第四講直線、平面平行的判定與性質(zhì)知識(shí)梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?α，__a∥b____a∥α__a∥α，a?β，__α∩β＝b__結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?__a∥b__知識(shí)點(diǎn)二面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件__α∩β＝?____a?β，b?β，____a∩b＝P，____a∥α，b∥α____α∥β，____α∩γ＝a，____β∩γ＝b__α∥β，a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥αeq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)1．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，則α∥β”．2．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即“若a⊥α，b⊥α，則a∥b”．3．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即“若α∥β，β∥γ，則α∥γ”．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．(×)(2)平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(×)(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(×)(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)(5)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α．(×)(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β．(×)題組二走進(jìn)教材2．(必修2P58練習(xí)T3)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則α∥β的一個(gè)充分條件是(D)A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，若存在一條直線a，a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則存在一條直線a，使得a∥α，a∥β，所以選項(xiàng)A的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)必要條件；同理，選項(xiàng)B，C的內(nèi)容也是α∥β的一個(gè)必要條件而不是充分條件；對(duì)于選項(xiàng)D，可以通過平移把兩條異面直線平移到—個(gè)平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項(xiàng)D的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)充分條件．故選D．題組三走向高考3．(2019·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是(B)A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面4．(2017·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(A)[解析]B選項(xiàng)中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；C選項(xiàng)中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；D選項(xiàng)中，AB∥NQ，且AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ．故選A．5．(2017·天津，節(jié)選)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA＝AC＝4，AB＝2．求證：MN∥平面BDE．[證明]解法一：連PN交BE于H，連HD．∵E、N分別為PC、BC的中點(diǎn)，∴H為△PBC的重心，∴eq\f(PH,HN)＝2，又D、M分別為PA、AD的中點(diǎn)，∴eq\f(PD,DM)＝2，∴eq\f(PH,HN)＝eq\f(PD,DM)，∴DH∥MN，又DH?平面BDE，MN?平面BDE，∴MN∥平面BDE．解法二：取EC的中點(diǎn)H，連MH、NH，∵N為BC的中點(diǎn)，∴NH∥BE，又NH?平面BDE，BE?平面BDE，∴NH∥平面BDE，又E、D、M分別為PC、PA、DA的中點(diǎn)，∴eq\f(PE,EH)＝eq\f(PD,DM)＝2，∴DE∥MH，又MH?平面BDE，∴MH∥平面BDE，DE?平面BDE，又DE∩BE＝E，∴平面MNH∥平面BDE，∴MN∥平面BDE．解法三：(理)如圖，以A為原點(diǎn)，分別以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．依題意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0，0,1)，N(1,2,0)．eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面BDE的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＝0，,2x－2z＝0.))不妨設(shè)z＝1，可得n＝(1,0,1)．又eq\o(MN,\s\up6(→))＝(1,2，－1)，可得eq\o(MN,\s\up6(→))·n＝0．因?yàn)镸N?平面BDE，所以MN∥平面BDE．考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一空間平行關(guān)系的基本問題——自主練透例1(1)(2021·河南名校聯(lián)盟質(zhì)檢改編)設(shè)有不同的直線a，b和不同的平面α，β，給出下列四個(gè)命題中，其中正確的是(B)①若a∥α，b∥α，則a∥b②若a∥α，a∥β，則α∥β③若a⊥α，b⊥α，則a∥b④若a⊥α，a⊥β，則α∥βA．1 B．2C．3 D．4(2)(2021·遼寧省沈陽市質(zhì)監(jiān))下列三個(gè)命題在“()”處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi)，m為直線，α，β為平面)，則此條件是__l?α__．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))?l∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,l∥m,))?l∥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥m,m⊥α,))?l∥α．[解析](1)對(duì)于①，若a∥α，b∥α，則直線a和直線b可以相交也可以異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若a∥α，a∥β，則平面a和平面β可以相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若a⊥α，b⊥α，則根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理，a∥b，故③正確；對(duì)于④，若a⊥α，a⊥β，則α∥β成立；故選B．(2)①l∥m，m∥α?l∥α或l?α，由l?α?l∥α；②l?α，m?α，l∥m?l∥α；③l⊥m，m⊥α?l∥α或l?α，由l?α?l∥α．故答案為l?α．〔變式訓(xùn)練1〕(2021·吉林省吉林市調(diào)研改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，則下列各直線、平面中，與平面ACD1不平行的是(CA．直線EF B．直線GHC．平面EHF D．平面A1BC1[解析]首先直線EF、GH、A1B都不在平面ACD1內(nèi)，由中點(diǎn)及正方體的性質(zhì)知EF∥AC，GH∥A1C1∥AC，A1B∥D1C，∴直線EF，GH，A1B都與平面ACD1平行，又A1C1∥AC，由面面平行判定易知平面A1BC1∥平面ACD1，由EH∥AB1，AB1∩平面ACD1＝A，∴EH與平面ACD1相交，從而平面EHF與平面ACD考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)——多維探究角度1線面平行的判定例2(2021·遼寧撫順模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，∠BAD＝60°，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點(diǎn)．(1)證明：BE∥平面PAD；(2)求三棱錐E－PBD的體積．[解析](1)證法一：如圖，取PD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)A．由題意知EF為△PDC的中位線，∴EF∥CD，且EF＝eq\f(1,2)CD＝2．又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綊EF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF．又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD．證法二：延長(zhǎng)DA、CB相交于H，連PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴eq\f(HB,HC)＝eq\f(AB,DC)＝eq\f(1,2)，即B為HC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，∴BE∥PH，又BE?平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD，證法三：取CD的中點(diǎn)H，連BH，HE，∵E為PC中點(diǎn)，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知AB綊DH，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，∴平面BHE∥平面PAD，∴BE∥平面PAD．(2)∵E為PC的中點(diǎn)，∴V三棱錐E－PBD＝V三棱錐E－BCD＝eq\f(1,2)·V三棱錐P－BCD．