《利用動(dòng)能定理分析變力做功和多過程問題》解題技巧一、利用動(dòng)能定理求變力做功1.動(dòng)能定理不僅適用于求恒力做的功，也適用于求變力做的功，同時(shí)因?yàn)椴簧婕白兞ψ饔玫倪^程分析，應(yīng)用非常方便.2.利用動(dòng)能定理求變力的功是最常用的方法，當(dāng)物體受到一個(gè)變力和幾個(gè)恒力作用時(shí)，可以用動(dòng)能定理間接求變力做的功，即W變＋W其他＝ΔEk.如圖1所示，質(zhì)量為m的小球由靜止自由下落d后，沿豎直面內(nèi)的固定軌道ABC運(yùn)動(dòng)，AB是半徑為d的eq\f(1,4)光滑圓弧軌道，BC是直徑為d的粗糙半圓弧軌道(B是軌道的最低點(diǎn)).小球恰能通過圓弧軌道的最高點(diǎn)C.重力加速度為g，求：圖1(1)小球運(yùn)動(dòng)到B處時(shí)對軌道的壓力大小(可認(rèn)為此時(shí)小球處在軌道AB上)；(2)小球在BC運(yùn)動(dòng)過程中，摩擦力對小球做的功.答案(1)5mg(2)－eq\f(3,4)mgd解析(1)小球由靜止運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理得2mgd＝eq\f(1,2)mv2，在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得FN－mg＝meq\f(v2,d)，得：FN＝5mg根據(jù)牛頓第三定律：小球在B處對軌道的壓力大小FN′＝FN＝5mg；(2)小球恰能通過C點(diǎn)，則mg＝meq\f(v\o\al(2,C),\f(d,2)).小球從B運(yùn)動(dòng)到C的過程：－mgd＋Wf＝eq\f(1,2)mvC2－eq\f(1,2)mv2，得Wf＝－eq\f(3,4)mgd.針對訓(xùn)練1如圖2所示，有一半徑為r＝0.5m的粗糙半圓軌道，A與圓心O等高，有一質(zhì)量為m＝0.2kg的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，從A點(diǎn)靜止滑下，滑至最低點(diǎn)B時(shí)的速度為v＝1m/s，取g＝10m/s2，下列說法正確的是()圖2A.物塊過B點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力大小是0.4NB.物塊過B點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力大小是2.0NC.A到B的過程中，克服摩擦力做的功為0.9JD.A到B的過程中，克服摩擦力做的功為0.1J答案C解析在B點(diǎn)由牛頓第二定律可知FN－mg＝meq\f(v2,r)，解得：FN＝2.4N，由牛頓第三定律可知物塊對軌道的壓力大小為2.4N，故A、B均錯(cuò)誤；A到B的過程，由動(dòng)能定理得mgr＋Wf＝eq\f(1,2)mv2－0，解得Wf＝－0.9J，故克服摩擦力做功為0.9J，故C正確，D錯(cuò)誤.二、利用動(dòng)能定理分析多過程問題一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)如果包含多個(gè)運(yùn)動(dòng)階段，可以選擇分段或全程應(yīng)用動(dòng)能定理.(1)分段應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，將復(fù)雜的過程分割成一個(gè)個(gè)子過程，對每個(gè)子過程的做功情況和初、末動(dòng)能進(jìn)行分析，然后針對每個(gè)子過程應(yīng)用動(dòng)能定理列式，然后聯(lián)立求解.(2)全程應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，分析整個(gè)過程中出現(xiàn)過的各力的做功情況，分析每個(gè)力做的功，確定整個(gè)過程中合外力做的總功，然后確定整個(gè)過程的初、末動(dòng)能，針對整個(gè)過程利用動(dòng)能定理列式求解.當(dāng)題目不涉及中間量時(shí)，選擇全程應(yīng)用動(dòng)能定理更簡單，更方便.注意：當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)過程中涉及多個(gè)力做功時(shí)，各力對應(yīng)的位移可能不相同，計(jì)算各力做功時(shí)，應(yīng)注意各力對應(yīng)的位移.計(jì)算總功時(shí)，應(yīng)計(jì)算整個(gè)過程中出現(xiàn)過的各力做功的代數(shù)和.如圖3所示，右端連有一個(gè)光滑弧形槽的水平桌面AB長L＝1.5m，一個(gè)質(zhì)量為m＝0.5kg的木塊在F＝1.5N的水平拉力作用下，從桌面上的A端由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，木塊到達(dá)B端時(shí)撤去拉力F，木塊與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，取g＝10m/s2.