專題限時集訓(xùn)(五)[第5講函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用](時間：45分鐘)1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是()A．x＝0或x＝eq\f(1,2)B．x＝－2或x＝0C．x＝eq\f(1,2)D．x＝02．生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬元)，一萬件售價是20萬元，為獲取最大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A．36萬件B．18萬件C．22萬件D．9萬件3．已知函數(shù)f(x)＝e|x|＋|x|.若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－1，0)D．(－∞，－1)4．若函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有三個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．(－2，2)B．[－2，2]C．(2，＋∞)D．(－∞，2)5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx，則y＝f(x)()A．在區(qū)間eq\f(1,e)，1，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間eq\f(1,e)，1，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)C．在區(qū)間eq\f(1,e)，1內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)D．在區(qū)間eq\f(1,e)，1內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)6．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)（x＋1），x∈[0，1），,1－|x－3|，x∈[1，＋∞），))則關(guān)于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零點(diǎn)之和為()A．1－2aB．2C．1－2－aD．2－a－17．當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)＝(x2－2ax)ex的圖像大致是()圖X5－18．已知函數(shù)f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)．若關(guān)于x的方程f(x)＝kx＋k有三個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()A．－1，－eq\f(1,2)∪eq\f(1,4)，eq\f(1,3)B．－1，－eq\f(1,2)∪eq\f(1,4)，eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)，－eq\f(1,4)∪eq\f(1,2)，1D．－eq\f(1,3)，－eq\f(1,4)∪eq\f(1,2)，19．若x1，x2是函數(shù)f(x)＝x2＋mx－2(m∈R)的兩個零點(diǎn)，且x1<x2，則x2－x1的最小值是________．10．定義：如果函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)給定的區(qū)間[a，b]上存在x0(a<x0<b)，滿足f(x0)＝eq\f(f（b）－f（a）,b－a)，則稱函數(shù)y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個均值點(diǎn)．如y＝x4是[－1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________．11．函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x)．當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝2x.若在區(qū)間[－2，3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________12．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex－ax，若函數(shù)在R上有且僅有4個零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．

13.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋1，x≥a，,4x－4×2x－a，x<a.))(1)若x<a時，f(x)<1恒成立，求a的取值范圍；(2)若a≥－4時，函數(shù)f(x)在實數(shù)集R上有最小值，求實數(shù)a的取值范圍．14．某工廠共有10臺機(jī)器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制，會產(chǎn)生一定數(shù)量的次品．根據(jù)經(jīng)驗知道，每臺機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬件)與每臺機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬件)(4≤x≤12)之間滿足關(guān)系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元．(利潤＝盈利－虧損)(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤y(萬元)表示為x的函數(shù)；(2)當(dāng)每臺機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬件)為多少時所獲得的利潤最大？