專題05平行四邊形六大模型模型一：中點四邊形模型二：梯子模型模型三：十字架模型四：對角互補模型五：半角模型模型六：與正方形有關(guān)三垂線模型一：中點四邊形中點四邊形:依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形O。結(jié)論1:點M、N、P、Q是任意四邊形的中點，則四邊形MNPQ是平行四邊形結(jié)論2:對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形結(jié)論3：對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形結(jié)論4:對角線垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形【典例1】（2024?長沙模擬）如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點，則四邊形EFGH一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【變式1-1】（2023?陽春市二模）若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD一定是（）A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等【變式1-2】（2023?銅川一模）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線，順次連接四邊形ABCD各邊中點得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【變式1-3】（2023春?宿豫區(qū)期中）順次連接對角線相等且垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形模型二：梯子模型如下圖，一根長度一定的梯子斜靠在豎直墻面上,當(dāng)梯子底端滑動時,探究梯子上某點(如中點)或梯子構(gòu)成圖形上的點的軌跡模型(圖2),就是所謂的梯子模型。[考查方向]已知一條線段的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動,求線段最值問題。模型一:如圖所示,線段AC的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動，LACB=ZAOC=90°AC的中點為P,連接OP、BP、OB,則當(dāng)O、P、B三點共線時,此時線段OB最大值。即已知RtAACB中AC、BC的長,就可求出梯子模型中OB的最值模型二:如圖所示,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當(dāng)點A在邊OM上運動時,點B隨之在ON上運動，且運動的過程中矩形ABCD形狀保持不變，AB的中點為P,連接OP、PD、OD,則當(dāng)O、P、D三點共線時,此時線段OD取最大值【典例2】如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝2．運動過程中點D到點O的最大距離是．【變式2-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，點A在y軸上，點C在x軸上，則點A在移動過程中，BO的最大值是．【變式2-2】如圖，∠MEN＝90°，矩形ABCD的頂點B，C分別是∠MEN兩邊上的動點，已知BC＝10，CD＝5，點D，E之間距離的最大值是．模型三：十字架第一種情況：過頂點在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，證明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二種情況：不過頂點在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的點，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下證明在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別AB、BC、CD、DA邊上的點，其中：EG⊥FH，可得EG=FH【典例3】（2023春?商南縣校級期末）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，CE，DF相交于點G，連接AG，求證：（1）CE⊥DF．（2）∠AGE＝∠CDF．【變式3-1】（2023?黃石）如圖，正方形ABCD中，點M，N分別在AB，BC上，且BM＝CN，AN與DM相交于點P．（1）求證：△ABN≌△DAM；（2）求∠APM的大?。咀兪?-2】（2023秋?惠陽區(qū)校級月考）如圖1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，連接BE，DG．（1）請判斷BE與DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖2，已知AB＝4，，當(dāng)點F在邊AD上時，求BE的長．【變式3-3】（2023春?濱州期末）已知ABCD是一個正方形花園．（1）如圖1，E、F是它的兩個門，且DE＝CF，要修建兩條路BE和AF，問這兩條路等長嗎？為什么？（2）如圖2，在正方形四邊各開一個門E、F、G、H，并修建兩條路EG和FH，使得EG⊥FH，問這兩條路等長嗎？為什么？模型四：對角互補對角互補模型：即四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。主要分為含90°與120°的兩種對角互補類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形全等或者相似.模型一：含90°的全等型1.如圖1，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.則可以得到如下幾個結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S=S+S=OC.2.如圖2，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D，∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.