2023年全國新高考n卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

I.在復平面內(nèi)，°+3I）（3T）對應的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法結(jié)合復數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為（l+3i）（3—i）=3+8i—3i?=6+8i,

則所求復數(shù)對應的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

2.設集合/={0,-4，5=-2,,若A三B,則。=（）.

2

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)包含關系分a-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運算求解即可.

【詳解】因為2=8,則有：

若"2=0,解得a=2,此時/={0,—2},5={1,0,2},不符合題意；

若2a—2=0,解得a=l,此時Z={0,—1},5={1,-1,0},符合題意；

綜上所述：a=l.

故選：B.

3.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，

擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，己知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A-C：QC來種B.C篇種

c.C/c短種D.種

【答案】D

【解析】

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

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【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x處=40人，高中部共抽取

600

6。義翁20,

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C：；0?C北種.

故選：D.

4.若/(x)=(x+a)ln-----為偶函數(shù)，貝().

2x+1

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗即可.

【詳解】因為了⑴為偶函數(shù)，貝U/(I)=/(-I),(1+?)In|=(-1+a)In3,解得。=0,

當a=0時，/（x）=xln|^,（2x-l）（2x+l）>0,解得或x<—g,

則其定義域為或x<-關于原點對稱.

/(-x)=(f)ln手需=(r)ln||^=(T)ln||1m|==/(x),

故此時/(x)為偶函數(shù).

故選：B.

2

5.已知橢圓的左、右焦點分別為片，F(xiàn)],直線>=X+加與。交于aB

兩點，若△片48面積是△鳥45面積的2倍，則加=().

22

A.-D.---------V/.-----------------D.——

3333

【答案】C

【解析】

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用A>0,求出加范圍，再根據(jù)三角形面積比得

到關于加的方程，解出即可.

y=x+m

222

【詳解】將直線>=x+加與橢圓聯(lián)立《x21，消去了可得4x+61nx+3m-3=0,

——+y=1

〔3-

第2頁/共21頁

因為直線與橢圓相交于48點，則A=36加2_4x4(3加2_3)〉0,解得-2〈加＜2,

片卜亞,0),巴(板,0),

設片到AB的距離4國到28距離B，易知

I-yfl+mI

SdF\AB__亞_I-&+M

=2,解得/〃=——二或—3A/5(舍去),

3F2AB|C+m||虎+m|

6

a的最小值為().

A.e2B.eC.「D.e-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)/'(x)=ae「在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

X

【詳解】依題可知，/'(x)=ae=在(1,2)上恒成立，顯然a＞0,所以xe^L

xa

設g(x)=xe*,xe(1,2),所以g'(x)=(x+l)e、＞0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(l)=e,故即。21=eT,即0的最小值為f上

ae

故選：C.

7.已知a為銳角，cosa=5巨，貝Usinq=().

42

3—\/5—1+V5r3—yJ'5

884

-1+君

4

【答案】D

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【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出.

【詳解】因為cosa=l—2sin2q=95,而戊為銳角，

24

解得：sin—=

2

故選：D.

8.記S”為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若兄=-5,S6=21S2,則及=（）,

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式求出公比，再根據(jù)凡,尺的關系即可解出;

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一；設等比數(shù)列｛4｝的公比為%首項為％,

若^=1,貝iJSe=6q=3x2q=302,與題意不符，所以qwl；

由S「5,$6=2電可得，"So,""Lx""①,

\-q1-q1-q

由①可得，1+d+/=21,解得:/=4,

所以Sg==）x（i+q4）=_5x（l+]6）=_85.

故選：C.

方法二：設等比數(shù)列｛4｝的公比為以

因為邑=—5,$6=21邑，所以qw—1,否則邑=0,

從而，82,84—$2,56—84，Sg—$6成等比數(shù)列,

5

所以有，（—5—§2）9=S2（21S2+5）,解得：S?二-1或邑=“

當S2=-l時,52?54-52?56-54958-56,即為—1,—4,—16應+21,

易知，+21=—64,即S&=—85；

當邑=*時，=q+%+%+為=（q+出）（1+/）=（1+/凡>0,

與S4=-5矛盾，舍去.

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故選：c.

