新高考高中數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)全透視

專題1L2空間向量及空間位置關(guān)系（專題訓(xùn)練卷）

一、單選題

1.（2021.全國高二課時練習(xí)）若平面a,4的法向量分別為2=（—1,2,4）,石=（x,-1,-2）,且a工少,

則x的值為（）

A.10B.-10

C—D——

J2U-2

【答案】B

【分析】

由aL%可得它們的法向量也互相垂直，從而可求出x的值

【詳解】

解：因為a_L0,所以它們的法向量也互相垂直，

所以a-B=（一I,2,4）-（x,—I,—2）=0,

解得x=-10.

故選：B

2.（2021?全國）平面a的法向量G=（X,1,-2）,平面尸的法向量工=,己知a〃￡,則x+y等于（）

A."B.

c3D

4T--1

【答案】A

【分析】

根據(jù)兩個平面平行得出其法向量平行，根據(jù)向量共線定理進(jìn)行計算即可.

【詳解】

由題意得，因為?！ā?，所以分=2。C,

2=-4

x=-2

即,1=解得卜=-；

4

x=4

15

所以1+y=4+

~4

故選:A

3.(陜西高考真題)如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A8G,且C4=CG=2CB,則直線8G與

直線4耳夾角的余弦值為()

Z串

B少

L

X

A.立B.立C?亭D.|

53

【答案】A

【分析】

設(shè)04=2,則C(0,0,0),A(2,0,0),8(0,0,1),Ci(0,2,0),Bi(0,2,l),可得函=(-2,2,1),西=(0,2,-1),

由向量的夾角公式得cos〈福，：式)_廠4?「1

J4+4+1xJO+4+l加5

4.(2021?全國高二課時練習(xí))如圖，在三棱柱A3C4BG中，C4=CG=2CB,則直線BG與直線AS所成

角的余弦值為()

B.叵

A-T

3

c.平D.3

5

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意不妨設(shè)CA=CG=2CB=2,寫出福=(-2,2,l),QB=(O,-2,l),根據(jù)異面直線夾角的向量公式代入計

算即可.

【詳解】

不妨設(shè)CA=CCi=2CB=2,所以3（0,0,1）,G（0,2,0）,A（2,0,0）,5（0,2,1）,

則福=（一2,2,1）,甲=（0,—2,1）,

四.祠|-4+1]=6

所以cos（AB|CS

阿.雨3x石5

所以直線BG與直線ABi所成角的余弦值為。.

故選:A

5.（2020?江蘇省祁江中學(xué)高二期中）已知￡為平面a的法向量，A,B是直線〃上的兩點(diǎn)，則￡?麗=0是

直線8〃a的（）條件

A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分又不必要

【答案】A

【解析】

因為向量a是平面.a的法向量，則￡_10

若2.^=0，則AM/a，則向量而所在直線人平行于平面a或在平面。內(nèi)，即充分性不成立,

若向量通所在直線平行于平面a或在平面a內(nèi)，則通//0,

???向量￡是平面a的法向量，

a_La，

則即￡.荏=o，即必要性成立,

則a.4月=0是向量而所在直線人平行于平面a的必要條件，

故選：A.

6.（2020?全國高二課時練習(xí)）對于空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A，B,C,有如下關(guān)系:

6OP^OA+2OB+3OC貝U（）

A.四點(diǎn)。，A，B,。必共面B.四點(diǎn)P,A，B,。必共面

C.四點(diǎn)。，P,B,C必共面D.五點(diǎn)O,P,A，B,C必共面

【答案】B

【解析】

因為60戶=0印+20豆+30C，所以加一礪=2（萬一方）+3（玄一麗），

即麗=2方+3斤,

根據(jù)共面向量基本定理，可得而，而，PQ共面，

所以，P,A.B,。四點(diǎn)共面.

故選：B.

7.（2020?廣東揭陽市?高二期中）如圖所示，E、尸分別是四面體。45c的邊048c的中點(diǎn)，。是線段DF

的一個三等分點(diǎn)(靠近E點(diǎn))，設(shè)厲=色麗=瓦OC=c,則而=()

二

11-1-111-111-一

A.—a+-h+—cB.-a+—b+-cC.-a+—b+—cDK.—1a-+—b+—1c

633363366636

【答案】c

【分析】

連接。尸,先求出。。=：?！?§。/，再進(jìn)一步化簡即得解.

【詳解】

如圖所示，連接OF.

,-OD=OF+FD^OF=^(OB+OC),

所以FD=(FE,FE=OE-OF，OE=^OA,

_______2___

???OD=OF+FD=OF+-FE

3

=OF+-(OE-OF]=-OE+-OF

3、,33

=-x-OA+-x-(OB+OC)

3232

1—.i—.1—.

=-OA^-OB+-OC

366

故選：C.

