第五章

時間序列分析 1.平穩(wěn)時間序列分析 2.非平穩(wěn)序列建模一、了解時間序列1.1什么是時間序列？時間序列是指按時間順序排列的、隨時間變化且相互關聯(lián)的數(shù)據(jù)序列。1.2什么是時間序列分析？簡單來說，就是對時間序列進行觀察研究，找尋它的發(fā)展規(guī)律，預測它將來的走勢。

任何時間序列經(jīng)過合理函數(shù)變換均可認為是三個部分疊加而成。即：趨勢項部分、周期項部分、隨機噪聲項部分時間序列可有不同的分類：

根據(jù)所研究的對象數(shù)量可分為一元時間序列和多元時間序列；根據(jù)時間的連續(xù)性，可分為離散時間序列和連續(xù)時間序列；根據(jù)序列的統(tǒng)計特性，可分為平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列。二、了解Eviews軟件在這里，我們用Eviews軟件來求解所有的案例。那Eviews是什么，它又能夠做什么呢？我們來簡單了解一下：1）Eviews是在大型計算機的TSP(TimeSeriesProcessor)軟件包基礎上發(fā)展起來的新版本，是一組處理時間序列數(shù)據(jù)的有效工具。雖然Eviews是由經(jīng)濟學家開發(fā)的，并大多在經(jīng)濟領域應用，但它的適用范圍不應只局限于經(jīng)濟領域。2）Eviews可以用來統(tǒng)計、計量分析和預測數(shù)據(jù)，

除菜單操作外，EViews還提供命令語言。平穩(wěn)時間序列分析 1.基本概念 2.ARMA模型的基本形式 3.ARMA模型的平穩(wěn)性和可逆性 4.ARMA建模 5.案例分析第一節(jié)

第五章一、基本概念1.隨機過程的均值函數(shù)：對于隨機過程,t固定時,是一個隨機變量,是一個隨機變量,設其均值為.當t變動時,是t的函數(shù).2.

隨機過程的方差函數(shù)：對于隨機過程 ,t固定時,的方差為;當t變動時,是t的函數(shù)3.自協(xié)方差函數(shù)：對于隨機過程

取定4.自相關系數(shù)：將標準化

5、平穩(wěn)時間序列：若隨機序列滿足條件下列條件6、白噪聲序列（純隨機序列）

若隨機序列是由一個不相關的隨機變量構成的,且其期望和方差都是常數(shù)。即

1、自回歸(AR)模型2、移動平均(MA)模型3、自回歸移動平均(ARMA)模型

第五章二、ARMA模型的基本形式2.1

AR模型

滿足的條件其中：是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲，為自回歸參數(shù)向量

*：特別當時，稱為中心化AR(P)模型

中心化AR(p)模型引進算子多項式，中心化AR(P)模型又可以簡記為其中:2.2

MA模型具有如下結構的模型稱為q階移動平均模型，簡記為MA(q)滿足的條件其中：是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲

為移動平均參數(shù)向量*：特別當時，稱為中心化模型

中心化MA(q)模型

引進算子多項式，中心化MA(q)模型又可以簡記為其中：2.3ARMA模型具有如下結構的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為ARMA（p,q）滿足條件其中：

是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲為自回歸移動平均參數(shù)向量*：特別當時，稱為中心化ARMA（p,q）模型中心化

模型引進算子多項式，中心化ARMA（p,q）模型又可以簡記為其中：

三、ARMA模型的平穩(wěn)性和可逆性對于一般的平穩(wěn)序列，設其均值，滿足

引進算子多項式后，有

假定和無公共因子，且則:

模型的平穩(wěn)性條件—— 的根全在單位圓內(nèi)

模型的可逆性條件—— 的根全在單位圓外注意：

對于時間序列模型來說，只有滿足了平穩(wěn)性與可逆性，才能夠真正有意義的反映動態(tài)系統(tǒng)的實際變化特征。四、ARMA(p,q)建模過程1、獲得觀測值序列2、時間序列預處理3、ARMA模型識別與定階4、ARMA模型的參數(shù)確定5、ARMA模型的檢驗6、ARMA模型的優(yōu)化7、序列預測及結果分析Step1獲得觀測值序列

在Eviews軟件中，利用菜單欄中的File可以直接把文本文件、Excel文件、數(shù)據(jù)庫保存的數(shù)據(jù)導入Eviews中。Step2時間序列預處理平穩(wěn)性檢驗——檢驗序列的平穩(wěn)性1）時序圖檢驗根據(jù)平穩(wěn)時間序列均值、方差為常數(shù)的性質，平穩(wěn)序列的時序圖應該顯示出該序列始終在一個常數(shù)值附近波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征。2）自相關圖檢驗平穩(wěn)序列通常具有短期相關性，該性質用自相關系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關系數(shù)會很快地衰減為零。

純隨機性檢驗（白噪聲檢驗）——檢驗序列是否具有相關性

純隨機序列沒有分析價值，為了確定某平穩(wěn)序列值不值得繼續(xù)分析，我們需要對平穩(wěn)序列進行純隨機性檢驗。1）檢驗統(tǒng)計量： Q-統(tǒng)計量，2）判斷原則： Q-統(tǒng)計量的P值小于時，認為該序列為非白噪聲序列；反之，則為白噪聲序列。Step3

ARMA模型識別與定階兩個基本概念1）自相關系數(shù)（ACF）：構成時間序列的每個序列值之間的簡單相關關系，用來度量自相關程度，即觀測值序列的樣本自相關系數(shù)的計算公式：其中：2）偏自相關系數(shù)（PACF）：所謂滯后k偏自相關系數(shù)，就是說在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，對影響的相關度量，即