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前"項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是

把握S4,Sg的關系，從而減少相關量的求解，簡化運算.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為O,為底面直徑，ZAPB=120°,PA=2,點C

在底面圓周上，且二面角P—為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為4百兀

C.AC=242D.△P/C的面積為G

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D

選項的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=120°,PA=2,所以。尸=1,04=08=G，

A選項，圓錐的體積為:X7TX（百）Xl=7T,A選項正確；

B選項，圓錐的側(cè)面積為71x6x2=2671，B選項錯誤；

C選項，設。是ZC的中點，連接

則/C_LZC_LPD,所以ZPDO是二面角P-AC-0的平面角，

則/尸00=45°,所以0P=?！?gt;=1,

故4D=CD=?二1=&，則ZC=2正，C選項正確；

D選項，PD=<2+]2=五,所以S^PAC=；乂26乂亞=2,D選項錯誤.

故選：AC.

10.設0為坐標原點，直線y=—G（x—1）過拋物線=2/（夕〉0）的焦點，且與C

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交于"，N兩點，/為C的準線，貝！I().

Q

A.p=2B.\MN\=-

C.以MV為直徑的圓與/相切D.AOAW為等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦點坐標，從而求得。，根據(jù)弦長公式求得|〃乂|,根據(jù)圓與等腰三角形的

知識確定正確答案.

【詳解】A選項：直線y=-G(x-1)過點(1,0),所以拋物線C：/=2px(p>0)的焦

點廠(1,0),

所以曰=1,7=2,27=4,則A選項正確，且拋物線。的方程為「=4x.

B選項：設M(XI，%),N(X2，%)，

〉=一6(》—1)消去了并化簡得緘2―10》+3=(》_3)(3-1)=0,

由<

J=4x

=

解得Xj=3,x2—>所以[MN]=X]+X2+p=3+]+2=,B選項錯誤.

C選項：設上W的中點為A,MN,/到直線/的距離分別為4,4，d，

因為d=g(4+d2)=；(|^|+pvF|)=；|w|,

即A到直線/的距離等于"N的一半，所以以跖V為直徑的圓與直線/相切，C選項正確.

D選項：直線y=——1),BPy/3x+y—A/3=0,

。到直線底+了-百=0的距離為[=等，

所以三角形的面積為工X3X《3=4G

232

由上述分析可知必=-6(3-1)=-2VI,必

所以10M=

所以三角形(WN不是等腰三角形，D選項錯誤.

故選：AC.

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^=-73(%-1)

11.若函數(shù)/(%?=。1!1》+9+與(4/0)既有極大值也有極小值，則().

A.be>0B.ab>QC.b~+8?c>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)/'(x),由已知可得/(X)在(0,+8)上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)

化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.

bc

【詳解】函數(shù)/(x)=alnx+—+f的定義域為(0,+8),求導得

XX

,4b2c_ax2-bx-2c

J(X)_2r_3'

XXXX

因為函數(shù)4工)既有極大值也有極小值,則函數(shù)/(X)在(0,+8)上有兩個變號零點，而QW0,

因此方程ax?-bx-2c=0有兩個不等的正根玉,％2，

△=/+8a。>0

于是《Xj+x——>0即有/+8ac〉0，ab>Qac<0,顯然a1be<0，即Ac<0,

2a

2c

再％2-....>0

一a

A錯誤，BCD正確.

故選：BCD

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為a(0<a<l),

收至IJ0的概率為1—a；發(fā)送1時，收至U0的概率為夕(0(萬<1),收至IJ1的概率為1一萬.考

慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是

指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號

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即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,

則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-a)(l-")2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為6(1-萬月

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為，(1-夕)2+(1-/)3

D.當0<a<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方

案譯碼為0的概率

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率

計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送。

接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1—萬)(1—a)(l—尸)=(1—a)(l—￡)2,A正確；

對于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1—夕)?夕?—力)=/?(1—￡)2,B正確；

對于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1，0,1、0,1,1和

1,1,1的事件和，

它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為C/(l—尸)2+(1—尸)3=(1—02(1+2萬)，?

錯誤；

對于D,由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率尸=(1-tz)2(l+2tz),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=l-a,而0<a<0.5,

因此尸—P'=(l—a)2(l+2a)—(1—a)=a(l—a)(l—2a)〉0,即P〉P',D正確.

故選：ABD

【點睛】關鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互

斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關鍵.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量向,[滿足.=6,5+司=|2._可,則問=.

【答案】拒

【解析】

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令：=[—力，結(jié)

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合數(shù)量積的運算律運算求解.