求：圖3(1)木塊沿弧形槽上升的最大高度(木塊未離開弧形槽)；(2)木塊沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑行的最大距離.答案(1)0.15m(2)0.75m解析(1)設(shè)木塊沿弧形槽上升的最大高度為h，木塊在最高點(diǎn)時(shí)的速度為零.從木塊開始運(yùn)動(dòng)到沿弧形槽上升到最大高度處，由動(dòng)能定理得：FL－FfL－mgh＝0其中Ff＝μFN＝μmg＝0.2×0.5×10N＝1.0N所以h＝eq\f(FL－FfL,mg)＝eq\f(1.5－1.0×1.5,0.5×10)m＝0.15m(2)設(shè)木塊離開B點(diǎn)后，在水平桌面上滑行的最大距離為x，由動(dòng)能定理得：mgh－Ffx＝0所以x＝eq\f(mgh,Ff)＝eq\f(0.5×10×0.15,1.0)m＝0.75m.針對訓(xùn)練2圖4中ABCD是一條長軌道，其中AB段是傾角為θ的斜面，CD段是水平的，BC段是與AB段和CD段都相切的一小段圓弧，其長度可以略去不計(jì).一質(zhì)量為m的小滑塊在A點(diǎn)從靜止釋放，沿軌道滑下，最后停在D點(diǎn)，A點(diǎn)和D點(diǎn)的位置如圖4所示，現(xiàn)用一沿軌道方向的力推滑塊，使它緩緩地由D點(diǎn)回到A點(diǎn)，設(shè)滑塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，則推力對滑塊做的功等于()圖4A.mgh B.2mghC.μmg(s＋eq\f(h,sinθ)) D.μmg(s＋hcosθ)答案B解析滑塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)，設(shè)克服摩擦力做功為WAD，由動(dòng)能定理得mgh－WAD＝0，即WAD＝mgh…①，滑塊從D點(diǎn)回到A點(diǎn)，由于是緩慢推，說明動(dòng)能變化量為零，設(shè)克服摩擦力做功為WDA，由動(dòng)能定理知當(dāng)滑塊從D點(diǎn)被推回A點(diǎn)有WF－mgh－WDA＝0…②，由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)，克服摩擦力做的功為WAD＝μmgcosθ·eq\f(h,sinθ)＋μmgs…③，從D→A的過程克服摩擦力做的功為WDA＝μmgcosθ·eq\f(h,sinθ)＋μmgs…④，③④聯(lián)立得WAD＝WDA…⑤，①②⑤聯(lián)立得WF＝2mgh，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確.三、動(dòng)能定理在平拋、圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用動(dòng)能定理常與平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合，解決這類問題要特別注意：(1)與平拋運(yùn)動(dòng)相結(jié)合時(shí)，要注意應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法，如分解位移或分解速度求平拋運(yùn)動(dòng)的有關(guān)物理量.(2)與豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合時(shí)，應(yīng)特別注意隱藏的臨界條件：①可提供支撐效果的豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，物體能通過最高點(diǎn)的臨界條件為vmin＝0.②不可提供支撐效果的豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，物體能通過最高點(diǎn)的臨界條件為vmin＝eq\r(gR).如圖5所示，一可以看成質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m＝2kg的小球以初速度v0沿光滑的水平桌面飛出后，恰好從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道，BC為圓弧豎直直徑，其中B為軌道的最低點(diǎn)，C為最高點(diǎn)且與水平桌面等高，圓弧AB對應(yīng)的圓心角θ＝53°，軌道半徑R＝0.5m.已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2.圖5(1)求小球的初速度v0的大??；(2)若小球恰好能通過最高點(diǎn)C，求在圓弧軌道上摩擦力對小球做的功.