則可得到如下幾個結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-S=OC.圖1圖2圖3模型二、：含60°與120°的全等型如圖3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120o，OC平分∠AOB.則可得到如下幾個結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S=OC.【典例4】在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，對角線AC平分∠BAD．（1）如圖1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，試探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，若將（1）中的條件“∠B＝90°”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由；（3）如圖3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求線段AC的長和四邊形ABCD的面積．【變式4-1】如圖，點P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上．（1）求點P的坐標(biāo)．（2）當(dāng)∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時，①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．②請求出OA2+OB2的最小值．【變式4-2】四邊形ABCD若滿足∠A+∠C＝180°，則我們稱該四邊形為“對角互補四邊形”．（1）四邊形ABCD為對角互補四邊形，且∠B：∠C：∠D＝2：3：4，則∠A的度數(shù)為；（2）如圖1，四邊形ABCD為對角互補四邊形，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD．求證：AC平分∠BCD．小云同學(xué)是這么做的：延長CD至M，使得DM＝BC，連AM，可證明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此證明出AC平分∠BCD，還可以知道CB、CD、CA三者關(guān)系為：；（3）如圖2，四邊形ABCD為對角互補四邊形，且滿足∠BAD＝60°，AB＝AD，試證明：①AC平分∠BCD；②CA＝CB+CD；（4）如圖3，四邊形ABCD為對角互補四邊形，且滿足∠ABC＝60°，AD＝CD，則BA、BC、BD三者關(guān)系為：．模型五：半角模型（1）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，過點A作AG⊥于EF于點G，則：EF=BE+DF，AG=AD.圖示（1）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°（2）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CB，DC的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，則：EF=DF-BE.圖示（2）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°【典例5】已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）【變式5-1】（2022春?西山區(qū)校級月考）如圖，已知正方形ABCD，點E、F分別是AB、BC邊上，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的邊長為5，AE＝2時，求EF的長？【變式5-2】（2022春?路北區(qū)期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．（1）求證：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的長為．【變式5-3】（2022秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點的∠EAF＝45°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．易證得EF＝BE+FD．大致證明思路：如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三點共線，∠HAE＝∠EAF＝45°，進(jìn)而可證明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF．任務(wù)：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A為頂點的∠EAF＝60°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．請參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．模型六：與正方形有關(guān)三垂線【典例6】（2023春?中山市校級期中）如圖①，正方形ABCD中，E是BC的中點，∠AEF＝90°，EF交正方形外角∠DCG的角平分線CF于點F，（1）求證AE＝EF；（2）當(dāng)E為BC延長線上一點，其余條件不變，請在圖②中畫出圖形，猜想（1）中結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．【變式6-1】（2022秋?宿城區(qū)校級期末）如圖，已知正方形OABC的邊長為8，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點D是x軸上一點，坐標(biāo)為（2，0），點E為OC的中點，連接BD、BE、ED．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）判斷△BED的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式6-2】（2023春?圍場縣期末）如圖所示，在正方形ABCD中，AB＝4，點E為邊BC的中點，F(xiàn)為CD邊上一動點，滿足∠AEF＝90°．