2024年廣東省東莞市高考數(shù)學(xué)一模試卷

單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

1.設(shè)集合力={x|y=五二！},8={久|號30},貝（）

A.（2,4）B.[2,4）C.（2,4]D.0

2.復(fù)數(shù)z=i+2p+3i3,則z的虛部為（）

A.2zB.~2iC.2D.-2

TTTTT->

3.已知a=（—2,2）,b=（3,1）,若a在向量b上的投影為c,則向量c=（）

A/3,62、,31、n,62、

A-（耳，耳）B-（耳，耳）C-（一耳，一耳）D.（一耳，一耳）

4.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，中國代表團(tuán)共獲得201

枚金牌，111枚銀牌，71枚銅牌，共383枚獎牌的歷史最好成績.某個項目的比賽的六

個裁判為某運動員的打分分別為95,95,95,93,94,94,評分規(guī)則為去掉六個原始分

的一個最高分和一個最低分，剩下四個有效分的平均分為該選手的最后得分，設(shè)這六個

原始分的中位數(shù)為4方差為$2,四個有效分的中位數(shù)為〃，方差為陽，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.A^Ai,S2<S[B.A^Ai,S2>S1

C.A=Ai,S2<SlD.A=Ai,S2>Sl

5.“-1W6<1”是“方程41^^=久+6有唯一實根”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

6.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表

a2b2（a+b）2ab

述如下：設(shè)正數(shù)a,b,x,y,滿足一+—當(dāng)且僅當(dāng)一=一時，等號成立.則

xyx+yxy

函數(shù)f（x）=?+T^7（0VXV￡）的最小值為（）

A.16B.25C.36D.49

7.正八面體可由連接正方體每個面的中心構(gòu)成，如圖所示，在棱長為2的正八面體中，則

有（）

第1頁（共17頁）

A.直線NE與C廠是異面直線

B.平面487tL平面48￡

C.該幾何體的體積為［

,2V6

D.平面ABE與平面DCF間的距曷為可

8.不與坐標(biāo)軸垂直的直線/過點N（xo，0）,xoWO,橢圓C：l（a>b〉O）上存在

兩點/,8關(guān)于/對稱，線段的中點M的坐標(biāo)為（xi,yi）.若xi=2xo,則C的離心

率為（）

V31V2V3

A.—B.-C.—D.—

3222

二.多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.請把

正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

（多選）9.公差不為零的等差數(shù)列｛劭｝滿足四|=。8,7丁=2，貝!1（）

-akak+lg

A.。7=0B.d=±4C.m=24D.515=60

（多選）10.已知函數(shù)/（%）=2s譏（3%+0）（3>0,0V?〈今）的相鄰兩對稱軸的之間的距

TCTT

離為萬，函數(shù)f（x+看）為偶函數(shù)，貝！I（）

.n

A"）

B.（—00）為其一個對稱中心

C.若/G）在（-a,a）單調(diào)遞增，則OVa就

D.曲線y=/（x）與直線y=±%+應(yīng)有7個交點

（多選）11.已知拋物線C：，=6x的焦點為尸，過點尸的直線/交拋物線于4,8兩點，

若河為C的準(zhǔn)線上任意一點，則（）

第2頁（共17頁）

A.直線若48的斜率為遮，則以3|=16

B.的取值范圍為［0,

TT27

C.OA-OB=-箸

D.N495的余弦有最小值為一日

三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.

12.已知二項式(白+O71的展開式中第二、三項的二項式系數(shù)的和等于45,則展開式的

常數(shù)項為.

13.在四面體力-BCD中，5C=2V2,BD=2^3,且滿足8C_LB。，ACLBC,ADLBD.若

該三棱錐的體積為竽，則該錐體的外接球的體積為.

14.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/■(x+y)4/(x-y)/(I)=1,請寫

出滿足條件的一個/(x)=(答案不唯一),/(2024)=.

四.解答題：本大題共5小題，第15題13分，16、17題各15分，18、19題各17分，共

77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號

指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效.

15.已知等比數(shù)列｛斯｝滿足。1=2,且a2+。4=2().

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛仇｝滿足bn=rfan,—其前n項和記為Sn,求Sn.

—>—>

16.如圖所示，在矩形48CD中，AB=3,40=2,DE=2EC,。為NE的中點，以/￡為

折痕將△/￡?￡1向上折至。-AE-B為直二面角.

DEC

M70?

(1)求證：DO±BC；

(2)求平面與平面。CE所成的銳角的余弦值.

