2.1.1簡單隨機抽樣

一、三維目標：

1、知識與技能：

正確理解隨機抽樣的概念，掌握抽簽法、隨機數(shù)表法的一般步驟；

2、過程與方法：

（1）能夠從現(xiàn)實生活或其他學科中提出具有一定價值的統(tǒng)計問題；

（2）在解決統(tǒng)計問題的過程中，學會用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本。

3、情感態(tài)度與價值觀：通過對現(xiàn)實生活和其他學科中統(tǒng)計問題的提出，體會數(shù)學知識與現(xiàn)

實世界及各學科知識之間的聯(lián)系，認識數(shù)學的重要性。

二、重點與難點：正確理解簡單隨機抽樣的概念，掌握抽簽法及隨機數(shù)法的步驟，并能靈活

應(yīng)用相關(guān)知識從總體中抽取樣本。

三、教學設(shè)想：

假設(shè)你作為一名食品衛(wèi)生工作人員，要對某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進行衛(wèi)生達標檢驗，

你準備怎樣做？

顯然，你只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗的樣本。（為什么？）那么，應(yīng)當怎樣獲取

樣本呢？

【探究新知】

一、簡單隨機抽樣的概念

一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（nWN）,

如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽

樣，這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本。

【說明】簡單隨機抽樣必須具備下列特點：

（1）簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)N是有限的。

（2）簡單隨機樣本數(shù)n小于等于樣本總體的個數(shù)N。

（3）簡單隨機樣本是從總體中逐個抽取的。

（4）簡單隨機抽樣是一種不放回的抽樣。

（5）簡單隨機抽樣的每個個體入樣的可能性均為n/No

思考？

下列抽樣的方式是否屬于簡單隨機抽樣？為什么？

（1）從無限多個個體中抽取50個個體作為樣本。

（2）箱子里共有100個零件，從中選出10個零件進行質(zhì)量檢驗，在抽樣操作中，從中任意

取出一個零件進行質(zhì)量檢驗后，再把它放回箱子。

二、抽簽法和隨機數(shù)法

1、抽簽法的定義。

一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器

中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本。

【說明】抽簽法的一般步驟：

（1）將總體的個體編號。

（2）連續(xù)抽簽獲取樣本號碼。

思考？

你認為抽簽法有什么優(yōu)點和缺點：當總體中的個體數(shù)很多時;用抽簽法方便嗎？

2、隨機數(shù)法的定義：

利用隨機數(shù)表、隨機數(shù)骰子或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)進行抽樣，叫隨機數(shù)表法，這里僅介紹隨

機數(shù)表法。

怎樣利用隨機數(shù)表產(chǎn)生樣本呢？下面通過例子來說明，假設(shè)我們要考察某公司生產(chǎn)的500

克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達標，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣

本時，可以按照下血的步驟進行。

第一步，先將800袋牛奶編號,可以編為000,001,-1799。

第二步，在隨機數(shù)表中任選一個數(shù),例如選出第8行第7列的數(shù)7（為了便于說明，下面摘

取了附表1的第6行至第10行）。

162277943949544354821737932378

844217533157245506887704744767

630163785916955567199810507175

332112342978645607825242074438

576086324409472796544917460962

87352096438426349164

21763350258392120676

12867358074439523879

15510013429966027954

90528477270802734328

第三步，從選定的數(shù)7開始向右讀（讀數(shù)的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一個

三位數(shù)785,由于785V799,說明號碼785在總體內(nèi)，將它取出；繼續(xù)向右讀，得到916,

由于916>799,將它去掉，按照這種方法繼續(xù)向右讀，又取出567,199,507,…，依次下

去，直到樣本的60個號碼全部取出，這樣我們就得到一個容量為60的樣本。

【說明】隨機數(shù)表法的步驟：

（1）將總體的個體編號。

（2）在隨機數(shù)表中選擇開始數(shù)字。

（3）讀數(shù)獲取樣本號碼。

【例題精析】

例1：人們打橋牌時，將洗好的撲克牌隨機確定張為起始牌，這時按次序搬牌時，對任何

一家來說，都是從52張牌中抽取13張牌，問這種抽樣方法是否是簡單隨機抽樣？

［分析］簡單隨機抽樣的實質(zhì)是逐個地從總體中隨機抽取樣本，而這里只是隨機確定了起始

張，其他各張牌雖然是逐張起牌，但是各張在誰手里已被確定，所以不是簡單隨機抽樣。

例2：某車間工人加工一種軸100件，為了了解這種軸的直徑，要從中抽取10件軸在同一

條件下測量，如何采用簡單隨機抽樣的方法抽取樣本？

［分析］簡單隨機抽樣一般采用兩種方法：抽簽法和隨機數(shù)表法。

解法1：（抽簽法）將100件軸編號為1,2,…，100,并做好大小、形狀相同的號簽，分別

寫上這100個數(shù)，將這些號簽放在一起，進行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取10個號簽，然后測