答案(1)3m/s(2)－4J解析(1)在A點(diǎn)由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：vA＝eq\f(v0,cos53°)＝eq\f(5,3)v0小球由桌面到A點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得mg(R＋Rcosθ)＝eq\f(1,2)mvA2－eq\f(1,2)mv02聯(lián)立得：v0＝3m/s；(2)若小球恰好能通過最高點(diǎn)C，在最高點(diǎn)C處有mg＝eq\f(mv\o\al(2,C),R)，小球從桌面運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得Wf＝eq\f(1,2)mvC2－eq\f(1,2)mv02代入數(shù)據(jù)解得Wf＝－4J.四、動(dòng)能定理在多過程往復(fù)運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用某游樂場的滑梯可以簡化為如圖6所示豎直面內(nèi)的ABCD軌道，AB為長L＝6m、傾角α＝37°的斜軌道，BC為水平軌道，CD為半徑R＝15m、圓心角β＝37°的圓弧軌道，軌道AB段粗糙，其余各段均光滑.一小孩(可視為質(zhì)點(diǎn))從A點(diǎn)以初速度v0＝2eq\r(3)m/s下滑，沿軌道運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，sin37°＝0動(dòng)摩擦力，求：圖6(1)該小孩第一次經(jīng)過圓弧軌道C點(diǎn)時(shí)，對圓弧軌道的壓力；(2)該小孩與AB段間的動(dòng)摩擦因數(shù)；(3)該小孩在軌道AB上運(yùn)動(dòng)的總路程s.答案(1)420N，方向向下(2)0.25(3)21m解析(1)由C到D速度減為0，由動(dòng)能定理可得－mg(R－Rcosβ)＝0－eq\f(1,2)mvC2，vC＝2eq\r(15)m/s在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得FN－mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)，可得：FN＝420N下(2)小孩從A運(yùn)動(dòng)到D的過程中，由動(dòng)能定理得：mgLsinα－μmgLcosα－mgR(1－cosβ)＝0－eq\f(1,2)mv02可得：μ＝0.25(3)在AB斜軌道上，μmgcosα<mgsinα，小孩不能靜止在斜軌道上，則小孩從A點(diǎn)以初速度v0滑下，最后靜止在BC軌道B處，由動(dòng)能定理：mgLsinα－μmgscosα＝0－eq\f(1,2)mv02，解得s＝21m.1.在有摩擦力做功的往復(fù)運(yùn)動(dòng)過程中，注意兩種力做功的區(qū)別：(1)重力做功只與初、末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)；程).2.由于動(dòng)能定理解題的優(yōu)越性，求多過程往復(fù)運(yùn)動(dòng)問題中的路程，一般應(yīng)用動(dòng)能定理.【課堂同步練習(xí)】1.(用動(dòng)能定理求變力做功)如圖7所示為一水平的轉(zhuǎn)臺(tái)，半徑為R，一質(zhì)量為m的滑塊放在轉(zhuǎn)臺(tái)的邊緣，已知滑塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g.若轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速由零逐漸增大，當(dāng)滑塊在轉(zhuǎn)臺(tái)上剛好發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)對滑塊所做的功為()圖7A.eq\f(1,2)μmgR B.2πmgRC.2μmgR D.0答案A解析滑塊即將開始滑動(dòng)時(shí)，最大靜摩擦力(等于滑動(dòng)摩擦力)提供向心力，有μmg＝eq\f(mv2,R)，根據(jù)動(dòng)能定理有Wf＝eq\f(1,2)mv2，解得Wf＝eq\f(1,2)μmgR，A正確.2.(利用動(dòng)能定理分析多過程問題)如圖8所示，AB為四分之一圓弧軌道，BC為水平直軌道，圓弧的半徑為R，BC的長度也是R.一質(zhì)量為m的物體，與兩個(gè)軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，它由軌道頂端A從靜止開始下滑，恰好運(yùn)動(dòng)到C處停止，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，那么物體在AB段克服摩擦力所做的功為()圖8A.eq\f(1,2)μmgR B.eq\f(1,2)mgRC.mgR D.