初中幾何練習(xí)題

一.三角形

1、三角形的有關(guān)概念

一、填空題：

1、三角形的三邊為1,1-a,9,則。的取值范圍就是0

2、已知三角形兩邊的長分別為1與2,如果第三邊的長也就是整數(shù)，那么第三邊的

長為—。

3、在AABC中，若NC=2（NA+NB）,則NC=度。

4、如果4ABC的一個(gè)外角等于150°,且NB=NC,則NA=。

5、如果AABC中,NACB=90°,CD就是AB邊上的高，則與NA相等的角就

是O

6、如圖，在4ABC中,NA=80°,NABC與NACB的外角平分線相交于點(diǎn)D,那么

ZBDC=o

7、如圖,CE平分NACB,且CE，DB,NDAB=NDBA,AC=18cm,4CBD的周長

為28cm,則DB=。

8、紙片4ABC中,NA=65°,NB=75°,將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在AABC內(nèi)

（如圖），若N1=20。，則N2的度數(shù)為0

9、在AABC中,NA=50。，高BE、CF交于點(diǎn)O,則NBOC=

二、選擇題：

1、若AABC的三邊之長都就是整數(shù)，周長小于10,則這樣的三角形共有（）

A、6個(gè)B、7個(gè)C、8個(gè)D、9個(gè)

2、在AABC中,AB=AC,D在AC上，且BD=BC=AD,則NA的度數(shù)為（）

A、30°B、36°C、45°D、72°

3、等腰三角形一腰上的中線分周長為15與12兩部分，則此三角形底邊之長為

()

A、7B、11C、7或11D、不能確定

4、在AABC中,NB=50°,AB>AC,則NA的取值范圍就是()

0°<ZA<1800B、0°VNAV80°C、50°<NA<130°D>800<ZA<130°

5、如果三角形的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的2倍，且等于它不相鄰內(nèi)角的4倍,

那么這個(gè)三角形一定就是()

A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、正三角形

三、解答題：

1、有5根木條，其長度分別為4,8,8,10,12,用其中三根可以組成幾種不同形狀的三

角形？

2、長為2,3,5的線段，分別延伸相同長度的線段后，能否組成三角形？若能,它能構(gòu)

成直角三角形不？為什么？

3、如圖，在AABC中,NA=96°,延長BC到D,NABC與NACD的平分線相交于4,

NABC與NACD的平分線相交于&，依此類推,NA,BC與NCD的平分線相

交于A5，則ZA5的大小就是多少？

BCD

第3題圖

4、如圖，已知OA=a,P就是射線ON上一動點(diǎn)(即P可在射線ON上運(yùn)動),NAON

=60°,填空：

(1)當(dāng)時(shí),AAOP為等邊三角形；

(2)當(dāng)OP=時(shí),AAOP為直角三角形；

(3)當(dāng)OP滿足時(shí),AAOP為銳角三角形；

(4)當(dāng)OP滿足時(shí),AAOP為鈍角三角形。

2、等腰三角形

一、填空題：

1、等腰三角形的兩外角之比為5：2,則該等腰三角形的底角為0

2、在4ABC中,AB=AC,BD平分NABC交AC于D,DE垂直平分AB,E為垂足,

則NC=-

3、等腰三角形的兩邊長為4與8,則它腰上的高為。

4、在4ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AB邊上，且BD=BC=AD,則NA的度數(shù)