量這個10個號簽對應(yīng)的軸的直徑。

解法2：（隨機數(shù)表法）將100件軸編號為00,01,…99,在隨機數(shù)表中選定一個起始位置,

如取第21行第1個數(shù)開始，選取10個為68,34,30,13,70,55,74,77,40,44,這

10件即為所要抽取的樣本。

【課堂練習】P

【課堂小結(jié)】

1、簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法，簡單隨機抽樣有兩種選取個體的

方法：放回和不放回，我們在抽樣調(diào)查中用的是不放回抽樣，常用的簡單隨機抽樣方法有

抽簽法和隨機數(shù)法。

2、抽簽法的優(yōu)點是簡單易行，缺點是當總體的容量非常大時，費時、費力，又不方便，如

果標號的簽攪拌得不均勻，會導(dǎo)致抽樣不公平，隨機數(shù)表法的優(yōu)點與抽簽法相同，缺點上當

總體容量較大時，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較

少的抽樣類型。

3、簡單隨機抽樣每個個體入樣的可能性都相等，均為n/N,但是這里一定要將每個個體入

樣的可能性、第n次每個個體入樣的可能性、特定的個體在第n次被抽到的可能性這三種情

況區(qū)分開業(yè)，避免在解題中出現(xiàn)錯誤。

【評價設(shè)計】

1、為了了解全校240名學生的身高情況，從中抽取40名學生進行測量，下列說法正確

的是

A.總體是240B、個體是每一個學生

C、樣本是40名學生D、樣本容量是40

2、為了正確所加工一批零件的長度，抽測了其中200個零件的長度，在這個問題中，200

個零件的長度是()

A、總體B、個體是每一個學生

C、總體的一個樣本D、樣本容量

3、一個總體中共有200個個體，用簡單隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為20的樣本，則

某一特定個體被抽到的可能性是。

4、從3名男生、2名女生中隨機抽取2人，檢查數(shù)學成績，則抽到的均為女生的可能性

是。

2.1.2系統(tǒng)抽樣

一、三維目標：

1、知識與技能：

(1)正確理解系統(tǒng)抽樣的概念；

(2)掌握系統(tǒng)抽樣的一般步驟；

(3)正確理解系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的關(guān)系；

2、過程與方法：通過對實際問題的探究，歸納應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的方法，理解分

類討論的數(shù)學方法，

3、情感態(tài)度與價值觀：通過數(shù)學活動，感受數(shù)學對實際生活的需要，體會現(xiàn)實世界和數(shù)學

知識的聯(lián)系。

二、重點與難點：正確理解系統(tǒng)抽樣的概念，能夠靈活應(yīng)用系統(tǒng)抽樣的方法解決統(tǒng)計問題。

三、教學設(shè)想：

【創(chuàng)設(shè)情境】：某學校為了了解高一年級學生對教師教學的意見，打算從高一年級500名學

生中抽取50名進行調(diào)查，除了用簡單隨機抽樣獲取樣本外，你能否設(shè)計其他抽取樣本的方

法？

【探究新知】

一、系統(tǒng)抽樣的定義：

一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然

后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫

做系統(tǒng)抽樣。

【說明】由系統(tǒng)抽樣的定義可知系統(tǒng)抽樣有以下特證：

(1)當總體容量N較大時，采用系統(tǒng)抽樣。

(2)將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽

樣又稱等距抽樣，這時間隔一般為k=[].

