湖北省武漢市東湖高新區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末

數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列環(huán)保標志，既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形的是（）

2.事件①：任意畫一個多邊形，其外角和為360。；事件②：經(jīng)過一個有交通信號燈的

十字路口，遇到紅燈；則下列說法正確的是（）

A.事件①和②都是隨機事件

B.事件①是隨機事件，事件②是必然事件

C.事件①和②都是必然事件

D.事件①是必然事件，事件②是隨機事件

3.若一元二次方程/一3元+。=0的一個根為x=2,則。的值為（）

A.2B.-2C.4D.-4

4.在平面直角坐標系中，以點（4,3）為圓心，4為半徑的圓與坐標軸的位置關系為（）.

A.與x軸相切B.與x軸相離C.與y軸相切D.與y軸相交

5.我國古代數(shù)學家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云

闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”翻譯成數(shù)學問題是：一塊矩形田地的面積為864

平方步，它的寬比長少12步.如果設寬為無步，則可列出方程（）

A.x（x-6）=864B.x（x-12）=864

C.X（X+6）=864D.X（X+12）=864

6.已知..TWC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，A,B,C,P四點均在格點上，則點P

叫做ABC的（）

A.垂心（三邊高線的交點）B.重心（三邊中線的交點）

C.外心（三邊垂直平分線的交點）D.內心（三內角平分線的交點）

7.已知拋物線y=/-2x+c經(jīng)過點和點。（〃?,%）.若%<%，則比的取值范

圍（）

A.-l<m<3B.1<m<3

C.加<一1或機>3D.機<一1或加>2

8.有一個從不透明的袋子中摸球的游戲，這些球除顏色外都相同，小紅根據(jù)游戲規(guī)則,

作出了如圖所示的樹狀圖，則此次摸球的游戲規(guī)則是（）

開始

A.隨機摸出一個球后放回，再隨機摸出1個球

B.隨機摸出一個球后不放回，再隨機摸出1個球

C.隨機摸出一個球后放回，再隨機摸出3個球

D.隨機摸出一個球后不放回，再隨機摸出3個球

9.如圖，點尸在（。的直徑48上，作正方形尸CDE和正方形PFG”,其中點。，G

在直徑所在直線上，點C,E,RH都在。上.若兩個正方形的面積之和為16,OP=0,

則DG的長是（）

A.672B.2^/14C.7D.4百

10.已知拋物線>=/+依+匕與無軸兩個交點間的距離為2,將此拋物線向右平移2個

單位，再向下平移3個單位，得到一條新拋物線，則新拋物線與無軸兩個交點間的距離

是（）.

A.4B.5C.8D.4百

試卷第2頁，共6頁

二、填空題

11.在平面直角坐標系中，點尸（-3,4）關于原點對稱的點的坐標是.

12.若芯="2,々=〃是一元二次方程d-2x—5=0的兩個實數(shù)根，則.

13.如圖是可以自由轉動的三個轉盤，請根據(jù)下列情形回答問題（不考慮指針落在分界

（1）轉盤1被分成了2個扇形，圓心角為120。的扇形涂成紅色，其余部分涂成白色，

轉動轉盤1,當轉盤1停止轉動時，指針落在紅色區(qū)域的概率是.

（2）轉盤2、轉盤3都已被分成了3個相同的扇形，并且分別涂成紅色、白色、黃色，

同時轉動轉盤2和轉盤3,當兩個轉盤停止轉動時，則指針落在區(qū)域的顏色都是紅色的

概率為.

14.如圖，以點。為中心的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量角器的。刻

度線與直角三角板的斜邊重合，點。為斜邊A8上一點，作射線交半圓弧于

點E,如果點E在量角器上對應的讀數(shù)為50°,那么NBDE的大小為.

15.如圖，二次函數(shù)y=ar2+bx+c（4<0）的圖象與無軸的正半軸相交于人（西,0）,8兩

點（0<%<1）,與y軸交于點C.對稱軸為直線x=2,且。4=OC,下列結論，其中正

確的結論是.（填寫正確結論的序號）

①abc>0；

②4a+6=0；

③若a無2+6尤+c<尤+c,貝!|0<x<-c；

④關于x的方程ax?+fcv+c=0有一個根為》=-工.

a

16.如圖，在等腰RtAABC中，ZACB=9Q°,請將等腰Rt^ABC以點A為旋轉中心旋

轉60。得到△△與G，延長BG與直線AB交于點，若AC=2,則線段CtD的長為

三、解答題

17.己知二次函數(shù)>=爐+4..3.

