高考沖刺數(shù)形結(jié)合的思想

編稿：孫永釗審稿：張林娟

【高考展望】

在高考題中，數(shù)形結(jié)合的題目出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)知識的方方面面上，把圖象作為工具、載體，以此尋求

解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的簡捷、靈活特點的多是填空小題。

從近三年新課標高考卷來看，涉及數(shù)形結(jié)合的題目略少，預(yù)測今后可能有所加強。因為對數(shù)形結(jié)合等

思想方法的考查，是對數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考

查，是新課標高考明確的一個命題方向。

1.數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究

圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化?！皵?shù)缺形時

少直觀，形少數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

2.數(shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識

的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想思想方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查”，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，

可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能。

3.“對數(shù)學(xué)思想方法的考查是對數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括的考查，考查時要與數(shù)學(xué)知識相結(jié)

合”，用好數(shù)形結(jié)合的思想方法，需要在平時學(xué)習(xí)時注意理解概念的幾何意義和圖形的數(shù)量表示，為用好

數(shù)形結(jié)合思想打下堅實的知識基礎(chǔ)。

4.函數(shù)的圖象、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、

斜率、距離公式，向量的坐標表示則是“以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供

了“數(shù)形結(jié)合”的知識平臺。

5.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中，要善于運用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)

形結(jié)合的習(xí)慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，''數(shù)形結(jié)合千

般好，數(shù)形分離萬事休”。

【知識升華】

縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的

效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對應(yīng)

的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)

合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結(jié)合起來，是解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法.它能使抽

象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。

具體地說，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的

特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學(xué)生創(chuàng)造了靈活運用數(shù)

形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數(shù)形結(jié)合思想時，要注意輔之以嚴格的邏輯推理,

“形”上的直觀是不夠嚴密的。

1.高考試題對數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個方面：

(1)集合問題中Venn圖(韋恩圖)的運用；

(2)數(shù)軸及直角坐標系的廣泛應(yīng)用；

(3)函數(shù)圖象的應(yīng)用；

(4)數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達式幾何意義的應(yīng)用；

(5)解析幾何、立體兒何中的數(shù)形結(jié)合。

2.數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：

(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；

(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；

(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；

(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；

(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；

(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；

(7)構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)；

(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等.

3.運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

(1)等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的負面效應(yīng)；

(2)雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行兒何分

析容易出錯；

(3)簡單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值

范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線為佳。

4.進行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個途徑：

(1)建立坐標系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何；

(2)構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；

(3)構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。

5.常見的“以形助數(shù)”的方法有：

(1)借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

(2)借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；

(3)借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜率,

距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對解決代數(shù)問題都有重要作用，應(yīng)充分予以重視

【典型例題】

類型一、數(shù)軸、韋恩圖在集合中的應(yīng)用

【例1】設(shè)集合A={x|l<x<4},集合B={X|X2_2X-3WO},則AC(CRB)=()

A.(1,4)B.(3,4)C..(1,3)D.(1,2)U(3,4)

【思路點撥】先求出集合B,再利用數(shù)軸畫圖求解。

【答案】B；

【解析】8=3/一2*-3?0}={》|一1<》《3},AD(CRB)={X|1<X<

4}「{X|X<-1,或x>3}={x[3<x<4}。故選B.

【總結(jié)升華】不等式型集合的交、并集通?？梢岳脭?shù)軸進行，解題時注意驗證區(qū)間端點是否符合題

尼、O

舉一反三：

【變式1】設(shè)全集U=MTV={1,2,3,4,5},M。0%={2,4},則％=()

A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5}D.{2,3,4}

【答案】B；

【解析】畫出韋恩圖，可知N={1,3,5}。

【變式2】設(shè)平面點集A=<(x,y)(y—x)(y—工)2018=卜乂刈*—廳+⑶―則AB

所表示的平面圖形的面積為()

33471

(A)—71(B)—7C(C)-ri(D)—

4572

【答案】D；

y-x>0y-x<0

【解析】由(y—x)(y——)20可知<］或者，,在同一坐標系中做出平面區(qū)域如圖,

xy——>0y--<0

xx

由圖象可知AD8的區(qū)域為陰影部分，根據(jù)對稱性可知，兩部分陰影面積之和為圓面積的一半，所以面積

為7上F,選D.