為。

5、如圖,AB=BC=CD,AD=AE,DE=BE4l]NC的度數(shù)為。

6、如圖,D為等邊4ABC內(nèi)一點(diǎn),DB=DA,BP=AB,NDBP=NDBC4ijNBPD

7、如圖，在^ABC中,AD平分NBAC,EG，AD分別交AB、AD、AC及BC的延

長線于點(diǎn)E、H、F、G,已知下列四個(gè)式子：

①N1=；（N2+N3）②N1=2（N3-N2）

③N4=1（N3—N2）@Z4=-Z1

22

其中有兩個(gè)式子就是正確的，它們就是與O

二、選擇題：

1、等腰三角形中一內(nèi)角的度數(shù)為50°,那么它的底角的度數(shù)為（）

A、50°B、65°C、130°D、50°或65°

2、如圖,D為等邊4ABC的AC邊上一點(diǎn)，且NACE=NABD,CE=BD,則4ADE

就是（）

A、等腰三角形B、直角三角形C、不等邊三角形D、等邊三角形

3、如圖，在AABC中,NABC=60°,NACB=45°,AD、CF都就是高,相交于P,角平

分線BE分別交AD、CF于Q、S,那么圖中的等腰三角形的個(gè)數(shù)就是（）

A、2B、3C、4D、5

4、如圖，已知BO平分NCBA,CO平分NACB,且MN〃BC,設(shè)AB=12,BC=24,AC

=18,則4AMN的周長就是（）

A、30B、33C、36D、39

D

第5題圖

5、如圖，在五邊形ABCDE中,NA=NB=120°,EA=AB=BC=1DC=LDE,則

22

ND=()

A、30°B、45°C、60°D、67、5°

三、解答題：

1、如圖，在4ABC中,AB=AC,D、E、F分別為AB、BC、CA上的點(diǎn)，且BD=

CE,ZDEF=ZBo求證:4DEF就是等腰三角形。

第1題圖

2、為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30平方米的草皮鋪設(shè)一塊邊長為10米的等腰

三角形綠地。請您求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長。

3、如圖,在銳角4ABC中,NABC=2NC,NABC的平分線與AD垂直,垂足為D,

求證:AC=2BD。

第3題圖

4、在等邊AABC的邊BC上任取一點(diǎn)D,作NDAE=60°,AE交NC的外角平分線

于E,那么4ADE就是什么三角形？證明您的結(jié)論。

3、全等三角形

一、填空題：

1、若AABC也AEFG,且NB=60°,NFGE—NE=56°,則NA=度。

2、如圖,AB〃EF〃DC,ZABC=90°,AB=DC,那么圖中有全等三角形

對。

3、如圖，在4ABC中,NC=90°,BC=40,AD就是NBAC的平分線交BC于D,且

DC：DB=3：5,則點(diǎn)D到AB的距離就是。

4、如圖，在4ABC中人口，：8（2,?￡，人：3,垂足分別為口、E,AD、CE交于點(diǎn)H,請

您添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件:，使之ACEBo

5、如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對折，使C點(diǎn)落在E處,BE與AD相交于

點(diǎn)0,寫出一組相等的線段（不包括AB=CD與AD=BC）o

6、如圖,NE=NF=90°,NB=NC,AE=AF。給出下列結(jié)論:①N1=N2;②BE=

CF;③△ACN/Z\ABM;④CD=DN。其中正確的結(jié)論就是（填序

號）。

二、選擇題：

1、如圖,人口，人：8足人，人（2人￡=人口八：8=人。則下列結(jié)論中正確的就是（）

A、△ADFdAEGB、AABE^AACD

C、ABMF^ACNGD、AADCAABE

2、如圖,AE=AF,AB=AC,EC與BF交于點(diǎn)O,NA=60°,NB=25°,則NEOB的度

數(shù)為（）A、60°B、70°C、75°D、85°

3、三角形的兩邊與其中一邊上的高分別對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形的第三邊

所對的角（）

A、相等B、不相等C、互余D、互補(bǔ)或相等

三、解答題：

1、如圖,N1=N2,N3=N4,EC=AD。求證:4ABE與ABDC就是等腰三角形。

D

AB

解答題第1題圖

2、如圖,AB=AE,NABC=NAED,BC=ED,點(diǎn)F就是CD的中點(diǎn)。

(1)求證:AF，CD;(2)在您連結(jié)BE后，還能得出什么新結(jié)論？請?jiān)賹憙蓚€(gè)。

CFD

解答題第2題圖

3、(1)已知，在AABC與4DEF中,AB=DE,BC=EF,NBAC=NEDF=100°,求證:

△ABC^ADEF;

