§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與______的一條直線平行，則該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,))?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的______與該直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,))?a∥b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條____________與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))?β∥α性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面____，那么它們的____平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,))?a∥b常用結(jié)論1．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.3．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.4．若α∥β，a?α，則a∥β.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．()(2)若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a∥α.()(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.()(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也相互平行．()教材改編題1．平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α2．已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列說(shuō)法正確的是()A．若l∥m，l∥β，則m∥βB．若α∥β，m?α，l?β，則m∥lC．若m⊥α，l⊥m，則l∥αD．若m∥α，m?β，α∩β＝l，則m∥l3.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)_____．題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD,PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點(diǎn)．求證：BE∥平面PAD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)例2如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面確定交線．跟蹤訓(xùn)練1如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，PD＝AB＝2，AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)．設(shè)平面PDC∩平面PBE＝l.證明：(1)DF∥平面PBE；(2)DF∥l.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，證明：B1D1∥l.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)證明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．③利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．(2)當(dāng)已知兩平面平行時(shí)，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個(gè)平面的交線．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過(guò)BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．(1)求證：BC∥GH；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BE⊥PC于E，且BE＝eq\f(\r(6),3)a，試在AB上找一點(diǎn)F，使EF∥平面PAD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華解決面面平行問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過(guò)于“模式化”．(2)解答探索性問(wèn)題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)．(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))?β∥α性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b常用結(jié)論1．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.3．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.4．若α∥β，a?α，則a∥β.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．(×)(2)若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.(×)(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也相互平行．(×)教材改編題1．平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α答案D解析若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，排除B；若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，排除C.2．已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列說(shuō)法正確的是()A．若l∥m，l∥β，則m∥βB．若α∥β，m?α，l?β，則m∥lC．若m⊥α，l⊥m，則l∥αD．若m∥α，m?β，α∩β＝l，則m∥l答案D解析對(duì)于A，若l∥m，l∥β，則m∥β或m?β，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若α∥β，m?α，l?β，則m∥l或l，m異面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m⊥α，l⊥m，則l∥α或l?α，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由線面平行的性質(zhì)知正確．3.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)_____．答案平行四邊形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD,PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點(diǎn)．求證：BE∥平面PAD.證明方法一如圖，取PD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)A.由題意知EF為△PDC的中位線，∴EF∥CD，且EF＝eq\f(1,2)CD＝2.又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法二如圖，延長(zhǎng)DA，CB相交于H，連接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴eq\f(HB,HC)＝eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,2)，即B為HC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，∴BE∥PH，又BE?平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法三如圖，取CD的中點(diǎn)H，連接BH，HE，∵E為PC的中點(diǎn)，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知AB綉DH，∴四邊形ABHD為平行四邊形，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)例2如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面確定交線．跟蹤訓(xùn)練1如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，PD＝AB＝2，AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)．設(shè)平面PDC∩平面PBE＝l.證明：(1)DF∥平面PBE；(2)DF∥l.證明(1)取PB中點(diǎn)G，連接FG，EG，因?yàn)辄c(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以DF∥GE，因?yàn)镈F?平面PBE，GE?平面PBE，所以DF∥平面PBE；(2)由(1)知DF∥平面PBE，又DF?平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，證明：B1D1∥l.證明(1)由題設(shè)知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因?yàn)锳1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因?yàn)锽D∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，又B1D1∥BD，所以B1D1∥l.思維升華(1)證明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．③利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．(2)當(dāng)已知兩平面平行時(shí)，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個(gè)平面的交線．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過(guò)BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BE⊥PC于E，且BE＝eq\f(\r(6),3)a，試在AB上找一點(diǎn)F，使EF∥平面PAD.解如圖，在平面PCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交PD于點(diǎn)G，連接AG，在AB上取點(diǎn)F，使AF＝EG，因?yàn)镋G∥CD∥AF，EG＝AF，所以四邊形FEGA為平行四邊形，所以EF∥AG.又AG?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.