第6章平面對量及其應(yīng)用章末綜合提升類型1平面對量的線性運算1．向量的線性運算有平面對量及其坐標運算的加法、減法、數(shù)乘運算，以及平面對量的基本定理、共線定理，主要考查向量的線性運算和依據(jù)線性運算求參問題．2．通過向量的線性運算，培育數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng)．【例1】(1)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB＝()A．34AB－14ACC．34AB＋14AC(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________．(1)A(2)12[(1)法一：如圖所示，EB＝ED+DB＝12AD＋12CB＝12×12法二：EB＝AB-AE＝AB－12AD＝AB－12×12(2)2a＋b＝(4，2)，因為c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝12類型2平面對量數(shù)量積的運算1．平面對量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，重點是數(shù)量積的運算，利用向量的數(shù)量積推斷兩向量平行、垂直，求兩向量的夾角，計算向量的模等．2．通過向量的數(shù)量積運算，提升邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．【例2】(1)(多選)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b滿意b·(a＋b)＝3，則()A．|b|＝2B．(2a＋b)∥(a＋2b)C．向量2a－b與a－2b的夾角為πD．向量a在向量b上的投影向量的模為5(2)(2024·全國甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb．若a⊥c，則k＝________．(1)AC(2)－103[(1)將a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝-12+1因為2a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b與a＋2b不平行，故B錯誤；設(shè)向量2a－b與a－2b的夾角為θ，因為2a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cosθ＝2a-b·a-2b2a-ba-2向量a在向量b上的投影向量的模為a·bb＝12＝(2)c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－103類型3利用余弦、正弦定理解三角形1．常以余弦定理和正弦定理的應(yīng)用為背景，融合三角形面積公式、三角恒等變換等，體現(xiàn)了學問的交匯性．2．借助解三角形，培育邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)．【例3】(2024·湖南長郡中學月考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為3，且滿意43sinBcosC＝2a－c．(1)求角B；(2)若AC邊上的中線長為52，求△ABC[解](1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為3，則a＝23sinA，c＝23sinC，又43sinBcosC＝2a－c，則2sinBcosC＝2sinA－sinC，則2sinBcosC＝2sinBcosC＋2cosBsinC－sinC，又sinC＞0，即cosB＝12又0＜B＜π，則B＝π3(2)由題意可得b＝23sinB＝23×32＝3又AC邊上的中線長為52則|BA+BC|＝即c2＋a2＋2×ac×12＝25即a2＋c2＋ac＝25，①又由余弦定理可得a2＋c2－2ac×12＝9即a2＋c2－ac＝9，②由①②可得ac＝8，即△ABC的面積為12acsinB＝12×8×32＝類型4余弦、正弦定理在實際問題中的應(yīng)用1．余弦定理和正弦定理在實際生活中的應(yīng)用主要涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等許多方面．解決這類問題，關(guān)鍵是依據(jù)題意畫出示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用定理求解．留意隱含條件和最終將結(jié)果還原為實際問題進行檢驗．2．將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為三角形模型，提升邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng)．【例4】甲船在靜水中的速度為40海里/時，當甲船在點A時，測得海面上乙船擱淺在其南偏東60°方向的點P處，甲船接著向北航行0.5小時后到達點B，測得乙船P在其南偏東30°方向．(1)假設(shè)水流速度為0，畫出兩船的位置圖，標出相應(yīng)角度并求出點B與點P之間的距離；(2)若水流的速度為10海里/時，方向向正東方向，甲船保持40海里/時的靜水速度不變，從點B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船頭方向與實際行進方向所成角的正弦值．[解](1)兩船的位置圖如下：由圖可得，∠PAB＝120°，∠APB＝30°，所以AB＝AP＝40×0.5＝20，所以由余弦定理可得PB＝A＝400+400+400＝203，所以點B與點P之間的距離為203海里．(2)如圖，BC的方向為水流的方向，BD的方向為船頭的方向，BP的方向為實際行進的方向，其中BD＝4BC，∠CBP＝∠BPD＝60°．在△BPD中，由正弦定理可得PDsin∠PBD所以sin∠PBD＝PDBDsin∠BPD＝14×32即甲船的船頭方向與實際行進方向所成角的正弦值為38章末綜合測評(一)平面對量及其應(yīng)用(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2024·廣東執(zhí)信中學月考)下列說法正確的是()A．單位向量都相等B．隨意向量的模都是正數(shù)C．若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB＝DCD．