引領二信息遷移探究運用探究一定義新概念例1[2024·湖南長沙長郡中學高三模擬]對于函數y＝f(x)，其定義域為D，假如存在區(qū)間[m，n]?D，同時滿意下列條件：①f(x)在[m，n]上是單調函數；②當f(x)的定義域為[m，n]時，值域也是[m，n]，則稱區(qū)間[m，n]是函數f(x)的“K區(qū)間”．若函數f(x)＝-x－aA．13，C．34，[聽課記錄]名師點題本題考查了新定義的函數，還考查了運算求解的實力，題目新奇 ，解題時應深刻理解新定義的概念，從而解答問題．對點訓練1.[2024·山西運城模擬]已知a<b，函數f(x)的定義域為I，若存在[a，b]?I，使得f(x)在[a，b]上的值域為[a，b]，我們就說f(x)是“類方函數”．下列四個函數中是“類方函數”的是()①f(x)＝－2x＋1；②f(x)＝x2；③f(x)＝x-④f(x)＝12A．①②B．②④C．②③D．③④探究二設置新運算例2[2024·湖南岳陽一中一模]定義集合A，B的一種運算：A?B＝{x|x＝a2－b，a∈A，b∈B}，若A＝{－1，0}，B＝{1，2}，則A?B中的元素個數為()A．1B．2C．3D．4名師點題本題考查了新定義的集合的運算，解題時應深刻理解新運算的概念，從而解答問題．對點訓練2.[2024·湖南雅禮中學一模]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則A⊕B中元素的個數為()A．77B．49C．45D．30探究三創(chuàng)設新題型角度1材料型例3據《北京日報》報道，北京9月啟動學生體質健康調查，全市約2.5萬名學生參與“體檢”．北京市一般大、中、小學校的6至22歲京籍、漢族學生均為此次調查對象．全市按城、鄉(xiāng)、男、女分為四類，每歲一組．各高校19至22歲學生每校每類每個年齡組樣本容量均為102.每所高校應上報有效卡片________張．若其中石景山區(qū)和門頭溝區(qū)減半，則這兩個區(qū)的每所高校應上報有效卡片________張．名師點題對于日常在網絡、電視或雜志中遇到的關于數據的報道，利用所學統計學問對數據進行分析，并得出相應的結論，是數學在日常生活中的重要應用．本題以學生體質健康調查為背景，考查考生的閱讀理解實力和對給出的數據進行統計分析的實力，滲透了數據分析、數學建模等核心素養(yǎng)．對點訓練3.[2024·安徽省合肥市高三質檢]扇面是中國書畫作品的一種重要表現形式．一幅扇面書法作品如圖所示，經測量，上、下兩條弧分別是半徑為27和12的兩個同心圓上的弧，側邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心且圓心角為2πA．15B．233C．102D．12角度2開放型例4[2024·新高考Ⅱ卷]已知雙曲線C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.過P且斜率為－3的直線與過Q且斜率為3的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．名師點題逐一以其中的兩個論斷為條件，看能否推出正確結論．對點訓練4.[2024·全國乙卷]以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為__________(寫出符合要求的一組答案即可)．角度3探究型例5[2024·長沙市明德中學模擬預料]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1A＝B1C，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，D為AC中點，tan∠BB1D＝512(1)求證：BC⊥B1D；(2)線段B1C1上是否存在一點E，使得AE與平面BCC1B1的夾角的正弦值為1274185？若存在，求出名師點題求解探究型問題的基本方法通常假設題中的數學對象存在(或結論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理，若能推導出與條件吻合的數據或事實，則說明假設成立，即存在，并可進一步證明；若推導出與條件或實際狀況相沖突的結論，則說明假設不成立，即不存在．提示對于立體幾何中的探究性問題可利用空間向量的坐標運算轉化為方程是否有解的問題處理．對點訓練5.[2024·黑龍江哈九中二模]在平面直角坐標系中，已知橢圓Γ：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A、B，右焦點F，且橢圓Γ過點(0，5)、2，53，過點F(1)求橢圓Γ的標準方程；(2)設直線AP、BQ的斜率分別為k1、k2，是否存在常數λ，使得k1＋λk2＝0？若存在，懇求出λ的值；若不存在，請說明理由．角度4結構不良型例6[2024·甘肅平涼二模]在①a1＝1，nan＋1＝n+1an，②問題：在數列{an}中，已知________________．