高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市閔行區(qū)2024屆高三下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研（二模）數(shù)學(xué)試卷一、填空題1.集合，，則________.〖答案〗〖解析〗，所以.故〖答案〗為：.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．〖答案〗〖解析〗由得，所以，故〖答案〗為:.3.始邊與軸的正半軸重合的角的終邊過點(diǎn)，則=_________.〖答案〗〖解析〗始邊與軸的正半軸重合的角的終邊過點(diǎn)，則，故．故〖答案〗為：．4.在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為_________.〖答案〗〖解析〗的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為:．由，得．的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是．故〖答案〗為：．5.已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最大值為.故〖答案〗為：.6.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則______．〖答案〗121〖解析〗設(shè)公比為，故，解得，所以，故.故〖答案〗為：1217.五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的5個(gè)不同的子項(xiàng)目,每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng),其中甲工程隊(duì)不能承建1號子項(xiàng)目,則不同的承建方案有_____種.〖答案〗〖解析〗完成承建任務(wù)可分五步:第一步,安排1號有4種;第二步,安排2號有4種;第三步,安排3號有3種;第四步,安排4號有2種;第五步,安排5號有1種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有4×4×3×2×1=96種.故〖答案〗為968.函數(shù)在處的切線方程為_________.〖答案〗〖解析〗，，所以，所以在處的切線方程為，即，故〖答案〗為：.9.已知、是空間中兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量滿足，且，當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，的最小值為_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，，，所以，所以?dāng)時(shí)，的最小值為，故〖答案〗為：.10.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，若，則_________.〖答案〗4〖解析〗雙曲線，實(shí)半軸長為1，虛半軸長為，焦距，由雙曲線的對稱性可得，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，中，由余弦定理，，即，得，故〖答案〗為：4.11.對于任意的，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.〖答案〗〖解析〗設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)镽，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最小值為，所以當(dāng)時(shí)，有最小值1；設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最小值，所以當(dāng)時(shí)，有最小值1，不等式恒成立，則有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.12.已知空間中有2個(gè)相異的點(diǎn)，現(xiàn)每增加一個(gè)點(diǎn)使得其與原有的點(diǎn)連接成盡可能多的等邊三角形.例如，空間中3個(gè)點(diǎn)最多可連接成1個(gè)等邊三角形，空間中4個(gè)點(diǎn)最多可連接成4個(gè)等邊三角形.當(dāng)增加到8個(gè)點(diǎn)時(shí)，空間中這8個(gè)點(diǎn)最多可連接成________個(gè)等邊三角形.〖答案〗20〖解析〗空間中4個(gè)點(diǎn)最多可連接成4個(gè)等邊三角形，構(gòu)成正四面體，正四面體的每一個(gè)面向外作一個(gè)正四面體，此時(shí)是增加一個(gè)點(diǎn)，增加正三角形3個(gè)，新增加的4個(gè)點(diǎn)，又構(gòu)成1個(gè)正四面體，所以當(dāng)增加到8個(gè)點(diǎn)時(shí)，空間中這8個(gè)點(diǎn)最多可連接成個(gè)等邊三角形.故〖答案〗為：20.二、選擇題13.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，或，不能推出有成立；當(dāng)時(shí)，則，必有成立，故“”是“”的必要非充分條件，故選：B.14.已知，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則集合可表示為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以等價(jià)于，即；當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，，可得，所以，解不等式，可得，綜上可得集合可表示為.故選：D.15.某疾病預(yù)防中心隨機(jī)調(diào)查了339名50歲以上的公民，研究吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病的關(guān)系，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：不吸煙者吸煙者總計(jì)不患慢性氣管炎者121162283患慢性氣管炎者134356總計(jì)134205339假設(shè)：患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系，即它們相互獨(dú)立.通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，得，根據(jù)分布概率表:，，，.給出下列3個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)是（）①“患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系”成立的可能性小于；②有的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)；③分布概率表中的、等小概率值在統(tǒng)計(jì)上稱為顯著性水平，小概率事件一般認(rèn)為不太可能發(fā)生.A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，所以有的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)，即“患慢性氣管炎與吸煙沒有關(guān)系”成立的可能性小于，故①②正確；分布概率表中的、等小概率值在統(tǒng)計(jì)上稱為顯著性水平，小概率事件一般認(rèn)為不太可能發(fā)生.故③正確；故選：D.16.已知，集合，，.關(guān)于下列兩個(gè)命題的判斷，說法正確的是（）命題①：集合表示的平面圖形是中心對稱圖形；命題②：集合表示的平面圖形的面積不大于.A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題〖答案〗A〖解析〗對于，集合關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，且函數(shù)是奇函數(shù)，若則則，即若則，即集合表示平面圖形是關(guān)于原點(diǎn)中心對稱圖形，故①是真命題；對于，由即知，設(shè)，則與一一對應(yīng)且隨的增大而增大，，又由知，結(jié)合知在范圍內(nèi)，與一一對應(yīng)且隨的增大而減小，所以在范圍內(nèi)，與一一對應(yīng)且是關(guān)于的減函數(shù)，由①可知圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，所以可得到在的圖象，如圖代入點(diǎn)可得，所以的區(qū)域是右半部分，面積為正方形面積的一半，即集合表示的平面圖形的面積，故②是假命題.故選：A.三、解答題17.在銳角中，角所對邊的邊長分別為，且.（1）求角；（2）求取值范圍.解：（1），，又，，.（2）由（1）可知，，且為銳角三角形，所以，，則，因?yàn)椋?18.如圖，已知為等腰梯形，，，平面，.（1）求證：；（2）求二面角的大小.（1）證明：連接，在等腰梯形中，，，，則，于是，即，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由，得，在中，，由平面，平面，得，則，于是，因此為二面角的平面角，因?yàn)?，平面，則平面，又平面，則，在中，，，則，所以二面角的大小為.19.ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來生成回答，但它的回答可能會受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對某一類問題進(jìn)行測試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.18.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為0.1，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的10個(gè)問題中隨機(jī)抽取9個(gè)作答，已知在這10個(gè)問題中，小張能正確作答其中的9個(gè).（1）求小張能全部回答正確的概率；（2）求一個(gè)問題能被ChatGPT回答正確的概率；（3）在這輪挑戰(zhàn)中，分別求出小張和ChatGPT答對題數(shù)的期望與方差.解：（1）設(shè)小張答對的題數(shù)為，則.（2）設(shè)事件表示“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”，事件表示“一個(gè)問題能被ChatGPT正確回答”，由題意知，，，則，；（3）設(shè)小張答對的題數(shù)為，則的可能取值是，且，，設(shè)ChatGPT答對的題數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，則，，，.20.如圖，已知橢圓和拋物線，的焦點(diǎn)是的上頂點(diǎn)，過的直線交于、兩點(diǎn)，連接、并延長之，分別交于、兩點(diǎn)，連接，設(shè)、的面積分別為、．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范圍.解：（1）橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的焦點(diǎn)為，故.（2）若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，聯(lián)立可得，恒成立，則，.（3）設(shè)直線、的斜率分別為、，其中，，聯(lián)立可得，解得，點(diǎn)在第三象限，則，點(diǎn)在第四象限，同理可得，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.的取值范圍為.21.已知定義在上的函數(shù)的表達(dá)式為，其所有的零點(diǎn)按從小到大的順序組成數(shù)列（）.（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）求證：函數(shù)在區(qū)間（）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（3）求證：.（1）解：由，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且，，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?（2）證明：當(dāng)時(shí)，①當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格