試驗9人口預測與數(shù)據(jù)擬合2、掌握在最小二乘意義下數(shù)據(jù)擬合理論和方法.1、學會用MATLAB軟件進行數(shù)據(jù)擬合3、經(jīng)過對實際問題分析和研究，初步掌握建立數(shù)據(jù)擬合數(shù)學模型方法試驗目標第1頁據(jù)人口統(tǒng)計年鑒，知我國從1949年至1994年人口數(shù)據(jù)資料以下：(人口數(shù)單位為：百萬)（1）在直角坐標系上作出人口數(shù)圖象。（2）建立人口數(shù)與年份函數(shù)關系，并估算1999年人口數(shù)。試驗問題年份

1949

1954

1959

1964

1969

人口數(shù)

541.67

602.66

672.09704.99

806.71

年份1974

1979

1984

1989

1994人口數(shù)

908.59

975.421034.75

1106.76

1176.74

第2頁怎樣確定a,b?線性模型第3頁1曲線擬合問題提法:

已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個點),(iiyx，

ixni,,,2,1L=互不相同，尋求一個函數(shù)（曲線）)(xfy=，使)(xf在某種準則下與全部數(shù)據(jù)點最為靠近，即曲線擬合得最好，如圖:

xy0++++++++一、曲線擬合確定f(x)使得

到達最小

最小二乘準則

第4頁２.用什么樣曲線擬合已知數(shù)據(jù)?慣用曲線函數(shù)系類型：１．畫圖觀察；２．理論分析指數(shù)曲線：

雙曲線（一支):

多項式：

直線：

第5頁３擬合函數(shù)組中系數(shù)確實定第6頁二、人口預測線性模型

對于開始提出試驗問題,代如數(shù)據(jù)，計算得從而得到人口數(shù)與年份函數(shù)關系為把x=1999代如，估算出1999年人口數(shù)為y=1252.1（百萬）＝12.52億1999年實際人口數(shù)量為１２.６億。線性預測模型第7頁英國人口學家Malthus依據(jù)百余年人口統(tǒng)計資料，于1798年提出了著名人口自然增加指數(shù)增加模型。三、人口預測Malthus模型基本假設

:人口(相對)增加率r

是常數(shù)x(t)~時刻t人口,t=0時人口數(shù)為x0指數(shù)增加模型實際中，慣用第8頁1.由前1數(shù)據(jù)求出美國人口增加Malthus模型。2.預測后1（每隔）人口情況。3.依據(jù)預測人口情況和實際人口數(shù)量,討論人口模型改進情況。美國1790年－1980年每隔人口統(tǒng)計226.5204.0179.3150.7131.7123.2106.592.076.062.9人口(百萬)1980197019601950194019301920191019001890年份50.238.631.423.217.112.99.67.25.33.9人口(百萬)1880187018601850184018301820181018001790年份例１第9頁解：取得最小值.其中,表示人口數(shù)量。表示年份,解方程組:即得參數(shù)值.使得問題轉化為求參數(shù)第10頁％prog41.m%%Thisprogramistopredictthenumberofpopulation%formatlongt1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880];t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980];x1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2];x2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5];lnx1=log(x1);lnx2=log(x2);第11頁a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.^2);d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1);

A=[a11,a12;a21,a22];D=[d1;d2];

ab=inv(A)*D;

disp('a=');disp(ab(1));

disp('b=');disp(ab(2));

fori=1:10

xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i));

end

fori=1:10

xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i));

end

plot(t1,x1,'r*--',t1,xx1,'b+-',t2,x2,'g*--',t2,xx2,'m+-');

第12頁a=-49.79535457790735b=0.0285980718仿真結果表明：人口增加指數(shù)模型在短期內(nèi)基本上能比較準確地反應人口自然增加規(guī)律，但長久預測誤差很大，需要修正預測模型。擬合曲線原始數(shù)據(jù)曲線第13頁四、人口預測Logistic模型人口增加到一定數(shù)量后，增加率下降原因：資源、環(huán)境等原因?qū)θ丝谠黾幼铚饔们易铚饔秒S人口數(shù)量增加而變大假設r~固有增加率(x很小時)k~人口容量（資源、環(huán)境能容納最大數(shù)量）r是x減函數(shù)例１Logistic模型留給同學們練習第14頁五、多項式擬合Matlab指令a=polyfit（xdata，ydata，n）其中n表示多項式最高階數(shù)

xdata，ydata為要擬合數(shù)據(jù)，它是用向量方式輸入。輸出參數(shù)a為擬合多項式

y=a1xn+…+anx+an+1系數(shù)a=[a1,…,an,an+1]。多項式在x處值y可用下面程序計算。

y=polyval(a,x)

第15頁用多項式擬合人口模型%Thisprogramistopredictthemodelofpopulationby4-degreepolynomial%%prog42.m%formatlongt1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880];t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980];t=[t1;t2];P1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2];P2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5];P=[P1;P2];n=4;%Thedegreeofthefittingpolynomial%[a,s]=polyfit(t1,P1,n);y=polyval(a,t);%aisthecoefficientsvectorfromn-degreeto0-degree%plot(t,P,'r*--',t,y,'b+-');23第16頁a=1.0e+006*-0.000000000000140.00000000107892-0.000003048785950.00381927346813-1.79012132225427仿真結果表明,人口增加模型用多項式擬合能比較準確地反應人口自然增加規(guī)律，對長久預測含有指導意義。第17頁例2:海底光纜線長度預測模型某一通信企業(yè)在一次施工中,需要在水面寬為20m河溝底沿直線走向鋪設一條溝底光纜.在鋪設光纜之前需要對溝底地形做初B2468101214161820986420ADC探測到一組等分點位置深度數(shù)據(jù)以下表所表示.25步探測,從而預計所需光纜長度,為工程預算提供依據(jù).基本情況如圖所表示.第18頁10.9310.809.818.867.957.959.1510.2211.2912.6113.32201918171615141312111013.2812.2611.1810.139.058.027.967.968.969.01深度(m)9876543210分點21個等分點處深度(1)預測經(jīng)過這條河溝所需光纜長度近似值.(2)作出鋪設溝底光纜曲線圖.第19頁解：用12次多項式函數(shù)擬合光纜走勢曲線圖以下仿真結果表明,擬合曲線能較準確地反應光纜走勢圖.Thelengthofthelabelis

L=26.3809(m)假設所鋪設光纜足夠柔軟,在鋪設過程中光纜觸地走勢光滑,緊貼地面,而且忽略水流對光纜沖擊.第20頁%prog45.mThisprogramistofitthedatabypolynomial%formatlongt=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,100);P=[9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93];[a,s]=polyfit(t,P,12);yy=polyval(a,x);disp('yy=');disp(yy);