【詳解】法一：因為B+,=|2M—可，即+=（21—

nrrnQrr?—2一—

則a+2。?/?+/?=4。-4a-b+b'整理得Q-2a-b=Q9

又因為歸一同=5即（2—0=3,

則2；3+￡/2=3,所以W=G.

xr_LIrirrrrrrrr

法一：設C=Q—人，則c=J3,a+Z)=c+2b,2a-b=2c+b

r2rrr2r2rrr2

由題意可得：（c+2b）=（2c+b）c+4c?b+46=4。+4。?/7+力'

整理得：￡=”，即力=，=G.

故答案為：拒.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3

的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

【答案】28

【解析】

【分析】方法一二割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法

二；根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.

21

【詳解】方法一：由于一=—,而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為；x3x（16+4+J16x4）=28.

故答案為：28.

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15.已知直線/：x-叼+1=0與?！?y2=4交于兩點，寫出滿足“AZ8C面

Q

積為一”的加的一個值.

5--------

【答案】2（2,—2,工,—工中任意一個皆可以）

22

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系，求出弦長以同，以及點。到直線48的距離，結(jié)合面

積公式即可解出.

【詳解】設點C到直線N3的距離為d,由弦長公式得14sl=2"—/,

所以解得：d=警或4=孚，

11+11224-J522-J5

由d=7=1,所以一=----或0==----,解得：加=±2或

Vl+m*+mVl+m25Vl+m25

1

m=±—.

2

故答案為：2（2,-2,',-工中任意一個皆可以）.

22

16.已知函數(shù)/（x）=sin3x+0）,如圖/,8是直線y=g與曲線y=/（x）的兩個交點,

若［48|=四，則/（兀）=.

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【答案】

2

【解析】

【分析】設,依題可得，％一西=；，結(jié)合sinx=g的解可得，

。（馬一司）=會，從而得到①的值，再根據(jù)/1［兀］=0以及/（0）＜°，即可得

/（x）=sin^4%一g兀］，進而求得了（兀）.

【詳解］設，X］,g）,5卜,由|叫=：■可得/_石=1，

I兀、5TI

由sinx=—可知，1=一+2左?；颍?---卜2kn,左eZ,由圖可知,

266

69%+0一(g玉+0)=k兀-%，即69(%2—-.CD—A.

所以8弓兀+0=左兀，即9=一*8|兀+左兀，keZ.

因為/

I33

所以/(x)=sin14x-g兀+ATI=sin|4x--7i+bi

I3J

所以/(x)=sin(4x_|■兀］或/(x)=_..2

sin4x——7i

I3

又因為/（0）＜0,所以/（X）=sin|4x--7i，/（兀）=sin|47T--7T

I3I32

故答案為一（

【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出⑦以及函數(shù)/（x）的表達式，從而解出，熟練掌握三角

函數(shù)的有關性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟。

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17.記AABC的內(nèi)角4民C的對邊分別為“C,已知AABC的面積為石，。為中點,

且/￡>=1.

71

(1)若AADC--,求tanB；

3

(2)若〃+。2=8,求瓦c.

【答案】(1)立；

5

(2)b=c=2.

【解析】

【分析】(1)方法1,利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利

用三角形面積公式求出。，作出5C邊上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面積公式求出NNDC即可求解作答；方

法2,利用向量運算律建立關系求出a,再利用三角形面積公式求出NZDC即可求解作答.