(3)預(yù)先制定的規(guī)則指的是：在第1段內(nèi)采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號

的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號。

思考？

(1)你能舉幾個系統(tǒng)抽樣的例子嗎？

(2)下列抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是()

A、從標有1~15號的15號的15個小球中任選3個作為樣本，按從小號到

大號排序，隨機確定起點i,以后為i+5,i+10(超過15則從1再數(shù)起)號入樣

B工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳關(guān)帶將產(chǎn)品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一

件產(chǎn)品檢驗

C、搞某一市場調(diào)查，規(guī)定在商場門口隨機抽一個人進行詢問，直到調(diào)查到事先規(guī)定的調(diào)查

人數(shù)為止

D、電影院調(diào)查觀眾的某?指標，通知每排(每排人數(shù)相等)座位號為14的觀眾留下來座

談

點撥：(2)c不是系統(tǒng)抽樣，因為事先不知道總體，抽樣方法不能保證每個個體按事先規(guī)定

的概率入樣。

二、系統(tǒng)抽樣的一般步驟。

(1)采用隨機抽樣的方法將總體中的N個個編號。

(2)將整體按編號進行分段，確定分段間隔k(kdN,LWk).

(3)在第一段用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號L(LGN,LWk)。

(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將起始編號L加上間隔k得到第2個個體編號L+K,

再加上K得到第3個個體編號L+2K,這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本。

【說明】從系統(tǒng)抽樣的步驟可以看出，系統(tǒng)抽樣是把一個問題劃分成若干部分分塊解決，從

而把復(fù)雜問題簡單化，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想。

【例題精析】

例1、某校高中三年級的295名學生已經(jīng)編號為1,2,……，295,為了了解學生的學

習情況，要按1：5的比例抽取?個樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取，并寫出過程。

［分析］按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，關(guān)鍵是確定第1段的編號。

解：按照1：5的比例，應(yīng)該抽取的樣本容量為295+5=59,我們把259名同學分成59組，

每組5人，第一組是編號為1?5的5名學生，第2組是編號為6?10的5名學生，依次下

去，59組是編號為291?295的5名學生。采用簡單隨機抽樣的方法，從第一組5名學生中

抽出一名學生,不妨設(shè)編號為k(lWkW5),那么抽取的學生編號為k+5L(L=0,l,2,……,58),

得到59個個體作為樣本，如當k=3時的樣本編號為3,8,13,.......,288,293?

例2、從憶編號為1?50的50枚最新研制的某種型號的導(dǎo)彈中隨機抽取5枚來進行發(fā)射實

驗，若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導(dǎo)彈的編號可能是

A.5,10,15,20,25B、3,13,23,33,43

C.1,2,3,4,5D、2,4,6,16,32

［分析］用系統(tǒng)抽樣的方法抽取至的導(dǎo)彈編號應(yīng)該工1<+(1,1<+2￡1,1<+3￡|,1<+4<1淇中［1=50/5=10,1<是1

到10中用簡單隨機抽樣方法得到的數(shù)，因此只有選項B滿足要求，故選B。

【課堂練習】P49練習1.2.3

【課堂小結(jié)】

1、在抽樣過程中，當總體中個體較多時，可采用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣，系統(tǒng)抽樣的步