觀測值序列的樣本自相關系數(shù)的計算公式：其中：根據(jù)樣本自相關系數(shù)與偏自相關系數(shù)的性質，選擇恰當?shù)腁RMA(p,q)進行擬合。具體判斷標準為：（1）若為q階截尾，則判斷是MA(q)序列

（2）若為p階截尾，則判斷是AR(p)序列（3）若

、都不截尾，而僅僅是以負指數(shù)衰減，則可初步判斷是ARMA(p,q)序列補充：1）在實際處理中，要使、在某一階之后全部為0幾乎是不可能的，只能在某一階之后圍繞零值上下波動2）拖尾性：呈負指數(shù)衰減

截尾性：若樣本（偏）自相關系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標準差范圍，而后幾乎95%的（偏）自相關系數(shù)都落在2倍標準差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關系數(shù)衰減為小值的波動過程非常突然。這時，通常視為（偏）自相關系數(shù)截尾，截尾階數(shù)為d。

Step4

ARMA模型的參數(shù)確定對于一個非中心化的ARMA(p,q)模型有

即

其中：該模型有p+q+2個未知參數(shù)：其中

的估計值可以用樣本均值估計總體均值得到，其他p+q+1個未知參數(shù)可用矩估計、最大似然估計、最小二乘估計。Step5

ARMA模型的檢驗1）模型的顯著性檢

目的：判斷整個模型對信息的提取是否充分。

模型檢驗的對象為殘差序列，目的是為了檢驗模型的有效性，即對信息的提取是否充分。判定原則：A、一個好的擬合模型應該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關信息，即殘差序列應該為白噪聲序列B、若殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效

。在Eviews軟件中，利用P統(tǒng)計量來檢驗模型的有效性，當時，殘差序列不為白噪聲序列，反之則為白噪聲序列DW檢驗值：用于檢驗序列的自相關性，大致在1.5~2.5間表明序列無自相關性2）參數(shù)的顯著性檢驗目的：檢驗模型結構是否最簡在Eviews軟件中，利用Std.Error（回歸系數(shù)的標準誤差）來檢驗Step6

ARMA模型的優(yōu)化當一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序列的波動，但這種效果并不是唯一的。當同一個向量可以構造兩個擬合模型，兩個模型都顯著有效，那么到底該選擇哪一個模型用于統(tǒng)計推斷呢？為了解決這個問題，我們用第3步中的最小信息準則——AIC準則、BIC準則，確定模型相對最優(yōu)判定原則：AIC、BIC、SC越小，模型擬合相對最優(yōu)。在Eviews軟件中，可直接觀測到模型的AIC值、SC值Step7序列預測及結果分析利用得到的模型，預測下一時間段的值：在Eviews軟件中，利用Forcast進行預測。依據(jù)題意，分析得到的結果。ARMA(p,q)建模過程流程五、案例分析已知某城市過去63年中每年降雪量數(shù)據(jù)，如下表，試預測該城市下一年降雪量5.1模型求解1）序列預處理結果分析：從時序圖（左）可以看出，y序列始終在一個常數(shù)值附近波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征，該序列為平穩(wěn)序列。

從自相關系數(shù)圖（右）可以看出，隨著延遲期數(shù)的增加，序列的自相關系數(shù)會很快衰減為零，該序列為平穩(wěn)序列。從Q-統(tǒng)計量的P值可以看出，大部分小于0.05，該序列為非白噪聲序列。2）確定模型類型的和階數(shù)

根據(jù)自相關與偏自相關系數(shù)的性質，確定模型類型的和階數(shù)

分別嘗試用ARMA(1,1)、ARMA(1,2)、ARMA(1,3)等模型擬合，并通過誤差分析來選取最優(yōu)模型模型自相關系數(shù)（ACF）偏自相關系數(shù)（PACF）AR(p)拖尾p階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾3）ARMA(1，2)模型擬合結果根據(jù)該圖，我們得出這一模型形式如下：5）序列預測與結果分析該城市下一年的降雪量約為84.82。4）模型檢驗分析：P值均大于0.05，殘差序列為白噪聲序列，建模通過DW檢驗值為1.94，序列無自相關性。非平穩(wěn)時間序列建模 1.基本概念 2.ARIMA(p,d,q)模型 3.ARIMA建模過程 4.案例分析第二節(jié)

第五章一、基本概念1、差分運算的實質：差分方法是一種非常簡便、有效的確定性信息提取方法，差分運算的實質是使用自回歸的方式提取確定性信息。d階差分后序列可以表示為2、差分方式的選擇在實際情況中，我們會根據(jù)序列不同的特點選擇合適的差分方式，常見情況有以下三種：1）序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現(xiàn)趨勢平穩(wěn)。2）序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響。3）對于蘊含著固定周期的序列進行步長為周期長度的差分運算，通?？梢暂^好地提取周期信息。二、ARIMA(p,d,q)模型1、ARIMA(p,d,q)模型結構具有如下結構的模型稱為ARIMA(p,d,q)模型可簡記為其中：2、對于ARIMA(p,d,q)模型有下列三種形式

當d=0時，ARIMA（p,d,q）模型實際上是ARMA（p,q）模型

當p=0時，ARIMA（p,d,q）模型可以簡記為IMA（d,q）

當q=0時，ARIMA（p,d,q）模型可以簡記為ARI（p,d）特別地。當d=1,p=q=0時，ARIMA(0,1,0)模型為該模型被稱為隨