【小問1詳解】

7T

方法1：在AASC中，因為。為5c中點，/ADC=—，AD=1,

3

則SADDCsinZADC=-xlx-ax—==-S,解得〃=4,

：2222822

2兀

在△NBD中，ZADB=—,由余弦定理得C?=AQ2+402—28。?40cosN4D8,

、1「7+4—1

即。2=4+1—2義2義1義（一一）=7,解得c=g,則cos八二二",

2277x214

sin5

所以tanB=

cos5

jr

方法2：在中，因為。為中點，ZADC=-,40=1,

3

則SAnc==AD.DCsinZADC=Uax5=&=.RC=—,解得a=4,

"De2222822

在“CD中，由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CDADcosZADB，

第12頁/共21頁

即〃=4+l-2x2xlx；=3,解得b=G，有2。2+32=4=c°2,則“/。言,

JI3

C=7,過A作/ELBC于E,于是CE=/CcosC=±,/E=/CsinC=,BE=-

6222

所以tan3='f=方

【小問2詳解】

,1,1

c——（2+1-2x5axlxcos（兀-//DC）

方法1：在AABD與AACD中，由余弦定理得《

11

b——a9+1—2x—tzx1xcos^.A.DC

42

整理得:/+2=〃+°2,而〃+°2=8,則a=2百，

1%

又S/*=—xgxlxsinNADC=2-，解得sin/4DC=l,而°<44℃<兀，于是

2、2

2

所以b=c=^AD-+CD=2-

方法2：在中，因為。為中點，則27萬=刀+元，又無=方一4，

于是4赤2+屈2=（方+%>+（方—%）2=2（62+02）=16，即4+/=16,解得

a=2V3，

又S=L><GxlxsinNXDC=立，解得sin/4DC=l,而0<44。。<兀，于是

△ADC2、2

所以A=c=^AD2+CD2=2-

%-6,〃為奇數(shù)（（x

18.｛4｝為等差數(shù)列，bn=<2a“〃為偶數(shù)'記S〃，I分別為數(shù)列｛%｝，也｝的前"

項和,S4=32,4=16.

（1）求｛4｝的通項公式;

（2）證明：當〃>5時，Tn>Sn.

【答案】（1）an=2?+3；

（2）證明見解析.

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【解析】

【分析】（1）設等差數(shù)列｛4｝的公差為d，用4,d表示S“及北，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出S“，bn,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出7；,并與S“作

差比較作答；方法2,利用（1）的結(jié)論求出S”，bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項和公式

求出北，并與S“作差比較作答.

【小問1詳解】

a-6,n-2k-\

設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,而“=<n,左。*,

2an,n-2k

貝！jbx-ax-6。-2a2~24+2d%-6=q+2d—6,

S=4%+6d-32

于是《4解得a1=5,d=2,%=%+(〃一l)d=2〃+3,

工=4q+4d—12=16

所以數(shù)列｛4｝的通項公式是%=2〃+3.

【小問2詳解】

.,.,,c”(5+2〃+3)z.2n-3,n=2k-1*

萬法1：由(z1x)知，s=---------乙=九22+4幾b水￡N*,

〃2n4〃+6,”=2左

當〃為偶數(shù)時，bn_x+bn=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6w+l)n

2222

32721

當〃>5時，Tn-Sn=(-n+-?)-(?+4?)=-n(n-1)>0,因此北〉S“，

3735

22

當n為奇數(shù)時，T,,=Tn+l-bn+l=-(n+I)+-(n+1)—[4(〃+1)+6]=-n+-n-5,

3,5,1

當〃>5時，7；,-5?=(-//2+-/7-5)-(?2+4?)=-(?+2)(?-5)>0,因此北〉5“,

所以當〃>5時，Tn>Sn.

、4,,c”(5+2〃+3)2n—3,n=2k—1

萬法2：由(z1x)知，S=----------=/+2，%N*,

nbn

24〃+6/=2左

當〃為偶數(shù)時，

-1+2(〃-1)一3n14+4〃+6n3工

T"=(4+4+…+￡_])+(&+仇+???+4)=---------------------------------1--------------------

222222

371

當〃〉5時，(―S"(5〃2+a〃)—(/+4〃)=5〃(〃—1)>0,因此、>S〃,

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當〃為奇數(shù)時，若〃之3,則

一1+2〃-3〃+114+4(〃-1)+6n-1

〈(------------------1----------------?-----

=4+4+…+%)+(d+"+…+%)=2222

3535

22

=-n+-n-5,顯然7；=4=-1滿足上式，因此當〃為奇數(shù)時，Tn=-n+-n-5,

351

當〃>5時，7；,-5?=(1/?2+j?-5)-(?2+4?)=-(n+2)(n-5)>0,因此北〉色,

所以當〃>5時，Tn>Sn.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性，小于

或等于。的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為0(c)；

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c).假設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)

生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.

(1)當漏診率0(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率4(c)；

⑵設函數(shù)/(c)=夕(c)+q(c),當ce［95/05］時，求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)

間［95,105］的最小值.

【答案】(1)c=97.5,

-0.008c+0.82,95<c<100

(2)/⑹=0.01c-0.98,100<c<105,取小值為。皿

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意由第一個圖可先求出c,再根據(jù)第二個圖求出c?97.5的矩形面積即

可解出；

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(2)根據(jù)題意確定分段點100,即可得出/(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即

可解出.