17.俗話說:“人配衣服，馬配鞍”.合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺.張

老師準(zhǔn)備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次,

兩次的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，貝U記《=1；若擲

第3頁(共17頁)

出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲"，貝!I記S=0；

若W=l,則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色.每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選

33

擇了深色，再選西裝的可能性為m而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為

510

(1)求出隨機(jī)變量《的分布列，并求出期望及方差；

(2)求張老師當(dāng)天穿西裝的概率.

x2y2

18.已知/,8分別為雙曲線E：葭一臺=1(即6＞。)的左、右頂點，M為雙曲線E上異

3_

于/、8的任意一點，直線M4、MB斜率乘積為小焦距為2位.

(1)求雙曲線E的方程；

(2)設(shè)過7(4,0)的直線與雙曲線交于C,。兩點(C,。不與5重合)，記直線

AC,AD的斜率為后1,左2,證明：U為定值.

19.已知函數(shù)/(x)—Inx-kx+\(左為常數(shù))，函數(shù)g(x)=a'x-1+6.

(1)若函數(shù)/(x)有兩個零點，求實數(shù)人的取值的范圍；

(2)當(dāng)左=0,設(shè)函數(shù)人(x)=g(x)-f(x),若人(x)在［e,e勺上有零點，求『+廬

的最小值.

第4頁(共17頁)

2024年廣東省東莞市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一.單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

1.設(shè)集合力={x|y=B={x\^<0},貝（）

A.（2,4）B.[2,4）C.（2,4]D.0

【解答】解：在y=中，由x-220得x22,即/=[2,+°°）,

又由」yWO可得：「（*[4）受，解得00<4,即3=[0,4）,

故ZA3=[2,4）.

故選：B.

2.復(fù)數(shù)2=計2於+3落則z的虛部為（）

A.2zB.~2iC.2D.-2

【解答】解：由妥=計2於+31可得:2=-2-2i,故z的虛部為-2.

故選：D.

TTTTTT

3.已知。二（一2,2）,b=（3,1）,若a在向量b上的投影為c,則向量c=（）

人「31、,62、,31、n/62、

A-（耳，耳）B-（耳，耳）C.（一耳，-5）D.（一耳，-5）

T——

I.日百-/CL?b、[6+2/cy、2/cy、/62、

【解答】解:由感思c=(^—)b=9+](3,1)=一5(3,1)=(一耳，—百)，

\b\2''一"J

故選;D.

4.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，中國代表團(tuán)共獲得201

枚金牌，111枚銀牌，71枚銅牌，共383枚獎牌的歷史最好成績.某個項目的比賽的六

個裁判為某運動員的打分分別為95,95,95,93,94,94,評分規(guī)則為去掉六個原始分

的一個最高分和一個最低分，剩下四個有效分的平均分為該選手的最后得分，設(shè)這六個

原始分的中位數(shù)為4方差為四個有效分的中位數(shù)為小，方差為黑，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.A^Ai,S2<SlB.A^Ai,S2>Sj

C.N=/1,S2<SlD.N=/1,S2>Sl

【解答】解：某個項目的比賽的六個裁判為某運動員的打分分別為95,95,95,94,94,

第5頁（共17頁）

93,

中位數(shù)為/=經(jīng)評=94.5,方差為斛,

四個有效分為95,95,94,94,

中位數(shù)為4==94.5,方差為?2,

根據(jù)方差的定義知四個有效分的波動性變小，...S2>S/.

故選：D.

5.“-是“方程^/T=記=x+6有唯一實根”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【解答】解：方程V1-I=%+6有唯一?解,即直線y=x+6與上半圓y=71—5有且僅

-1W6<1是方程-久2—x+b有唯一解的充分不必要條件.

故選：A.

6.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表

a2b2（a+b）2ab

述如下：設(shè)正數(shù)a,b,x,y,滿足一+—當(dāng)且僅當(dāng)一=一時，等號成立.則

xyx+yxy

函數(shù)f（x）=?+點7（0VxV/）的最小值為（）

A.16B.25C.36D.49

a2b2（a+b）2

【解答】解：因為正數(shù)Q,b,x,y滿足一十一之^-

xyx+y

又。。耳，即1-3Q0,于是得/■⑺=1+恐2sx/Wx）=49,

第6頁（共17頁）

14i

當(dāng)且僅當(dāng)一=,即％=制寸取“=”，

x1—3%/

所以函數(shù)的/'（X）y+g7COVxd）最小值為49.

A..LDJCD

故選：D.