（1）求CF的長．（2）求△AEF的面積．【變式6-3】（2023春?河?xùn)|區(qū)期中）如圖：四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．（1）連接AF，判斷△AEF的形狀，并證明；（2）若AB＝4，求△AEF的面積；（3）連接AC，求的值．1．（2023?商丘模擬）一個四邊形四邊中點的連線所構(gòu)成的中點四邊形是菱形，那么這個原四邊形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．對角線相等2.（2023春?路北區(qū)期末）順次連接矩形各邊中點，所得圖形的對角線一定滿足（）A．互相平分． B．互相平分且相等 C．互相垂直． D．互相平分且垂直3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是．4．（2023秋?龍口市期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在直線AB，AD上，且∠ECF＝45°，連接EF．（1）當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上時，如圖1．請?zhí)骄烤€段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（2）當(dāng)E，F(xiàn)分別在BA，AD的延長線上時，如圖2．試探究線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．5．（2023?天心區(qū)校級三模）如圖，正方形ABCD中，E是BC上的一點，連接AE，過B點作BG⊥AE，垂足為點G，延長BG交CD于點F，連接AF．（1）求證：BE＝CF．（2）若正方形邊長是5，BE＝2，求AF的長．6．（2023秋?惠州期中）如圖，正方形ABCD中，AB＝6，動點E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，連接EF．（1）求證：EF＝BE+DF；（2）若BE＝3，求線段DF的長．7．（2023春?曹縣期中）如圖，正方形ABCD中，E是AB邊上一點，連接CE，過點B作BF⊥CE于點G，交AD于點F．（1）求證：BF＝CE；（2）若正方形ABCD的邊長5cm，點E是AB的中點，求CG的長．8．（2023春?承德縣月考）如圖，在正方形ABCD中，M是AB上的一點，連接DM，過點M作MN⊥DM交∠B外角平分線于N．（1）若AM＝a，求BN的長；（2）如圖2，連接DN，交BC邊于點F，連接MF．求證：NM平分∠FMB．專題05平行四邊形六大模型模型一：中點四邊形模型二：梯子模型模型三：十字架模型四：對角互補模型五：半角模型模型六：與正方形有關(guān)三垂線模型一：中點四邊形中點四邊形:依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形O。結(jié)論1:點M、N、P、Q是任意四邊形的中點，則四邊形MNPQ是平行四邊形結(jié)論2:對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形結(jié)論3：對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形結(jié)論4:對角線垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形【典例1】（2024?長沙模擬）如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點，則四邊形EFGH一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【解答】解：如圖，連接AC，∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊的中點，∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；∴EF＝HG且EF∥HG；∴四邊形EFGH是平行四邊形．故選：A．【變式1-1】（2023?陽春市二模）若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD一定是（）A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等【答案】D【解答】解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，DC，CB，AB的中點，∴EH＝AC，EH∥AC，F(xiàn)G＝AC，F(xiàn)G∥AC，EF＝BD，∴EH∥FG，EF＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，假設(shè)AC＝BD，∵EH＝AC，EF＝BD，則EF＝EH，∴平行四邊形EFGH是菱形，即只有具備AC＝BD即可推出四邊形是菱形，故選：D．【變式1-2】（2023?銅川一模）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線，順次連接四邊形ABCD各邊中點得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【答案】A【解答】解：∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，當(dāng)AC⊥BD時，EF⊥EH，則四邊形EFGH為矩形，故選：A．【變式1-3】（2023春?宿豫區(qū)期中）順次連接對角線相等且垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】D【解答】解：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，F(xiàn)G＝BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，F(xiàn)E＝FG，∴四邊形EFGH是正方形，故選：D．模型二：梯子模型如下圖，一根長度一定的梯子斜靠在豎直墻面上,當(dāng)梯子底端滑動時,探究梯子上某點(如中點)或梯子構(gòu)成圖形上的點的軌跡模型(圖2),就是所謂的梯子模型。[考查方向]已知一條線段的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動,求線段最值問題。