【小問1詳解】

依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(0—95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(97.5-95)+5x0.002=0.035=3.5%.

【小問2詳解】

當ce［95,100］時,

/(c)=p(c)+q(c)=(c—95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0,002

=-0.008c+0.82>0.02；

當ce(100,105］時，

/(c)=M。)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002

=0.01c—0.98>0.02,

-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=1,

t0.01c-0.98,100<c<105

所以/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

20.如圖，三棱錐/—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,NADB=NADC=60°，

(2)點下滿足麗=方彳，求二面角。一45-b的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵亙

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意易證1平面從而證得5CLD4；

(2)由題可證/￡_￡平面BCD,所以以點E為原點，所在直線分別為x,y,z

軸，建立空間直角坐標系，再求出平面的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式

以及同角三角函數(shù)關系即可解出.

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【小問1詳解】

連接ZE,DE,因為￡為8C中點，DB=DC,所以。①，

因為DA=DB=DC,NADB=NADC=60°，所以AZCD與△25。均為等邊三角形,

AC=AB,從而/E_LBC②，由①②，AEPlDE=E,NE,DEu平面ADE,

所以，5c工平面4DE,而4Du平面4DE,所以5CJ_D4.

【小問2詳解】

不妨設DA=DB=DC=2,?:BDLCD,:.BC=2O,DE=AE=柩.

:.AE?+DE?=4=AD?，：.4ELDE,又?；4E_LBC,DECBC=E,DE,BCu平

面BCDAE±平面BCD.

以點E為原點，切,￡8,區(qū)4所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示:

設Z>(V2,0,0),A(0,0,V2),5(0,A/2,0),￡(0,0,0)，

設平面與平面/AF的一?個法向量分別為〃1=(X1，%,Z]),〃2=(》2，％/2)，

二面角D-AB-F平面角為，，而方=(0,也,-枝),

因為麗=百=卜血,0,逝)，所以川-亞,0,行)，即有萬=卜后,0,0卜

,取玉=1,所以神=(LLD；

取士=1，所以'=(0,1,1),

=0

2,從而sin6=立

所以，|cos^|=7_jj—,■

73x72-3V93

所以二面角D-AB-F的正弦值為由.

3

21.已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為卜26,0),離心率為6.

(1)求C的方程；

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（2）記C的左、右頂點分別為4，4，過點（-4,0）的直線與C的左支交于M,N兩點，

M在第二象限，直線與私交于點P.證明:點P在定直線上.

22

【答案】（1）—-^-=1

416

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）由題意求得。力的值即可確定雙曲線方程；

（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線與處的方程,

Y+21

聯(lián)立直線方程，消去了，結(jié)合韋達定理計算可得一即交點的橫坐標為定值，據(jù)

x-23

此可證得點P在定直線x=-1上.

【小問1詳解】

22_

設雙曲線方程為%=1（。＞0,b＞0）,由焦點坐標可知C=2下,

則由e二￡=石可得。=2,b=\lc2-a2=4，

a

22

雙曲線方程為二-匕=1.

416

【小問2詳解】

由⑴可得4（—2,0）,4（2,0）,設/（XQJ,N（X2/2），

顯然直線的斜率不為0,所以設直線"N的方程為》=叩-4,且-工（加＜工，

22

與?—裔=1聯(lián)立可得（4加2—1）/—32即+48=0,且A=64（4加2+3）〉0,

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直線MA,的方程為>=』彳(x+2),直線N4的方程為J=上;(x-2),

X]+2-2

聯(lián)立直線MAX與直線N4的方程可得：

x+2=%(玉+2)=町-2)=/肛I-2(必+.%)+2%

x-2j1(x2-2)J](w2-6)myxy2-6yx

4832m-16m.

m----5----2---5——+2y,————+2y.

=4加2]4加2].1=4加2-1-1]=_1

x+21

由----=—可得x=-1,即Xp=-1,

x—23

據(jù)此可得點P在定直線x=-1上運動.

【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和

綜合應用能力,其中根據(jù)設而不求的思想,利用韋達定理得到根與系數(shù)的關系可以簡化運算,

是解題的關鍵.

22.(1)證明：當0<x<l時，x-x2<sinx<x；

(2)已知函數(shù)/(x)=cosax-ln(l-必)，若》=0是/