最大利潤為多少？15．已知函數(shù)f(x)＝ln(ex＋a＋1)(a為常數(shù))是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)＝λf(x)＋sinx在區(qū)間[－1，1]上是減函數(shù)．(1)若g(x)≤λt－1在x∈[－1，1]上恒成立，求實數(shù)t的最大值；(2)若關(guān)于x的方程eq\f(lnx,f（x）)＝x2－2ex＋m有且只有一個實數(shù)根，求m的值．專題限時集訓(xùn)(五)1．D[解析]當(dāng)x≤1時，2x－1＝0，解得x＝0；當(dāng)x>1時，1＋log2x＝0，解得x＝eq\f(1,2)(舍去)．故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是x＝0.2．B[解析]利潤L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時，L(x)有最大值．故選B.3．B[解析]函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex＋x單調(diào)遞增，故在[0，＋∞)上函數(shù)f(x)的最小值為f(0)＝1，故函數(shù)f(x)在R上的最小值為1.若方程f(x)＝k有兩個不同的實數(shù)根，則k>1.4．A[解析]令f′(x)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，且x＝－1為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，x＝1為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)．若函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有三個不同的零點(diǎn)，則實數(shù)a同時滿足f(－1)＝2＋a>0，f(1)＝－2＋a<0，解得－2<a<2，即實數(shù)a的取值范圍是(－2，2)．5．D[解析]函數(shù)圖像是連續(xù)的，且f′(x)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,x)＝eq\f(x－3,3x)，當(dāng)x∈(0，e)時，f′(x)<0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e)內(nèi)單調(diào)遞減．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,3e)－lneq\f(1,e)>0，f(1)＝eq\f(1,3)>0，f(e)＝eq\f(1,3)e－lne<0，所以函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)．6．A[解析]畫出函數(shù)f(x)的圖像．當(dāng)0<a<1時，直線y＝a與函數(shù)y＝f(x)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)F(x)的零點(diǎn)，根據(jù)圖像可得兩個函數(shù)圖像共有五個交點(diǎn)，其中兩個交點(diǎn)關(guān)于直線x＝3對稱，兩個交點(diǎn)關(guān)于直線x＝－3對稱，這四個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為零，第五個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x滿足－logeq\f(1,2)(－x＋1)＝a，即log2(－x＋1)＝a，解得x＝1－2a.7．B[解析]f′(x)＝(x2－2ax＋2x－2a)ex，由于方程x2－2ax＋2x－2a＝0的判別式Δ＝4a2＋4>0，且－2a<0，故方程x2－2ax＋2x－2a＝0有兩個不相等的異號實數(shù)根x1，x2(設(shè)x1<x2)，則f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減．函數(shù)f8．B[解析]當(dāng)0≤x<1時，f(x)＝x，又f(x＋1)＝(x＋1)－[x＋1]＝x－[x]＝f(x)，故函數(shù)f(x)是以1為周期的周期函數(shù)．在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)y＝f(x)，y＝kx＋k的圖像，可知當(dāng)方程f(x)＝kx＋k有三個不同的實根時，k滿足3k＋k≥1且2k＋k<1，或者－3k＋k≥1且－2k＋k<1，解得eq\f(1,4)≤k<eq\f(1,3)或－1<k≤－eq\f(1,2).9．2eq\r(2)[解析]由于Δ＝m2＋8>0，故函數(shù)f(x)一定有兩個不同的零點(diǎn)，又－2<0，所以兩個零點(diǎn)異號，故x2>0，x1<0，所以x2－x1＝x2＋(－x1)≥2eq\r(－x1x2)＝2eq\r(2)或x2－x1＝eq\r(（x2＋x1）2－4x1x2)＝eq\r(m2＋8)≥2eq\r(2).10．(0，2)[解析]因為函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函數(shù)，且eq\f(f（1）－f（－1）,1－（－1）)＝m，所以關(guān)于x的方程－x2＋mx＋1＝m，即x2－mx＋m－1＝0在(－1，1)內(nèi)有實數(shù)根，若m＝0，方程無解，所以m≠0，解得方程的根為x1＝1或x2＝m－1.所以必有－1<m－1<1，即0<m<2，所以實數(shù)m的取值范圍是(0，2)．11.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(2,3)))[解析]根據(jù)偶函數(shù)和周期性把函數(shù)拓展到[－2，3]，其圖像如圖所示．