模型一:如圖所示,線段AC的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動，LACB=ZAOC=90°AC的中點為P,連接OP、BP、OB,則當(dāng)O、P、B三點共線時,此時線段OB最大值。即已知RtAACB中AC、BC的長,就可求出梯子模型中OB的最值模型二:如圖所示,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當(dāng)點A在邊OM上運動時,點B隨之在ON上運動，且運動的過程中矩形ABCD形狀保持不變，AB的中點為P,連接OP、PD、OD,則當(dāng)O、P、D三點共線時,此時線段OD取最大值【典例2】如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝2．運動過程中點D到點O的最大距離是3+．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖：取線段AB的中點E，連接OE，DE，OD，∵AB＝6，點E是AB的中點，∠AOB＝90°，∴AE＝BE＝3＝OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE＝＝，∵OD≤OE+DE，∴當(dāng)點D，點E，點O共線時，OD的長度最大．∴點D到點O的最大距離＝OE+DE＝3+，故答案為：3+．【變式2-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，點A在y軸上，點C在x軸上，則點A在移動過程中，BO的最大值是2+．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，取AC的中點M，連接OM，BM．∵∠AOC＝90°，AM＝CM，AC＝4．∴OM＝AC＝2，在Rt△ABM中，∵∠BAM＝90°，AB＝1，AM＝2，∴BM＝＝，∵OB≤BM+OM，∴OB≤2+，∴OB的最大值為2+．故答案為2+．【變式2-2】如圖，∠MEN＝90°，矩形ABCD的頂點B，C分別是∠MEN兩邊上的動點，已知BC＝10，CD＝5，點D，E之間距離的最大值是5+5．．【答案】5+5．【解答】解：∵∠MEN＝90°，F(xiàn)是BC中點，∴EF＝BC＝5．如圖：ED≤EF+DF，當(dāng)點D，E，F(xiàn)三點共線時，取等號．此時F是BC的中點，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴FD＝＝＝5．∴ED最大＝EF+DF＝5+5．故答案為：5+5．模型三：十字架第一種情況：過頂點在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，證明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二種情況：不過頂點在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的點，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下證明在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別AB、BC、CD、DA邊上的點，其中：EG⊥FH，可得EG=FH【典例3】（2023春?商南縣校級期末）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，CE，DF相交于點G，連接AG，求證：（1）CE⊥DF．（2）∠AGE＝∠CDF．【答案】（1）見解析過程；（2）見解析過程．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE與△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF；（2）延長CE交DA的延長線于H，∵點E是AB的中點，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜邊的中線，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．【變式3-1】（2023?黃石）如圖，正方形ABCD中，點M，N分別在AB，BC上，且BM＝CN，AN與DM相交于點P．（1）求證：△ABN≌△DAM；（2）求∠APM的大小．【答案】（1）見解答；（2）90°．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，∠DAM＝∠ABN＝90°，∵BM＝CN，∴BC﹣CN＝AB﹣BM，即BN＝AM，在△ABN和△DAM中，∴△ABN≌△DAM（SAS）；（2）解：由（1）知△ABN≌△DAM，∴∠MAP＝∠ADM，∴∠MAP+∠AMP＝∠ADM+∠AMP＝90°，∴∠APM＝180°﹣（∠MAP+∠AMP）＝90°．【變式3-2】（2023秋?惠陽區(qū)校級月考）如圖1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，連接BE，DG．（1）請判斷BE與DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖2，已知AB＝4，，當(dāng)點F在邊AD上時，求BE的長．【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）．【解答】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG；理由：如圖1，∵正方形ABCD和正方形AEFG，∴∠GAE＝90°＝∠BAD，AG＝AE，AD＝AB，∠ADB＝45°，∴∠GAD＝∠BAE，∴△GAD≌△BAE，∴BE＝DG，∠GDA＝∠ABE，∴∠BMD＝180°﹣∠GDA﹣∠ADB﹣∠DBM＝180°﹣﹣∠EBA﹣∠DBM﹣45°＝90°，∴BE⊥DG．總之，BE＝DG，BE⊥DG；（2）作EH⊥AB于H，∵正方形ABCD和正方形AEFG，∴∠GAE＝90°＝∠BAD，∠EAF＝45°，∴∠HAF＝45°，∵AB＝4，，∴AH＝EH＝＝1，∴BH＝4﹣1＝3，∴BE＝．【變式3-3】（2023春?濱州期末）已知ABCD是一個正方形花園．（1）如圖1，E、F是它的兩個門，且DE＝CF，要修建兩條路BE和AF，問這兩條路等長嗎？為什么？（2）如圖2，在正方形四邊各開一個門E、F、G、H，并修建兩條路EG和FH，使得EG⊥FH，問這兩條路等長嗎？