專題17動(dòng)圓相切問題一、圓心為動(dòng)點(diǎn)解題思路：確定圓心到直線的距離d=r即可．【引例】如圖，直線l的解析式為，點(diǎn)P坐標(biāo)為，以點(diǎn)P為圓心，1為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)時(shí)，時(shí)間t為何值時(shí)圓P與直線l相切？【分析】過點(diǎn)P作PH⊥直線l，垂足為H點(diǎn)，當(dāng)PH=r=1時(shí)，即可得圓P與直線l相切．當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，PH=1，，，綜上所述，t的值為1或3．（2017·百色）以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，作半徑為2的圓，若直線與相交，則的取值范圍是A．B．C．D．【分析】確定兩個(gè)相切的時(shí)刻，當(dāng)時(shí)，直線與圓相切，故若直線與圓相交，則b的取值范圍是，故選D．（2015·煙臺(tái)）如圖，直線與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，2個(gè)單位長度為半徑作，當(dāng)與直線相切時(shí)，則的值為．【分析】點(diǎn)M到直線l的距離為2，即可得圓M與直線l相切．過點(diǎn)M作MH⊥AB交AB于H點(diǎn)，當(dāng)圓M與直線l相切時(shí)，MH=r=2，，∴BH=4，，M點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，M點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，綜上，M點(diǎn)坐標(biāo)為或．

（2019·菏澤）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以1個(gè)單位長度為半徑作，當(dāng)與直線相切時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．【分析】若圓P與AB相切，則點(diǎn)P到直線AB的距離為1，可得，又點(diǎn)A坐標(biāo)為，故點(diǎn)P坐標(biāo)為或．（2016·無錫）如圖，中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過的中點(diǎn)作的垂線，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線相切．【分析】易證CD∥AB，當(dāng)圓C與直線EF相切時(shí)，，，，，∴，（2019·寧波）如圖，Rt△ABC中，，，點(diǎn)在邊上，，．點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為6的與的一邊相切時(shí)，的長為．【分析】當(dāng)圓P與BC邊相切時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥BC交BC，則PH=6，易證△DHP∽△DCA，，解得：，∴．當(dāng)圓P與AB邊相切時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥AB交AB于M點(diǎn)，則PM=6，過點(diǎn)D作DN⊥AB交AB于點(diǎn)N，易證△BND∽△BCA，可得：，解得：，易證△AMP∽△AND，，解得：．綜上，AP的長為或．如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是以為直徑的上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有這樣的點(diǎn)組成的圖形與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值等于．【分析】確定點(diǎn)P軌跡，考慮AP=2AC始終成立，可得點(diǎn)P軌跡是以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓，若圓與直線相切，則半徑等于點(diǎn)O到直線的距離，用面積法可求，故，則．【動(dòng)圓相切-與多邊形相切】（2018·寧波）如圖，正方形的邊長為8，是的中點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作．當(dāng)與正方形的邊相切時(shí)，的長為．【分析】圓不可能與AB、BC邊相切．當(dāng)圓P與CD相切時(shí)，即PM=PC如圖所示，設(shè)BP=x，則，，則，解得：x=3．當(dāng)圓P與AD相切時(shí)，即PM=r=8，解得．綜上，BP的長為3或．（2015·連云港）已知如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，的半徑為1．（1）判斷原點(diǎn)與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，求被軸所截得的劣弧的長；（3）當(dāng)與軸相切時(shí)，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，可得，∴，故點(diǎn)O在圓外．（2）記圓P與y軸另外一交點(diǎn)為C，連接PC，則∠BPC=120°，則，故圓P被y軸截得的弧長為．（3）圓P與x軸相切，即點(diǎn)P到x軸距離為1即可，，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，故切點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（2016·蘇州）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿對(duì)角線BD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s，過點(diǎn)P作PQ⊥BD交BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點(diǎn)N落在射線PD上，點(diǎn)O從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/s，以O(shè)為圓心，0.8cm為半徑作圓O，點(diǎn)P與點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）（）．