(2)上問中，若將條件改為AB=DE,,BC=EF,NBAC=NEDF=70°,結(jié)論就是否還

成立，為什么？

4、如圖，已知NMON的邊0M上有兩點(diǎn)A、B,邊ON上有兩點(diǎn)C、D,且AB=CD,P

為NMON的平分線上一點(diǎn)。問：

(□△ABP與4PCD就是否全等？請說明理由。

(2)4ABP與4PCD的面積就是否相等？請說明理由。

DN

解答題第4題圖

5、如圖，已知CE，AB,DF，AB,點(diǎn)E、F分別為垂足，且AC〃BD。

(1)根據(jù)所給條件，指出4ACE與△BDF具有什么關(guān)系？請您對結(jié)論予以證明。

(2)若4ACE與△BDF不全等，請您補(bǔ)充一個(gè)條件，使得兩個(gè)三角形全等，并給予證

明。

二.四邊形

一、填空：

1、對角線平行四邊形就是矩形。

2、如圖⑴已知0就是DABCD的對角線交點(diǎn),AC=24,BD=38,AD=14,那么△OBC

的周長等于

5、已知菱形的一條對角線長為12cm,面積為30cm；則這個(gè)菱形的另一條對角線

長為cmo

6、菱形ABCD中，ZA=60°,對角線BD長為7cm,則此菱形周長cm。

7、如果一個(gè)正方形的對角線長為血，那么它的面積0

8、如圖2矩形ABCD的兩條對角線相交于0,ZA0B=60°,AB=8,則矩形對角線的

長____________

9、如圖3,等腰梯形ABCD中,AD〃BC,AB〃DE,BC=8,AB=6,AD=5貝U^CDE周長

10、正方形的對稱軸有條

11、如圖4,BD就是口ABCD的對角線，點(diǎn)E、F在BD上,要使四邊形AECF就是平

行四邊形,還需增加的一個(gè)條件就是

12、要從一張長為40cm,寬為20cm的矩形紙片中，剪出長為18cm,寬為12cm的矩

形紙片,最多能剪出__________張。

二、選擇題：

13、在DABCD中，NA:NB:NC:ND的值可以就是（）

A、1:2:3:4B、1:2:2:1C、2:2:1:1D、2:1:2:1

14、菱形與矩形一定都具有的性質(zhì)就是（）

A、對角線相等B、對角線互相垂直

C、對角線互相平分D、對角線互相平分且相等

15、下列命題中的假命題就是（）

A、等腰梯形在同一底邊上的兩個(gè)底角相等

B、對角線相等的四邊形就是等腰梯形

C、等腰梯形就是軸對稱圖形

D、等腰梯形的對角線相等

16、四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)0,能判定它就是正方形的就是（）

A、A0=0C,0B=0DB、A0=B0=C0=D0,AC±BD

C、A0=0C,0B=0D,AC±BDD、A0=0C=0B=0D

17、給出下列四個(gè)命題

⑴一組對邊平行的四邊形就是平行四邊形

⑵一條對角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形就是菱形

⑶兩條對角線互相垂直的矩形就是正方形

⑷順次連接等腰梯形四邊中點(diǎn)所得四邊形就是等腰梯形。

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

18、下列矩形中按虛線剪開后，能拼成平行四邊形，又能拼成直角三角形的就是

（）

中中中

點(diǎn)。點(diǎn)點(diǎn)D

三、解答題

19、如圖:在DABCD中,ZBAD的平分線AE交DC于E,若NDAE=25°,

求NC、NB的度數(shù)。

DE

20、已知仕怖形A&CD中,AD/7BC,AB=DC,ZD=120°,對角線CA平分NBCD,且梯

形的周長20,求AC。

A.D

21、如圖:在正方形ABCD中,E為CD邊上的一點(diǎn),F為BC的延曠\=CFO

（DABCE與4DCF全等不？說明理由；⑵若NBEC=60°,求珀/__________\

E分別就是AC,AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC

的延長線上，且NCDF=NA。求證：四邊形DECF就是平行四邊形。

