直線與平面、平面與平面相對位置一、直線與平面以及兩平面平行問題二、直線與平面以及兩平面相交問題三、直線與平面以及兩平面垂直問題四、綜合作圖題一、直線與平面以及兩平面平行1、直線與平面平行2、平面與平面平行EFABQQPABCDMNEF3、基本作圖1、直線與平面平行

幾何條件:

直線必需平行于平面上的某一直線。PHaba'b'PVPHCDcdABabPEFABQ

若平面具有積聚性，則平面的積聚性投影應(yīng)平行于直線的同面投影。2、平面與平面平行幾何條件：一平面上的兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面上的兩條相交直線。QPABCDMNEFPPHQHQPHQH若兩個同一投影面垂直面平行，則兩平面的積聚性投影相互平行。3、基本作圖

（1）判別直線與平面是否平行（2）過空間一點作平面的平行線（3）過空間一直線作已知直線的平行面（4）判別平面與平面是否平行（5）過空間一點作已知平面的平行面【例一】判別直線與平面是否平行；efe′f′abca′b′c′d′d作a′d′∥e′f′EF不平行△ABC【例二】過空間一點作平面的平行線aa′deff′e′d′g′gb′b作ab∥fg并量取ab=35mm過空間點A作一條水平線AB=35mm，且平行于△DEF。【例三】過空間一直線作已知直線的平行面aba′b′eff′e′c′c過空間直線AB作EF的平行面?！纠摹颗袆e平面與平面是否平行？abca′b′c′hefgg′f′e′h′d′dAD∥HGBC∥HE兩平面平行【例五】過空間一點作已知平面的平行面b′bcc′a′adefd′f′e′二、直線與平面以及兩平面相交1、利用積聚性求交2、無積聚性時求交

直線與平面相交于一點，交點是直線與平面的共有點；兩平面相交于一直線，交線是兩平面的共有線。

在畫法幾何中平面圖形通常被當作是不透明的，所以在投影圖中還要表明直線被平面遮擋以及平面與平面互相遮擋的情況，即判斷其投影的可見性。

求共有元素方法:1、利用積聚性求交HacbkmnNMABCKHMmnlPABCacPHkfFKNL

直線與平面或平面與平面相交的投影圖中有積聚投影時，交點或交線的一個投影一定包含在該積聚投影中。根據(jù)交點或交線是相交元素所共有這一條件，便能直接從積聚投影中得出交點或交線的一個投影，而另一投影則可由此求得。可見性也可根據(jù)積聚投影直接加以判斷?；咀鲌D①一般線與投影面垂直面相交②投影面垂直線與一般面相交③一般面與投影面垂直面相交④兩個同一投影面垂直面相交【例一】一般線與投影面垂直面相交xb′ba′acc′m′mnn′kVHacbkmnNMABCKk′k【例二】投影面垂直線與一般面相交1′1abce′f′c′b′e(f)a′(k)k′VHEFABCEe′f′a′b′e(f)bcaKk′(k)【例三】一般面與投影面垂直面相交VHMmnlPABCacPHkfFKNLnlmm′l′n′bacc′a′b′f′k′fk【例三】一般面與投影面垂直面相交aa′bb′cc′d′dee′ff′nn′m0m0′m′m【例四】兩個同一投影面垂直面相交m(n)m′n′PHQHPVQVNMPQQVQHPVPH2、無積聚性時求交

由于相交的兩元素各投影均無積聚性，所以它們的共有元素(交點或交線)，不能直接利用積聚性進行求解。解決辦法：引入一個能產(chǎn)生積聚投影的輔助平面（一般為投影面垂直面或投影面平行面），從而作出所求的共有元素。這種方法可稱為輔助平面法?？梢娦詥栴}，也因原投影圖中沒有積聚投影可以利用，通常要借助交錯直線的重影點來解決。MBCAFKNLFEABCQMNK

求作交線的步驟：1.含直線DE作輔助平面

2.求輔助平面與平面ABC的交線3.求交線與已知直線DE的交點

為便于在投影圖上求作交線應(yīng)選特殊位置輔助平面。1、一般位置直線與一般位置平面相交

4.判別可見性【例五】一般線與一般面相交m′n′QV

解題步驟：1、過EF作正垂面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線MN。3、求交線MN與EF的交點K。f′e′efba′acb′c′mnFECABQMNKk′k4、可見性判別以正垂面為輔助平面作圖利用重影點判別可見性f′e′efba′acb′c′kk′12

1′2′4′3′43()()判別可見性的原理是利用重影點。以鉛垂面為輔助平面作圖

1.含直線DE

作輔助

平面P2.求輔助平面P

與平

面ABC

的交線MN3.求交線MN

與已知

直線DE

的交點K【例五】一般線與一般面相交解題步驟：判別可見性【例五】一般線與一般面相交兩平面的交線是一條直線，只要求得直線上的兩點即可確定該交線，而這些點可以看作是一個平面上的直線與另一平面的交點。這樣便把求平面與平面的交線問題，轉(zhuǎn)化為求直線與平面的交點問題。