（1）如圖1，連接DQ平分∠BDC時(shí)，t的值為；（2）如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；（3）請(qǐng)你繼續(xù)進(jìn)行探究，并解答下列問題：①證明：在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)O始終在QM所在直線的左側(cè)；②如圖3，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)QM與圓O相切時(shí)，求t的值；并判斷此時(shí)PM與圓O是否也相切？說明理由．【分析】（1）由題意得：PB=4t，PQ=3t，BQ=5t，CQ=8-5t，若DQ平分∠BDC，則CQ=PQ，即8-5t=3t，解得：t=1，故t的值為1；（2）過點(diǎn)M作MH⊥BC交BC邊于點(diǎn)H，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，則H為CQ中點(diǎn)，則，，易證，代入得：，解得：，故t的值為．（3）①由于點(diǎn)O與直線MQ均為運(yùn)動(dòng)的，可取對(duì)角線BD為參照物．過點(diǎn)O作OE⊥BD交BD于點(diǎn)E，則OD=3t，，又，∴，∴點(diǎn)O始終在QM所在直線的左側(cè)．②過點(diǎn)O作FG⊥BD交BD于點(diǎn)F，則FG⊥MQ，垂足記為G，若圓O與四邊形相切，則，解得：，即當(dāng)s時(shí)，圓與QM相切，此時(shí)若圓O與MP也相切，則MO平分∠PMQ，即，，又，∴，，∴，又OG=r=0.8cm，∴，∴此時(shí)PM與圓O不相切．二、動(dòng)點(diǎn)為直徑解題思路：由切線的性質(zhì)-垂直于過切點(diǎn)的半徑，得垂直關(guān)系，再由三角函數(shù)值求得線段長．【引例】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，連接BD，點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，以PQ中點(diǎn)O為圓心，PQ為直徑作圓，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，圓O與BD相切？【分析】當(dāng)PQ⊥BD時(shí)，圓O與BD相切，由題意得：DP=t，DQ=5-2t，若PA⊥BD，即，代入得：，解得：，故當(dāng)t的值為時(shí)，圓O與BD相切．

【與多邊形邊相切，三角函數(shù)解線段關(guān)系】（2018·相城區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連接，以為直徑作．（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）設(shè)的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與Rt△ABC的一邊相切，求的值．【分析】當(dāng)時(shí)，cm，cm，∴cm2．（2）當(dāng)時(shí)，，∴，，；當(dāng)時(shí)，，，∴，∴（3）當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，，當(dāng)圓O與BC邊相切時(shí)，即PQ⊥BC，，，，代入得：，解得：t=1；當(dāng)圓O與AB相切時(shí)，即PQ⊥AB，，代入得：，解得：；當(dāng)圓O與AC邊相切時(shí)，過點(diǎn)O作ON⊥AC交AC于點(diǎn)N，則，，，由得：，解得：，（舍）．故綜上所述，t的值為1或或．三、交點(diǎn)個(gè)數(shù)的分析圓與線段或圖形交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考慮交點(diǎn)個(gè)數(shù)變化的位置，當(dāng)①圓與線段相切、②圓過線段端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)會(huì)發(fā)生改變．【引例】如圖，在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，3），以點(diǎn)P（m，0）（m<0）為圓心，4為半徑作圓，m為何值時(shí)，圓P與線段AB只有1個(gè)交點(diǎn)？【分析】考慮圓P與AB相切：過點(diǎn)P作PH⊥AB，當(dāng)PH=4時(shí)，圓P與AB相切，易證△PHA∽△BOA，∴，此時(shí)；當(dāng)圓P過點(diǎn)A時(shí)，m=-3；當(dāng)圓P過點(diǎn)B時(shí)，，故；綜上，當(dāng)或時(shí)，圓P與線段AB只有1個(gè)交點(diǎn)．

（2017·吳中區(qū)一模）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著方向以1個(gè)單位長度秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著對(duì)角線方向也以1個(gè)單位長度秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，以為圓心，長為半徑的與、的另一個(gè)交點(diǎn)分別為、，連結(jié)、．（1）填空：（用的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)相遇？（3）當(dāng)線段與有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．【分析】（1）BE=2t，．（2），若點(diǎn)Q與點(diǎn)F相遇，則AQ+BF=6，即，解得：，故t為時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)F相遇．（3）考慮何時(shí)QE與圓P相切，即當(dāng)QE⊥BD時(shí)，，又，BE=2t，代入得：，解得：．從相切開始，至點(diǎn)Q與點(diǎn)F重合，有2個(gè)交點(diǎn)，故t的取值范圍是．（2013·連云港）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別沿著方向、方向均以1個(gè)單位長度秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒．以為圓心，長為半徑的與、的另一個(gè)交點(diǎn)分別為、，連接、．（1）求當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合？（2）設(shè)的面積為，試求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值；（3）若與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【分析】（1），，若點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，則，即，解得：．