為什么？【答案】（1）這兩條路等長，理由見解答；（2）這兩條路等長，理由見解答．【解答】解：（1）這兩條路等長，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°，∵DE＝CF，∴AD﹣DE＝CD﹣CF，即AE＝DF，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴AF＝BE，故這兩條路等長；（2）這兩條路等長，理由如下：如圖2，作EM⊥BC于點M，交HF于點P，作HN⊥CD于點N，交EM于點Q，∴∠EMG＝∠EMC＝90°，∠HNF＝∠HND＝90°，∴∠EMG＝∠HNF，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AD＝CD，∴∠A＝∠HND＝∠D＝90”，∠EMC＝∠C＝∠D＝90°，∴四邊形AHND、四邊形EMCD都是矩形，∴EM∥BC，HN＝AD，EM＝CD，∴∠HQP＝∠HNF＝90”，HN＝EM，∴∠NHF+∠HPQ＝90°，∵EG⊥FH，∴∠MEG+∠HPQ＝90°，∴∠MEG＝∠NHF，∵HN＝EM，∠EMG＝∠HNF，∴△EMG≌△HNF（ASA），∴EG＝FH，故這兩條路等長．模型四：對角互補對角互補模型：即四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。主要分為含90°與120°的兩種對角互補類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形全等或者相似.模型一：含90°的全等型1.如圖1，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.則可以得到如下幾個結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S=S+S=OC.2.如圖2，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D，∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.則可得到如下幾個結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-S=OC.圖1圖2圖3模型二、：含60°與120°的全等型如圖3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120o，OC平分∠AOB.則可得到如下幾個結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S=OC.【典例4】在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，對角線AC平分∠BAD．（1）如圖1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，試探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系為AD+AB＝AC；（2）如圖2，若將（1）中的條件“∠B＝90°”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由；（3）如圖3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求線段AC的長和四邊形ABCD的面積．【答案】（1）AD+AB＝AC；（2）成立，理由見解答；（3）AC＝5，四邊形ABCD面積為25．【解答】解：（1）∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，∴∠D＝∠B＝90°，∵對角線AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∵AC＝AC，∴Rt△DAC≌Rt△BAC（AAS），∴AD＝AB，∵∠DAB＝120°，∴，∴∠DCA＝30°，∴，∴，∴AD+AB＝AC．故答案為：AD+AB＝AC．（2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：，以C為頂點，AC為一邊作∠ACE＝60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，由（1）可得：∠CAB＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠AEC＝60°，∴∠CAB＝∠BAC＝∠AEC，∴△ACE為等邊三角形，∴AC＝AE＝CE，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBE，∵∠ABC+∠D+∠DAC+∠DCB＝360°，∠D+∠ABC＝180°，∠DAB＝120°，∴∠DCB＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，∴∠DCB﹣∠ACB＝∠ACE﹣∠ACB，∴∠DCA＝∠BCB，∴△CAD≌△CEB（AAS），∴AD＝BE，∵AC＝AE＝AB+BE，∴AC＝AD+AB．（3）過點C作CE⊥AC交AB延長線于點E，，∵對角線AC平分∠BAD，∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAC＝45°，∵CE⊥AC，∴∠ACE＝90°，∴∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝45°，∴∠E＝∠CAE，∠E＝∠DAC，∴AC＝CE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠D＝∠CBE，∴△ADC≌△EBC（AAS），∴AD＝BE，∴AE＝AB+BE＝AB+AD，∵AD＝3，AB＝7，∴AE＝10，在Rt△ACE中：AC2+CE2＝AE2，∴AC＝CE＝5，∴＝25，∵△ADC≌△EBC，∴S△ADC＝S△EBC，∴S四邊形ABCD＝S△ADC+S△ACB＝S△EBC+S△ACB＝SACE＝25．【變式4-1】如圖，點P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上．（1）求點P的坐標(biāo)．（2）當(dāng)∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時，①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．