所以點(diǎn)F即為所求的點(diǎn)．又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.設(shè)PA＝x，則PC＝eq\r(2a2＋x2)，由PB·BC＝PC·BE，得eq\r(a2＋x2)·a＝eq\r(2a2＋x2)·eq\f(\r(6),3)a，所以x＝a，即PA＝a，所以PC＝eq\r(3)a.又CE＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a))2)＝eq\f(\r(3),3)a，所以eq\f(PE,PC)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(GE,CD)＝eq\f(PE,PC)＝eq\f(2,3)，即GE＝eq\f(2,3)CD＝eq\f(2,3)a，所以AF＝eq\f(2,3)a.故點(diǎn)F是AB上靠近B點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．思維升華解決面面平行問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過(guò)于“模式化”．(2)解答探索性問(wèn)題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)．(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.如圖，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．在△A1BC1中，O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，∴OD1∥BC1.又OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1.因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.課時(shí)精練1.如圖，已知P為四邊形ABCD外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BD，PD上的點(diǎn)，若EF∥平面PBC，則()A．EF∥PAB．EF∥PBC．EF∥PCD．以上均有可能答案B解析由線面平行的性質(zhì)定理可知EF∥PB.2．已知三條互不相同的直線l，m，n和三個(gè)互不相同的平面α，β，γ，現(xiàn)給出下列三個(gè)命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．3B．2C．1D．0答案C解析對(duì)于①，兩條異面直線分別在兩個(gè)平面內(nèi)，這兩個(gè)平面可能平行，也可能相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，兩個(gè)平行平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線的位置關(guān)系是平行或異面，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)閘∥γ，l?α，α∩γ＝n，所以由線面平行的性質(zhì)定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正確，因此真命題的個(gè)數(shù)為1.3.在如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能答案B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.4．設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案C解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以平行，③正確．5．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案D解析對(duì)于A選項(xiàng)，由正方體性質(zhì)可知AB∥NQ，因?yàn)镹Q?平面MNQ，AB?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，故排除A；對(duì)于B，C選項(xiàng)，由正方體性質(zhì)可知AB∥MQ，因?yàn)镸Q?平面MNQ，AB?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，故排除B，C；對(duì)于D選項(xiàng)，由正方體性質(zhì)易知，直線AB與平面MNQ不平行．6.(2023·廣州模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，過(guò)MN作一平面分別交底面△ABC的邊BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則()A．MF∥EBB．A1B1∥NEC．四邊形MNEF為平行四邊形D．四邊形MNEF為梯形答案D解析由于B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共面，F(xiàn)∈平面BEF，M?平面BEF，故MF，EB為異面直線，故A錯(cuò)誤；由于B1，N，E三點(diǎn)共面，B1∈平面B1NE，A1?平面B1NE，故A1B1，NE為異面直線，故B錯(cuò)誤；∵在平行四邊形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四邊形AMNB為平行四邊形，∴MN∥AB.又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，顯然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠M(fèi)N，∴四邊形MNEF為梯形，故C錯(cuò)誤，D正確．7.如圖，平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線a，b分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知AB＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.答案eq\f(7,2)解析過(guò)點(diǎn)D作直線AB的平行線分別交平面β與平面γ于點(diǎn)M，N，連接AD，BM，CN，ME，NF，如圖所示，所以AD∥BM∥CN，ME∥NF，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(DM,MN)＝eq\f(DE,EF)，因?yàn)锳B＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，所以eq\f(2,BC)＝eq\f(4,3)，解得BC＝eq\f(3,2)cm，所以AC＝AB＋BC＝2＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,2)(cm)．8.如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)_______．答案矩形解析因?yàn)镃D∥平面EFGH，CD?平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四邊形EFGH為平行四邊形．又因?yàn)镃D⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四邊形EFGH為矩形．9.如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明(1)如圖，設(shè)DF與GN的交點(diǎn)為O，連接AE，則AE必過(guò)點(diǎn)O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又MN?平面MNG，BD?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.10．如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，BP⊥AD，垂足為P，將△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，連接AD，AC，M為棱AD的中點(diǎn)，連接CM.試分別在BP，CD上確定點(diǎn)E，F(xiàn)，使平面MEF∥平面ABC.解E，F(xiàn)分別為BP，CD的中點(diǎn)時(shí)，可使平面MEF∥平面ABC，證明如下：如圖，取BP的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，連接ME，MF，EF.∵M(jìn)，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)，∴MF∥AC.∵M(jìn)F?平面ABC，AC?平面ABC，∴MF∥平面ABC，又E為BP的中點(diǎn)，且四邊形PBCD為梯形，∴EF∥BC.∵EF?平面ABC，BC?平面ABC，∴EF∥平面ABC，∵M(jìn)F∩EF＝F，MF，EF?平面MEF，∴平面MEF∥平面ABC.11.如圖，向透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD－A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個(gè)結(jié)論，其中不正確的是()A．沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．棱A1D1始終與水面所在的平面平行D．當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，BE·BF是定值答案B解析由題圖，顯然A是正確的，B是錯(cuò)誤的；對(duì)于C，因?yàn)锳1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且FG?平面EFGH，A1D1?平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正確的；因?yàn)樗嵌康?定體積V)．所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即D是正確的．12.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PA上，且EF∥平面PCD，直線PD與平面CEF交于點(diǎn)H，則線段CH的長(zhǎng)度為()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)答案C解析∵PD與平面CEF交于點(diǎn)H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，過(guò)點(diǎn)H作HM∥PA交AD于點(diǎn)M，連接CM，如圖所示．∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，∴平面AEF∥平面CHM.∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE∥CM.又BC∥AM，∴四邊形ABCM為平行四邊形，∴AM＝BC＝2.又AD＝4，∴M是AD的中點(diǎn)，則H為PD的中點(diǎn)，∴CH＝eq\r(CM2＋MH2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).13.如圖，在正方體A