(1)用配方法將二次函數(shù)的一般式化成y=a(x-/z)2+上的形式：

⑵分別寫出此二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標、對稱軸.

18.若關于x的一元二次方程尤2+4X+〃-1=0有兩個相等的實數(shù)根，求相的值及方程

的根.

19.如圖，將一ABC繞點A逆時針旋轉140。得到VADE,B,C,。三點恰好在同一直

線上.

⑴判斷八4匿的形狀；

(2)連接CE,若CELBD,求/54C的度數(shù).

20.一只不透明袋中裝有1個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學習

小組做摸球試驗：將球攪勻后從袋中摸出1個球，記下顏色后放回、攬勻，不斷重復這

個過程，獲得數(shù)據(jù)如下：

摸球的次數(shù)200300400100016002000

試卷第4頁，共6頁

摸到白球的頻數(shù)7293130334532667

摸到白球的頻率0.036000.031000.032500.033400.033250.03335

（1）該小組發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率在一個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)是（精確到0.001）,

由此估出紅球有個；

（2）現(xiàn)從該袋中隨機摸出一個球，不放回，再摸出一個球，請用畫樹狀圖或列表法求恰好

摸到1個白球和1個紅球的概率.

21.如圖，以AD為直徑的半圓。經(jīng)過Rt^ABC斜邊42的兩個端點，半圓。與直角邊

AC交于點E,且B,E兩點是半圓弧的三等分點.

（1）在圖1中，請僅用無刻度的直尺，按要求完成下列作圖（作圖過程用虛線，作圖結果

用實線）.

①畫一條和3C平行的弦；②畫BE的中點

⑵如圖2,已知。的半徑為4,求圖中兩個陰影部分面積的和.

22.中山公園的人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安

裝一個噴水頭，噴出的水柱形狀可看作是拋物線的一部分，若記水柱上某一點的位置與

水管的水平距離為x米，與湖面的垂直高度為y米，表中記錄了x與y的五組數(shù)據(jù)：

X（米）1234

y（米）0.51.251.51.250.5

2水rn―『（1）根據(jù)表中所給數(shù)

）4--t

~Oi234*

據(jù)，在圖1建立的平面直角坐標系中畫出表示y與x函數(shù)關系的圖象：

⑵求y與x的函數(shù)表達式；

（3）公園準備調節(jié)水管露出湖面的高度，使游船能從拋物線形水柱下方通過，如圖2所示,

為避免游船被噴泉淋到，要求游船以拋物線的對稱軸為中軸線從水柱下方通過時，頂棚

上任意一點到水柱的豎直距離均不小于0.5米，己知游船頂棚寬度2米，頂棚到湖面的

高度為1.8米，請計算分析水管露出湖面的高度(噴水頭忽略不計)至少調節(jié)到多少米

才能符合要求？

23.【問題背景】如圖1,己知「ABC和VADE都是等邊三角形，求證：BD=CE：

【嘗試應用】如圖2,在ABC中，Zfi4c=60。，在AC上截取=連接班D

為3c上一點，將線段8。繞點B逆時針旋轉60。，得到線段BE,連接AE并延長交線段

BF于點M,且雨=CF,求證：點。為線段3c的中點：

【拓展探究】如圖3,在ABC中，ZBAC=60。，點。為邊AC上的一點，當時,

連接8￡),將線段3。繞點B逆時針旋轉60。，得到線段BE,連接AE,DE,若A￡>=4,

請直接寫出一ABE面積的最大值為.

24.(1)已知拋物線G：y=a/+以經(jīng)過原點。，其頂點P的坐標為(2,4).求拋物線C1

的函數(shù)表達式;

(2)如圖1,若拋物線G與x軸交于另一點E,過O,E兩點作開口向下的拋物線C2,

設其頂點為。(點。在點P的下方)，線段PQ的垂直平分線與拋物線G相交于M，N

兩點，若四邊形PM2N的面積為名亞時，求拋物線C?的函數(shù)表達式；

27

(3)如圖2,將拋物線G向左平移1個單位長度，得到拋物線G，且與y軸正半軸，尤

軸正半軸分別交于A,8兩點，連接AB,過點P作軸于點在直線P以上有

一點C,坐標平面內有一點。，使得以A,B,C,。四點為頂點的四邊形是矩形，請直

接寫出所有滿足條件的。點的坐標：.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念和中心對稱圖形的概念，對每個選項進行判斷即可.