2

類型二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

【例2】已知/(x)=/+3x-5,xe[Z,/+l],若f(x)的最小值記為力⑴,寫出力⑺的表達式。

【思路點撥】依據(jù)函數(shù)/(無)=f+3尤-5的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象確定/(幻在

xe[r,/+l]上的增減情況，進而可以明確在何處取最小值。

329

【解析】由于/(幻=/+3%—5=(%—3)2—二，

24

3

所以拋物線/(x)的對稱軸為1=-2,開口向上，

33

①當一<t,即12-一時，/(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增(如圖①所示),

22

...當X=t時，/(X)最小，即/(X)mm=/Q)=r+3-5。

35333

②當/<――</1,即——<f<——時，/(x)在上,——］上遞減，在［一一J+1］上遞增(如圖②)。

2+2222

3329

...當x=—2時，/(x)最小，BU/(x)min=/(--)=-—,

35

③當f+—一，B|J/<一一時，/(x)在［t,t+1］上單調(diào)遞減(如圖③)。

22

.?.當X=t+1時，/(X)最小，即/。焉=/。+1)=『+5-1,

圖①圖②圖③

綜合①②③得

,5

廠+51(/<--)

29,53、

/?(/)=<--(--</<--)?

422

,3

t12+3t-5(r>--)

【總結(jié)升華】通過二次函數(shù)的圖象確定解題思路，直觀、清晰，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。應(yīng)特別注

意，對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，應(yīng)抓住對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系進行討論解決。首先

確定其對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象確定在閉區(qū)間上的增減情況，然后再確定在何處取最值。

舉一反三:

【變式1］已知函數(shù)/(》)=一/+2℃+1—a在oWxWl時有最大值2,求a的值。

【解析】Vf(x)=-(x-a)2+a2-a+\,

拋物線y=/(x)的開口向下，對稱軸是x=a,如圖所示:

(1)當a<0時，如圖(1)所示,

當x=0時，y有最大值，即為"=/(0)=1-〃。

1—a=2(>即a=-I,適合a<0。

(2)當OWaWl時，如圖(2)所示，

當x=a時，y有最大值，即'max=/'(。)=/一。+1。

1+J5

Aa2—a+l=2,解得。=------。

2

1+J5_

?.,OWaWl,a=-----不合題意。

2

(3)當a>l時，如圖(3)所示。

當x=l時，y有最大值，即'max=/'(I)=。。，a=2。

綜合(1)(2)(3)可知，a的值是一1或2

【變式2】已知函數(shù)/(x)=x|x-2|。

(I)寫出/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)設(shè)a>0,求/(x)在[0,a]上的最大值。

x2-2x(x>2)

【解析】/0)=〈

-x2+2x(x<2)

如圖:

(1)/(x)的單調(diào)增區(qū)間：(7,1],[2,+oo)；單調(diào)減區(qū)間：(1,2)

(2)當aWl時，=f(a)=a\a-2\=2a-a2

當l<aKl+a時，/(%)_=1

2

當a>l+0,/(x),nax=/(?)=a-2a?

例3.(2015重慶校級模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x),當這0時，

log1(x+1),x€[0,1)

f(x)=,2,

1-|x-3|,x€[1,+8)

則關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(x)-a(0<a<l)的所有零點之和為()

A.1-2aB.2a-IC.1-2'aD.2'a-1

【思路點撥】函數(shù)F(x)=f(x)-a(0<a<l)的零點轉(zhuǎn)化為：在同一坐標系內(nèi)y=f(x),y=a的圖象交

點的橫坐標.

作出兩函數(shù)圖象，考查交點個數(shù)，結(jié)合方程思想，及零點的對稱性，根據(jù)奇函數(shù)f(x)在xK)時的解析式,

作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象及其對稱性，求出答案.

【答案】A

【解析】???當xNO時，

、log-^(x+1),x€[0,1)

f(x)=<L；

1-|x-3|,x€[1,+8)

即xG[0,1)時，f(x)=log1(x+1)e(-1,0]；

~2

x€[l,3]時，f(x)=X-2G[-1,1]；

xG(3,+oo)時，f(x)=4-xG(-oo,-1)；

畫出x>0時f(x)的圖象，

再利用奇函數(shù)的對稱性，畫出x<0時f(x)的圖象，如圖所示；

則直線y=a,與y=f(x)的圖象有5個交點，則方程f(x)-a=0共有五個實根,

最左邊兩根之和為-6,最右邊兩根之和為6,

x(-1>0)時，-x￡(0,1),

?\f(-x)=logj(-x+1),

-2

又f(-x)=-f(x),

Af(x)=-log|(-x+1)=logJ(1-X)1=log2(1-x),

~2~2

?,?中間的一個根滿足log2(1-x)=a,HP1-x=2a,

解得x=l-2a,

.??所有根的和為1-2a.故選A.

