xì)直木條、,、,做成折線,如圖1,且在折點B、C、D處均可自由轉(zhuǎn)出.(1)如圖2,小明將折線調(diào)節(jié)成,判別是否平行于,并說明理由;(2)如圖3,若,調(diào)整線段、使得,求出此時的度數(shù),要求畫出圖形,并寫出計算過程.(3)若,求出此時的度數(shù),要求畫出圖形,直接寫出度數(shù),不要求計算過程.【答案】(1)AB∥DE,理由見解析;(2)25°或155°,畫圖見解析;(3)60°或120°或70°或110°【分析】(1)過點C作CF∥AB,利用平行線的判定和性質(zhì)解答即可;(2)分別畫圖3和圖4,根據(jù)平行線的性質(zhì)可計算∠B的度數(shù);(3)分別畫圖,根據(jù)平行線的性質(zhì)計算出∠B的度數(shù).【詳解】解:(1)AB∥DE,理由是:如下圖,過點C作CF∥AB,∴∠B=∠BCF=50°,∵∠BCD=75°,∴∠DCF=25°,∵∠D=25°,∴∠D=∠DCF=25°,∴CF∥DE,∴AB∥DE;(2)如下圖,∵AB∥CD,∴∠B=∠BCD=25°;如圖4:∵AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠ABC=180°-25°=155°;(3)由(1)得:∠B=85°-25°=60°;如圖5,過C作CF∥AB,則AB∥CF∥CD,∴∠FCD=∠D=25°,∵∠BCD=85°,∴∠BCF=85°-25°=60°,∵AB∥CF,∴∠B+∠BCF=180°,∴∠B=120°;如圖6,∵∠C=85°,∠D=25°,∴∠CFD=180°-85°-25°=70°,∵AB∥DE,∴∠B=∠CFD=70°,如圖7,同理得:∠B=25°+85°=110°,綜上所述,∠B的度數(shù)為60°或120°或70°或110°.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的運用,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同位角以及內(nèi)錯角,依據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)計算.2.如圖1,MN∥PQ,點C、B分別在直線MN、PQ上,點A在直線MN、PQ之間.(1)求證:∠CAB=∠MCA+∠PBA;(2)如圖2,CD∥AB,點E在PQ上,∠ECN=∠CAB,求證:∠MCA=∠DCE;(3)如圖3,BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,AF∥CG.若∠CAB=60°,求∠AFB的度數(shù).【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)120°.【分析】(1)過點A作AD∥MN,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等得到∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB,根據(jù)角的和差等量代換即可得解;(2)由兩直線平行,同旁內(nèi)角互補得到∴、∠CAB+∠ACD=180°,由鄰補角定義得到∠ECM+∠ECN=180°,再等量代換即可得解;(3)由平行線的性質(zhì)得到,∠FAB=120°﹣∠GCA,再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到∠GCA﹣∠ABF=60°,最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解.【詳解】解:(1)證明:如圖1,過點A作AD∥MN,∵M(jìn)N∥PQ,AD∥MN,∴AD∥MN∥PQ,∴∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB,∴∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA,即:∠CAB=∠MCA+∠PBA;(2)如圖2,∵CD∥AB,∴∠CAB+∠ACD=180°,∵∠ECM+∠ECN=180°,∵∠ECN=∠CAB∴∠ECM=∠ACD,即∠MCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE,∴∠MCA=∠DCE;(3)∵AF∥CG,∴∠GCA+∠FAC=180°,∵∠CAB=60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB=180°,∴∠FAB=180°﹣60°﹣∠GCA=120°﹣∠GCA,由(1)可知,∠CAB=∠MCA+∠ABP,∵BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,∴∠ACN=2∠GCA,∠ABP=2∠ABF,又∵∠MCA=180°﹣∠ACN,∴∠CAB=180°﹣2∠GCA+2∠ABF=60°,∴∠GCA﹣∠ABF=60°,∵∠AFB+∠ABF+∠FAB=180°,∴∠AFB=180°﹣∠FAB﹣∠FBA=180°﹣(120°﹣∠GCA)﹣∠ABF=180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF=120°.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),線段、角、相交線與平行線,準(zhǔn)確的推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵3.已知直線,點A,C分別在,上,點B在直線,之間,且.(1)如圖①,求證:.閱讀并將下列推理過程補齊完整:過點B作,因為,所以__________(
)所以,(
)所以.(2)如圖②,點D,E在直線上,且,BE平分.求證:;(3)在(2)的條件下,如果的平分線BF與直線平行,試確定與之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)BG;平行于同一條直線的兩條直線平行;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;(2)見解析;(3),理由見解析【分析】(1)根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得結(jié)論;(2)過點作,根據(jù),可得,所以,,結(jié)合(1)即可進(jìn)行證明;(3)根據(jù),,可得,根據(jù)平分,可得,結(jié)合(2)可得,中根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得結(jié)論.【詳解】(1)解:如圖①,過點作,因為,所以(平行于同一條直線的兩條直線平行).所以,(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).所以.故答案為:,平行于同一條直線的兩條直線平形,兩直線平行,內(nèi)錯角相等;(2)證明:如圖②,過點作,因為,所以,所以,,由(1)知:.又,所以.因為.所以,所以,因為平分.所以,所以,所以;(3)解:,理由如下:因為,,所以,因為平分,所以,由(2)知:,所以,因為,所以,所以,,而,所以.【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運用.4.已知直線,A是l1上的一點,B是l2上的一點,直線l3和直線l1,l2交于C和D,直線上有一點P.(1)如果P點在C,D之間運動時,問,,有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.(2)若點P在C,D兩點的外側(cè)運動時(P點與C,D不重合),試探索,,之間的關(guān)系又是如何?(請直接寫出答案,不需要證明)【答案】(1)(2)當(dāng)點在直線上方時,;當(dāng)點在直線下方時,.【分析】(1)過點作,由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出,再由“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”得出、,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論;(2)按點的兩種情況分類討論:①當(dāng)點在直線上方時;②當(dāng)點在直線下方時,同理(1)可得、,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:.過點作,如圖1所示.,,,,,,.(2)解:結(jié)論:當(dāng)點在直線上方時,;當(dāng)點在直線下方時,.①當(dāng)點在直線上方時,如圖2所示.過點作.,,,,,,.②當(dāng)點在直線下方時,如圖3所示.過點作.,,,,,,.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算,解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”找到相等的角.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等(或互補)的角是關(guān)鍵.5.(1)如圖(1),猜想與的關(guān)系,說出理由.(2)觀察圖(2),已知,猜想圖中的與的關(guān)系,并說明理由.(3)觀察圖(3)和(4),已知,猜想圖中的與的關(guān)系,不需要說明理由.
【答案】(1),理由見解析;
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