驟為：

（1）采用隨機的方法將總體中個體編號；

（2）將整體編號進行分段，確定分段間隔k（kCN）：

（3）在第一段內(nèi)采用簡單隨機抽樣的方法確定起始個體編號L；

（4）按照事先預(yù)定的規(guī)則抽取樣本。

2、在確定分段間隔k時應(yīng)注意：分段間隔k為整數(shù)，當不是整數(shù)時;應(yīng)采用等可能剔除的

方剔除部分個體，以獲得整數(shù)間隔ko

【評價設(shè)計】

1、從2005個編號中抽取20個號碼入樣，采用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔為

（）

A.99B、99,5

C.100D、100,5

2、從學號為0?50的高一某班50名學生中隨機選取5名同學參加數(shù)學測試，采用系統(tǒng)抽樣

的方法，則所選5名學生的學號可能是（）

A.1,2,3,4,5B、5,16,27,38,49

C.2,4,6,8,10D、4,13,22,31,40

3、采用系統(tǒng)抽樣從個體數(shù)為83的總體中抽取一個樣本容量為10的樣本，那么每個個體人

樣的可能性為（）

A.8B.8,3

C.8.5D.9

4、某小禮堂有25排座位，每排20個座位，?次心理學講座，禮堂中坐滿了學生，會后為

了了解有關(guān)情況，留下座位號是15的所有25名學生進行測試，這里運用的是抽

樣方法。

5、某單位的在崗工作為624人，為了調(diào)查工作上班時，從家到單位的路上平均所用的時間，

決定抽取10%的工作調(diào)查這一情況，如何采用系統(tǒng)抽樣的方法完成這?抽樣？

2.1.3分層抽樣

一、三維目標：

1、知識與技能：

（1）正確理解分層抽樣的概念；

（2）掌握分層抽樣的一般步驟；

（3）區(qū)分簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，并選擇適當正確的方法進行抽樣。

2、過程與方法：通過對現(xiàn)實生活中實際問題進行分層抽樣，感知應(yīng)用數(shù)學知識解決實

際問題的方法。

3、情感態(tài)度與價值觀：通過對統(tǒng)計學知識的研究，感知數(shù)學知識中“估計

與“精確”性的矛盾統(tǒng)」培養(yǎng)學生的辯證唯物主義的世界觀與價值觀。

二、重點與難點：正確理解分層抽樣的定義，靈活應(yīng)用分層抽樣抽取樣本，并恰當?shù)倪x擇三

種抽樣方法解決現(xiàn)實生活中的抽樣問題。

三、教學設(shè)想：

【創(chuàng)設(shè)情景】

假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人，初中生10900人，小學生11000人，此地

教育部門為了了解本地區(qū)中小學的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)的

小學生中抽取1%的學生進行調(diào)查，你認為應(yīng)當怎樣抽取樣本？

【探究新知】

一、分層抽樣的定義。

一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取?

定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在起作為樣本，這種抽樣的方法叫分層抽樣。

【說明】分層抽樣又稱類型抽樣，應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求：

(1)分層：將相似的個體歸人一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵

循不重復(fù)、不遺漏的原則。

(2)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本

數(shù)量與每層個體數(shù)量的比與這層個體數(shù)量與總體容量的比相等。

二、分層抽樣的步驟：

(1)分層：按某種特征將總體分成若干部分。

(2)按比例確定每層抽取個體的個數(shù)。

(3)各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取。

(4)綜合每層抽樣，組成樣本。

【說明】

(1)分層需遵循不重復(fù)、不遺漏的原則。

(2)抽取比例由每層個體占總體的比例確定。

(3)各層抽樣按簡單隨機抽樣進行。

探究交流

(1)分層抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入?類(層)，然后每層抽取若干個體構(gòu)成

樣本，所以分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，必須進行

()

A、每層等可能抽樣

B、每層不等可能抽樣

C、所有層按同一抽樣比等可能抽樣

(2)如果采用分層抽樣，從個體數(shù)為N的總體中抽取?個容量為n

樣本，那么每個個體被抽到的可能性為()

A.B.C.D.

點撥：

(1)保證每個個體等可能入樣是簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽

共同的特征，為了保證這一點，分層時用同一抽樣比是必不可少的，故此選C。

(2)根據(jù)每個個體都等可能入樣，所以其可能性本容量與總體容量

比，故此題選C。

知識點2簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的比較

類別共同點各自特點聯(lián)系適用

范圍

簡單

隨機

抽樣

(1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等

(2)每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取總體個

數(shù)較少

將總體均分成幾部分，按預(yù)先制定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分

樣時采用簡

隨機抽樣總體個數(shù)較多

系統(tǒng)

抽樣

將總體分成幾層，

分層進行抽取分層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分

組成

分層

抽樣

【例選精析】

例1、某高中共有900人，其中高一年級300人，高二年級200人，高三年級400人，現(xiàn)

采用分層抽樣抽取容量為45的樣本，那么高?、高二、高三各年級抽取的人數(shù)分別為

A.15,5,25B.15,15,15

C.10,5,30D15,10,20

［分析］因為300：200：400=3：2：4,于是將45分成3：2：4的三部分。設(shè)三部分各抽取的

個體數(shù)分別為3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45,得x=5,故高一，、高二、高三各年級抽取的人數(shù)分

別為15,10,20,故選D。

例2：一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其中人口比例為3：2：5：2：3,從3萬人中

抽取一個300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有

關(guān)，問應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過程。

［分析］采用分層抽樣的方法。

解：因為疾病與地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分

層抽樣的方法，具體過程如下：

（1）將3萬人分為5層，其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層。

（2）按照樣本容量的比例隨機抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本。

300X3/15=60（人），300X2/15=100（人），300X2/15=40（人），300X2/15=60（人），因止匕

各鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取人數(shù)分別為60人、40人、100人、40人、60人。