(1)求{an}的通項公式；(2)若bn＝2an-13an，求數列{b注：假如選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分．名師點題對于結構不良問題，只需從給出的條件中選擇一個進行求解即可，一般來說，給出的選擇難度都是相同的，都包括邏輯推理與計算兩個方面，所以不要過多地考慮條件之間的差異性．解題時將選出的條件融合到已知條件中，然后處理相關的問題即可．其基本步驟如下：①定條件：即從給出的條件中選取一個相對熟識的條件，如三角形中的邊角關系，數列中項之間的關系，立體幾何中的線面關系等．②構模型：把選取的條件融合到已知條件中，然后構建解決問題的模型．③解模型：即求解所構建的模型，如求解相關的量等．對點訓練6.[2024·山東淄博一模]從①2a-3c3b＝cosCcosB，②sinA-3sinCsinB+sinC＝b記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若________，求角B的大?。ⅲ杭偃邕x擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．探究四題設新情境角度1與社會熱點的結合例72024年既是全面建成小康社會之年，又是脫貧攻堅收官之年，某地為鞏固脫貧攻堅成果，選派了5名工作人員到A，B，C三個村調研脫貧后的產業(yè)規(guī)劃狀況，每個村至少去1人，則不同的選派方法有()A．25種B．60種C．90種D．150種名師點題本題以2024年脫貧攻堅收官為背景，考查了計數原理與古典概型的概率，體現了統計原理、統計方法在數學教學中的重要地位，突出了對數學基礎學問、基本技能、基本思想、基本活動閱歷的考查．對點訓練7.[2024·石家莊10月質檢]北京冬奧會于2024年2月4日到2024年2月20日在北京和張家口實行．申奧勝利后，中國郵政接連發(fā)行多款郵票，圖案包括冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會祥瑞物“冰墩墩”、冬殘奧會祥瑞物“雪容融”、多種冰雪運動等．現從2枚會徽郵票、2枚祥瑞物郵票、1枚冰上運動郵票共5枚郵票中任取3枚，則恰有1枚祥瑞物郵票的概率為()A．310B．C．35D．角度2與科技前沿的結合例8[2024·全國乙卷]嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，接著進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星．為探討嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列bn：b1＝1＋1α1，b2＝1＋1α1+1α2，b3＝1＋1A．b1<b5B．b3<b8C．b6<b2D．b4<b7[聽課記錄]名師點題本題以嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后接著進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星為背景，考查學生綜合應用數列、函數、不等式等基礎學問視察問題、分析問題和解決問題的實力．對點訓練8.5G時代已經到來，5G的發(fā)展將干脆帶動包括運營、制造、服務在內的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進而對GDP增長產生干脆貢獻，并通過產業(yè)間的關聯效應和波及效應，間接帶動國民經濟各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)建出更多的經濟價值．如圖所示的統計圖是某單位結合近幾年的數據，對今后幾年的5G干脆經濟產出做出的預料．由上圖供應的信息可知下列說法不正確的是()A．運營商的5G干脆經濟產出逐年增加B．設備制造商的5G干脆經濟產出前期增長較快，后期放緩C．設備制造商在各年的5G干脆經濟產出中始終處于領先地位D．信息服務商與運營商的5G干脆經濟產出的差距有逐步拉大的趨勢角度3與生產生活的結合例9[2024·全國甲卷]某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類學問．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類學問問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則()A．講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差名師點題本題以垃圾分類為背景，考查了統計圖表的應用，考查了數據分析的核心素養(yǎng)．對點訓練9.