高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鎮(zhèn)江市2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)z滿足z（1＋i）＝2（i為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴在復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點位于第四象限．故選：D．2.函數(shù)的導函數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題知，，即，由求導公式：，復合函數(shù)的求導法則：設，則得：，故選：D.3.已知，，，則是（）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形〖答案〗A〖解析〗，，，，，，，是直角三角形．故選：A．4.已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.12 B.14 C.16 D.18〖答案〗D〖解析〗因為，又，所以.故選：D.5.青花瓷是中華陶乲燒制工藝的珍品，屬秞下彩瓷.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為，碗口直徑為，碗深.瓷碗的軸截面輪廓可以近似地看成拋物線，碗里有一根長度為的筷子，筷子過瓷碗軸截面輪廓曲線的焦點，且兩端在碗的內(nèi)壁上.則筷子的中點離桌面的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗建立平面直角坐標系，如圖所示，設拋物線的方程為，其焦點為，碗口直徑為，碗深，所以拋物線過點，所以，解得，所以拋物線的方程為，設，過中點作軸，由拋物線的定義可得，解得，所以，所以筷子的中點離桌面的距離為.故選：B.6.從3名男同學和2名女同學候選人中，選一名班長和一名團支部書記，則至少有一名女生當選的不同選舉結(jié)果為（）A.12 B.14 C.16 D.18〖答案〗B〖解析〗從3名男同學和2名女同學候選人中，選一名班長和一名團支部書記，共有：種，沒有一名女生當選，共有種，故至少有一名女生當選的不同選舉結(jié)果為種.故選：B.7.已知為橢圓C：的右焦點，P為C上的動點，過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗為橢圓C：的右焦點，P為C上的動點，由橢圓的性質(zhì)，可得.過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，.等于的最小值的3倍，.橢圓中，，即，則.，，解得或（舍）.故選：B.8.求和：（）A.512 B.1024 C.5120 D.10240〖答案〗C〖解析〗令，①則，即，②①②可得，，故．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知虛數(shù)，，則（）A. B.C. D.是方程的一個根〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項，因為，所以，故A錯；對于B選項，，所以，故B對；對于C選項，，故C對；對于D選項，由，可得，解得或，故D對.故選：BCD.10.已知，則（）A.B.C.數(shù)列，，，…，，的最大項為D.〖答案〗BD〖解析〗對于A，的通項為：，令，則，故A錯誤；對于B，令可得：，故B正確；對于C，由的通項知，，故數(shù)列，，，…，，的最大項不為，故C錯誤；對于D，對函數(shù)兩邊同時取導，可得：，令可得：，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)有兩個極值點 B.函數(shù)的所有極值的和為2C.函數(shù)只有1個零點 D.是函數(shù)圖像的一條切線〖答案〗ABC〖解析〗由函數(shù)，可得，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)當時，取得極小值，極小值為，當時，取得極大值，極大值為，所以，又由當時，，所以函數(shù)只有一個零點，所以A、B、C正確.假設是曲線的切線，設切點為，則，解得或，顯然點和均不在曲線上，所以D錯誤.故選：ABC.12.已知點，，動點在：上，則（）A.直線與相交B.線段的中點軌跡是一個圓C.的面積最大值為D.在運動過程中，能且只能得到4個不同的〖答案〗BD〖解析〗對于A，因為，，所以，所以直線的方程，即，由，得，所以圓心，半徑為3，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以A錯誤，對于B，設線段的中點為，則，因為點在圓上，所以，即表示一個圓，所以線段的中點軌跡是一個圓，所以B正確，對于C，的面積最大值為，所以C錯誤，對于D，①設與直線垂直且過點的直線為，則，得，即直線為，因為圓心到直線的距離為，所以直線與圓有兩個交點，所以以為直角頂點的直角三角形有2個，②設與直線垂直且過點的直線為，則，得，即直線為，因為圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，無公共點，所以以為直角頂點的直角三角形不存在，③以為直徑的圓為，設圓心為，則，半徑為，所以，因為，所以以為直徑的圓與圓相交，所以以為直角頂點的直角三角形有2個，綜上，在運動過程中，能且只能得到4個不同的，所以D正確，故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在展開式中，項的系數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗由題意，多項式，根據(jù)組合數(shù)的運算，展開式中的系數(shù)為，又由.