（3）將300人組到一起,即得到一個樣本。

【課堂練習】P52練習1.2.3

【課堂小結(jié)】

1、分層抽樣是當總體由差異明顯的幾部分組成時采用的抽樣方法，進行分層抽樣時應(yīng)注意

以下幾點：

（1）、分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要

小，面層之間的樣本差異要大，且互不重疊。

（2）為了保證每個個體等可能入樣，所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽樣。

（3）在每層抽樣時，應(yīng)采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣。

2、分層抽樣的優(yōu)點是：使樣本具有較強的代表性，并且抽樣過程中可綜合選用各種抽樣方

法，因此分層抽樣是一種實用、操作性強、應(yīng)用比較廣泛的抽樣方法。

【評論設(shè)計】

1、某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體情況，需從他

們中抽取一個容量為36的樣本，則適合的抽取方法是（）

A.簡單隨機抽樣

B.系統(tǒng)抽樣

C.分層抽樣

D.先從老人中剔除1人，然后再分層抽樣

2、某校有500名學生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人,

AB型血的有50人，為了研究血型與色弱的關(guān)系，要從中抽取一個20人的樣本，按分層抽

樣，O型血應(yīng)抽取的人數(shù)為人，A型血應(yīng)抽取的人數(shù)為人，B型血應(yīng)抽取

的人數(shù)為人，AB型血應(yīng)抽取的人數(shù)為人。

3、某中學高一年級有學生600人，高二年級有學生450人，高三年級有學生750人，每個

學生被抽到的可能性均為0.2,若該校取一個容量為n的樣本，則2。

4、對某單位1000名職工進行某項專門調(diào)查，調(diào)查的項目與職工任職年限有關(guān)，人事部門提

供了如下資料：

任職年限5年以下5年至10年10年以上

人數(shù)300500200

試利用上述資料設(shè)計一個抽樣比為1/10的抽樣方法。

2.2.1用樣本的頻率分布估計總體分布(2課時)

一、三維目標：

1、知識與技能

(1)通過實例體會分布的意義和作用。

(2)在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖

葉圖。

(3)通過實例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當?shù)剡x擇上

述方法分析樣本的分布，準確地做出總體估計。

2、過程與方法

通過對現(xiàn)實生活的探究，感知應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的方法，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和邏

輯推理的數(shù)學方法。

3、情感態(tài)度與價值觀

通過對樣本分析和總體估計的過程，感受數(shù)學對實際生活的需要，認識到數(shù)學知識源于生活

并指導(dǎo)生活的事實，體會數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。

二、重點與難點

重點：會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖。

難點：能通過樣本的頻率分布估計總體的分布。

三、教學設(shè)想

【創(chuàng)設(shè)情境】

在NBA的2004賽季中，甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的原始記錄如下：

甲運動員得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50

乙運動員得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33

清問從上面的數(shù)據(jù)中你能否看出甲，乙兩名運動員哪一位發(fā)揮比較穩(wěn)定？

如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出正確的判斷呢？這就是我們這堂課要研究、學習的主要內(nèi)容——用樣

本的頻率分布估計總體分布（板出課題）。

【探究新知】

K探究為P55

我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，

計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標準a,用水量不超過a

的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費。如果希望大部分居民的日常生活不受影響，

那么標準a定為多少比較合理呢？你認為，為了了較為合理地確定出這個標準，需要做哪

些工作？（讓學生展開討論）

為了制定一個較為合理的標準a,必須先了解全市居民日常用水量的分布情況，比如月均用

水量在哪個范圍的居民最多，他們占全市居民的百分比情況等。因此采用抽樣調(diào)查的方式，

通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計全市居民用水量的分布情況。（如課本P56）

分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來，或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式，作

圖可以達到兩個目的，一是從數(shù)據(jù)中提取信息，二是利用圖形傳遞信息。表格則是通過改變

數(shù)據(jù)的構(gòu)成形式，為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式。

下面我們學習的頻率分布表和頻率分布圖，則是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小

的角度，來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律?？梢宰屛覀兏宄目吹秸麄€樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況。

〈一〉頻率分布的概念：

頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小。?般用頻率分布直方圖反映樣

本的頻率分布。其一般步驟為：

（1）計算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差

（2）決定組距與組數(shù)

（3）將數(shù)據(jù)分組

（4）列頻率分布表

（5）畫頻率分布直方圖

以課本P56制定居民用水標準問題為例，經(jīng)過以上幾個步驟畫出頻率分布直方圖。（讓學生

自己動手作圖）

頻率分布直方圖的特征：

（1）從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢。

（2）從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)