(1－μ)mgR答案D解析設(shè)物體在AB段克服摩擦力所做的功為WAB，對物體從A到C的全過程，由動(dòng)能定理得mgR－WAB－μmgR＝0，故WAB＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR.3.(動(dòng)能定理在平拋、圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用)如圖9所示，一長L＝0.45m、不可伸長的輕繩上端懸掛于M點(diǎn)，下端系一質(zhì)量m＝1.0kg的小球，CDE是一豎斷，小球平拋后，從圓弧求：圖9(1)小球到B點(diǎn)時(shí)的速度大??；(2)輕繩所受的最大拉力大?。?3)小球在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)克服阻力做的功.答案(1)3m/s(2)30N(3)8J解析(1)小球從A到B的過程，由動(dòng)能定理得mgL＝eq\f(1,2)mv12，解得v1＝3m/s(2)小球在B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得F－mg＝meq\f(v\o\al(2,1),L)，解得F＝30N，由牛頓第三定律可知，輕繩所受最大拉力大小為30N(3)小球從B到C做平拋運(yùn)動(dòng)，從C點(diǎn)沿切線進(jìn)入圓弧軌道，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得小球在C點(diǎn)的速度大小v2＝eq\f(v1,cosθ)，解得v2＝6m/s小球剛好能到達(dá)E點(diǎn)，則mg＝meq\f(v\o\al(2,3),R)，解得v3＝eq\r(5)m/s小球從C點(diǎn)到E點(diǎn)，由動(dòng)能定理得－mg(R＋Rcosθ)－Wf＝eq\f(1,2)mv32－eq\f(1,2)mv22，解得Wf＝8J.4.(利用動(dòng)能定理分析多過程往復(fù)運(yùn)動(dòng)問題)如圖10所示，ABCD為一豎直平面內(nèi)的軌道，其中BC水平，A點(diǎn)比BC高出10m，BC長1m，AB和CD軌道光滑.m的D點(diǎn)時(shí)速度為0.求：(g取10m/s2)圖10(1)物體與BC軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)；(2)物體第5次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小(結(jié)果可用根式表示)；(3)物體最后停止的位置(距B點(diǎn)多少米).答案(1)0.5(2)4eq\r(11)m/s(3)距B點(diǎn)0.4m解析(1)由A到D，由動(dòng)能定理得－mg(h－H)－μmgsBC＝0－eq\f(1,2)mv12解得μ＝0.5(2)物體第5次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，物體在BC上滑動(dòng)了4次，由動(dòng)能定理得mgH－μmg·4sBC＝eq\f(1,2)mv22－eq\f(1,2)mv12，解得v2＝4eq\r(11)m/s(3)分析整個(gè)過程，由動(dòng)能定理得mgH－μmgs＝0－eq\f(1,2)mv12解得s＝21.6m所以物體在軌道上來回運(yùn)動(dòng)了10次后，還有1.6m，故最后停止的位置與B點(diǎn)的距離為2m－1.6m＝0.4m.【課后強(qiáng)化訓(xùn)練】一、選擇題1.一人用力踢質(zhì)量為100g的皮球，使球由靜止以20m/s的速度飛出.假定人踢球瞬間對球的平均作用力是200N，球在水平方向運(yùn)動(dòng)了20m停止.則人對球所做的功為()A.20J B.2000JC.500J D.4000J答案A解析根據(jù)題意可知，球的初狀態(tài)速度為零，末狀態(tài)速度為20m/s，由動(dòng)能定理可知W＝eq\f(1,2)mv2－0＝eq\f(1,2)×0.1×202J＝20J，故選A.2.質(zhì)量為m的物體以初速度v0沿水平面向左開始運(yùn)動(dòng)，起始點(diǎn)A與一輕彈簧O端相距s，如圖1所示.已知物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體與彈簧相碰后，彈簧的最大壓縮量為x，重力加速度為g，則從開始碰撞到彈簧被壓縮至最短(彈簧始終在彈性限度內(nèi))，物體克服彈簧彈力所做的功為()圖1A.eq\f(1,2)mv02－μmg(s＋x) B.eq\f(1,2)mv02－μmgxC.μmgs D.μmg(s＋x)答案A解析由動(dòng)能定理得－W－μmg(s＋x)＝0－eq\f(1,2)mv02，W＝eq\f(1,2)mv02－μmg(s＋x)，A正確，B、C、D錯(cuò)誤.3.