第三章測(cè)評(píng)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.若A,B,C,D為空間不同的四點(diǎn),則下列各式為零向量的是()①+2+2;②2+2+3+3;③;④.A.①② B.②③C.②④ D.①④【答案】C【解析】【分析】無(wú)論是平面向量還是空間向量，各向量的和為零向量必定有各向量恰好形成一個(gè)回路，即起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，也可以運(yùn)用向量加法法則直接計(jì)算．【詳解】①===；②==；③=；④=表示恰好形成一個(gè)回路，結(jié)果必為；綜上可知答案選C．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的基本運(yùn)算，關(guān)鍵掌握相應(yīng)運(yùn)算的法則，屬于基礎(chǔ)題．2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是()A.2, B. C.3,2 D.2,2【答案】A【解析】【詳解】若a∥b，則且，解得且，故選A.考點(diǎn)：空間向量平行的判定.3.在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，，則PA與底面ABCD的關(guān)系是（）A.相交 B.垂直C.不垂直 D.成60°角【答案】B【解析】【分析】由已知可得，，從而可判斷PA與底面ABCD關(guān)系【詳解】解：因?yàn)?，所以；因?yàn)椋裕?，所以平面ABCD．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查線面的位置關(guān)系，利用了空間向量進(jìn)行了求解，屬于基礎(chǔ)題.4.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，E，F(xiàn)分別是面A1B1C1D1，面BCC1B1的中心，則E，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，所以||=.故選：C.5.已知平面α和平面β法向量分別為，則（）A.α⊥β B.α∥β C.α與β相交但不垂直 D.以上都不對(duì)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果，即可判斷.【詳解】因?yàn)楣士傻?，則平面α和平面β垂直.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面的法向量垂直，與平面垂直之間的等價(jià)關(guān)系.6.已知在平行六面體中，向量，，兩兩的夾角均為，且，，，則（）A.5 B.6 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】如圖，平行六面體中，向量、、兩兩的夾角均為，且，，，.，故選：A.7.三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于()A.－2 B.2 C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算8.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,且，則直線與直線夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝9.在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M=AN=，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是（）A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面BB1C1C的法向量和直線MN的方向向量，利用兩向量垂直，得到線面平行.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由圖可知平面BB1C1C的法向量.∵A1M=AN=，∴M，N，∴.∵，∴MN∥平面BB1C1C，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利于空間向量判斷線面平行，屬于簡(jiǎn)單題目.10.已知三棱錐中，底面為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，垂直于底面，=3，那么直線與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等積法可求到平面的距離，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.因?yàn)槠矫?，平面，故，故，同理，故，而，所以，故，?故選D.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到平面的距離，此類問(wèn)題可用等積法來(lái)處理，本題屬于基礎(chǔ)題.11.如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且.當(dāng)、、、共面時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角的余弦．【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，由題意知：當(dāng)、時(shí)，、、、共面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，解得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，解得，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為，故選：B.12.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.(1，1，1) B. C. D.【答案】C【解析】【分析】【詳解】試題分析：設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)檎叫闻c矩形所在的平面互相垂直，，點(diǎn)在上，且平面，所以，又，所以是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，故選C．考點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)．二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.若直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】利用直線與平面平行的方向向量與平面法向量的關(guān)系及向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由，可得，即，解得,所以的值為.故答案為：.14.已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的單位法向量是_____.【答案】±【解析】【分析】根據(jù)平面ABC的法向量和以及為單位向量，建立方程即可．【詳解】設(shè)平面ABC的單位法向量是，則解得或，所以平面ABC的單位法向量是±【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積及模的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵要掌握運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．15.已知在正四棱臺(tái)中，上底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與下底面所成的角均為60°，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的幾何特征可以的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出直線與的方向向量，利用空間向量即可求出結(jié)果.【詳解】連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則平面；因?yàn)槠矫妫?；又底面是正方形，所以，即；所以兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：因?yàn)?，，所?易知平面平面，所以為側(cè)棱與底面所成的角，即，.設(shè)棱臺(tái)的高為，則，解得；所以，可得，所以，即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：16.已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】過(guò)B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N．則可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．再求出＝＋＋，平方即得||＝．