專題：應(yīng)用題(★★★)教學(xué)目標(biāo)了解解應(yīng)用題的一般思路與程序掌握各種模型應(yīng)用題的解法知識(shí)梳理1.解應(yīng)用題的一般思路可表示如下2．解應(yīng)用題的一般程序（1）讀：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ).（2）建：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建“模”是關(guān)鍵的一關(guān).（3）解：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論.一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過(guò)程.（4）答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.典例精講【例題由學(xué)生先做，如果做對(duì)了，鞏固練習(xí)可以不做】類型一：不等式模型（★★）旋客在車(chē)站候車(chē)室排隊(duì)等候檢票，并且排隊(duì)旅客按一定速度在增加，設(shè)檢票速度一定，當(dāng)車(chē)站開(kāi)放一個(gè)檢票口時(shí)，需30分鐘，可將待檢旅客全部檢票進(jìn)站；當(dāng)同時(shí)開(kāi)放兩個(gè)檢票口時(shí)，只需10分鐘，便可將旅客全部檢票進(jìn)站，現(xiàn)有一班增開(kāi)列車(chē)過(guò)境載客，必須在5分鐘內(nèi)讓旅客檢票進(jìn)站，問(wèn)車(chē)站此時(shí)最少要同時(shí)開(kāi)放幾個(gè)檢票口？分析與答案：（1）讀題，尋找題意中的數(shù)量：檢票速度；初始旅客人數(shù)；旅客增加速度；檢票口的個(gè)數(shù)。（2）把有關(guān)的數(shù)量用符號(hào)表示出來(lái)：設(shè)檢票速度為x人/分鐘，初始旅客人數(shù)為y人，每分鐘旅客增加z人，開(kāi)放n個(gè)檢票口，可使全部旅客在5分鐘進(jìn)站。（3）分析數(shù)量關(guān)系，列出關(guān)系式：開(kāi)放一個(gè)檢票口時(shí)，30分鐘內(nèi)旅客總?cè)藬?shù)等于經(jīng)過(guò)檢票口的人數(shù)，即y+30z=30x；開(kāi)放兩個(gè)檢票口時(shí)，10分鐘內(nèi)旅客總?cè)藬?shù)等于經(jīng)過(guò)檢票口的人數(shù)，即y+10z=20x；開(kāi)放n個(gè)票口時(shí)，要求5分鐘檢票完畢，則（4）解決數(shù)學(xué)問(wèn)題：求最小的自然數(shù)n，使其滿足 可見(jiàn)，最少開(kāi)放4個(gè)檢票口才能滿足要求。鞏固練習(xí)（★★） 某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時(shí)運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線的長(zhǎng)均為千米（忽略內(nèi)、外環(huán)線長(zhǎng)度差異）.當(dāng)列列車(chē)同時(shí)在內(nèi)環(huán)線上運(yùn)行時(shí)，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長(zhǎng)候車(chē)時(shí)間為分鐘，求內(nèi)環(huán)線列車(chē)的最小平均速度；新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車(chē)平均速度為千米/小時(shí)，外環(huán)線列車(chē)平均速度為千米/小時(shí).現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有列列車(chē)全部投入運(yùn)行，要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長(zhǎng)候車(chē)時(shí)間之差不超過(guò)分鐘，問(wèn)：內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)名投入幾列列車(chē)運(yùn)行？答案：(1)20千米/小時(shí)(2)10例2.（★★★）甲乙兩地相距S公里，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米／時(shí).已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度ｖ（千米／時(shí)）的平方成正比，并且系數(shù)為b，固定部分為a元．（1）將全程運(yùn)輸成本y表示成v的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)以多大速度行駛?-------------4分故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?-------------5分(Ⅱ)依題意知S,a,b,v都為正數(shù),故有.因?yàn)閏-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,也即當(dāng)v=c時(shí),全程運(yùn)輸成本y最小.