[2024·長沙長郡中學模擬]習近平總書記深刻指出，提倡環(huán)保意識、生態(tài)意識，構建全社會共同參與的環(huán)境治理體系，讓生態(tài)環(huán)保思想成為社會生活中的主流文化．為使排放的廢氣中含有的污染物量削減，某化工企業(yè)探究改良工藝，已知改良前所排放的廢氣中含有的污染物量為2mg/cm3，首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物量為1.94mg/cm3.設改良前所排放的廢氣中含有的污染物量為r0(單位：mg/cm3)，首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物量為r1(單位：mg/cm3)，則第n次改良后所排放的廢氣中的污染物量rn(單位：mg/cm3)滿意函數模型rn＝r0－(r0－r1)×50.5n＋p(p∈R，n∈N*)．(1)試求rn的函數模型；(2)依據當地環(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量不能超過0.08mg/cm3.試問：至少進行多少次改良才能使該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量達標？(參考數據：lg2≈0.3)角度4與其他學科的融合例10[2024·全國甲卷]甲、乙兩個學校進行體育競賽，競賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目競賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的競賽結果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．名師點題本題以學校體育競賽為背景，考查了概率的基礎學問和求離散型隨機變量的分布列與期望的方法，體現了對高考數學的應用性、創(chuàng)新性的考查要求．對點訓練10.(與物理學科的融合)汽車智能幫助駕駛自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離(并結合車速轉化為所需時間)，當此距離等于報警距離時就起先報警提示，等于緊急距離時就自動剎車，某種算法(如圖所示)將報警時間(單位：秒)劃分為4段，分別為打算時間t0、人的反應時間t1、系統反應時間t2、制動時間t3，相應的距離(單位：米)分別為d0，d1，d2，d3，當車速為v(單位：米/秒)，且v∈(0，33.3]時，通過大數據統計分析得到表中所給的數據(其中系數k隨地面濕滑程度等路面狀況而變更，k∈[0.5，0.9])．階段打算人的反應系統反應制動時間t0t1＝0.8t2＝0.2t3距離d0＝20d1d2d3＝v若要求汽車不論在何種路面狀況下行駛，報警距離均小于80米，則汽車的行駛速度不應超過()A．65千米/時B．72千米/時C．81千米/時D．90千米/時引領二信息遷移探究運用探究一[例1]解析：f(x)為減函數，所以-m兩式相減化簡得-m+-n＝1.代入問題轉化為函數y＝a與函數y＝x2－x＋1(x≥0)有兩個交點，結合圖象可知a∈34答案：C對點訓練1．解析：①中，假設f(x)＝－2x＋1是“類方函數”，因為f(x)＝－2x＋1單調遞減，所以fa=bfb=a，即-②中，假設f(x)＝x2是“類方函數”，因為f(x)≥0，所以[a，b]?[0，＋∞)，所以a≥0，所以f(x)＝x2在[a，b]上單調遞增，所以fa=afb=b，即a2=ab2③中，假設f(x)＝x-2＋2是“類方函數”，易知f(x)＝x-2＋2在[2，＋∞)上單調遞增，且f(x)≥2，所以a≥2，且fa=a，fb=b，④中，假設f(x)＝12x是“類方函數”，易知f(x)＝12x在R上單調遞減，且f(x)>0，所以a>0，且f(a)=b，f(b)=a，所以12a=b12b=a答案：C探究二[例2]解析：因為A?B＝{x|x＝a2－b，a∈A，b∈B}，A＝{－1，0}，B＝{1，2}，所以A?B＝{0，－1，－2}，故集合A?B中的元素個數為3，故選C.答案：C對點訓練2．解析：因為集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5個元素(即5個點)，即圖中圓中的整點，集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25個元素(即25個點)：即圖中正方形ABCD中的整點，集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整點(除去四個頂點)，即7×7－4＝45個．答案：C探究三角度1[例3]解析：依據題意，各高校19至22歲學生需分成4個年齡組，每個年齡組需分城、鄉(xiāng)、男、女四類，每校每類每個年齡組樣本容量均為102.