2.兩一般位置平面相交【例六】兩一般位置平面相交

求交線步驟：

1、用直線與平面求交點的方法求兩平面的共有點；

n′bacc′b′a′hh′nmm′QV1′2′21PVkk′ee′2、判別可見性。MBCAKENH判別兩平面的可見性n′bacc′b′a′hh′nmm′（）1′2′1

2()3

4

3′

4′判別可見性的原理是利用重影點。

在求直線與平面的交點時所選擇的兩條直線，位于同一平面上還是分別在兩個平面上，對最后結(jié)果沒有影響；判斷各投影的可見性，需分別進行，各投影中皆以交線投影為可見與不可見的分界線，在分界線的任何一側(cè)只需選一重影即可。另外，由于作圖線較多，為避免差錯，對作圖過程中的各點最好加以標記。三面共點法求兩平面的交線

用水平面作輔助面用三面共點法求兩平面的交線三、直線與平面以及兩平面垂直1、直線與平面垂直2、平面與平面垂直ABCDL1L2EFPHPV1、直線與平面垂直幾何條件:直線必須垂直于該平面上的任意兩相交直線；ABCDL1L2EFPHPV*垂直于一平面的直線，其投影垂直于該平面上投影面平行線的相應(yīng)投影，也垂直于該平面的同面跡線。線面垂直定理基本作圖：①判別直線是否與平面垂直②過空間一點作已知平面的垂線③過空間一點作已知直線的垂面【例一】判別直線是否與平面垂直1′122′e′ef′fa′abb′cc′KK′PHg′h′ghEF⊥△ABCGH⊥P平面【例二】過空間一點作已知平面的垂線1′122′f′fe′ea′abb′cc′【例三】過空間一點作已知直線的垂面bb′cc′faa′ef′e′2、平面與平面垂直幾何條件：

一個平面上有一條直線垂直于另一平面或一平面通過另一平面的法線?；咀鲌D：④判別兩平面是否垂直⑤過空間一直線作已知平面的垂面QPL1L2NM【例四】判別兩平面是否垂直e′ea′abb′cc′ff′gg′11′22′△ABC⊥△EFGd′d【例五】過空間一直線作已知平面的垂面1′122′f′fe′ea′abb′cc′gg′空間幾何元素之間相對位置問題的求解方法小結(jié)1.若所求為點，則該點一定在某直線或平面上，找出這樣的直線或平面，再在這些直線或平面上求點。

2.若所求為直線，①根據(jù)定理或已歸納的投影特性直接求出。②在包含該直線的平面上找出該直線，解題時，找出符合條件的兩個點（或一點一方向）確定該直線即可。

3.若所求為平面，則求出構(gòu)成該平面的兩條相交（或平行）直線即可。

四、綜合作圖題示例

1、審題

明確題意、已知條件和作圖要求。

2、空間分析

逆推分析法：假設(shè)滿足題目要求的幾何元素已經(jīng)給出，將它和題目所給的幾何元素一起，按題目要求的幾何條件逐一分析，綜合研究它們之間的相對位置和從屬關(guān)系，進而探求由給定的幾何元素確定所求的幾何元素的途徑，進而得出解題方法。軌跡分析法：根據(jù)題目要滿足的若干幾何條件逐個地運用空間幾何元素軌跡的概念，分析所求的幾何元素在該條件下的空間幾何軌跡，然后綜合這些空間幾何軌跡取公共元素，進而得出解題方案。

3、確定作圖步驟，運用基本作圖完成投影圖

解題方案選定后，就要決定作圖步驟，先做什么，后做什么。并熟練運用各種基本作圖方法，完成投影圖。【例題1】求點K到直線AB的距離。a′bab′kk′m′mn′nKL真長l′l△ZKL△ZKL作圖步驟1、過點K作直線AB的垂面KM*KN；2、求所作垂面與直線AB的交點L；3、連接KL，用直角三角形法求KL的實長?！纠}2】已知直角三角形ABC的水平投影，及直角邊AB的V投影，試完成其正面投影。b′cbaa′c′1′12′2作圖步驟1、過點Ａ作直線AB的垂直面AⅠⅡ；2、在垂直面AⅠⅡ上，運用平面定線方法確定AC邊；3、連線完成直角三角形ABC的投影。【例題3】作一直線與兩交叉直線AB和CD相交，同時與直線EF平行。f2′211′nmm′n′abb′a′e′f′c′d′c′deABCDEF1MN【例題4】過點M作直線，使其與△ABC平行，且與直線EF相交。eff′e′m′ma′b′bacc′2′21′1nn′作圖步驟1、過點M作平面MⅠⅡ平行于已知平面ABC；2、求平面MⅠⅡ與已知直線EF的交點N；3、連接MN【例題5】已知等邊△ABC與H面的傾角α=30°，試完成該等邊△ABC的兩面投影。caa′c′bb′B0等邊△ABC高BD的實長d′dα△ZBD△ZBD作圖步驟1、求作等邊△ＡＢＣ高的實長2、直角三角形法求作ＢＤ的Ｚ坐標差【例題6】過點K作直線KL與直線MN垂直，并與△ABC平行。gg′l′laa′bcc′b′k′kmnn′m′作圖步驟1、過MN作平面MNG