鞏固練習(xí)（★★）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后，從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問(wèn)當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。（A、B孔的面積忽略不計(jì)）分析與解答：該題以污水處理為背景，考查了建立函數(shù)模型求最小值的問(wèn)題。數(shù)，欲求y的最小值，只需求ab的最大值。∴當(dāng)a=6米，b=3米時(shí)，經(jīng)該箱沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。類型二：函數(shù)模型例3．（★★★）某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)小時(shí)與輪船相遇。(Ⅰ)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(Ⅱ)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；(Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。鞏固練習(xí)（★★）某人定制了一批地磚．每塊地磚（如圖1所示）是邊長(zhǎng)為米的正方形，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，△、△和四邊形均由單一材料制成，制成△、△和四邊形的三種材料的每平方米價(jià)格之比依次為3:2:1．若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設(shè)，能使中間的深色陰影部分成四邊形．（1）求證：四邊形是正方形；（2）在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最??？圖1圖1圖2圖2答案：（1）圖2是由四塊圖1所示地磚繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，△為等腰直角三角形，∴四邊形是正方形．…………4分（2）設(shè)，則，每塊地磚的費(fèi)用為，制成△、△和四邊形三種材料的每平方米價(jià)格依次為3a、2a、a（元），…………6分…………11分由，當(dāng)時(shí)，有最小值，即總費(fèi)用為最省．答：當(dāng)米時(shí)，總費(fèi)用最?。?4分類型三：數(shù)列模型例4．（★★★）關(guān)于某港口今后20年的發(fā)展規(guī)劃，有如下兩種方案：方案甲：按現(xiàn)狀進(jìn)行運(yùn)營(yíng)。據(jù)測(cè)算，每年可收入760萬(wàn)元，但由于港口淤積日益嚴(yán)重，從明年開(kāi)始需投資進(jìn)行清淤，第一年投資50萬(wàn)元，以后逐年遞增20萬(wàn)元。方案乙：從明年起開(kāi)始投資6000萬(wàn)元進(jìn)行港口改造，以徹底根治港口淤積并提高吞吐能力。港口改造需用時(shí)4年，在此期間邊改造邊運(yùn)營(yíng)．據(jù)測(cè)算，開(kāi)始改造后港口第一年的收入為320萬(wàn)元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增長(zhǎng)50%，而后各年的收入都穩(wěn)定在第5年的水平上。從明年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)多少年，方案乙能收回投資（累計(jì)總收益為正數(shù)）？從明年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)多少年，方案乙的累計(jì)總收益超過(guò)方案甲？（收益＝收入－投資）解：（1）設(shè)從明年開(kāi)始經(jīng)過(guò)第n年，方案乙的累計(jì)總收益為正數(shù)。在方案乙中，前4年的總收入為eq\f(320(1-1.54),1-1.5)=2600<6000,故n必定不小于5，則由2600+3201.54(n-4)>6000，解得n>6eq\f(8,81),故n的最小值為7，答:從明年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)7年，方案乙能收回投資。（2）設(shè)從明年開(kāi)始經(jīng)過(guò)n年方案甲與方案乙的累計(jì)總收益分別為y1,y2萬(wàn)元，則y1=760n-[50n+eq\f(1,2)n(n-1)·20]=-10n2+720n,當(dāng)n≤4時(shí)，則y1>0,y2<0,可得y1>y2.當(dāng)n5時(shí)，y2=2600+3201.54(n-4)-6000=1620n-9880，令y1<y2,可得1620n-9880>-10n2+720n,即n(n+90)>998,由10(10+90)>998,9(9+90)<998,可得n的最小值為10.答：從明年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)10年，方案乙的累計(jì)總收益超過(guò)方案甲。鞏固練習(xí)（★★★）如圖，為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖，冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥逐步減落后輸出。