【詳解】過(guò)B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N．則可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．由于＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝，∴||＝．故答案為【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算和向量的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)空間向量的模.三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點(diǎn)，BG＝2GD，，，，試用基底表示向量＝________.【答案】【解析】【分析】由空間向量的基本定理求解即可【詳解】因?yàn)锽G＝2GD，所以，又，所以故答案為：18.已知向量=(1,3,2),=(2,1,1),點(diǎn)A(3,1,4),B(2,2,2).(1)求|2+|;(2)在直線AB上,是否存在一點(diǎn)E,使得⊥?(O為原點(diǎn))【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算相應(yīng)公式計(jì)算即可．（2）假設(shè)存在點(diǎn)E，則+t，再根據(jù)⊥b,建立方程可求出t=．【詳解】(1)2a+b=(2,6,4)+(2,1,1)=(0,5,5),故|2a+b|==5.(2)+t=(3,1,4)+t(1,1,2)=(3+t,1t,42t),若⊥b,則·b=0,所以2(3+t)+(1t)+(42t)=0,解得t=,因此存在點(diǎn)E,使得⊥b,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的模及向量垂直等，屬于中檔題．19.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中點(diǎn)，且AB＝BC＝BB1＝2.(1)求證：AB1∥平面BC1D；(2)求異面直線AB1與BC1的夾角．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】連接交于點(diǎn)，連接在三角形中由中位線得，繼而證明線面平行(2)建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用空間向量求出向量夾角的余弦值，從而得到夾角【詳解】(1)證明：如圖，連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD．∵O為B1C的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，∴OD∥AB1.∵AB1平面BC1D，OD平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．(2)解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.則B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)．∴＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．設(shè)異面直線AB1與BC1的夾角為θ，則cosθ=1，【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行及異面直線所成角的問(wèn)題，在證明線面平行時(shí)運(yùn)用其判定定理，有中點(diǎn)找中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線或者平行四邊形來(lái)證明線線平行，異面直線所成角的問(wèn)題可以采用建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)來(lái)求解。20.如圖所示,在四面體ABCD中,AB,BC,CD兩兩互相垂直,且BC=CD=1.(1)求證:平面ACD⊥平面ABC;(2)求二面角CABD大小;【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）CD⊥AB,CD⊥BC,可得CD⊥平面ABC，從而有平面ACD⊥平面ABC．（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面ABC的法向量=(1,0,0)和平面ABD的一個(gè)法向量為(1,1,0)，代入計(jì)算公式即可．【詳解】(1)證明因?yàn)镃D⊥AB,CD⊥BC,所以CD⊥平面ABC.又因?yàn)镃D?平面ACD,故平面ACD⊥平面ABC.(2)解設(shè)AB=a,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz,則B(0,0,0),A(0,0,a),C(0,1,0),D(1,1,0),于是=(1,1,0),=(0,0,a).顯然平面ABC的法向量=(1,0,0).設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則有·n=x+y=0,·n=az=0,所以z=0,取y=1,則x=1,則n=(1,1,0).因此cos<,n>==,由圖可知二面角CABD為銳角,所以二面角CABD的大小為45°.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的判定和二面角的計(jì)算，屬于中檔題，計(jì)算二面角大小的常用方法；(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小．(2)定義法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。?1.如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,△ABC是直角三角形,且PA=AB=AC.又平面QBC垂直于底面ABC.(1)求證:PA∥平面QBC;(2)若PQ⊥平面QBC,求銳二面角QPBA的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BC交BC于點(diǎn)D,則QD⊥平面ABC，而PA⊥平面ABC，可得QD∥PA，從而問(wèn)題得證．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，找出二面角QPBA所在的兩個(gè)平面的法向量，求出法向量夾角的余弦值，結(jié)合角的范圍，得出最終結(jié)果．【詳解】(1)證明過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BC交BC于點(diǎn)D,因?yàn)槠矫鍽BC⊥平面ABC,所以QD⊥平面ABC.又PA⊥平面ABC,所以QD∥PA.而QD?平面QBC,PA?平面QBC,所以PA∥平面QBC.(2)解因?yàn)镻Q⊥平面QBC,所以∠PQB=∠PQC=90°.又PB=PC,PQ=PQ,所以△PQB≌△PQC,所以BQ=CQ.所以點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),連接AD,則AD⊥BC,因此AD⊥平面QBC,故四邊形PADQ是矩形.分別以AC,AB,AP所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=2a,則Q(a,a,2a),B(0,2a,0),P(0,0,2a).設(shè)平面QPB的法向量為n=(x,y,z),因?yàn)?(a,a,0),=(0,2a,2a),所以取n=(1,1,1).又平面PAB的一個(gè)法向量為m==(1,0,0),設(shè)銳二面角QPBA的大小為θ,則cosθ=|cos<m,n>|=,即銳二面角QPBA的余弦值等于.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線面垂直的判定定理及利用向量法求二面角的余弦值的相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．用向量法求二面角（正、余弦值）基本過(guò)程如下：首先求出構(gòu)成二面角的兩個(gè)平面的法向量和（適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系），再代入公式，其中為二面角的平面角，最后求解（結(jié)合問(wèn)題對(duì)正負(fù)號(hào)取舍）．22.四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E為BB1延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),D1E⊥平面D1AC.(1)求二面角EACD1的大小;(2)在D1E上是否存在一點(diǎn)P,使A1P∥平面EAC?若存在,求D1P∶PE的值;不存在,說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)AC與BD交于O,以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，用坐標(biāo)分別表示有關(guān)向量，分別求平面EAC和平面D1AC的法向量