23、已知：如圖所示，4ABC中，E、F、D分別就是AB、AC、BC上的點(diǎn)，S、AC,DF

〃AB,要使四邊形AEDF就是菱形，在不改變圖形的前提下，您需添力碗夕?件

就是,試證明：這個(gè)多邊形就是菱麻//\

C

24、應(yīng)用題

某村要挖一條長1500米的水渠,渠道的橫斷面為等腰梯形,渠道深0、8米,

渠底寬為1、2米，腰與渠底的夾角為135°,問挖此渠需挖出土多少方？

25、(10分)觀察下圖

⑴正方形A中含有個(gè)小方格,即A的面積為個(gè)單位面積。

⑵正方形B中含有個(gè)小方格,即B的面積為個(gè)單位面積。

⑶正方形C中含有個(gè)小方格,即C的面積為個(gè)單位面積。

⑷您從中得到的規(guī)律就是:_____________________________________________

(2+a)2+(3+a)2—(5+a)2="2_]2，當(dāng)/—口=0,即a=26時(shí),4ABC為直角

三角形。3、3°

4、(1)。;(2)20或|_;(3)羨〈€^<2。;(4)0<(^<|_或OP>2a

(2)等腰三角形參*答翥

一、填空題:1、30。;2、72。;3、A;4、36°;5、36。;6、30。;7、①③

二、選擇題:DDDAC

三、解答題:1、證△DBEgAECF

2、提示:分兩種情況討論。不妨設(shè)AB=10米，作?口，人：6于口,則?口=6米。(1)

當(dāng)AB為底邊時(shí),AC=BC=國米；

(2)當(dāng)AB為腰且三角形為銳角三角形時(shí),AB=AC=10米,BC=2M米；

(3)當(dāng)AB為腰且三角形為鈍角三角形時(shí),AB=BC=10米,AC=6&6米；

3、提示:延長AD交BC于點(diǎn)M。4、4ADE為等邊三角形。

(3)全等三角形參考答案

一、填空題：

1、32;2、3;3、15;4、AH=BC或EA=EC或EH=EB等；

5、DC=DE或BC=BE或OA=OE等;6、①②③

二、選擇題:BBDA

三、解答題：

1、略；2、(1)略;(2)AF，BE,AF平分BE等；

3、(1)略;(2)不成立，舉一反例即能說明；

4、⑴不一定全等，因AABP與4PCD中，只有AB=CD,而其它角與邊都有可能不

相等，故兩三角形不一定全等。(2)面積相等，因?yàn)?P為NMON平分線上一點(diǎn)，故P

到邊AB、CD上的距離相等，即4ABP中AB邊上的高與4PCD中CD邊上的高

相等,又根據(jù)AB=CD(即底邊也相等)從而AABP與4PCD的面積相等。

5、(D^ACE與△BDF的對應(yīng)角相等;(2)略

(4)四邊形答案

一、⑴相等；⑵45;⑶NA=120°,ND=60°;⑷22、5,12、5;(5)5;(6)28;(7)1；(8)16;

⑼15;(10)4;?略;?3。二、(13)D;(14)C;(15)B;(16)B;(17)B;(18)6

19、解：NBAD=2NDAE=2X25°=50°(2分)

XVDABCD.\ZC=ZBAD=50°(4分)，AD〃BC

/.ZB=180°-ZBAD(6分)=180°—50°=130°(8分)

20、解：?；AD〃BCAZ1=Z2又N2=N3.\N1=N3AD=DC(2分)

又AB=DC得AB=AD=DC=x

1_120°

在AADC中?.?ND=120°Z1=Z3=—--------t=30°

2

又NBCD=2N3=60°/.ZB=ZBCD=60°(4分)Ap

ZBAD=180°-ZB-Z2=90°Z2=30°

則BC=2AB=2x(6分)x+x+x+2x=20x=4BZ_________

AB=4BC=8RtAABCAC=782-42=74x12=4>/3(8分)

21、⑴ABCE咨ADCF理由：因?yàn)樗倪呅蜛BCD就是正方形，BC=CD,NBCD=90°

AZBCE=ZDCF又CE=CF/.ABCE^ADCF(4分)

(2)VCE=CF.\ZCEF=ZCFE*.*ZFCE=90°.\ZCFE=-1(180°—90°)=45°

又?.?△BCE咨4DCF/.ZCFD=ZBEC=60°(6分)