在離水平地面高為h處豎直上拋一質(zhì)量為m的物塊，拋出時(shí)的速度為v0，當(dāng)它落到水平地面時(shí)速度為v，用g表示重力加速度，則在此過程中物塊克服空氣阻力所做的功等于()A.mgh－eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02 B.eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02－mghC.mgh＋eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)mv2 D.mgh＋eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02答案C解析對物塊從剛拋出到落地的過程，由動(dòng)能定理可得：mgh－Wf克＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02解得：Wf克＝mgh＋eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)mv2.4.一質(zhì)量為m的小球，用長為l的輕繩懸掛于O點(diǎn)，小球在水平拉力F作用下，從平衡位置P點(diǎn)緩慢地移動(dòng)到Q點(diǎn)，如圖2所示，重力加速度為g，則拉力F所做的功為()圖2A.mglcosθ B.mgl(1－cosθ)C.Flcosθ D.Flsinθ答案B解析小球緩慢移動(dòng)，時(shí)時(shí)處于平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，F(xiàn)＝mgtanθ，隨著θ的增大，F(xiàn)也在增大，是一個(gè)變化的力，不能直接用功的公式求它所做的功，所以這道題要考慮用動(dòng)能定理求解.由于小球緩慢移動(dòng)，動(dòng)能保持不變，由動(dòng)能定理得：－mgl(1－cosθ)＋W＝0，所以W＝mgl(1－cosθ)，B正確，A、C、D錯(cuò)誤.5.如圖3所示，一木塊沿豎直放置的粗糙曲面從高處滑下，當(dāng)它滑過A點(diǎn)的速度大小為5m/s時(shí)，滑到B點(diǎn)的速度大小也為5m/s.若使它滑過A點(diǎn)的速度大小變?yōu)?m/s，則它滑到B點(diǎn)的速度大小()圖3A.大于7m/s B.等于7m/sC.小于7m/s D.無法確定答案C解析第一次從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中：mgh－Wf1＝ΔEk＝0，Wf1＝mgh第二次速度增大，木塊對軌道的壓力增大，Wf2>Wf1，故mgh－Wf2<0，木塊在B點(diǎn)的動(dòng)能小于在A點(diǎn)的動(dòng)能，C正確.6.質(zhì)量為m的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4所示，運(yùn)動(dòng)過程中小球受到空氣阻力的作用.設(shè)某一時(shí)刻小球通過軌道的最低點(diǎn)，此時(shí)繩子的張力為7mg，在此后小球繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過半個(gè)圓周恰好能通過最高點(diǎn)，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功是()圖4A.eq\f(1,4)mgR B.eq\f(1,3)mgRC.eq\f(1,2)mgR D.mgR答案C解析小球通過最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)繩的張力為FT，則FT－mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，即6mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)①小球恰好通過最高點(diǎn)，繩子拉力為零，則有mg＝meq\f(v\o\al(2,2),R)②小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得－mg·2R－Wf＝eq\f(1,2)mv22－eq\f(1,2)mv12③由①②③式解得Wf＝eq\f(1,2)mgR，選C.7.一質(zhì)量為2kg的物體靜止在水平桌面上，在水平拉力F的作用下，沿水平方向運(yùn)動(dòng)2s后撤去外力，其v－t圖像如圖5所示，下列說法正確的是()圖5A.在0～2s內(nèi)，合外力做的功為4JB.在0～2s內(nèi)，合外力做的功為8JC.在0～6s內(nèi)，摩擦力做的功為－8JD.在0～6s內(nèi)，摩擦力做的功為－4J答案A8.如圖6所示，一薄木板斜放在高度一定的平臺(tái)和水平地板上，其頂端與平臺(tái)相平，末端置于地板的P處，并與地板平滑連接.