所以每所高校應上報有效卡片102×4×4＝1632(張)，石景山區(qū)與門頭溝區(qū)的每所高校應上報有效卡片16322答案：1632816對點訓練3．解析：設一個圓錐的側面綻開圖是半徑為27，圓心角為2π3的扇形，設該圓錐的底面半徑為r，所以，2πr＝2π3×27，可得r＝9，因此，該圓錐的高為h＝故側面綻開圖是半徑為12，圓心角為2π3的扇形的圓錐的高為1227h＝49×18因此，若某幾何體的側面綻開圖恰好與圖中扇面形態(tài)、大小一樣，則該幾何體的高為182－82＝102.故選C.答案：C角度2[例4]解析：(1)由題意可得ba=所以C的方程為x2－y2(2)當直線PQ斜率不存在時，x1＝x2，但x1>x2>0，所以直線PQ斜率存在，所以設直線PQ的方程為y＝kx＋b(k≠0)．聯立得方程組y=kx+b消去y并整理，得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0.則x1＋x2＝2kb3-k2，x1x2＝b2+3k2-3，因為x1>x2>0，所以x1x2＝b2+3k2所以x1－x2＝23設點M的坐標為(xM，yM)，則yM－y2＝3(xM－x2)，yM－y1＝－3(xM－x1)，兩式相減，得y1－y2＝23xM－3(x1＋x2)．因為y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，所以23xM＝k(x1－x2)＋3(x1＋x2)，解得xM＝kb兩式相加，得2yM－(y1＋y2)＝3(x1－x2)．因為y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，所以2yM＝k(x1＋x2)＋3(x1－x2)＋2b，解得yM＝3b2+3-k所以點M的軌跡為直線y＝3kx，其中k為直線PQ選擇①②.因為PQ∥AB，所以kAB＝k.設直線AB的方程為y＝k(x－2)，并設點A的坐標為(xA，yA)，點B的坐標為(xB，yB)，則yA=kxA-2，yA=3同理可得xB＝2kk+3，yB＝－此時xA＋xB＝4k2k2-3，yA因為點M在AB上，且其軌跡為直線y＝3kx所以y解得xM＝2k2k2-3＝xA+所以點M為AB的中點，即|MA|＝|MB|.選擇①③.當直線AB的斜率不存在時，點M即為點F(2，0)，此時點M不在直線y＝3kx上，與題設沖突，故直線AB當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝m(x－2)(m≠0)，并設點A的坐標為(xA，yA)，點B的坐標為(xB，yB)，則y解得xA＝2mm-3，yA同理可得xB＝2mm+3，yB＝－此時xM＝xA+xB2＝2m2m2-3，yM＝yA+yB2＝6mm2-3.由于點M同時在直線選擇②③.因為PQ∥AB，所以kAB＝k.設直線AB的方程為y＝k(x－2)，并設點A的坐標為(xA，yA)，點B的坐標為(xB，yB)，則yA=kxA-2，yA=3同理可得xB＝2kk+3，yB＝－設AB的中點為C(xC，yC)，則xC＝xA+xB2＝2k2k因為|MA|＝|MB|，所以點M在AB的垂直平分線上，即點M在直線y－yC＝－1k(x－xC將該直線方程與y＝3kx聯立，解得xM＝2k2k2-3＝xC，yM＝6kk2-3＝對點訓練4．解析：依據“長對正、高平齊、寬相等”及圖中數據，可知圖②③只能是側視圖，圖④⑤只能是俯視圖，則組成某個三棱錐的三視圖，所選側視圖和俯視圖的編號依次是③④或②⑤.若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示．答案：③④(答案不唯一，②⑤也可)角度3[例5]解析：(1)證明：因為B1A＝B1C，且D為AC中點，所以B1D⊥AC.又因為tan∠BB1D＝512，所以cos∠BB1D＝12由余弦定理，cos∠BB1D＝132+B1D2-因為BD2＋B1D2＝BB12，由勾股定理知，BD⊥B1又因為BD∩AC＝D，所以B1D⊥平面ABC因為BC?平面ABC，所以BC⊥B1D.(2)過點D作Dx⊥AC，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A(0，－5，0)，B245，75，0BC＝B1C1＝-245，185，0?C1-245，18解得AE＝-24設平面BCC1B1的一個法向量為m＝(x，y，z)，則m·BC=0令y＝1，解得平面BCC1B1的一個法向量為m＝34設AE與平面BCC1B1的夾角為θ，則sinθ＝|cos〈AE，m〉|＝1274解得λ＝13或λ＝－4綜上，E為線段B1C1上靠近B1的三等分點．對點訓練5．解析：(1)因為橢圓Γ過點(0，5)、2，53，則有b=54(2)設存在常數λ，使得k1＋λk2＝0.