/.ZEFD=ZCFD-ZCFE=60'J-45°=15°(8分)

22、證明：E分別就是AC、AB的中點(diǎn)，DE〃BC(1分)

VZACB=90°/.CE=-AB=AE(3分)：NA=NECA.\ZCDF=ZA(4分)

2

AZCDF=ZECA，DF〃CE??.四邊形DECF就是平行四邊形

23、答條件AE=AF（或AD平分角BAC,等）

證明：?.?DE〃ACDF/7AB,四邊形AEDF就是平行四邊形（6分）

又AE=AFI.四邊形AEDF就是菱形（8分）

24、如圖所示設(shè)等腰梯形ABCD為渠道橫斷面,分別作DE±AB,CFXAB（2分）

垂足為E、F則CD=1、2米,DE=CF=O、8米NADC=NBCD=135°（4分）

AB/7CDZA+ZADC=180°AZA=45°=ZB.EF,

「Z1------；7l

又DELABCF±AB/.ZEDA=ZAZBCF=ZB\II/

，AE=DE=CF=BF=O、8米\Ii/

又：四邊形CDEF就是矩形...EF=CD=1、2米（6分）/-------左

S梯形ABCD=1（AB+CD）-DE=1（1.2+0.8x2+1.2）x0.8=1.6

所挖土方為1、6X1500=2400（立方米）（8分）

（解析:解決本題的關(guān)鍵就是數(shù)學(xué)建模,求梯形面積時(shí),注意作輔助線，把梯形問題

向三角形與矩形轉(zhuǎn)化）

25、①4,4②9,9③13,13④在直角三角形中兩直角邊的平方與等于斜邊的平方

《圓》章節(jié)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)

、圓的概念

集合形式的概念:圓可以瞧作就是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合;

圓的外部：可以瞧作就是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合;

圓的內(nèi)部：可以瞧作就是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合

軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半

徑的圓；

（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡就是這條線段的垂直平分線（也叫中

垂線）；

3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡就是這個(gè)角的平分線；

4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡就是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定

長的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡就是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離

都相等的一條直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系—一、

1、點(diǎn)在圓內(nèi)二>d<r=>點(diǎn)。在圓內(nèi)；A\

2、點(diǎn)在圓上d=r=>點(diǎn)5在圓上；I―。

c

3、點(diǎn)在圓外=>d>r=點(diǎn)A在圓夕卜;

三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離=>d>rn無交點(diǎn);

2、直線與圓相切=>d-rn有一個(gè)交點(diǎn);

3、直線與圓相交d<r=>有兩個(gè)交點(diǎn);

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1）=>無交點(diǎn)d>R+r\

外切（圖2）=>有一個(gè)交點(diǎn)nd=R+r;

相交（圖3）n有兩個(gè)交點(diǎn)R-r<d<R+r\

內(nèi)切（圖4）=>有一個(gè)交點(diǎn)d=R—r;

內(nèi)含（圖5）=>無交點(diǎn)=>d<R-r\

定理

垂直于弦的直徑平分弦且平

的弧。

平分弦（不就是直徑）的直

徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧;

⑵弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧;

⑶平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推

出其它3個(gè)結(jié)論，即:

①A5就是直徑②A5LCD③CE=DE④弧3C=弧8D⑤弧4。=弧

cD

B

AD

中任意2個(gè)條件推出其她3個(gè)結(jié)論。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

即:在。。中，：AB//CD

...弧AC=弧BD

例題1、基本概念

1.下面四個(gè)命題中正確的一個(gè)就是()

A.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B.平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦

C.弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心D.在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧與它所對弦的直線

必過這個(gè)圓的圓心

2.下列命題中，正確的就是().