②請求出OA2+OB2的最小值．【答案】（1）P（2，2）；（2）①不變，值為4；②8．【解答】解：（1）∵點P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，∴3m﹣1＝﹣2m+4，∴m＝1，∴P（2，2）；（2）①不變．過點P作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝2，∴四邊形QMPN是正方形，∴∠MPN＝90°＝∠APB，∴∠MPB＝∠NPA．在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA（ASA），∴BM＝AN，∴OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM＝4，②連接AB，∵∠AOB＝90°，∴OA2+OB2＝AB2，∵∠BPA＝90°，∴AB2＝PA2+PB2＝2PA2，∴OA2+OB2＝2PA2，當(dāng)PA最小時，OA2+OB2也最?。鶕?jù)垂線段最短原理，PA最小值為2，∴OA2+OB2的最小值為8．【變式4-2】四邊形ABCD若滿足∠A+∠C＝180°，則我們稱該四邊形為“對角互補四邊形”．（1）四邊形ABCD為對角互補四邊形，且∠B：∠C：∠D＝2：3：4，則∠A的度數(shù)為90°；（2）如圖1，四邊形ABCD為對角互補四邊形，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD．求證：AC平分∠BCD．小云同學(xué)是這么做的：延長CD至M，使得DM＝BC，連AM，可證明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此證明出AC平分∠BCD，還可以知道CB、CD、CA三者關(guān)系為：CD+BC＝AC；（3）如圖2，四邊形ABCD為對角互補四邊形，且滿足∠BAD＝60°，AB＝AD，試證明：①AC平分∠BCD；②CA＝CB+CD；（4）如圖3，四邊形ABCD為對角互補四邊形，且滿足∠ABC＝60°，AD＝CD，則BA、BC、BD三者關(guān)系為：BC+AB＝BD．【答案】（1）CD+BC＝AC；（2）CD+BC＝AC；（3）①見解析；②見解析；（4）BC+AB＝BD．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為對角互補四邊形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B：∠C：∠D＝2：3：4，∴∠B＝180°×＝60°，∴∠C＝90°，∴∠A＝90°，故答案為：90°；（2）∵△ABC≌△ADM，∴AC＝AM，BC＝DM，∵△ACM是等腰直角三角形，∴CM＝AC，∵CM＝CD+DM，∴CM＝CD+BC＝AC，故答案為：CD+BC＝AC；（3）①延長CD至M，使DM＝BC，連接AM，∵四邊形ABCD為對角互補四邊形，∴∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADM＝∠B，∵AB＝AD，∴△ABC≌△ADM（SAS），∴AC＝AM，∠BAC＝∠DAM，∵∠BAD＝60°，∴∠CAM＝60°，∴△ACM是等邊三角形，∴∠ACM＝∠M＝60°，∵∠ACB＝∠M，∴∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠ACM，∴AC平分∠BCD；②∵AC＝CM，BC＝DM，∴CM＝CD+DM＝CD+BC，∴AC＝CD+BC；（4）延長BC至M，使CM＝AB，連接DM，∵四邊形ABCD為對角互補四邊形，∴∠A+∠BCD＝∠BCD+∠DCM＝180°，∴∠A＝∠DCM，∵AD＝CD，∴△ADB≌△CDM（SAS），∴BD＝MD，∠ADB＝∠CDM，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠BDM＝120°，∴∠M＝∠DBM＝30°，過點D作DN⊥BM交于點N，∴N為BM的中點，∴BM＝2MN，在Rt△DNM中，MN＝DM＝BD，∴BM＝BD，∵BM＝BC+CM＝BC+AB＝BD，故答案為：BC+AB＝BD．模型五：半角模型（1）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，過點A作AG⊥于EF于點G，則：EF=BE+DF，AG=AD.圖示（1）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°（2）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CB，DC的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，則：EF=DF-BE.圖示（2）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°【典例5】已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）【解答】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案為：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延長CB至E，使BE＝DN，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM對應(yīng)邊上的高，∴AB＝AH．（3）分別沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分別延長BM和DN交于點C，如圖：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四邊形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．由（2）可知，設(shè)NH＝x，則MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，解得x＝3，∴NH＝3【變式5-1】（2022春?西山區(qū)校級月考）如圖，已知正方形ABCD，點E、F分別是AB、BC邊上，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的邊長為5，AE＝2時，求EF的長？