8.（2021.全國高二課時練習(xí)）如圖，ABC。一EFG，是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足

Q=3而+1通+2而，則P到AB的距離為（）

423

【答案】C

【分析】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8,AD,4E所在直線分別為X,），，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，計算出而和正

的坐標(biāo),然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式4=即可求解.

【詳解】

解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AE所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

_____UUIUuuu

則AB=（1,0,0）,AD=（0,1,0）,AE=（0,0,1）,

—3—I—2—

因為=+上AO+-AE,

423

所以點(diǎn)P到A8的距離d=

故選：C.

二、多選題

9.（2021?全國高二單元測試）給出下列命題，其中為假命題的是（）

A.已知萬為平面a的一個法向量，成為直線/的一個方向向量，若n_L歷，則〃/a

B.已知力為平面a的一個法向量，所為直線/的一個方向向量，若但，疣）=等，貝V與a所成角為?

C.若三個向量a,b，C兩兩共面，則向量a,b，C共面

D.已知空間的三個向量1,h,c,則對于空間的任意一個向量萬，總存在實數(shù)x，y，z使得力=必+防+z3

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系、線面角的定義、向量共面的定理，逐一分析選項，即可得答案.

【詳解】

對于A：由題意可得///a或/ua,故A錯誤；

對于B：

由圖象可得，ZCAD=—,則ND4B=工，

33

所以NAOB=J,根據(jù)線面角的定義可得：/與a所成角為故B正確

對于c：若三個向量a,5，兩兩共面，但三個向量不一定共面，故c錯誤；

對于D：當(dāng)空間的三個向量a,b,c不共面時，對于空間的任意一個向量萬，總存在實數(shù)x,y,z使得

p=xa+yh+zc,故D錯誤.

故選：ACD

10.（2021.全國高二課時練習(xí)）下列命題中不正確的是（）.

A.若A、B、C、。是空間任意四點(diǎn)，則有通+而+而+麗=0

B.若|“|=歷|,則人B的長度相等而方向相同或相反

C.|￡|-日|=|￡+向是￡、/共線的充分條件

LILIlUUumimilt

D.對空間任意一點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、8、C,OP=xOA+yOB+zOC（"zwR）,則P、A、B、C四

點(diǎn)共面

【答案】ABD

【分析】

本題考察向量的概念與性質(zhì)，需按個選項分析，A選項考察向量加法的意義，B選項考察向量的模的性質(zhì)，

C選項可以兩邊平方計算，D選項考察四點(diǎn)共面的性質(zhì).

【詳解】

LlimuuuUUUuuuL

A選項，AB+8C+C￡>+ZM=0而不是0，故A錯，

B選項，|￡|=|W僅表示［與B的模相等，與方向無關(guān)，故B錯,

C選項，|￡|-|年|￡+行|=＞同2一2同網(wǎng)+|5|2=H+2a.5+52,

即一2kH方卜2ab=2同.同.cos（a,6）,

即cos（&,?=-1,￡與辦方向相反,故C對，

D選項，空間任意一個向量而都可以用不共面的三個向量麗,0B、麗表示，

二尸、A、8、C四點(diǎn)不一定共面，故D錯，

故選ABD.

11.（2020?大連市第二十三中學(xué)高二月考）以下說法正確的是（）

A.在四面體P-A8C中，若萬.配=0，PCAB=0,則方.衣=0

B.已知空間的三個向量6,瓦c,則對于空間的任意一個向量P總存在實數(shù)X,y,z使得力=xa+yb+zc.

c.設(shè)M，5,可是空間中的一組基底，則和+'5+己"耳也是空間的一組基底

D.若筋5＜0，貝1心石）是鈍角

【答案】AC

【分析】

根據(jù)空間向量數(shù)量積及運(yùn)算律判斷A,根據(jù)空間向量基本定理判斷B、C,根據(jù)向量夾角與數(shù)量積的定義判

斷D；

【詳解】

解：對于A：PABC=0,PCAB=0,則麗?瓦+斤?瓦=0，

所以班反1+定.（而+畫=0,所以西?覺+卮?恁+京?麗=0,所以西?蕭+卮?/-無?前=0,

所以（西-1）?沅+無?蔗=0,即仄反1+無.而=0,即衣.麗+無.前=0,即近?（麗+1）=0,

所以前?麗=0，故A正確；

對于B：由空間向量基本定理，可知，只有當(dāng)三個向量2,51不共面的時候，由它們做基底，才有后面的結(jié)

論，故B錯誤；

對于C：由｛7瓦口是空間中的一組基底，則向量反屋不共面，可得向量1+瓦5+需1+1也不共面，所以

m+5石+以萬+口也是空間中的一組基底，故C正確；

對于。：若小5＜0,則＜1石＞為鈍角或"，故。錯誤.