將一可看成質(zhì)點(diǎn)的滑塊自木板頂端無初速度釋放，沿木板下滑，接著在地板上滑動(dòng)，最終停在Q處.滑塊和木板及地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同.現(xiàn)將木板截短一半，仍按上述方式放在該平臺(tái)和水平地板上，再次將滑塊自木板頂端無初速度釋放(設(shè)滑塊在木板和地面接觸處平滑過渡)，則滑塊最終將停在()圖6A.P處 B.P、Q之間C.Q處 D.Q的右側(cè)答案C9.(多選)如圖7所示為一滑草場.某條滑道由上、下兩段高均為h，與水平面傾角分別為45°和37°的滑道組成，滑草車與草地之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.質(zhì)量為m的載人滑草車從坡頂由靜止開始下滑，經(jīng)過上、下兩段滑道后，最后恰好靜止于滑道的底端(不計(jì)滑草車在兩段滑道交接處的能量損失，重力加速度為g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8).則()圖7A.動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝eq\f(6,7)B.載人滑草車最大速度為eq\r(\f(2gh,7))C.載人滑草車克服摩擦力做功為mghD.載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為eq\f(3,5)g答案AB解析根據(jù)動(dòng)能定理有2mgh－Wf＝0，即2mgh－μmgcos45°·eq\f(h,sin45°)－μmgcos37°·eq\f(h,sin37°)＝0，得動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝eq\f(6,7)，則A項(xiàng)正確，C項(xiàng)錯(cuò)誤；載人滑草車在上、下兩段的加速度分別為a1＝g(sin45°－μcos45°)＝eq\f(\r(2),14)g，a2＝g(sin37°－μcos37°)＝－eq\f(3,35)g，則載人滑草車在上、下兩段滑道上分別做加速運(yùn)動(dòng)和減速運(yùn)動(dòng)，因此在上段滑道底端時(shí)達(dá)到最大速度v，由動(dòng)能定理得：mgh－μmgcos45°eq\f(h,sin45°)＝eq\f(1,2)mv2，得v＝eq\r(\f(2,7)gh)，故B項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.二、非選擇題10.如圖8所示，光滑水平面AB與一半圓形軌道在B點(diǎn)平滑連接，軌道位于豎直面內(nèi)，其半徑為R，一個(gè)質(zhì)量為m的物塊靜止在水平面上，現(xiàn)向左推物塊使其壓緊彈簧，然后放手，物塊在彈力作用下獲得一速度，當(dāng)它經(jīng)B點(diǎn)進(jìn)入半圓形軌道瞬間，對軌道的壓力為其重力的7倍，之后向上運(yùn)動(dòng)恰能完成半圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g.求：圖8(1)彈簧彈力對物塊做的功；(2)物塊從B到C克服阻力所做的功；(3)物塊離開C點(diǎn)后，再落回到水平面上時(shí)的動(dòng)能.答案(1)3mgR(2)eq\f(1,2)mgR(3)eq\f(5,2)mgR解析(1)物塊從開始運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理得W＝eq\f(1,2)mvB2在B點(diǎn)由牛頓第二定律得7mg－mg＝meq\f(v\o\al(2,B),R)解得W＝3mgR(2)物塊從B到C由動(dòng)能定理得－2mgR＋W′＝eq\f(1,2)mvC2－eq\f(1,2)mvB2物塊在C點(diǎn)時(shí)mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)解得W′＝－eq\f(1,2)mgR，即物塊從B到C克服阻力做功為eq\f(1,2)mgR.(3)物塊從C點(diǎn)平拋到水平面的過程中，由動(dòng)能定理得2mgR＝Ek－eq\f(1,2)mvC2，解得Ek＝eq\f(5,2)mgR.11.如圖9甲所示，半徑R＝0.9m的光滑半圓形軌道BC固定于豎直平面內(nèi)，最低點(diǎn)B與水平面相切.水平面上有一質(zhì)量為m＝2kg的物塊從A點(diǎn)以某一m/s2，求：圖9(1)物塊經(jīng)過最高點(diǎn)C時(shí)的速度大??；(2)物塊經(jīng)過半圓形軌道最低點(diǎn)B時(shí)對軌道壓力的大?。?3)物塊在A點(diǎn)時(shí)的初速度大小.