（I）輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度為β，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò)r0，問(wèn)冷軋機(jī)至少需要多少對(duì)軋輥？（II）已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長(zhǎng)均為160mm，若第k對(duì)軋輥有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)的間距為L(zhǎng)k，為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算L1、L2、L3，并填入下表，（軋鋼過(guò)程中，帶鋼厚度不變，且不考慮損耗）分析：本題關(guān)鍵是正確理解軋鋼過(guò)程中，帶鋼每經(jīng)過(guò)一個(gè)軋輥的厚度變化規(guī)律，若考查連續(xù)幾對(duì)軋輥，發(fā)現(xiàn)帶鋼厚度的值成等比數(shù)列。（I）厚度為α的帶鋼經(jīng)過(guò)減薄率為r0的第一對(duì)軋輥后，厚度變?yōu)棣粒?－r0），再經(jīng)過(guò)第二對(duì)軋輥后，其厚度變?yōu)棣?1－r0)2，因此經(jīng)過(guò)第n對(duì)軋輥后，帶鋼厚度為。（II）第k對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩個(gè)疵點(diǎn)之間帶鋼體積為而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)之間的帶鋼體積為用帶鋼寬度相等，且無(wú)損耗，由體積相等，得類型四：解析幾何模型例5．（★★★）如圖，一載著重危病人的火車(chē)從O地出發(fā)，沿射線OA行駛，其中在距離O地5a（a為正數(shù)）公里北偏東β角的N處住有一位醫(yī)學(xué)專家，其中sinβ=現(xiàn)有110指揮部緊急征調(diào)離O地正東p公里的B處的救護(hù)車(chē)趕往N處載上醫(yī)學(xué)專家全速追趕乘有重危病人的火車(chē)，并在C處相遇，經(jīng)測(cè)算當(dāng)兩車(chē)行駛的路線與OB圍成的三角形OBC面積S最小時(shí)，搶救最及時(shí).（1）求S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系；（2）當(dāng)p為何值時(shí)，搶救最及時(shí).解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，正北方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系，則設(shè)N（x0，y0），又B（p，0），∴直線BC的方程為：由得C的縱坐標(biāo)，∴（2）由（1）得∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)公里時(shí)，搶救最及時(shí).鞏固練習(xí)（★★★）小李真是個(gè)馬大哈，一不小心把手機(jī)丟了，這可是花了整整3000元買(mǎi)的多功能手機(jī)呀，小李心急如焚，立即報(bào)告了相距的兩個(gè)派出所，而那位拾手機(jī)者迫不及待地使用了手機(jī)，A、B兩個(gè)派出所的監(jiān)聽(tīng)儀器聽(tīng)到手機(jī)發(fā)聲的時(shí)間差為6秒．且B處的聲強(qiáng)是A處聲強(qiáng)的4倍(設(shè)聲速為聲強(qiáng)與距離的平方成反比)，請(qǐng)你幫助小李確定持手機(jī)者的位置.解析：如圖，以A、B中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為軸建立坐標(biāo)系，則A、B的坐標(biāo)為由于A、B兩派出所監(jiān)聽(tīng)器聽(tīng)到手機(jī)發(fā)聲的時(shí)間差為6秒，可知持手機(jī)P在雙曲線,又由于B處聲強(qiáng)是A處聲強(qiáng)的4倍，故點(diǎn)P又在圓上．故持手機(jī)者P在兩圖形的交點(diǎn)上．聯(lián)立解方程組：,得,知持手機(jī)者P到AB中點(diǎn)的距離|OP|為而的正切值是，那么由|OP|及能很快找到拾手機(jī)者．【說(shuō)明：本題利用坐標(biāo)法將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助雙曲線和圓的方程使實(shí)際問(wèn)題得到解決．請(qǐng)同學(xué)們想一想，雙曲線和圓的方程是怎樣建立起來(lái)的?是利用題目中哪些已知條件建立起來(lái)的?】回顧總結(jié)【先由學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲，然后由老師補(bǔ)充需要注意的問(wèn)題】1.高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)應(yīng)用問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型？答案：（1）優(yōu)化問(wèn)題.實(shí)際問(wèn)題