【詳解】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，則此項不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，則此項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，則此項不符合題意；

D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，則此項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，熟記定義是解題關鍵.

2.D

【分析】根據(jù)隨機事件和必然事件的概念判斷可得.

【詳解】解：事件①：任意畫一個多邊形，其外角和為360。，這是必然事件；

事件②：經(jīng)過一個有交通信號燈的十字路口，遇到紅燈，這是隨機事件；

故選：D.

【點睛】本題考查的是理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條

件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨

機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

3.A

【分析】本題主要考查一元二次方程的解，此題比較簡單，需要同學們熟練掌握.

一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.即

用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立，最后轉化成解。的一元一次方程.

【詳解】解：把x=2代入方程/_3元+a=0可得4一6+°=0,

解得a=2,

故選：A.

4.C

【分析】本題考查了直線與圓的位置關系、坐標與圖形性質.直線與圓相離，直線到圓心的

距離大于半徑；直線與圓相交，直線到圓心的距離小于半徑；直線與圓相切，直線到圓心

的距離等于半徑.

將該點的橫縱坐標絕對值分別與半徑對比，若橫坐標絕對值大于半徑時，則y軸與該圓相離;

若橫坐標絕對值小于半徑時，則y軸與該圓相交；若橫坐標絕對值等于半徑時，則y與該圓

答案第1頁，共21頁

相切；若縱坐標絕對值大于半徑時，則X軸與該圓相離；若縱坐標絕對值小于半徑時，則

X軸與該圓相交；若縱坐標絕對值等于半徑時，則尤與該圓相切.

【詳解】解：點(4,3)為圓心，4為半徑的圓，

則有4=4,3<4,

??.這個圓與,軸相切，與x軸相交.

故選：C.

【分析】設寬為X步，則長為(X+12)步，然后根據(jù)長方形面積公式列出方程即可.

【詳解】解：設寬為無步，則長為(x+12)步，

由題意得，x(x+12)=864,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關系是

解題的關鍵.

6.B

【分析】本題考查了對三角形“四心”的判斷，找到格點RG即可求解.

【詳解】解：如圖所示：

是，ABC的中線,

答案第2頁，共21頁

，點尸叫做ABC的重心

故選：B

7.C

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象性質，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性與增減性是解題的

關鍵.

先判斷函數(shù)的開口方向和對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性，則可求得加的取值

范圍.

【詳解】解：.?二次函數(shù)>=X2-2X+C,

,圖象的開口向上，對稱軸為直線苫=-工=1,

2x1

.??當x<i時，，隨x的增大而減小，當x>i時，y隨工的增大而增大，

???點P(T，M)關于對稱軸的對稱點為(3,%)，

二次函數(shù)y=--2尤+c的圖象經(jīng)過點P(-l,%)和Q{m,%)，且必<%，

1或加>3,

故選：C.

8.A

【分析】根據(jù)樹形圖，可得此次摸球的游戲規(guī)則是：隨機摸出一個球后放回，再隨機摸出1

個球

【詳解】解：觀察樹狀圖可得：袋子中共有紅、黃、藍三個小球，此次摸球的游戲規(guī)則是隨

機摸出一個球后放回，再隨機摸出1個球，

故選：A.

【點睛】此題考查列表法與樹狀圖法求概率，解題關鍵在于利用樹狀圖進行解答.

9.B

【分析】作3,，和于K,設正方形尸尸GH的邊長是心由條件得到Y+(X+2)2=16,從

而求出正方形尸F(xiàn)G"的邊長，得到正方形PCDE的邊長，進一步求出PO,PG的長，即可

求出OG的長.

【詳解】解：作如，氣于K,設正方形尸網(wǎng)汨的邊長是尤，

答案第3頁，共21頁

c

V//F

￡

???四邊形尸CDE是正方形，

NCPD=45。,

ZOKP=90°f

??..KOP是等腰直角三角形，

.??PK=—OP=—=\,

22

?：OKLCF,

：.CK=FK=x+1,

：.PC=CK+PK=x+2,

??,兩個正方形的面積之和為16,

JX2+(X+2)2=16,

解得：x=V7-i或尤=-J7-i(舍去)，

:.PC=x+2=@+1,PH=x=幣+

：.PD=V2PC=>/2X(V7+1)=5/14+A/2,

PG=5/2PH=A/2X^-1)=V14-V2,

；?OG=P￡)+PG=Vi^+應+m-0=2內，故B正確.