直線y＝ax＋2a過定點(diǎn)(－2，0)，在區(qū)間[－2，3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四個不相等的實數(shù)根，等價于直線y＝ax＋2a與函數(shù)y＝f(x)的圖像有四個不同的公共點(diǎn)，結(jié)合圖形可得實數(shù)a滿足不等式3a＋2a>2，且a＋2a<2，即eq\f(2,5)<a<eq\f(2,3).12．(e，＋∞)[解析]由于函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)y＝f(x)有且只有4個零點(diǎn)時，0一定不能是函數(shù)的零點(diǎn)，且在x>0時有且僅有2個不同的零點(diǎn)，即方程ex－ax＝0有兩個正實根．方法一：(分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的方法)a＝eq\f(ex,x)＝φ(x)，則φ′(x)＝eq\f(x－1,x2)ex，可得x＝1為函數(shù)φ(x)在(0，＋∞)上唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，φ(x)min＝φ(1)＝e，且在x>0且x→0時，φ(x)→＋∞.故只要a>e即可，故a的取值范圍是(e，＋∞)．方法二：(數(shù)形結(jié)合的切線法)在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝ex，y＝ax在(0，＋∞)的圖像，可知當(dāng)直線y＝ax與曲線y＝ex相切時兩個函數(shù)圖像有唯一的公共點(diǎn)；當(dāng)直線y＝ax的斜率大于曲線y＝ex過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線的斜率時，兩曲線有兩個不同的公共點(diǎn)．設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，ex0)，則在該點(diǎn)處的切線方程為y－ex0＝ex0(x－x0)，該直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時，－ex0＝－x0ex0，解得x0＝1，此時切線斜率為e，故a的取值范圍是(e，＋∞)．13．解：(1)因為x<a時，f(x)＝4x－4×2x－a，所以令t＝2x，則有0<t<2af(x)<1當(dāng)x<a時恒成立，轉(zhuǎn)化為t2－4×eq\f(t,2a)<1，即eq\f(4,2a)>t－eq\f(1,t)在t∈(0，2a)上恒成立．令p(t)＝t－eq\f(1,t)，t∈(0，2a)，則p′(t)＝1＋eq\f(1,t2)>0，所以p(t)＝t－eq\f(1,t)在(0，2a)上單調(diào)遞增，所以eq\f(4,2a)≥2a－eq\f(1,2a)，所以2a≤eq\r(5)，解得a≤log2eq\r(5).(2)①當(dāng)x≥a時，f(x)＝x2－ax＋1，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋1－eq\f(a2,4).(i)當(dāng)eq\f(a,2)≤a，即a≥0時，f(x)min＝f(a)＝1；(ii)當(dāng)eq\f(a,2)>a，即－4≤a<0時，fmin(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝1－eq\f(a2,4).②當(dāng)x<a時，f(x)＝4x－4×2x－a.令t＝2x，t∈(0，2a)，設(shè)h(t)＝t2－eq\f(4,2a)t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,2a)))eq\s\up12(2)－eq\f(4,4a).(i)當(dāng)eq\f(2,2a)<2a，即a>eq\f(1,2)時，hmin(t)＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2a)))＝－eq\f(4,4a)；(ii)當(dāng)eq\f(2,2a)≥2a，即a≤eq\f(1,2)時，h(t)在開區(qū)間t∈(0，2a)上單調(diào)遞減，h(t)∈(4a－4，0)，無最小值．綜合①，②知當(dāng)a>eq\f(1,2)時，1>－eq\f(4,4a)，函數(shù)f(x)min＝－eq\f(4,4a)；當(dāng)0≤a≤eq\f(1,2)時，4a－4<0<1，函數(shù)f(x)無最小值；當(dāng)－4≤a<0時，4a－4<－3≤1－eq\f(a2,4)，函數(shù)f(x)無最小值．故當(dāng)a>eq\f(1,2)時，函數(shù)f(x)有最小值為－eq\f(4,4a).14．解：(1)由題意得，所獲得的利潤為y＝10·[2(x－P)－P]＝10(2x－3P)＝20x－30P＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．(2)由(1)知y′＝20－6x＋eq\f(96,x)＝eq\f(－6x2＋20x＋96,x)＝eq\f(－2（3x2－10x－48）,x)＝eq\f(－2（3x＋8）（x－6）,x).令y′＝0，可得x＝6或x＝－eq\f(8,3).從而當(dāng)4≤x≤6時，y′>0，函數(shù)在[4，6]上為增函數(shù)；當(dāng)6<x≤12時，y′<0，函數(shù)在(6，12]上為減函數(shù)．所以當(dāng)x＝6時，函數(shù)取得極大值，也為[4，12]上的最大值．即當(dāng)x＝6時，獲得最大利潤，最大利潤為ymax＝20×6－3×62＋96ln6－90＝(96ln6－78)萬元，所以當(dāng)每臺機(jī)器日產(chǎn)量為6萬件時，可以獲得最大利潤，為(96ln6－78)萬元．15．解：(1)∵f(x)＝ln(ex＋a＋1)是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即ln(e0＋a＋1)＝0?2＋a＝1?a＝－1，將a＝－1代入，則f(x)＝lnex＝x，顯然為奇函數(shù)．∴g(x)＝λf(x)＋sinx＝λx＋sinx，∴g′(x)＝λ＋cosx，x∈[－1，1]．要使g(x)是區(qū)間[－1，1]上的減函