A.過弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對的弧B.過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心

C.弦所對的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦，且過圓心D.弦的垂線平分弦所對的弧

例題2、垂徑定理

1、在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示,如果油的最大深度為

16cm，那么油面寬度AB就是cm^

2,在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后,，如果油面寬度就是48cm,那么油的

最大深度為cm、

3、如圖，已知在。。中，弦AB=CD,且ABLCD，垂足為H于

￡,0/，8于尸、

(1)求證:四邊形OE7站就是正方形、

(2)若CH=3,=9,求圓心0到弦AB與CD的距離、

4、已知:Z\ABC內(nèi)接于0O,AB=AC,半徑OB=5cm,圓心O到BC的距離為3cm，求AB的

長.

5、如圖,F就是以0為圓心,BC為直徑的半圓上任意一點(diǎn),A就是你的中點(diǎn),ADLBC于

D,求證:AD=1BF、

2

例題3、度數(shù)問題

1、已知:在。。中，弦AB=12cm,0點(diǎn)到AB的距離等于AB的一半，求:NAO3的

度數(shù)與圓的半徑、

2、已知:。O的半徑04=1,弦A8、AC的長分別就是JI、C、求NBAC的度數(shù)。

例題4、相交問題

如圖,已知。0的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E,AE=6cm,EB=2cm,ZBED=30°，求CD的長、

例題5、平行問題

在直徑為50cm的。O中，弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB〃CD,求:AB與CD之間的距

例題6、同心圓問題A

如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB,交小圓于C,。兩點(diǎn)，設(shè)大圓與小圓的半徑分

別為。力、求證:404。=/一人2、

例題7、平行與相似

已知:如圖,AB就是。0的直徑,CD就是弦,AE±CD于E,BF1.CD于F、

求證：EC=FD、

六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦

心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，

只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，

即:①NA08=/DOE；②AB=QE；

③OC=O/；④孤BA=5ABD

七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。

即：VZAOB與ZACB就是弧AB所對的圓心角與圓周角

ZAOB=2ZACB

2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周

角所對的弧就是等??；

即：在。。中，：NC、“都就是所對的圓周角

ZC=Z￡>

推論2：半圓或直徑所對的圓周角就是直角；圓周角就是直角所對的

弧就是半圓，所對的弦就是直徑。

即：在。。中，：AB就是直徑或ZC=90°

AZC=90°AB就是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形就是

BA

O

直角三角形。

即:在△ABC中，；OC=OA=OB

.?.△ABC就是直角三角形或NC=90°

注：此推論實(shí)就是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等

于斜邊的一半的逆定理。

【例11用直角鋼尺檢查某一工件就是否恰好就是半圓環(huán)形，根據(jù)圖形3-3-19所

表示的情形，四個(gè)工件哪一個(gè)肯定就是半圓環(huán)形?

【例2】如圖，已知。0中,AB為直徑,AB=10cm,弦AC=6cm,ZACB的平分線交。0于例求BC、

AD與BD的長.

【例3】如圖所示，已知AB為。0的直徑,AC為弦,OD#BC,交AC于D,BC=4cm.

⑴求證:ACJ_OD;⑵求0D的長；⑶若2sinA—1=0,求00的直徑.

［例4］四邊形ABCD中,AB//DC,BC=b,AB=AC=AD=a,如圖，求BD的長.

［例5］如圖1,AB就是半。0的直徑，過A、B兩點(diǎn)作半。0的弦，當(dāng)兩弦交點(diǎn)恰好落在半。0

上C點(diǎn)時(shí)，貝!|有AC?AC+BC?BC=AB2.

⑴如圖2,若兩弦交于點(diǎn)P在半。0內(nèi)，則AP-AC+BP-BD=AB?就是否成立？請說明理

由.

(2)如圖3,若兩弦AC、BD的延長線交于P點(diǎn)，則AB?=.參照⑴填寫相應(yīng)結(jié)論，

并證明您填寫結(jié)論的正確性.

八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。

即：在。。中，

:四邊形ABC。就是內(nèi)接四邊形

AZC+ZBAD=180°ZB+ZD=180°

ZDAE=ZC

D

例1、如圖7-107,?0中,兩弦AB〃CD,M就是AB的中點(diǎn)，過M點(diǎn)作弦DE.求證:E,M,0,C四點(diǎn)

共圓.