7.正八面體可由連接正方體每個面的中心構(gòu)成，如圖所示，在棱長為2的正八面體中，則

有（）

A.直線/￡與CF是異面直線

B.平面4BF_L平面4BE

c.該幾何體的體積為3起

.2V6

D.平面ABE與平面DCF間的距離為亍

【解答】解：?；/,E,C,廠四點共面，直線NE與C尸是共面的；故/錯誤;

取48中點O,連接E。，F(xiàn)O,EF,

棱長為2的正八面體中，則△N3E和△NB尸都是邊長為2的等邊三角形，

C.EOLAB,FOLAB,/EO尸是二面角E-48-尸的平面角，

EO=FO=V3,EF=2近,

./Z7Z1I7-3+3-8_1

??cosEOF-?Q——交

平面NBF與平面4BE不垂直，故3錯誤；

1/=/4*2應(yīng)=螢&，.?.故C錯誤；

連接/C、8。設(shè)交于G,則G-A8E為正三棱錐，其底邊長為2,

???三角形/3E外接圓的半徑為r=2x當(dāng)=第，

2sin^3

側(cè)棱長為a,所以。到平面的距離J（&）2一（竽）2=*，

,2V6

/.平面ABE與平面DCF間的距禺為亍，故D正確.

故選：D.

第7頁（共17頁）

E

8.不與坐標(biāo)軸垂直的直線/過點N（xo，0）,xoWO,橢圓C：Q*l（a>b>0）上存在

兩點/,3關(guān)于/對稱，線段的中點M的坐標(biāo)為（xi,ji）.若xi=2xo,則C的離心

率為（）

V31V2V3

A.—B.-C.—D.—

3222

【解答】解：設(shè)。為坐標(biāo)原點，在橢圓C中，設(shè)N（X2,>2）,B（X3,”）,

但+西—1

也?

兩式相減得：==_智，

Q4b乙

因為4,5關(guān)于/對稱，所以X2WX3，

H［、l報一32一丫3）（丫2+了3）

。2（上一%3）（%2+'3）'

由線段45的中點〃的坐標(biāo)為（xi,yO,得出玫+井=291,X2+X3=2XI.

、b2

所以,kAB=一次，

又ki9kAB=-b

22

.,bfRnyibyi

??兌0M=-79即=―7，

a乙%】orX1—XQ

b21

又Xl=2xo，eT=

片2

...離心率e=Jl一4）2=孝.

故選：C.

二.多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得。分，部分選對的得部分分.請把

正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

（多選）9.公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝滿足心|=。8,――=/，貝U（）

akak+lvo

第8頁（共17頁）

A.。7=0B."=±4C.QI=24D.Si5=60

【解答】解：由|您|=48得，。6+。8=0，

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知a7=0,故4正確；

,,15,11155

又。8>0，：.d>0,由-=話，得:（一—一）=----=7----7^7---=

〃一》akak+lV。da1%（。7-64）（。7-弓）

5______5_

6d2-96’

.*.（7=4,則47=41+62=0,解得41=-24,故5c錯誤；

而S15=15〃8=15（勿+d）=60,故。正確.

故選：AD.

（多選）10.已知函數(shù)/（%）=2sin3X+?）（3〉0,0V0V￡）的相鄰兩對稱軸的之間的距

TCTT

離為萬，函數(shù)/（%+看）為偶函數(shù)，貝!I（）

.n

A"）

B.（-00）為其一個對稱中心

C.若/G）在（-a,a）單調(diào)遞增，則OVaW看

D.曲線y=/（x）與直線y=*龍+會有7個交點

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/'（%）=2si?i（3x+9）（3〉0,0<（jP<^）的相鄰兩對稱軸的

7T

之間的距離為5，

則其周期T=M=n,則3=2；

（A）

函數(shù)/（久+卷）為偶函數(shù)，則/G）的圖象關(guān)于直線》=看對稱，

_7TTT

又y=f（x）的圖象向左平移二個單位得到y(tǒng)=2s譏（2%+5+0）,

6J

7TTCTTTT

則有百+0=左7r+5（kEZ）,且0<（p<2f故0=不，

依次分析選項：

對于4,cp=%Z正確；

O

對于8,因為/（%）=2sin（2x+著）,且/（—看）=2sin（—看）=—1,所以5錯誤；

對于C,令一方+2.x+工4亍++kuW%W三十kir,左EZ,

Z2/C7T<622/CTT=—-3Qo

第9頁（共17頁）

故易知/（x）在（_,，.）單調(diào)遞增，故04a就，C正確；

對于。，直線丫=?1■%+另與曲線y=/（x）均過點（一強，0）,且該直線與曲線y=/（x）

均關(guān)于該點中心對稱，

當(dāng)％=得時，丫=居＜2,當(dāng)％時，了=答＞2,由對稱性可知曲線y=/（x）與直

線y=2久+源;有7個父點，故。正確.