故選：AC

12.（2021.汕頭市澄海中學(xué)高二月考）如圖，在正方體ABCO-AdGR中，的=3,點(diǎn)M,N分別在棱AB

和B用上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），若RMLMN,下列命題正確的是（）

B.MV_L平面RMC

3

C.線段BN長度的最大值為:D.三棱錐酬-ARM體積不變

4

【答案】ACD

【分析】

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，射線D4,DC,分別為x,y,z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)出動點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，利用空間向量

運(yùn)算判斷選項A,B,C,利用等體積法的思想判斷選項D即可得解.

【詳解】

在正方體A88-4BG4中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，射線D4,DC,力功分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直

角坐標(biāo)系，如圖:

4(30,3),0i(0,0,3),C(0,3,0),8(3,3,0),設(shè)M(3,y,0),N(3,3,z),y,ze(0,3),

麗=(3,y,-3),麗=(0,3-y,z),而

貝ij麗?麗=y(3-y)-3z=0=z=gy(3-y),

對于A選項：舸=(0,%-3),則碇?斯=y(3-y)-3z=0=啊_L礪，MN±AtM,A正確；

對于B選項：GW'=(3,y-3,0),CM-MN=(y-3)(3-y)=-(3-y)2<0,即CM與歷N不垂直，從而MN與

平面￡>iMC不垂直，B不正確；

_.___13933

對于C選項：麗=(0,0,z),則線段8N長度|BN|=z=；［—(y—:;)2+當(dāng)且僅當(dāng)),二時取c正

32442

確；

19

對于D選項：不論點(diǎn)M如何移動，點(diǎn)M到平面AQQ的距離均為3,而％.的附=%-v>￡=--3-5^q=|,

三棱錐G-AAM體積為定值，即D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.(2021?全國高二課時練習(xí))己知￡+分=修,近,2月)，Z-B=(0,血,0),則￡=,b=,ab^

【答案】(1,3,6)(1,0,73)4

【分析】

根據(jù)條件有(a+b)+(a-b)=2a,(a+b)-(a-6)=勸可分別求出向量ZN的坐標(biāo)，然后由空間向量的數(shù)量積

公式可得其數(shù)量積.

【詳解】

由￡+后=9,灰,2石)，力=(0,&,0)

又1+/)+(：」)=2。=(2,2a,26)，所以:

1+@一1」)=2/=(2,0,26)，所以力=(1,0,6)

所以H1X1+夜xO+gx6=4

故答案為：(1,72,73)；(1,0,73)；4

14.(2021?廣西玉林市?高二期中(理))已知A(-l,-2,6),3(1,2,-6),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量麗與麗的

夾角為.

【答案】隹

【分析】

根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，分別求得|礪卜"T,|麗卜41,且方?礪=T1，結(jié)合向量的夾角公式，即

可求解.

【詳解】

由題意，點(diǎn)A(-l,-2,6),8。,2,-6),可得次=(—1,—2,6),06=(1,2,-6),

則阿=J(-1)2+(-2)2+6、=屈，網(wǎng)=兩'，且礪?麗=-41，

a.b

由向量的夾角公式得cos。=百而=-l,

又由6>e[0,]所以。=)，即向量麗與0元的夾角是打.

故答案為：兀

15.(2021?全國高二課時練習(xí))在A4BC中，A(l,-2,-1),8(0,—3,1),C(2,-2,1).若向量而與

平面ABC垂直，且同=萬，則萬的坐標(biāo)為.

【答案】(一2,4,1)或(2,-4,-1)

【分析】

首先設(shè)向量A=(x,y,z),根據(jù)線面垂直關(guān)系，以及向量的模，列式求向量元的坐標(biāo)

【詳解】

據(jù)題意,得A方=(-1>—1>2),AC=(1>0，2).

設(shè)”=(x,y,z),與平面ABC垂直，

_rL_Z

\rn-AB=0-x-y+2z=0=2

一即〈可得<

[n-AC=0[x+2z=0

.Z-4

??,同:42A,yjx2+y2+z2=V21，

解得y=4或y=-4.

當(dāng)y=4時，x=-2,z=l；當(dāng)y=T時，x=2,z=-l.

；?萬的坐標(biāo)為(一2,4,1)或(2,—4,—1).

故答案為：(一2,4,1)或(2,-4,-1)

16.(四川高考真題)如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點(diǎn)M在線

段PQ上，E、F分另I」為AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為部，則百篇的最大值為一.

M

【答案】j2

【分析】

建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)越=1,則”=（1，5,0）出夕0,0）.設(shè)〃（0,y1）（04”1）,則加=（-5，%1）,

由于異面直線所成角的范圍為（0,五，

|4+ly

2(1-y)[2(1-也2_]8y+1

所以cos9=._L--------=-

萬.J49+5.aV+54y2+5

8.V+1_16>1

令8y+l=r/W9,則4丁+5一一81-5，當(dāng)f=l時取等號.

t

..\~2+^

2(1-y)122,八

所以COS0=]■-,；=-_\<-=x-==-,當(dāng)y=0

；4/+5V5V55

°'］、'.