答案(1)3m/s(2)120N(3)8m/s解析(1)物塊恰好通過C點(diǎn)，由牛頓第二定律可得mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)解得vC＝3m/s(2)物塊從B點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理可得－mg·2R＝eq\f(1,2)mvC2－eq\f(1,2)mvB2解得vB＝3eq\r(5)m/s在B點(diǎn)由牛頓第二定律可得FN－mg＝meq\f(v\o\al(2,B),R)，解得FN＝120N.由牛頓第三定律可知物塊通過B點(diǎn)時(shí)對軌道壓力的大小為120N(3)由題圖乙可知摩擦力對物塊做的功為Wf＝－eq\f(1,2)×(0.25＋0.75)×1.9mg＝－19J物塊從A到B，由動(dòng)能定理得Wf＝eq\f(1,2)mvB2－eq\f(1,2)mvA2解得vA＝8m/s.12.如圖10所示，光滑斜面AB的傾角θ＝53°，BC為水平面，BC長度lBC＝1.1m，CD為光滑的eq\f(1,4)圓弧，半徑R＝0.6m.一個(gè)質(zhì)量m＝2kg的物體，從斜面上A點(diǎn)由靜止開始下滑，物體與水平面BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，軌道在B、C兩點(diǎn)平滑連接.當(dāng)物體到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，繼續(xù)豎直向上運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)距離D點(diǎn)的高度h＝0.2m.不計(jì)空氣阻力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g取10m/s2.求：圖10(1)物體運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小vC；(2)A點(diǎn)距離水平面的高度H；(3)物體最終停止的位置到C點(diǎn)的距離s.答案(1)4m/s(2)1.02m(3)0.4m解析(1)物體由C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得：－mg(h＋R)＝0－eq\f(1,2)mvC2代入數(shù)據(jù)解得：vC＝4m/s(2)物體由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得：mgH－μmglBC＝eq\f(1,2)mvC2－0代入數(shù)據(jù)解得：H＝1.02m(3)從物體開始下滑到最終停止，根據(jù)動(dòng)能定理得：mgH－μmgs1＝0代入數(shù)據(jù)，解得s1＝5.1m由于s1＝4lBC＋0.7m所以物體最終停止的位置到C點(diǎn)的距離為：s＝0.4m.【強(qiáng)化訓(xùn)練二】1.如圖1所示是一種常見的圓桌，桌面中間嵌一半徑為r＝1.5m、可繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤，桌面與圓盤面在同一水平面內(nèi)且兩者間縫隙可不考慮.已知桌面離地高度為h＝0.8m，將一可視為質(zhì)點(diǎn)的小碟子放置在圓盤邊緣，若緩慢增大圓盤的角速度，碟子將從圓盤上甩出并滑上桌面，再從桌面飛出，落地點(diǎn)與桌面飛出點(diǎn)的水平距離是0.4m.已知碟子質(zhì)量m＝0.1kg，碟子與圓盤間的最大靜摩擦力Ffmax＝0.6N，g取10m/s2，求：(不計(jì)空氣阻力)圖1(1)碟子從桌面飛出時(shí)的速度大?。?2)碟子在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，桌面摩擦力對它做的功；(3)若碟少是多少？答案(1)1m/s(2)－0.4J(3)2.5m解析(1)根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：h＝eq\f(1,2)gt2，x＝vt，得v＝xeq\r(\f(g,2h))＝1m/s(2)碟子從圓盤上甩出時(shí)的速度為v0，則Ffmax＝meq\f(v\o\al(2,0),r)，即v0＝3m/s由動(dòng)能定理得：Wf＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02，代入數(shù)據(jù)得：Wf＝－0.4J(3)當(dāng)?shù)踊阶烂孢吘墪r(shí)速度恰好減為零，對應(yīng)的桌子半徑取最小值.設(shè)碟子在桌子上滑動(dòng)的位移為x′，根據(jù)動(dòng)能定理：－μmgx′＝0－eq\f(1,2)mv02代入數(shù)據(jù)得：x′＝2m由幾何知識可得桌子半徑的最小值為：R＝eq\r(r2＋x′2)＝2.5m.2.如圖2所示為一遙控電動(dòng)賽車(可視為質(zhì)點(diǎn))和它的運(yùn)動(dòng)軌道示意圖.