（2）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，則，∴，綜上，．當(dāng)t=5時(shí)，S的最大值為15．（3）1個(gè)交點(diǎn)：在CQ與圓P相切及之前，在Q、D相遇之后，OQ=t，AC=2t，，，解得：，故當(dāng)或時(shí)，圓P與線段QC只有1個(gè)交點(diǎn)．（2019·河北）如圖1和2，中，，，．點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作切于點(diǎn)，設(shè)．（1）如圖1，為何值時(shí)，圓心落在上？若此時(shí)交于點(diǎn)，直接指出與的位置關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，與交于點(diǎn)，求的度數(shù)，并通過計(jì)算比較弦與劣弧長度的大?。唬?）當(dāng)與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出的取值范圍．【分析】（1），∴，∴PC=12，PB=9，∴x的值為9時(shí)，點(diǎn)O落在AP上．此時(shí)PE⊥BC，∵PE⊥AD，AD∥BC，∴可得PE⊥BC．（2）過點(diǎn)C作CH⊥AP交AP于點(diǎn)H，設(shè)PH=x，則，∵，∴，∴，，∴AH=3+12=15，∴AH=CH，∴∠CAP=45°．過點(diǎn)O作ON⊥AP交AP于點(diǎn)N，則，易證△PNO∽△CHP，又PH=5，CH=12，∴CP=13，∴，代入得：，解得：，，∵，∴弦AP長度大于弧PQ長度．（3）．當(dāng)BP=18時(shí)，圓O與DA相切，當(dāng)BP>18時(shí)，圓O與AD邊只有一個(gè)交點(diǎn)A．【與多邊形交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題】（2018·鎮(zhèn)江）如圖1，平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，以為圓心，為半徑的與對(duì)角線交于，兩點(diǎn)．（1）如圖2，當(dāng)與邊相切于點(diǎn)時(shí)，求的長；（2）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)與邊相切時(shí)，與平行四邊形的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，隨著的變化，與平行四邊形的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化，若公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，直接寫出相對(duì)應(yīng)的的值的取值范圍．【分析】（1）連接PF，則PF⊥CD，且PA=PF，設(shè)PA=x，則PF=x，PD=10-x，，解得：，∴AP的長為．（2）從圓P與CD邊相切開始，有4個(gè)交點(diǎn)，直到圓P與BC邊相切于點(diǎn)M，此時(shí)PM⊥BC，易求，∴．之后交點(diǎn)個(gè)數(shù)大于4，直到如下圖，圓P過點(diǎn)D，則過點(diǎn)C，且與BC邊有1交點(diǎn)，此時(shí)PA=PD=．綜上所述，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為4時(shí)，或．

（2012·無錫）如圖，菱形的邊長為，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度，沿向作勻速運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)，以的速度，沿射線作勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，、都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）當(dāng)異于、時(shí)，請(qǐng)說明；（2）以為圓心、長為半徑作圓，請(qǐng)問：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，為怎樣的值時(shí)，與邊分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)？【分析】（1）由題意得：cm，cm，AB=2cm，cm，∴，∴△APQ∽△ACB，∴∠APQ=∠ACB，∴PQ∥BC．（2）當(dāng)圓P與BC相切時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn)，AQ=t，PH=PQ=AQ=t，，，，∴s；當(dāng)圓P過點(diǎn)B時(shí)，圓P與BC邊有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)△PBQ是等邊三角形，點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，∴cm，t=1s；當(dāng)圓P過點(diǎn)C時(shí)，，解得：，∴，則；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，圓P與BC邊有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)t=2；當(dāng)或或t=2時(shí)，圓P與BC邊有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，圓P與BC有2個(gè)交點(diǎn)．四、構(gòu)造相切求最值【線段最值】（2011·河池）如圖，在Rt△ABC中，是直角，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，若能在邊上找到一點(diǎn)，使，則的取值范圍是．【分析】點(diǎn)Q滿足∠BQP=90°，則以BP為直徑作圓，與AC邊交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，存在這樣的點(diǎn)Q即圓與AC有交點(diǎn)．求x的取值范圍即分別確定BP的最大值和最小值．當(dāng)圓與AC相切時(shí)，BP最小，圓心記為點(diǎn)O，連接OQ，則OQ=OB，由，得，∴，∴，，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，BP最大，最大值為4，故x的取值范圍是．【米勒問題-相切構(gòu)造最大角】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0）、B（5，0）直線l經(jīng)