又∵AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BD＝AB＝2．又∵CD＝4，∠BDC＝∠BAD＝60°，∴BD⊥BC．∴BC＝eq\r(CD2－BD2)＝2eq\r(3)．∵PD⊥平面ABCD，∴V三棱錐P－BCD＝eq\f(1,3)PD·S△BCD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3)，∴V三棱錐E－PBD＝eq\f(2\r(3),3)．名師點(diǎn)撥判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(5)向量法：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．注：線面平行的關(guān)鍵是線線平行，證明中常構(gòu)造三角形中位線或平行四邊形．角度2線面平行的性質(zhì)例3如圖，在多面體ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1．(1)求證：BC∥EF；(2)求三棱錐B－DEF的體積．[解析](1)證明：∵AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，∴BC∥平面ADEF．又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF．(2)過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，∵DE⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，∴DE⊥BH．∵AD?平面ADEF，DE?平面ADEF，AD∩DE＝D，∴BH⊥平面ADEF．∴BH是三棱錐B－DEF的高．在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，AB＝2，故BH＝eq\r(3)．∵DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴DE⊥AD．由(1)知BC∥EF，且AD∥BC，∴AD∥EF，∴DE⊥EF．∴三棱錐B－DEF的體積V＝eq\f(1,3)×S△DEF×BH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),6)．名師點(diǎn)撥空間中證明兩條直線平行的常用方法(1)利用線面平行的性質(zhì)定理，即a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b．(2)利用平行公理推論：平行于同一直線的兩條直線互相平行．(3)利用垂直于同一平面的兩條直線互相平行．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度2)如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH．求證：PA∥GH．(2)(角度1)(2020·廣東佛山質(zhì)檢，節(jié)選)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)．求證：EF∥平面PAB．(3)(角度1)(2021·貴州黔東南州二模)在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AP的中點(diǎn)．①求證：EF∥平面PCD；②若AD＝AP＝PB＝eq\f(\r(2),2)AB＝1．求三棱錐P－DEF的體積．[解析](1)證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥MO．又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA?平面PAHG，∴PA∥GH．(2)解法一：取PB的中點(diǎn)H，連FH、HA，∵F為PC的中點(diǎn)，∴FH綊eq\f(1,2)BC，又四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC綊AD，從而FH綊eq\f(1,2)AD，又E為AD的中點(diǎn)，∴FH綊EA，∴EF∥AH，又EF?平面PAB，HA?平面PAB，∴EF∥平面PAB．解法二：取BC的中點(diǎn)H，連FH，HE，∵F為PC的中點(diǎn)，∴FH∥BP，又FH?平面PAB，∴FH∥平面PAB，又E為AD的中點(diǎn)，且四邊形ABCD為平行四邊形，∴HE∥BA，又HE?平面PAB，∴HE∥平面DAB，又FH∩EH＝H，∴平面EFH∥平面PAB，∴EF∥平面PAB．解法三：連CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于H，連PH．∵E為平行四邊形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，∴△CDE≌△HAE，∴CE＝EH，又F為PC的中點(diǎn)，∴EF∥PH，又EF?平面PAB，PH?平面PAB，∴EF∥平面PAB．(3)①證明：如圖，取PD中點(diǎn)G，連接GF，GC．在△PAD中，G，F(xiàn)分別為PD，AP的中點(diǎn)，∴GF綊eq\f(1,2)AD．在矩形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，∴CE綊eq\f(1,2)AD，∴GF綊EC，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴GC∥EF．∵GC?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD．②∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC．又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥BP，平面PAD⊥平面PAB．AD＝AP＝PB＝eq\f(\r(2),2)AB＝1，∵AB＝eq\r(2)，∴AP2＋PB2＝AB2，∴AP⊥BP．∵AD∩AP＝A，∴BP⊥平面PAD．∵BC∥平面PAD，∴點(diǎn)E到平面PAD的距離等于點(diǎn)B到平面PAD的距離．∵S△PDF＝eq\f(1,2)PF·AD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,4)，∴V三棱錐P－DEF＝V三棱錐E－PDF＝eq\f(1,3)S△PDF·BP＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×1＝eq\f(1,12)，∴三棱錐P－DEF的體積為eq\f(1,12)．考點(diǎn)三,兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)——師生共研例4如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG．[證明](1)因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH∥B1C1，又B1C1所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC，因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG．又因?yàn)镚，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，所以A1G綊EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG．又因?yàn)锳1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG．[引申1]在本例條件下，若D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA．[證明]如圖所示，連接HD，A1B，因?yàn)镈為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1所以HD∥A1B，又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA．[引申2]在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D[證明]如圖所示，連接A1C，AC1交于點(diǎn)M因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以A1B∥DM．因?yàn)锳1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1．又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1．又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因?yàn)镈C1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．名師點(diǎn)撥證明面面平行的方法有(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(3)利用“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”．(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．*(6)向量法：證明兩平面的法向量平行．〔變式訓(xùn)練3〕(2021·南昌模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1．設(shè)M，N分別為PD，AD的中點(diǎn)．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P－ABM的體積．[解析](1)證明：∵M(jìn)，N分別為PD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°．又∠BAC＝60°，∴CN∥AB．∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB．又CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB．(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴點(diǎn)M到平面PAB的距離等于點(diǎn)C到平面PAB的距離．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝eq\r(3)，∴三棱錐P－ABM的體積V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3)．名師講壇·素養(yǎng)提升探索性問題求解策略例5(2021·安徽皖北聯(lián)