故選：ACD.

（多選）11.已知拋物線C：，=6x的焦點為尸，過點尸的直線/交拋物線于4,8兩點，

若M為C的準(zhǔn)線上任意一點，則（）

A.直線若AB的斜率為百，則必|=16

B.的取值范圍為[0,J]

TT27

C.。4。8=

D.N4O5的余弦有最小值為一看

【解答】解：對于《選項，由題知產(chǎn)（|,0）,48的斜率為乃，則5：y=V3（x-|）,

代入C：y1=6x整理得：4x2-20x+9=0,

%i+%2=5

設(shè)/（xi，yi）,B（如丁2），貝小9，

/1,x2=4

而|/5|=XI+X2+3=8；故4項錯誤；

對于5選項，???以焦點弦45為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，M為C的準(zhǔn)線上任意一點，

則點M在以45為直徑的圓上或圓外，

7T

C.Z-AMB

當(dāng)M在直線45上時，/AMB=O,即N/A四的取值范圍為久€[0,J],故8項正確；

對于C選項，設(shè)4（XI，yi）,B（X2，歹2）,。4?OB=%1%2+丫1、2=濟(jì)胃%+乃丫2，

_3

設(shè)ZB；%=ty+?聯(lián)立"—“'+2,消元得：y2-6ty-9=0,

-\y2—6x

則tv1+v2=故以后=一金,故c項正確;

?、2=-94

第10頁（共17頁）

3I?茄二一竽二一字

對于。選項cosZ-AOB—

I而向［（*+*承石+迸）居+光溫1+⑻

_27_27_3

T_4_43、3

也響（醯+空=）M（持甥抖+1）一修至Jl6t2+25-5,

即//。8的余弦的最小值為一高，故。項正確.

故選：BCD.

三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.

12.已知二項式（/+C）n的展開式中第二、三項的二項式系數(shù)的和等于45,則展開式的

常數(shù)項為_y_

【解答】解：?.?盤+髭=45,解得〃=9,

1k3/C-18

展開式的通項為底+1=心弓）9-匕-（9-=可*9亡丁~

人3/C-18心

令—--=0,得左=6,

常數(shù)項為77=可弓久）3（口）6=W

21

故答案為：y.

13.在四面體/-BCD中，5C=2V2,BD=25且滿足8C_LB￡>,ACLBC,AD±BD.若

該三棱錐的體積為竽，則該錐體的外接球的體積為367r.

【解答】解：如圖，依題意將四面體/-3CO放在長方體中，設(shè)長方體的高為

根據(jù)錐體A-BCD的體積1/=1xixBCxFDx/i=iXyX2V3x2V2x/i=舞，解

得h=4,

所以長方體的長寬高分別為2?2近和4,

所以長方體的外接球直徑即為對角線（2R）2=（2V3）2+（2V2）2+42,解得尺=3,

第11頁（共17頁）

4c

所以四面體外接球的體積為U=々兀x33=36兀.

故答案為：367T.

14.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+y)4/(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,請寫

出滿足條件的一個/(x)=_2cos|x_(答案不唯一)，/(2024)=-1.

【解答】解：令x=y=O,則/(0)=2f(0),解得了(0)=2或/(0)=0,

若/(0)=0,令x=l,y=0,則與■(1)=/(1)/(0)=0,即/(I)=0與已知矛盾，

：.f(0)=2,令x=0,則/⑶)+f(-y)=2f(y),

則八-y)=/(”"(X)為偶函數(shù)；

令y=l,則/(x+1)H/(x-1)=/(x),

則/(x+1)=/(x)-f(x-1)=/(x-1)-/(x-2)-/(x-1)=-/(x-2),

則f(x+6)=-f(x+3)—f(x),

所以/(x)以6為周期，

結(jié)合以上特征，找到滿足條件的一個函數(shù)為/(X)=2cos^x,

結(jié)合/G)以6為周期，則/(2024)=/(2)=-1.

故答案為：2cos^x；-1.

四.解答題：本大題共5小題，第15題13分，16、17題各15分，18、19題各17分，共

77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號

指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效.

15.已知等比數(shù)列｛斯｝滿足ai=2,且02+。4=20.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛%｝滿足加=”?即，｛仇｝其前"項和記為求S”.

【解答】解：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為

由已知41=2,且a2+。4=20,

得2g+2q3=20,gpq3+q-10=0(*),

易觀察，2是(*)方程的一個根，(q-2)(7+2?+5)=0,

又/+2g+5=(g+1)2+4>0恒成立，

??4=2,又。1=2,

?l

an=2；

第12頁(共17頁)

n

(2)由(1)知，bn^n-2,

12n

：.Sn=1x2+2x2+???+nx2,

23n+1

2Sn=lx2+2x2+--+nx2,

以上兩個式子相減得，—Sn=lx2i+lx22+--1x2n-nx2?l+1=27l+1-2-nx

2n+1=(1-n)2n+1-2,

n+1

，Sn=(n-l)2+2.