NQ+QPC[對于C，?ABCD中，AB＝DC，且向量AB與DC同向，則AB＝DC，C正確．故選C．]2．(2024·哈爾濱工業(yè)高校附中期中)向量b＝1，2在向量a＝-1，A．-12C．12，D[依據(jù)題意可得：a·b＝－1＋2＝1，a＝2，向量b＝1，2在向量a＝-1，1上的投影向量為a·ba×3．已知△ABC的其中兩邊長分別為2，3，這兩邊的夾角的余弦值為13，則△ABC的外接圓的半徑為(A．922B．924C．92C[由題意知，邊長分別為2，3的兩邊的夾角的正弦值為1-19＝223．又由余弦定理可得第三邊的長為22+32-2×2×4．(2024·全國Ⅲ卷)已知向量a，b滿意|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉＝()A．－3135 B．－C．1735 D．D[由題意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝a2+2a·b+b2＝25-12+36＝7，所以cos〈a，a5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若b2＋c2－a2＝65bc，則sin(B＋C)的值為(A．－45 B．C．－35 D．B[由b2＋c2－a2＝65bc，得cosA＝b2+c2-a22bc＝35，則sin(6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為315，b－c＝2，cosA＝－14，則△ABC的周長為(A．18 B．16C．20 D．15A[在△ABC中，由cosA＝－14，可得sinA＝154，所以12bc×154＝315，即bc＝24．由余弦定理得a2＝b2＋c2＋2bc×14＝b2＋c2＋12bc，聯(lián)立bc=24，a2=b2+c27．已知非零向量AB與AC滿意ABAB+ACAC·BC＝0且ABAB·CAAC＝12A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形C[由ABAB+ACAC·BC＝0，得∠A的平分線垂直于BC，所以AB＝AC，設(shè)而ABAB·CAAC＝cosθ＝又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，∠BAC＝π－π3＝23π，故△8．如圖，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC邊上一點，DC＝5，DA＝7，則AB的長為()A．42 B．43C．8 D．46D[因為DC＝5，DA＝7，AC＝8，所以cos∠ADC＝72+5因此cos∠ADB＝－17所以sin∠ADB＝43又B＝45°，DA＝7，由正弦定理，可得DAsinB＝所以AB＝DA·sin∠ADBsinB二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9．對隨意向量a，b，下列關(guān)系式中恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2ACD[|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正確；由向量的運算法則知C，D正確；當b＝－a≠0時，|a－b|＞||a|－|b||，故B錯誤．故選ACD．]10．(2024·遼寧沈陽二中期中)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列命題為真命題的是()A．若A>B，則sinA>sinBB．若sin2A＋sin2B<sin2C，則△ABC是鈍角三角形C．若acosA＝bcosB，則△ABC為等腰三角形D．若a＝8，c＝10，A＝60°，則符合條件的△ABC有兩個AB[對A選項，依據(jù)結(jié)論大角對大邊，則有a>b，又因為正弦定理asinA＝所以sinA>sinB，故A正確；對B選項，由sin2A＋sin2B<sin2C可得a2＋b2<c2，∴cosC<0，△ABC為鈍角三角形，故B正確；對C選項，由acosA＝bcosB可得sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，∴△ABC是直角三角形或等腰三角形，故C錯誤；對D選項，由正弦定理得sinC＝10×328＝538>1，故不存在滿意條件的11．(2024·山西晉城一中月考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2b-ccosA＝acosC，b＝23，若邊BC的中線AD＝3，則下列結(jié)論正確的有(A．A＝πB．A＝πC．AB·AC＝6D．△ABC的面積為33ACD[依據(jù)正弦定理，由2b-ccosA＝acosC?2sinBcosA－sinCcosA＝sinAcosC?2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin因為B∈(0，π)，所以sinB≠0，因此2cosA＝1?cosA＝12，因為A∈(0，π)，所以A＝π3，因此選項A正確，選項因為AD是中線，所以由AD＝12AB+AC?4AD2＝AB2＋AC2＋2AB·AC?36＝c2＋12＋2×23×12c?c＝23，或c＝－43舍去，因此AB·AC＝2△ABC的面積為12bcsinA＝12×23×23×32＝33，所以選項12．設(shè)點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法中正確的是()A．若AM＝12AB＋12AC，則點B．若AM＝2AB-AC，則點M在線段C．若AM＝－BM-CM，則點M是△D．若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，則△MBC的面積是△ABC面積的ACD[A項，AM＝12AB＋12AC?12AM－12AB＝12AC－12B項，AM＝2AB-AC?AM-AB＝AB-AC，即BM＝CB，則點C項，如圖，設(shè)BC的中點為D，則AM＝－BM-CM＝MB+MC＝2D項，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12?2AM＝2xAB＋2yAC，2x＋2y＝1，設(shè)AD＝2AM所以AD＝2xAB＋2yAC，2x＋2y＝1，可知B，C，D三點共線，所以△MBC的面積是△ABC面積的12，所以D正確．