【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝AB＝BC＝5，由旋轉(zhuǎn)得：∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠DCF+∠DCM＝180°，∴F、C、M三點在同一條直線上，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDC＝45°，∴∠EDF＝FDM，∵DF＝DF，∴△EDF≌△MDF（SAS）；（2）設(shè)CF＝x，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣x，由旋轉(zhuǎn)得：AE＝CM＝2，∴BE＝AB﹣AE＝3，F(xiàn)M＝CF+CM＝2+x，∵△EDF≌△MDF，∴EF＝FM＝2+x，在Rt△EBF中，BE2+BF2＝EF2，∴9+（5﹣x）2＝（2+x）2，∴x＝，∴EF＝2+x＝，∴EF的長為．【變式5-2】（2022春?路北區(qū)期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．（1）求證：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的長為．【解答】（1）證明：∵將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，（2）解：設(shè)BE＝x，則GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，【變式5-3】（2022秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點的∠EAF＝45°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．易證得EF＝BE+FD．大致證明思路：如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三點共線，∠HAE＝∠EAF＝45°，進(jìn)而可證明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF．任務(wù)：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A為頂點的∠EAF＝60°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．請參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．【解答】解：成立．證明：將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABM，∴△ABM≌△ADF，∠ABM＝∠D＝90°，∠MAB＝∠FAD，AM＝AF，MB＝DF，∴∠MBE＝∠ABM+∠ABE＝180°，∴M、B、E三點共線，∴∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝60°，∴∠MAE＝∠FAE，∵AE＝AE，AM＝AF，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴ME＝EF，∴EF＝ME＝MB+BE＝DF+BE．模型六：與正方形有關(guān)三垂線【典例6】（2023春?中山市校級期中）如圖①，正方形ABCD中，E是BC的中點，∠AEF＝90°，EF交正方形外角∠DCG的角平分線CF于點F，（1）求證AE＝EF；（2）當(dāng)E為BC延長線上一點，其余條件不變，請在圖②中畫出圖形，猜想（1）中結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）作圖見解析，AE＝EF仍然成立，理由見解析．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD正方形∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠DCG＝90°如圖：取AB的中點M，點E是邊BC的中點，∴AM＝BM＝EC＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝∠FCG＝45°，∴∠ECF＝180°﹣∠FCG＝135°∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，又∵∠AEB+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠CEF，又∵AM＝CE，∠AME＝∠ECF∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（2）當(dāng)E為BC延長線上一點，畫出圖形如下：AE＝EF仍然成立，理由如下：在BA延長線上截取AP＝CE，連接PE，則BP＝BE，∵∠B＝90°，BP＝BE，∴∠P＝45°，又∵∠FCE＝45°，∴∠P＝∠FCE，∵AD∥CB，∴∠DAE＝∠BEA，∵∠PAE＝90°+∠DAE，∠CEF＝90°+∠BEA，∴∠PAE＝∠CEF，在△APE與△ECF中，∠P＝∠FCE，AP＝CE，∠PAE＝∠CEF，∴△APE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．【變式6-1】（2022秋?宿城區(qū)校級期末）如圖，已知正方形OABC的邊長為8，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點D是x軸上一點，坐標(biāo)為（2，0），點E為OC的中點，連接BD、BE、ED．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）判斷△BED的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）（8，8）；（2）△BED是直角三角形，證明見解答．【解答】解：（1）正方形OABC的邊長為8，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，∴OA＝OC＝8，∴點B的坐標(biāo)為（8，8）．（2）△BED是直角三角形；點D是x軸上一點，坐標(biāo)為（2，0），點E為OC的中點，∴OD＝2，OE＝CE＝4，DA＝6，∴ED2＝OD2+OE2＝20，EB2＝BC2+CE2＝80，DB2＝BA2+AD2＝100，∴ED2+EB2＝DB2，∴△BED是直角三角形．