故選：B.

【點睛】本題考查正方形的性質，垂徑定理，解題的關鍵是由條件列出關于小正方形邊長的

方程，求出小正方形邊長.

10.A

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題、一元二次方程根與系數(shù)的關系、二次函

1

數(shù)圖象的平移，設拋物線y=x+ax+b與x軸兩個交點坐標為&,0),(x2,0),則其=2,

求得/-46=4,再求得平移后的解析式，設其與x軸的交點坐標為(電,0),(%,0),求得

答案第4頁，共21頁

|尤3即可.熟知函數(shù)圖象平移規(guī)則“左加右減，上加下減”和兩點距離公式歸-即是解答

的關鍵.

【詳解】解：設拋物線y=Y+ax+b與X軸兩個交點坐標為（40）,（々,0）,

貝U%+九2=—〃，玉%2=b,

**?|再-司=J（M+入2『-4再%2-J，-4b=2，

a2—4b=4,

拋物線向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到一條新拋物線的表達式為

y—（x—2）+〃（％-2）+/?-3=爐+（〃-4）x-2a+Z?+l,

設平移后的拋物線與工軸的交點坐標為（毛,0）,（%。），

貝U%+%=4—。，退%4=-2a+/?+1,

上一切=/退+尤4『-4尤3匕

=J（4_a）_4（_2a+b+l）

=Va2-46+12

=74+12

=4,

故選：A.

11.（3,-4）

【分析】本題考查求關于原點對稱的點的坐標，根據(jù)點（元,y）關于原點對稱的點的坐標為

（-x,-y）求解即可.

【詳解】解：在平面直角坐標系中，點P（-3,4）關于原點對稱的點的坐標是（3,T）,

故答案為：（3,Y）.

12.-7

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系：若不，々是一元二次方程

hc一

xx=

a/+加:+c=o（〃wo）的兩根時，石+%2=—，i2~?根據(jù)根與系數(shù)的關系得到根+〃=2,

aa

答案第5頁，共21頁

mn=-5,然后利用整體代入的方法計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得加+〃=2,mn=-5,

所以==_5_2=_7.

故答案為—7

13.--

39

【分析】本題考查幾何概率、用列表法或樹狀圖法求概率，熟知求幾何概率可利用長度比、

面積比、體積比等.

(1)用紅色區(qū)域的面積除以圓面積可求解；

(2)用列表法得到所有的等可能的結果，進而得到符合條件的結果數(shù)，利用求概率公式即

可.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意，當轉盤1停止轉動時，指針落在紅色區(qū)域的概率是祟=!，

3603

故答案為：~;

(2)列表為

紅白黃

紅紅紅白紅黃紅

白紅白白白黃白

黃紅黃白黃黃黃

由表知，共有9種等可能的結果，其中指針落在區(qū)域的顏色都是紅色的有1種，

指針落在區(qū)域的顏色都是紅色的概率為g,

故答案為：—.

14.110°

【分析】連接。E,則Z4OE=50。，根據(jù)“直徑所對的圓周角等于90?！笨芍狢點在。上，根

據(jù)圓周角定理可求得/ACE的度數(shù)，根據(jù)三角形內角和定理可求得/ADC的度數(shù)，由此可

得ZBDE的度數(shù).

本題主要考查了圓周角定理和三角形內角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

答案第6頁，共21頁

連接。E,則ZAOE=50。，

ZACB=90°,

，C點在〈。上，

ZACE=-ZAOE=25°.

2

ZCAB=45°,

ZADC=180?！?5°-45°=110°,

：.ZBDE=ZADC^1W°.

故答案為：110。

15.①②④

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)符號的關系、二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問

題，根據(jù)圖象與y軸的交點、對稱軸的位置可判斷①；根據(jù)對稱軸方程可判斷②；根據(jù)

Q4=OC可得點A坐標為根據(jù)二次函數(shù)圖象與直線AC的位置關系判斷③；

【詳解】解：???該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線尤=2,

b

*,?————2,貝|4a+b=0,故②正確；

2a

???a<0,

：.b>0,

??,該二次函數(shù)圖象與y軸負半軸相交，

c<0,

abc>0,故①正確；

??.該二次函數(shù)圖象與X軸的正半軸相交于4（%,0）,與y軸交于點C.