—>—>

16.如圖所示，在矩形488中，48=3,40=2,DE=2EC,。為NE的中點，以4E為

折痕將△4DE向上折至D-AE-B為直二面角.

(1)求證：DO.LBC；

(2)求平面與平面。CE所成的銳角的余弦值.

【解答】解：(1)證明：由已知。/=?！?2,且。為線段NE的中點，

所以D0L4E,

又因為平面平面AECB,且平面平面AECB=AE,DOu平面DAE,

所以。O_L平面/EC3,

又因為8Cu平面/￡C8,所以D0_L8C.

(2)設(shè)尸為線段上靠近/的三等分點，G為BC的中點，

由已知OFLLOG,又。。_L平面

所以。O_L。尸，ODLOG,

因為。N=2,AB=3,所以/(1,-1,0),B(1,2,0),0(0,0,&),￡(-1,1,

0),C(-1,2,0),

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所以4B=(0,3,O),BD=(-1,-2,V2),EC=(0,L0),DC=(-l,2,-V2),

設(shè)平面405的法向量為益=(%i，y)Zi),

衣茄=0,即產(chǎn)=。，

則DBm^O(一久1-2為+7^=0

解得了1=0,令Zi=魚，得xi=2,則U=(2,0,V2),

設(shè)平面DCE的法向量為蔡=(久2,y2>Z2),

(TT

則吁.『2=。

DC-n=—%2+2y2-V2z2=0

解得竺=0，令X2=2,得Z2=—企，則藍(lán)=(2,0,-V2),

所以平面DAB與平面DCE所成的銳角的余弦值為

17.俗話說「人配衣服，馬配鞍”.合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺.張

老師準(zhǔn)備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次,

兩次的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲"，貝U記［=1;若擲

出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲”，貝U記彳=0；

若W=l,則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色.每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選

33

擇了深色，再選西裝的可能性為口而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為

(1)求出隨機(jī)變量m的分布列，并求出期望及方差；

(2)求張老師當(dāng)天穿西裝的概率.

【解答】解：(1)將一枚骰子連續(xù)投擲兩次共有基本事件6X6=36種，

擲出的點數(shù)之和是3的倍數(shù)有：

(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,

4),(6,3),(6,6),12種；

則擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)有24種，

隨機(jī)變量W的取值為0，1，

c-C、242…,、121

P(4=°)=芯=3,P&=1)=芯=可

所以m的分布列為:

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01

P21

33

211

E(f)=0*可+1*可=手

iii77

D(f)=(1-3)2x+(0-^)2x3=9?

(2)設(shè)4表示深色，貝商表示穿淺色，5表示穿西裝，則不表示穿休閑裝.

根據(jù)題意，穿深色衣物的概率為P(A)=則穿淺色衣物的概率為P@)=

穿深色西裝的概率為P(8⑷=0.6=穿淺色西裝的概率為P(B⑶=合

——1Q7?7

則當(dāng)天穿西裝的概率為P(B)=+P(B\A)P{A)=+=

所以張老師當(dāng)天穿西裝的概率為高.

x2y2

18.已知4,3分別為雙曲線E：君—金=1(即6>0)的左、右頂點，”為雙曲線E上異

3

于/、5的任意一點，直線M4、八四斜率乘積為力焦距為2V7.

4

(1)求雙曲線￡的方程；

(2)設(shè)過7(4,0)的直線與雙曲線交于C,。兩點(C,。不與4,3重合)，記直線

AC,8。的斜率為后i，k2,證明：f為定值.

【解答】解：(1)設(shè)M(xo,yo)，A(-a,0),B(a,0),

因為4—造=1，所以羽=吆害吟

a乙b乙F

b2(密--2)

斫以".k-y°?y°—Q2—板—3

所以々AMkMB一-x2_a2-^2-p

又因為焦距為2近，即2c=2近，所以02=7,

結(jié)合。2+62=02,可得Q2=4,B=3,

%2y2

所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：丁-+=1;

43

(2)證明：由(1)知4(-2,0),B(2,0),設(shè)C(xi,/)，D(如”).

因為C,。不與Z,5重合，所以可設(shè)直線CD%=什+4,

x2y2_1

聯(lián)立彳一至=1,整理可得：(3及-4)/+249+36=0,

/=ty+4

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