【變式6-2】（2023春?圍場縣期末）如圖所示，在正方形ABCD中，AB＝4，點E為邊BC的中點，F(xiàn)為CD邊上一動點，滿足∠AEF＝90°．（1）求CF的長．（2）求△AEF的面積．【答案】（1）CF的長為1；（2）△AEF的面積為5．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AB2+BE2＝AE2，CE2+CF2＝EF2，AD2+DF2＝AF2，∵點E為邊BC的中點，∴BE＝CE＝2，設(shè)CF＝x，則DF＝4﹣x，∵∠AEF＝90°，∴AE2+EF2＝AF2，∴AB2+BE2+CE2+CF2＝AD2+DF2，即42+22+22+x2＝42+（4﹣x）2，解得：x＝1，∴CF的長為1．（2）由（1）可知AE＝＝2，EF＝＝，又∵∠AEF＝90°，∴△AEF為直角三角形，∴．【變式6-3】（2023春?河?xùn)|區(qū)期中）如圖：四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．（1）連接AF，判斷△AEF的形狀，并證明；（2）若AB＝4，求△AEF的面積；（3）連接AC，求的值．【答案】（1）△AEF為等腰直角三角形，證明見解答過程；（2）10；（3）．【解答】解：（1）△AEF為等腰直角三角形，證明如下：∵四邊形ABCD為正方形，點E是邊BC的中點，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，，設(shè)AB的中點為H，連接EH，如圖：∴，∵AB＝BC，，∴AH＝BH＝BE＝CE，∴△BEH為等腰直角三角形，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝135°，∵CF為正方形外角的平分線，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝∠BCD+∠DCF＝90°+45°＝135°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵∠B＝90°，∠AEF＝90°，∴∠HAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠HAE＝∠CEF，在△AHE和△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF，又∠AEF＝90°，∴△AEF為等腰直角三角形；（2）∵AB＝4，點E為BC的中點，∴BE＝2，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝2，由勾股定理得：AE2＝AB2+BE2＝20，由①可知：△AEF為等腰直角三角形，∴；（3）過點F作FK⊥BC，交BC的延長線于K，連接AC，如圖：則∠ABE＝∠EKF＝90°，由①可知：AE＝EF，∠BAE＝∠KEF，∠DCF＝45°，在△ABE和△EKF中，∠BAE＝∠KEF，∠ABE＝∠EKF＝90°，AE＝EF，∴△ABE≌△EKF（AAS），∴BE＝FK，則BE＝a，則BE＝CE＝FK＝a，AB＝BC＝2a，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2a，由勾股定理得：，∵∠DCK＝90°，∠DCF＝45°，∴∠FCK＝45°，∴△CFK為等腰直角三角形，∴CK＝FK＝a，在Rt△CFK中，CK＝FK＝a，由勾股定理的：，∴．1．（2023?商丘模擬）一個四邊形四邊中點的連線所構(gòu)成的中點四邊形是菱形，那么這個原四邊形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．對角線相等【答案】D【解答】解：如圖，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H是四邊形四邊上的中點，連接EF、EH、FG、GH、AC、BD，在△ADC中，EH＝AC，在△ABD中，EF＝BD，∵四邊形EFGH是菱形，∴EH＝EF，∴AC＝BD，∴原四邊形的對角線相等．故選：D．2.（2023春?路北區(qū)期末）順次連接矩形各邊中點，所得圖形的對角線一定滿足（）A．互相平分． B．互相平分且相等 C．互相垂直． D．互相平分且垂直【答案】D【解答】解：連接AC、BD，∵四邊形ABCD為矩形，∴AC＝BD，∵點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點，∴EF＝AC，F(xiàn)G＝BD，GH＝AC，EH＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四邊形EFGH為菱形，∴所得圖形的對角線一定滿足互相平分且垂直．故選：D．3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是3+3．【答案】3+3．【解答】解：如圖，取CA的中點D，連接OD、BD，則OD＝CD＝AC＝×6＝3，由勾股定理得，BD＝＝3，當(dāng)O、D、B三點共線時點B到原點的距離最大，所以，點B到原點的最大距離是3+3．故答案為：3+3．4．（2023秋?龍口市期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在直線AB，AD上，且∠ECF＝45°，連接EF．（1）當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上時，如圖1．請?zhí)骄烤€段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（2）當(dāng)E，F(xiàn)分別在BA，AD的延長線上時，如圖2．試探究線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）EF＝BE+DF，證明見解答；（2）EF＝BE﹣DF，證明見解答．【解答】解：（1）EF＝BE+DF，證明：如圖，延長AB使得BG＝DF，連接CG，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°＝∠D＝∠CBG．CD＝CB，∴△CDF≌△CBG（SAS），∴∠DCF＝∠BCG，CF＝CG，∵∠ECF＝45°，∴∠BCE+∠DCF＝45°．∴∠ECG＝∠BCG+∠BCE＝45°＝∠ECF，∵CF＝CG，CE＝CE，∴△CFE≌