.?.點A坐標為（一。,。），

連接AC,

答案第7頁，共21頁

可求得直線AC的表達式為y=x+c,

由圖象知，當0<x<-c時，二次函數(shù)圖象位于直線AC的上方，即加+bx+c>x+c,

故③錯誤；

設二次函數(shù)圖象與無軸的另一個交點為3（々,0）,則毛、巧為方程ox2+6x+c=0的兩個根,

LIC

則再當=—，

a

xx=-c,

?,?x_?—1,

a

即關于X的方程加+云+c=0有一個根為X=」，故④正確，

a

綜上，正確的結論是①②④，

故答案為：①②④

16.4-2右或4+26.

【分析】分逆時針旋轉和順時針旋轉兩種情況，分別畫出圖形，利用旋轉性質和銳角三角函

數(shù)求解即可.

【詳解】解：若將等腰RtA4BC以點A為旋轉中心順時針旋轉60。得到△ABG，如圖，在

AG取一點E,使得。E=A￡,則Z￡D4=NE4D,NG4G=60。，NAG4=NC=90。，

AQ=AC=2,

:在等腰Rt^ABC中，ZACB=90°,

答案第8頁，共21頁

???ZG4B=45°,

ZEAD=ZCAQ-ZCAB=15°,

.??/DEC】=/EDA+ZEAD=2x15。=30。，

在RtOEG中，設=則短=。石=2%,

21

???CXE=^DE-CXD=A/3X,

AC1—GE+AE=2,

2x+瓜=2,解得X=4-2A/L

即CQ=4-2怎

若將等腰RCABC以點A為旋轉中心逆時針旋轉60。得到△AAG，如圖，在取一點E,

使得DE=AE,則ZD=NE4D,ZCAC,=60°,ZAC^=ZC=90°,AC,=AC=2,

ZCjAD=180°-45°-60°=75°,則〃=90。-75。=15。,

在RtAAEQ中,AAEC}=ZD+NEAD=30°,AQ=2,

/.DE=AE=2AC1=4,QE=^AE2-AC;=2G,

CQ=DE+GE=4+,

綜上，線段G。的長為4-2括或4+2班.

【點睛】本題考查了旋轉性質、含30度角的直角三角形的性質、勾股定理、等腰三角形的

答案第9頁，共21頁

性質、三角形的外角性質、分母有理化，添加輔助線構造等腰三角形和分類討論是解答的關

鍵.

17.⑴y=(x+2)?-7

(2)開口向上，頂點坐標為(-2,-7),對稱軸為直線x=-2

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質，正確化為頂點式是解答的關鍵.

(1)利用配方法求解即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可.

【詳解】(1)解：將將二次函數(shù)y=/+4x-3化成頂點式為y=(x+2『-7；

(2)解：VJ=(X+2)2-7,1>0,

此二次函數(shù)的的圖象開口向上，頂點坐標為(-2,-7),對稱軸為直線x=-2.

18.〃z=5,=x?=-2

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式及解法，根據(jù)當△=()時，方程有兩個相等的實

數(shù)根求得相值，進而解一元二次方程即可求解.

【詳解】解：：一元二次方程二+4》+m-1=0有兩個相等的實數(shù)根，

A=42-4(m-l)=0,則加=5,

一+4元+4=0,

解得x,=x2=-2.

19.(1)頂角為140。的等腰三角形

(2)90°

【分析】本題考查了旋轉的性質、三角形內角和定理、等腰三角形的性質和判定：

(1)根據(jù)旋轉過后的對應邊相等可得到結果；

(2)根據(jù)旋轉過后的對應邊相等，以及旋轉的角度，可以得到”尊為等腰三角

形，再根據(jù)三角形內角和定理可以求得各個角度，再根據(jù)CEL8D,得到NECB=90。，再利

用三角形內角和定理可以求得結果；

解題的關鍵是找到角度之間的關系以及角度值.