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．若|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，則m的值為________．238[由題意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos60°－5×4＝0，解得m＝2314．(2024·浙江高考)我國南宋聞名數(shù)學家秦九韶，發(fā)覺了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白．假如把這個方法寫成公式，就是S＝14c2a2-c2+a2-b222，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊234[法一：S＝142×4法二：cosA＝3+4-223×2＝543S＝12×3×2×6915．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2sinAsinBcosC＝sin2C，則a2+b2c2＝2π3[∵2sinAsinBcosC＝sin2C∴2abcosC＝c2?a2＋b2－c2＝c2?a2+b∴cosC＝a2+b2-∵0<C<π，∴0＜C≤π3，當且僅當a＝b即角C的最大值為π316．如圖所示，半圓的直徑AB＝2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的隨意一點，若P為半徑OC上的動點，則(PA+PB)·PC的最小值是－12[因為點O是AB所以PA+PB＝2設(shè)|PC|＝x，則|PO|＝1－x(0≤x≤1)，所以(PA+PB)·PC＝2PO·PC＝－2x(1－＝2x-12所以當x＝12時，(PA+PB)·PC四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知AB＝(－1，3)，BC＝(3，m)，CD＝(1，n)，且AD∥BC．(1)求實數(shù)n的值；(2)若AC⊥BD，求實數(shù)m的值．[解](1)因為AB＝(－1，3)，BC＝(3，m)，CD＝(1，n)，所以AD＝AB+BC+CD＝(3，3＋m因為AD∥BC，設(shè)AD＝λBC，即3=3λ，3+m+n=λm，解得(2)因為AC＝AB+BC＝(2，3＋mBD＝BC+CD＝(4，m－又AC⊥BD，所以AC·BD＝0，即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1．18．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知(a＋c)·(a－c)＝b(b＋c)．(1)求角A的大小；(2)在下列三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答．若b＝3，c＝4，點D是BC邊上的一點，且________，求線段AD的長．①AD是△ABC的中線；②AD是△ABC的角平分線；③BD＝2CD．注：若選擇多個條件解答，則按第一個計分．[解](1)由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，得b2＋c2－a2＝－bc，即cosA＝b2+c因為0<A<π，所以A＝2π(2)選①，由b＝3，c＝4，A＝2π則|AD|2＝12AB+12AC2＝14|AB|2＋14|AC|2＋12AB·AC＝14c2＋14b2＋12bc·cosA＝選②，因為S△ABC＝S△ADC＋S△ABD，b＝3，c＝4，A＝2π所以12bcsinA＝12b·ADsinA2＋12c·即12×3×4·sin2π3＝12×3AD·sinπ3＋12×4AD·sin選③，依題意，得AD＝AB＋23(AC-AB)＝13AB＋23AC，由b＝3則|AD|2＝13AB+23AC2＝19|AB|2＋49|AC|2＋49AB·AC＝19c2＋49b2＋49故AD＝2719．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2．(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面積；(2)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．[解](1)因為2sinC＝3sinA，則2c＝2(a＋2)＝3a，則a＝4，故b＝5，c＝6，cosC＝a2+b2-c22ab＝18，所以因此，S△ABC＝12absinC＝12×4×5×37(2)明顯c>b>a，若△ABC為鈍角三角形，則C為鈍角，由余弦定理的推論可得cosC＝a2+b2-c解得－1<a<3，則0<a<3，由三角形的三邊關(guān)系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，∵a∈Z，故a＝2．20．(本小題滿分12分)(2024·南京師大附中月考)如圖，在△OAB中，P為邊AB上的一點，BP＝2PA，|OA|＝6，|OB|＝2，且OA與OB的夾角為60°．(1)求OP的模長；(2)求OP·AB的值．[解](1)因為BP＝2PA，所以O(shè)P＝OB+BP＝OB＋23BA＝OB＋23(因為|OA|＝6，|OB|＝2，OA與OB的夾角為60°，所以O(shè)P2＝23OA+13OB2＝49OA2+49OA·OB+19OB2＝49(2)OP·AB＝23OA+13OB·(OB-OA)＝-23OA2＋13OA·OB＋13OB2＝－221．(本小題滿分12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知△ABC的面積為a2(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長．[解](1)由題設(shè)得12acsinB＝a即12csinB＝a由正弦定理得12sinCsinB＝sin故sinBsinC＝23(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12即cos(B＋C)＝－12所以B＋C＝2π3，故A＝法一：由題設(shè)得12bcsinA＝a23sin由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝33．故△ABC的周長為a＋b＋c＝3＋33．法二：因為a＝3，所以2R＝asinA＝23(R為△ABC外接圓的半徑所以sinB