//?'

/FC

.V

四、解答題

17.（2021?全國高二課時練習(xí)）如圖,在三棱柱ABC—AEC'中，已知殖=￡,AB=b,/="，點(diǎn)M，N

分別是3C',8C'的中點(diǎn)，試用基底表示向量麗7，麗.

A

A

【答案】AM=-{a+b+c\,=a+-b+-c.

2V'22

【分析】

連接A'N,根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計算可得;

【詳解】

解：連接A'N

所以麗7=而+；反^=^5+；網(wǎng)+交）

=AB+-BC+-CC

22

=麗+（西-砌+；宿

1min1uun1ULU

=-AB+-AC+-AAf

222

1-1r1-]/一r八

=-4+—力+—C=-4+0+C

2222tf

麗=前+祈=/+3（祈+苑）=府+：（而+硝=￡+/+共

18.（2021?黑龍江大慶市?鐵人中學(xué)高二開學(xué)考試）在平行六面體ABCD-ABCR中,

AB=4,AD=3,AA=5,ZBAD=90°,Na44'=NZM4'=6()。，點(diǎn)尸為8C'與B'C的交點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC'上,

（2）設(shè)EA=xA%+），Ab+zAA'，求x，，z的值?

【答案】（1）AC=y/S5；（2）x=—,y=z=――.

3o

【分析】

（1）AC=AB+AD+AA,＜利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得解；

（2）EF=EC+CF=\AC-\BC,再利用空間向量基本定理即可得出答案.

32

【詳解】

接：（1）因為苑=通+而+詞,

AC2=AB2+XD2+AA,2+2(Am4D+ABA8^-ADX47)=

困］=病，即AC'=府;

(2)EF=EC+CF=^AC!--BC!=^AB+Ab+AA)-^AD+AA)

1―.1—.1—.

=-AB——AD——A4'

366

11

Z=-----.

6

19.（2021?全國高二課時練習(xí)）正方體ABC。-4BCQ1中，若G是AQ的中點(diǎn)，點(diǎn)H在平面ABC。上,

且GH//BD\,試判斷點(diǎn)H的位置.

【答案】，為線段A8的中點(diǎn)

【分析】

以。為原點(diǎn)，族反，函的方向分別為X軸，y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長

為1,H的坐標(biāo)為（"?，〃，0）,計算出麗和西的坐標(biāo)，乂麗〃西?，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算公式求出

m,"的值即可判斷點(diǎn)H的位置.

【詳解】

解:如圖所示，以。為原點(diǎn)，萬瓦反，函的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

8(1,1,0),Di(0,0,D.

因為6是4。的中點(diǎn)，所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（5,0巧〉

因為點(diǎn)〃在平面A8CQ上，設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（〃，，n,0）,

因為^^=（用，〃，⑴一=（"一5'〃'一耳）‘西=（o,o,i）一（11,0）=（—1,—11），又GH〃B瓦,

11

m--n--1

所以___2=—=2＞解得m=1，〃=5，

-1T丁

所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為卜1,0）,所以H為線段AB的中點(diǎn)，

即當(dāng)，為線段48的中點(diǎn)時，GH//BD\.

20.（2020?全國高二課時練習(xí)）如圖所示，在長方體ABCO-A/CA中，AD=\，AB=AAl=2,N、

M分別是43、G。的中點(diǎn)?

(1)求證：NM//平面AAOA；

(2)求證：NM，平面4gM.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

證明：(1)以。為原點(diǎn)，on為x軸，。。為＞軸，0A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

?.?在長方體ABCD-ABG。中，AD=l,AB=AAt=2,N、M分別是4B、G。的中點(diǎn)，

l,1),N(l,1,0),MN=(1,0,-1),

?.?平面44。。的法向量五=(0,1,0),

??MN*ri=0'

?.?仞7仁平面44。2，；.削//平面44?！?

(2)A(l,0,2),B,(l,2,2),隔=(o,2,0),麗=(一1,1,-1),

，麗硒=0,麗麗=0，

:.MN工MN1A、M，

?：AB〕cAM=A,,

.?.NM_L平面.

21.(2021?全國高二課時練習(xí))四棱錐尸一A8CZ)中，底面ABC力為矩形，R4_L平面ABC。，AO=2AB=4,

且與底面ABCD所成的角為45。.求點(diǎn)B到直線PD的距離.

【答案】2上

【分析】

由題意，根據(jù)線面角的定義有/PDA=45。，可得%=AO=4,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD,AP所在直線分

別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在點(diǎn)E(x,y,z),