假設(shè)在某次演示中，賽車從A位置由靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)2s后關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，賽車?yán)^續(xù)前進(jìn)至B點(diǎn)后水平飛出，賽車能從C點(diǎn)無碰撞地進(jìn)入豎直平面內(nèi)的圓形光滑軌道，D點(diǎn)和E點(diǎn)分別為圓形軌道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn).已知賽車在水平軌道AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的恒定阻力為0.4N，賽車質(zhì)量為0.4kg，通電時(shí)賽車電動(dòng)機(jī)的輸出功率恒為2W，B、C兩點(diǎn)間高度差為0.45m，C與圓心O的連線和豎直方向的夾角α＝37°，空氣阻力忽略不計(jì)，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10m/s2，求：圖2(1)賽車通過C點(diǎn)時(shí)的速度大??；(2)賽道AB的長度；(3)要使賽車能通過圓軌道最高點(diǎn)D后回到水平賽道EG，其半徑需要滿足什么條件？答案(1)5m/s(2)2m(3)0<R≤eq\f(25,46)m解析(1)賽車在BC間做平拋運(yùn)動(dòng)，則豎直方向vy＝eq\r(2gh)＝3m/s由圖可知：vC＝eq\f(vy,sin37°)＝5m/s(2)由(1)可知B點(diǎn)速度v0＝vCcos37°＝4m/s則根據(jù)動(dòng)能定理：Pt－FflAB＝eq\f(1,2)mv02，解得lAB＝2m(3)當(dāng)賽車恰好通過最高點(diǎn)D時(shí)，有：mg＝meq\f(v\o\al(2,D),R)從C到D，由動(dòng)能定理可知：－mgR(1＋cos37°)＝eq\f(1,2)mvD2－eq\f(1,2)mvC2，解得R＝eq\f(25,46)m所以軌道半徑0<R≤eq\f(25,46)m.3.如圖3所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道由四分之一圓弧軌道ab和拋物線軌道bc組成，圓弧軌道半徑Oa水平，b點(diǎn)為拋物線軌道頂點(diǎn).已知b點(diǎn)距c點(diǎn)的高度h＝2m，水平距離s＝eq\r(2)m.重力加速度g取10m/s2.圖3(1)一小環(huán)套在軌道上從a點(diǎn)由靜止滑下，當(dāng)其在bc段軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，與軌道之間無相互作用力，求圓弧軌道的半徑；(2)若小大小.答案(1)0.25m(2)eq\f(2\r(10),3)m/s解析(1)小球在bc段軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，與軌道之間無相互作用力，說明小環(huán)下落到b點(diǎn)時(shí)的速度可使得小環(huán)做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡與軌道bc重合，有s＝vbt，h＝eq\f(gt2,2)在ab段軌道下滑過程中，根據(jù)動(dòng)能定理可得mgR＝eq\f(mv\o\al(2,b),2)，聯(lián)立解得R＝0.25m(2)小環(huán)在bc段軌道下滑過程中，初速度為零，只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可得mgh＝eq\f(mv\o\al(2,c),2)，因?yàn)樾…h(huán)滑到c點(diǎn)時(shí)速度與豎直方向的夾角等于(1)問中做平拋運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過c點(diǎn)時(shí)速度與豎直方向的夾角，設(shè)該夾角為θ，則根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知sinθ＝eq\f(vb,\r(v\o\al(2,b)＋2gh))，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可得sinθ＝eq\f(v水平,vc)，聯(lián)立可得v水平＝eq\f(2\r(10),3)m/s.4.某校科技興趣小組設(shè)計(jì)了如圖4所示的賽車軌道，軌道由水平直軌道AB、圓軌道BCD(B點(diǎn)與D點(diǎn)在同一水平面上但不重合)、水平直軌道DE、圓弧軌道EP和管道式圓弧軌道PF組成，整個(gè)軌道處在同一豎直面內(nèi)，AB段粗糙，其他軌道均光滑，EO2和FO3均沿豎直方向，且EO2＝FO3＝R2.已知R1＝0.5m，R2＝1.2m，θ＝60°.一遙控電動(dòng)賽車(可視為質(zhì)點(diǎn))質(zhì)量m＝1