【總結(jié)升華】這類題“萬變不離其宗”只需掌握基本初等函數(shù)的圖像及其圖像變換口訣再配合函數(shù)性質(zhì)即

可輕松解決.

舉一反三:

【變式】(2016渭南一模)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x￡R,都有f(x+2)=f

(x).當-l<x<0時，f(x)=x2,若直線y=-x+m與函數(shù)y二f(x)的圖象有兩個不同的公共點，則實

數(shù)m的值為()

A.2k-A(kGZ)B.2k+A(kGZ)

44

C.2k或2k(k^Z)D.2k或2k+2(kGZ)

44

【答案】D

【解析】(x+2)=f(x).

二函數(shù)的周期是2,

若0<x<l,則-1<-x<0,

則f(-x)=-x2,

???函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，

?\f(-x)--X2=f(X),

即f(x)=-x2,0<x<l,

作出函數(shù)f(x)的圖象如圖:

在一個周期［-1,1］內(nèi)，當直線經(jīng)過點(1,-1)時，兩個函數(shù)有兩個交點，此時m=0,

當直線與y=-x2相切時，兩個函數(shù)有兩個交點，

由-x2=-x+m得x2-x+m=O,

由判別式△=(),即1-4m=0,

得m=A,

4

???函數(shù)的周期是2k,

，m=2k或2k+工(kCZ),故選D.

4

【變式2】設(shè)函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為尸(X),且函數(shù)y=(l—x)/'(x)的圖像如題(8)圖

所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()

(A)函數(shù)/(x)有極大值/(2)和極小值/(I)

(B)函數(shù)/(x)有極大值/(一2)和極小值/⑴

(C)函數(shù)/(x)有極大值/(2)和極小值/(—2)

(D)函數(shù)/(x)有極大值/(—2)和極小值/(2)

【答案】D；

【解析】由圖象可知當x<—2時，y=(l-%)/'U)>0,所以此時/,(%)>0,函數(shù)遞增.當—2<x<1

時，y=(l-x)/'(x)<0,所以此時/'(x)<0,函數(shù)遞減.當l<x<2時，y=(l-x)/'(x)>0,所以

此時/'(x)<0,函數(shù)遞減.當x>2時，y=(l—x)/'(x)<0,所以此時/'(x)>0,函數(shù)遞增.所以函數(shù)

f(x)有極大值/(-2),極小值/(2),選D.

類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題

【例4】若關(guān)于x的方程=x+有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。

【思路點撥】將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可

簡化運算。

【解析】畫出/(x)=J2x+1和g(x)=x+/”的圖象,

當直線y=x+m過點（一萬,0）,即機=2時，兩圖象有兩個交點。

,y=x^m

->=以+1

又由當曲線y=/（x）與曲線y=g（x）相切時，二者只有一個交點,

設(shè)切點（%,%），則/（%）=1，即I------=1，解得切點（0/），

依。+1

又直線y=x+/篦過切點（0,1）,得機=1,

...當一《機＜1時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。

2

誤區(qū)警示：作圖時，圖形的相對位置關(guān)系不準確，易造成結(jié)果錯誤。

【總結(jié)升華】

1.解決這類問題時要準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。

2.用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式（有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個函數(shù)

的圖象，由圖求解。

3.在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：

①要準確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

②要恰當設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；

④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解。

舉一反三：

【變式】若關(guān)于x的方程%在（-1,1）內(nèi)有1個實根，則k的取值范圍是。

2

【解析】把方程左、右兩側(cè)看作兩個函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點的個數(shù)來確定方程根的個數(shù)。

Qi53

如圖：當女=一二或一上4火〈二時，關(guān)于x的方程V—二x=Z在（-1,1）內(nèi)有1個實根。

16222

【例5】若方程在內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍。

【思路點撥】將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解。

【解析】（1）原方程可化為

設(shè)

在同一坐標系中畫出它們的圖象（如圖）。由原方程在（0,3）內(nèi)有唯一解，知的圖象只

有一個公共點，可見m的取值范圍是或

舉一反三：

JT

【變式1高清課程數(shù)形結(jié)合的思想ID:403936】若不等式10&亦＞$出2%（〃＞0,4r1）對任意工晝（0,—）都成立,

4

則〃的取值范圍為.