由題意可設直線l的方程為x＝my＋2，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由x=my+2，x29+y25=1，得(5m2＋9)y2＋20my－25＝0，Δ＝900(m2＋1)>0，且y1＋y2＝－20m5m2+9，y1y即y22x22-9所以－λ＝-9y1即－λ＝-－λ＝-＝-9-255m2+95×2255m2角度4[例6]解析：(1)選擇①.因為nan＋1＝(n＋1)an，所以an+1n+1＝an又a11＝1，所以ann＝1，故a選擇②.因為2a1+2所以當n＝1時，2a1＝22－2＝2，解得a1＝1，當n≥2時，故n≥2時，由(ⅰ)－(ⅱ)可得，2an＝2n＋1－2n＝2n，所以an＝n.又a1＝1，所以an(2)由(1)可知，bn＝2n-13n，則Sn＝13兩式相減得23Sn＝13+232+233＋…＋2對點訓練6．解析：若選①：2a-3c3b＝cosCcosB，2sinA-3sinC3sinB＝cosCcoscosB＝32，B＝π若選②：sinA-3sinCsinB+sinC＝b-ca，a-3ccosB＝32，B＝π若選③：asinBsinC－bcosAcosC＝32b，sinAsinBsinC－sinBcosAcosC＝32sin－cos(A＋C)＝cosB＝32，B＝π探究四角度1[例7]解析：方法一(分組支配)把5名工作人員分成3組，有兩類分法：①分成2個1人組，1個3人組，則不同的分法有C51C所以共有10＋15＝25(種)分組方法，故不同的選派方法有25A3方法二(解除法)因為5個工作人員僅去一個村的選派方法有C35個工作人員僅去兩個村的選派方法有25所以5個工作人員去三個村的選派方法有35－90－3＝150(種).故選D.答案：D對點訓練7．解析：方法一(組合數法)從5枚郵票中任取3枚的基本領件總數為C53枚中恰有1枚祥瑞物郵票的基本領件數為C2所以恰有1枚祥瑞物郵票的概率為P＝610＝3方法二(枚舉法)記5枚郵票中祥瑞物郵票為x，y，其余三枚為a，b，c，則從5枚郵票中任取3枚的基本領件為abc，abx，aby，bcx，bcy，acx，acy，axy，bxy，cxy，共10個．3枚中恰有1枚祥瑞物郵票的基本領件為abx，aby，bcx，bcy，acx，acy，共6個．所以恰有1枚祥瑞物郵票的概率為P＝610＝3答案：C角度2[例8]解析：方法一因為αk∈N*(k＝1，2，…)，所以0<1αk≤1，所以α1<α1＋1α2+1α3+1α4+1α5，所以b1>b5，所以A錯誤．同理α3<α3＋1α4+1α5+1α6+1α7+1α8.設1α4+1α5+1α6+1α7+1α8＝t1，所以α2＋1α3>α2＋1α3+t1，則α1＋1α2+1α3<α1＋1α2+1α3+t1，所以b3>b8，所以B錯誤．同理α2<α方法二此題可賦特別值驗證一般規(guī)律，不必以一般形式做太多證明，以節(jié)約時間．由αk∈N*，可令αk＝1，則b1＝2，b2＝32，b3＝53，b4＝85.分子、分母分別構成斐波那契數列，可得b5＝138，b6＝2113，b7＝3421答案：D對點訓練8．解析：依據已知統計圖，視察白色矩形，可得運營商的5G干脆經濟產出逐年增加，A正確．視察黑色矩形和灰色矩形，可得設備制造商的5G干脆經濟產出前期增長較快，后期放緩，到2029年被信息服務商超過，B正確，C錯誤．視察灰色矩形和白色矩形，可得信息服務商與運營商的5G干脆經濟產出的差距有逐步拉大的趨勢，D正確．答案：C角度3[例9]解析：由統計圖可知，講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率分別為65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.對于A項，將這10個數據從小到大排列為60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此這10個數據的中位數是第5個與第6個數的平均數，為70%+75%2＝72.5%＞70%，A錯誤．對于B項，由統計圖可知，講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率分別為90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的平均數為110×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正確．對于C項，講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的方差s后2＝110×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝42.2510000，所以標準差s后＝6.5%.講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的平均數為110×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的方差為