答案第10頁，共21頁

【詳解】(1)解：：ABC繞點A逆時針旋轉140。得到VADE,

AAC=AE,ZCAE=140°,

"小是以頂角為140。的等腰三角形；

(2)解：：ABC繞點A逆時針旋轉140。得到VADE,

ABAD=ZCAE=140°,AB=AD,AC^AE,

1Q0O_140。

???在△ABD中，ZABC=ZADB=--------------=20°,

2

1QQO_14f)°

在AACE中，ZACE=ZAEC=--------------=20°,

2

CELBD,

：.ZECB=90°,

：.ZACB=ZECB-ZACE=90°-20°=70°,

在，ABC中，ABAC=180°-ZABC-ZACB=180°-20°-70°=90°,

.../BAC的度數(shù)為90。.

20.(1)0.033,2

【分析】本題考查用頻率估計概率、列表法或樹狀圖法求概率，正確得到所有的等可能的結

果是解答的關鍵.

（1）通過大量的實驗，摸到白球的頻率在一個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)可作為摸到白球的

概率，進而可求解；

（2）利用列表法得到所有的等可能結果，再找出符合條件的結果數(shù)，然后利用求概率公式

求解即可.

【詳解】（1）解：由表可知，摸到白球的頻率在一個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)為0.033,由

此估出紅球有

1+0.033-172個，

故答案為：0.033,2；

（2）解：列表為：

白紅紅

白紅白紅白

答案第11頁，共21頁

紅白紅紅紅

紅白紅紅紅

由表知，共有6種等可能的結果，其中恰好摸到1個白球和1個紅球的有4種，故恰好摸到

42

1個白球和1個紅球的概率為》=*.

21.(1)①見詳解；②見詳解

(2)圖中兩個陰影部分面積的和為

【分析】(1)①連接。石，則線段OE即為所求；

②連接BE,DE,設AB,DE相交于P，連接O9并延長交BE于點/,點M即為所求；

(2)連接OE,況，利用圓周角定理和等邊三角形的性質與判定得出“。石和△BOE

是等邊三角形，解Rt_A￡F,求出線段好的長，再根據(jù)垂徑定理求出A3的長，再解Rt^ABC,

求出AC的長，進而求出CE的長，最后根據(jù)題意可知兩個陰影部分的面積的和為的

面積，從而得出結果.

【詳解】(1)①連接DE,如圖

AD為半圓。的直徑，

DELAE,

ZC=90°,

DE//BC.

故線段OE即為所求；

②如圖，連接BE,DE,設AB,DE相交于尸，連接O尸并延長交BE于點M,

答案第12頁，共21頁

B,E兩點是半圓弧的二等分點,

?,AE=BD，

ZBAD=ZADE,

二.FD=FA,

A。為半圓。的直徑，

OFLAD,

ZADE=ZABE,

??.ZBAD=ZABE,

BE//AD,

，OMLBE,

ZBED=ZBAD,

ZABE=ZBED,

:.FB=FE,

「?點M平分班1,

故點M即為所求；

(2)連接03,0E,BE,

B,E兩點是半圓弧的三等分點，

ZAOE=ZBOE=ZBOD=60°,OE±AB,

答案第13頁，共21頁

/.AF=-AB

2

OA=OE=OB

'''/\AOE和ABOE是等邊三角形

ZBAE=-ZOAE=30°

2

。的半徑為4,ZAFB=90°,

EF=-AE=2,

2

AF=VAE2-EF2=2百，

AB=4>/3,

"=90。，ABAC=30°,

：.BC=：AB=2道,

2

AC=4AB1-BC1=6>

由題意：兩個陰影面積之和等于3CE的面積，

SRE=-2BC'CE=14i,

故圖中兩個陰影部分面積的和為2—.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理的推論，等腰三角形和等邊三角形的性質與

判定，還有平行線的判定，靈活運用所學知識是解本題的關鍵.

22.⑴見解析

(3)公園應將水管露出湖面的高度(噴水頭忽略不計)至少調節(jié)到約1.3米才能符合要求.

【分析】本題屬于二次函數(shù)的應用，主要考查待定函數(shù)求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移,

解題的關鍵在于掌握由二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型.

答案第14頁，共21頁

(1)建立坐標系，描點.用平滑的曲線連接即可；

(2)設函數(shù)表達式為y=a(x-左>+/?,先由圖得到函數(shù)頂點為(3,1.5),再將(1,0.5)代入計

算即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)圖象解析式設出二次函數(shù)圖象平移后的解析式，根據(jù)題意求解即可.