故〖答案〗為：.14.雙曲線：（，）的焦點到漸近線的距離等于，則雙曲線的漸近線方程為______.〖答案〗〖解析〗由已知可得雙曲線的焦點坐標為，漸進線方程為，則點到漸近線，即的距離.又因為，所以，所以，雙曲線的漸近線方程為.故〖答案〗為：.15.今天是第一天星期一，則第天是星期______.〖答案〗一〖解析〗因，所以，除以7的余數(shù)為1，所以，第天是星期一.故〖答案〗為：一.16.某公司第1年年初向銀行貸款1000萬元投資項目，貸款按復利計算，年利率為10%，約定一次性還款.貸款一年后每年年初該項目產(chǎn)生利潤300萬元，利潤隨即存入銀行，存款利息按復利計算，年利率也為10%，則到第年年初該項目總收益為______萬元，到第______年的年初，可以一次性還清貸款.〖答案〗①②〖解析〗由題知，到第年年初，借貸總額為，總收益為，當時，，當時，，故第年年初該項目總收益為，到第年的年初，可以一次性還清貸款.故〖答案〗為：；四、解答題：共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，二項式.（1）若該二項展開式的第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，求展開式中的系數(shù)；（2）若展開式的前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中系數(shù)最大的項.解：（1）因為展開式的第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，則展開式的通項公式為，令，解得，代入通項公式有：，所以的系數(shù)為；（2）二項式通項公式為：，所以第一項的系數(shù)為：，第二項的系數(shù)為：，第三項的系數(shù)為：，由于前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，解得，或，因為至少有前三項，所以（舍），故，二項式通項公式為：，設第項的系數(shù)最大，故，即，即，解得，因為，所以或，故系數(shù)最大的項為或.18.喝酒不開車，開車不喝酒.若某人飲酒后，欲從相距的某地聘請代駕司機幫助其返程.假設當?shù)氐缆废匏?油價為每升8元，當汽車以的速度行駛時，油耗率為.已知代駕司機按每小時56元收取代駕費，試確定最經(jīng)濟的車速，使得本次行程的總費用最少，并求最小費用.解：設汽車以行駛時，開車時間為小時，則代駕費用為，油耗為，則總費用，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以當時，取到最小值，最小值為.最經(jīng)濟的車速為時，使得本次行程的總費用最少為元.19.古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓面積等于圓周率與橢圓的長半軸長、短半軸長的乘積.已知橢圓的中心為坐標原點，焦點，均在軸上，面積為，點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）經(jīng)過點的直線與曲線交于，兩點，與橢圓的面積比為，求直線的方程.解：（1）設橢圓的方程為：，因為橢圓的面積為，點在橢圓上.所以解得：，所以橢圓的標準方程為：.（2）因為經(jīng)過點的直線與曲線交于，兩點，當直線的斜率不存在時，，此時，因為與橢圓的面積比為，但，即直線斜率存在；不妨設直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理可得：，不妨設，則，因為，，所以，因為與橢圓的面積比為，所以，化簡為，即，即，解得：，所以直線的方程為或，所以直線的方程為或.20.已知數(shù)列中，，點在直線上，數(shù)列中，，且對任意，滿足：.（1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）請比較與的大小，并證明你的結(jié)論.解：（1）因為點在直線上,所以有,即數(shù)列是首項為,公差為4的等差數(shù)列.則.所以數(shù)列的通項公式為.因為,則,又因為，所以.所以數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，則,即.所以數(shù)列的通項公式為.（2）,,.構(gòu)造函數(shù),遞增.當時,,函數(shù)遞減,則時,;當時,,即時,.當時，,函數(shù)遞增.當時;當時,.綜上,當時，;當或時，.21.已知雙曲線：的左、右頂點分別為，.（1）若過點的直線交雙曲線于，兩點，求直線的斜率范圍；（2）過原點的直線與雙曲線相交于，兩點（在軸的上方），直線，與圓分別交于，，直線與直線的斜率分別為，，求.解：（1）過點的直線的方程設為：，聯(lián)立得：.因直線交雙曲線于，兩點，所以，解得且.故直線的斜率范圍為且.（2）如圖：設：，，則令所以的方程為，聯(lián)立得.所以，，由于，兩點關于原點對稱，所以，所以的斜率為，所以，又，所以，即.所以，，所以