【解析】記yi=log?x,j2—sin2x,原不等式相當于%＞以，

作出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，

ITTT

所以當一vq<l時，(0,—)都有y\>yz.

44

TT

【變式2】若0〈0〈2n,且方程2sin(6+；)=/〃有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍及這兩

個實根的和。

［解析】將原方程2sin(。+?)=機轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)％=2sin(x+()的圖象與直線必=加有兩個不

同的交點時，求a的范圍及a+B的值。

7T

設(shè)m,在同一坐標中作出這兩個函數(shù)的圖象

x=2sin(x+§),y2=

由圖可知，當一2<m<G或6cm<2時，yi與丫2的圖象有兩個不同交點,

1T

即對應(yīng)方程2sin(，+j)=加有兩個不同的實數(shù)根，

若G<〃Z<2,設(shè)原方程的一個根為玉=.+C,則另一個根為“?一。.

若一2cm<6,設(shè)原方程的一個根為％=看一a,則另一個根為％=看一。，

所以這兩個實根的和為71:或§7乃.

717

且由對稱性可知，這兩個實根的和為一或一萬。

33

類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答

［例6］求函數(shù)/(e)=.3sm」+3的最大值和最小值

2cos6+4

【思路點撥】f(.可變形為sin』一(—1),故/⑻可看作是兩點A(cos6,sin。)和8(—2,—1)的

2cos^-(-2)

3

連線斜率的3倍，只需求出K"范圍即可；也可以利用三角函數(shù)的有界性，反解求解。

方法一：數(shù)形結(jié)合

A(cosasin。)可看作是單位圓/+>2=1上的動點，3(—2,—1)為圓外一點，如圖，

由圖可知：心8€伏必，左物］，顯然長胡=0,

設(shè)直線B4的方程：y+l=Z(x+2),

.|%*0-0+2"1|4

=d=l,解得4BA=k=—

\Jk2+\-3

???/(“[0,2]

3sin6+3

方法二：令/(6)=y=

2cos。+4

3sin9+3=2ycosO+4y,3sin6-2ycose=4y—3

732+(-2y)2sin(6?+0)=4y-3,4y-3|<^32+(-2y)2

.?.16/-24y+9<9+4y2,:.0<y<2即/(6)e［0,2］

【總結(jié)升華】一些代數(shù)式所表示的幾何意義往往是解題的關(guān)鍵，故要熟練掌握一些代數(shù)式的幾何意義:

(1)+(y_/?)2表示動點(x,y)與定點(a,b)兩點間的距離；

(2)2於表示動點(x,y)與定點(a,b)兩點連線的斜率；

x-a

(3)求ax+by的最值，就是求直線ax+by=t在y軸上的截距的最值。

舉一反三：

【變式1】已知圓C：(x+2)2+y2=l,P(x,y)為圓C上任一點。

(1)求+的最大、最小值；

(2)求匕工的最大、最小值；

x-1

(3)求x—2y的最大、最小值。

【解析】聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解。

(1)Ji+y2表示點(x,y)與原點的距離，

由題意知P(x,y)在圓C上，又C(—2,0),半徑r=l。

A|OC|=2o

舊+y的最大值為2+r=2+l=3,

小￡+y2的最小值為2—r=2—1=1。

(2)—表示點(x,y)與定點(1,2)兩點連線的斜率，

x-1

y—2

設(shè)Q(1,2),--=k,過Q點作圓C的兩條切線，如圖：

將上千=k整理得kx-y+2-k-Oo

.,\-2k+2-k\,3±6

??CI-I=-1,角軍皆rk一,

VF714

所以上二2的最大值為主芭，最小值為三5。

x-l44

(3)令x—2y=u,則可視為一組平行線系，

當直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，

I-2-?I

最值必在直線與圓C相切時取得。這時d1,

u=—2+\[5o

.,?x-2y的最大值為-2+?,最小值為-2-不。