九、切線的性質(zhì)與判定定理圖

⑴切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線就是切線;

兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：?/MN，QA且過半徑OA外端

就是。。的切線

⑵性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。

推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。

以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

十、切線長定理

切線長定理：

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線

的夾角。

即：：？A、就是的兩條切線

PA=PB

PO平分/BPA

利用切線性質(zhì)計(jì)算線段的長度

例1:如圖，已知:AB就是00的直徑,P為延長線上的一點(diǎn),PC切。0于C,CD±AB于D,又

PC=4,?0的半徑為3.求：0D的長.

利用切線性質(zhì)計(jì)算角的度數(shù)

例2:如圖，已知:AB就是。0的直徑,CD切。。于C,AE，CD于E,BC的延長線與AE的延

長線交于F,且AF=BF.求：/A的度數(shù).

利用切線性質(zhì)證明角相等

例3:如圖，已知:AB為。0的直徑，過A作弦AC、AD,并延長與過B的切線交于M、N.求

證：/MCN=NMDN.

利用切線性質(zhì)證線段相等

例4:如圖，已知:AB就是。0直徑CO_LAB,CD切。0于D,AD交CO于E.求證:CD=CE.

利用切線性質(zhì)證兩直線垂直

例5:如圖,已知:AABC中,AB=AC,以AB為直徑作。0,交BC于D,DE切。。于D,交AC于

E.求證:DE_LAC.

A

十一、圓幕定理

⑴相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等?

即：在。。中，：弦AB、相交于點(diǎn)尸，

PAPB=PCPD

(2)推論:如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半就是它分直徑所成的兩

條線段的比例中項(xiàng)。

即：在。。中，?.?直徑ABLCD,

CE2=AE-BE

⑶切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線與割線，切線長

就是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

即：在。。中，：P4就是切線，PB就是割線

PA2=PCPB

(4)割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積

相等(如上圖)。

即：在。。中，：PB、PE就是割線

PCPB=PDPE

例1、如圖1,正方形ABCD的邊長為1,以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓0,過A作半圓切線,

切點(diǎn)為F,交CD于E,求DE:AE的值。

例2、。0中的兩條弦AB與CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么CE=cm。

圖2

例3、如圖3,P就是。。外一點(diǎn),PC切。。于點(diǎn)C,PAB就是。。的割線，交。。于A、B兩點(diǎn)，如

果PA:PB=1:4,PC=12cm,?0的半徑為10cm,則圓心0到AB的距離就是cm。

例4、如圖4,AB為。0的直徑,過B點(diǎn)作。0的切線BC,0C交。0于點(diǎn)E,AE的延長線交BC于

點(diǎn)D,⑴求證：CE*=CZ)?C5；⑵若AB=BC=2厘米，求CE、CD的長。

圖4

例6、如圖6,在直角三角形ABC中，ZA=90°,以AB邊為直徑作。0,交斜邊BC于點(diǎn)D,過D

點(diǎn)作。0的切線交AC于E。

圖6

求證:BC=20E。

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。

B

如圖：OXO2垂直平分ABo

即：???。。1、。2相交于A、B兩點(diǎn)、

0［。2垂直平分AB

十三、圓的公切線

兩圓公切線長的計(jì)算公式：

⑴公切線長:Rt\O}O2C中，4笈=CO；=8儲-血；;

⑵外公切線長：CO2就是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2就是半徑之與。

十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

(1)正三角形

在。。中△ABC就是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)

行：0D:BD:OB=1:6：2；

⑵正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在此AQ4E中進(jìn)行，OE:AE:OA=l:l：yf2:

⑶正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在應(yīng)AQAB中進(jìn)行，AB:OB:OA^l：s/3:2.