【詳解】(1)以噴泉與湖面的交點為原點，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標系，

如圖所示：

(2)由上圖可得函數(shù)圖象頂點為(3,1.5),

根據(jù)圖象可設二次函數(shù)的解析式為：y=?U-3)2+1.5,

將(1,0.5)代入y=。(丈-+1.5,

解得,

4

1133

拋物線的解析式為：y=--(^-3)2+1.5=--x2+-X--；

4424

i33

(3)設調節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：y=-―—+%

424

2

由題意可知，當橫坐標為時2+—=3時，縱坐標的值不小于1.8+0.5=2.3,

2

133

——X32+-X3——+n>2.3,

424

解得心0.8,

.?.水管高度至少向上調節(jié)0.8米，

.-.0.8+0.5=1.3(米)，

???公園應將水管露出湖面的高度(噴水頭忽略不計)至少調節(jié)到約1.3米才能符合要求.

23.問題背景：證明見解析；嘗試應用：證明見解析；拓展探究：百

【分析】問題背景：證明：區(qū)位)烏.C4E(SAS),即可證明BZ)=CE；

嘗試應用：如圖所示，過點2作用〃AC交ED延長線與N,證明△ABf'是等邊三角形，得

答案第15頁，共21頁

到54=3F,ZAEB=60°,由平行線的性質得到NEBN=/AFB=60。，

/CFD=/N,/C=/DBN,由旋轉的性質可得NO3E=60。，BE=BD,證明

ABE注DBF(SAS),進而證明BEM&BDNg0,得到3M=BN,則3N=CF,再證

明絲,CD/(ASA),得到3E>=CD,即可證明點。為線段8c的中點：

拓展探究：如圖所示，在線段A。截取一點F使得AF=AB,連接昉，過點8作班，砌

交胡延長線與X,證明是等邊三角形，則=3尸，ZABF=ZAFB=60°,由旋轉

的性質可得加>=3￡ZEBD=60°,證明ZWE空立出尸，得到

AE=DF,ZBAE=ZBFD=120°,求出NAB〃=30。，得到=走A2,設AB=2x,則

2

BH=AE=4—2x?則S鉆后=萬人?2?=—百(無—1)+也故當x=l時，S.上有最大

值百.

【詳解】解：問題背景：；ABC和VADE都是等邊三角形

AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°,

：.ZBAD^ZCAE,

：.BAD^C4￡(SAS),

BD=CE；

嘗試應用：如圖所示，過點8作3N〃AC交FD延長線與N,

VZBAC=60°,AF^AB,

：.AAB尸是等邊三角形，

BA=BF,ZAFB=60°,

,?BN//AC,

：.ZFBN=ZAFB=60°,NCFD=NN,ZC=ZDBN,

由旋轉的性質可得Nr>BE=60。，BE=BD,

；./ABE=/DBF,ZMBE=ZNAD,

ABE^,DBF(SAS),

:.NAEB=NFDB,

：./BEM=/BDN,

BEMg瓦)N(ASA),

答案第16頁，共21頁

BM=BN,

?：BM=CF,

：.BN=CF,

：.BDN^CDF(ASA),

:.BD=CD,

???點。為線段BC的中點:

拓展研究：如圖所示，在線段A。截取一點/使得AF=AB,連接3方，過點5作創(chuàng)J.￡4

交E4延長線與“，

VZBAC=60°fAF=AB,

：.aAB/是等邊三角形，

AB=BF,ZABF=ZAFB=60°f

：.ZBFD=120°,

由旋轉的性質可得=5EZEBD=60°f

：.ZABE=ZDBF,

:.AABEdDBF,

AAE=DF,ZBAE=ZBFD=120°,

：.ZBAH=60°,

：.ZABH=30°,

BH=—AB,

2

???AD=AF+DF=4,

AE=DF=AD-AF=4-AF=4-AB,

設AB=2光，則=AE=4-2x,

JSABE=gA石.5“=—6(X_1)2+5

答案第17頁，共21頁

...當X=1時，SABE有最大值G，

故答案為；B

BC

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，旋轉的性質，

勾股定理，含30度角的直角三角形的想在，二次函數(shù)的最值問題等等，正確作出輔助線構

造等邊三角形，進而構造全等三角形是解題的關鍵.

24.（1）J=-X2+4X；（2）y=-|（x-2）2+y；（3）。（4,4）或。（4,7）或。（4,一1）或。（一1,-1）

【分析】（1）設拋物線的解析式為：y=a（%-2）2+4,將點（0,0）代入即可求解；

（2