十五、扇形、圓柱與圓錐的相關(guān)計(jì)算公式

H冗R

1、扇形：(1)弧長公式：/=--;

180

(2)扇形面積公式：S——=—lR

3602

〃：圓心角R：扇形多對應(yīng)的圓的半徑/：扇形弧長S：扇形面積

2、圓柱:

(1)圓柱側(cè)面展開圖

S表=S側(cè)+2S底二2"泌+2?/

(2)圓柱的體積：V=7ir2h

3、圓錐側(cè)面展開圖

AB

⑴S表=s惻+S底=?&+?/

1”

⑵圓錐的體積：V=—兀丫一h

3

圓復(fù)習(xí)測試

班級學(xué)號姓名

一、填空（每題2分，共30分）

1、在。O中,AB就是直徑,CD就是弦，若ABXCD于E,且AE=2,BE=8,貝UCD=、

2、在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若AB=BC=CD,AC就是對角線，/ACD=30。，則N

CAD=°、

3、如圖l,NAPC=30°，弧BD等于30°，則弧AC等于°,ZAEB=°、

4、過。O內(nèi)一點(diǎn)P,的最長弦就是10,最短的弦就是6,那么OP的長為、

5、圓內(nèi)相交的兩弦中，一弦長就是20,且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分成兩線段之比就是1:4,另

一弦長就是、

6、在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,NA:/B:NC=5:2:1,則ND=、

7、若PA、PB分別切。。于A、B,/APB=60°,OP=12,則OA=,PB=、

8、OO的內(nèi)接正方形ABCD的邊長為6,E就是BC的中點(diǎn),AE的延長線交。O于F,則

EF=______

9、AABC中,NA=80°,若Oi就是內(nèi)心，則/BOiC=;若O2就是外心，則NBC）2C=、

10、如圖2,AB=BC=CD,過點(diǎn)D作B的切線DE,E為切點(diǎn)，過C點(diǎn)作AD的垂線交DE于F,則

EF:FD=（填比值）、

11、如圖3,00中弦AD、CE相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作。O的切線與EC延長線相交于點(diǎn)B,若

AB=BF=FD,BC=1,CE=8,貝IAF=、

12、如圖4,PAB、PCD就是OO的兩條割線。且PA=AB,CD=3PC,則PC:PA=、

二、選擇題（每題3分，共27分）

1、下列命題中假命題就是（）

A.相等的圓心角所對的弧相等B.圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)

C.一條弧的對的圓心角等于它所對的圓周角的2倍D.直徑所對的圓周角就是直角

2、圓的外切平行四邊形為（）

A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.平行四邊形

3、已知。O的半徑為6cm,?O的一條弦AB的長為6石cm,則弦AB所對的圓周角就是

（）

A.30°B.60°C.3O0或150°D.6O0或120°

4、若兩半徑分別就是R與r,圓心距就是d,且d?+戶=R2+2力"，則兩圓位置關(guān)系就是（）

A.外切或內(nèi)切B.外離C.相交D.內(nèi)含

5、已知兩圓的半徑分別就是方程彳2—1晨+2=0的兩根，圓心距為12,那么兩圓公切線的條

數(shù)就是（）

A.lB.2C.3D.4

6、半徑為為25cm的。。中，弦AB=40cm,則此弦與所的對弧的中點(diǎn)的距離就是（）

A.IOcmB.15cmC.40cmD.10cm與40cm

7、圓心在x軸上的兩圓相交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)的坐標(biāo)為（6,2）,則B點(diǎn)的坐標(biāo)就是（）

A.V3-2)B.(-V3,2)C.(-73,-2)D.(2,g)

8、如圖5,ABCD為。0的內(nèi)接四邊形,AC平分NBAD,并與BD交于E點(diǎn),,CF

切。O于C點(diǎn)并與AD的延長線交于F,圖中的四個(gè)三角形:①△CAF;②△

ABC;③AABD;④△BEC,其中與4CDF一定相似的就是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

9、以長為a的線段AB為斜邊的RtAABC的直角頂點(diǎn)C的軌跡就是（）

A.與AB平行且到AB距離為-的一條直線;

2

B.與AB平行且到AB距離為3的二條直線;

2

C.以AB的中點(diǎn)為圓心為半徑的一個(gè)圓；

2

D.以AB為直徑的一個(gè)圓（A、B兩點(diǎn)除外）。

三、計(jì)算題（18分）

1、己知:。O的外切等腰梯形的中位線長為10,兩底長的差為12,求。O的半徑。

2、如圖,AB就