據(jù)信息就被抹掉了。

K探究同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、縱軸的單位不同，得到的圖和形狀也會不

同。不同的形狀給人以不同的印象，這種印象有時會影響我們對總體的判斷，分別以0」和

1為組距重新作圖，然后談?wù)勀銓D的印象？（把學生分成兩大組進行，分別作出兩種組距

的圖，然后組織同學們對所作圖不同的看法進行交流……）

接下來請同學們思考下面這個問題：

K思考為如果當?shù)卣Ｍ?5%以上的居民每月的用水量不超出標準，根據(jù)頻率分布表

2-2和頻率分布直方圖2.2-1,（見課本P57）你能對制定月用水量標準提出建議嗎？（讓學

生仔細觀察表和圖）

〈二〉頻率分布折線圖、總體密度曲線

1.頻率分布折線圖的定義：

連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖。

2.總體密度曲線的定義：

在樣本頻率分布直方圖中，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條

光滑曲線為總體密度曲線。它能夠精確地反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我

們提供更加精細的信息。(見課本P60)

R思考/

1?對于任何一個總體，它的密度曲線是不是一定存在？為什么？

2.對于任何?個總體，它的密度曲線是否可以被非常準確地畫出來？為什么？

實際上，盡管有些總體密度曲線是餓、客觀存在的，但一般很難想函數(shù)圖象那樣準確地畫出

來，我們只能用樣本的頻率分布對它進行估計，一般來說，樣本容量越大，這種估計就越精

確.

〈三〉莖葉圖

1.莖葉圖的概念：

當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示

個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，

因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖。(見課本P61例子)

2.莖葉圖的特征：

(1)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是從統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)

信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表

Zj\o

(2)莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個以

上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那么直觀，清晰。

【例題精析】

R例1兒下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機抽樣得出的120人的身高

(單位cm)

⑴列出樣本頻率分布表；

(2)一畫出頻率分布直方圖；

(3)估計身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比

分析：根據(jù)樣本頻率分布表、頻率分布直方圖的?般步驟解題。

解：(1)樣本頻率分布表如下：

(2)其頻率分布直方圖如下:

(3)由樣本頻率分布表可知身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+0.07+0.08=0.19,所

以我們估計身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%.

K例21：為了了解高一學生的體能情況,某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)次測試，將

所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2：4：

17：15：9：3,第二小組頻數(shù)為12.

(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？

(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達標，試估計該學校全體高-學生的達標率是多少？

(3)在這次測試中，學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)？請說明理由。

分析：在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)

成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。

解：(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，

因此第二小組的頻率為：

又因為頻率=

所以

(2)由圖可估計該學校高一學生的達標率約為

(3)由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6,12,51,45,27,9,所以前三組的頻數(shù)之和為69,

前四組的頻數(shù)之和為114,所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi)。

【課堂精練】

P61練習1.2.3

【課堂小結(jié)】

1.總體分布指的是總體取值的頻率分布規(guī)律，由于總體分布不易知道，因此我們往往用樣

本的頻率分布去估計總體的分布。

2.總體的分布分兩種情況：當總體中的個體取值很少時.，用莖葉圖估計總體的分布；當總

體中的個體取值較多時，將樣本數(shù)據(jù)恰當分組，用各組的頻率分布描述總體的分布，方法是

用頻率分布表或頻率分布直方圖。

【評價設(shè)計】

1.P72習題2.2A組1、2

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(2課時)

一、三維目標：

1、知識與技能

(1)正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差。

（2）能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均

數(shù)、標準差），并做出合理的解釋。

（3）會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征。

（4）形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。

2、過程與方法

在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和

邏輯推理的數(shù)學方法。

3、情感態(tài)度與價值觀

會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，認識統(tǒng)計的作用，能

夠辨證地理解數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。

二、重點與難點

重點：用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差。

難點：能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實際問題。

三、教學設(shè)想

【創(chuàng)設(shè)情境】

在一次射擊比賽中，甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：

甲運動員：7,8,6,8,6,5,8,10,7,4；

乙運動員：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.

觀察上述樣本數(shù)據(jù),你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體

的規(guī)律，我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進行研究?！脴颖镜臄?shù)字特征估計總

體的數(shù)字特征（板出課題）。

【探究新知】

＜一＞、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

K探究XP62

（1）怎樣將各個樣本數(shù)據(jù)匯總為一個數(shù)值，并使它成為樣本數(shù)據(jù)的“中心點”？

（2）能否用一個數(shù)值來描寫樣本數(shù)據(jù)的離散程度？（讓學生回憶初中所學的一些統(tǒng)計知識,

思考后展開討論）

初中我們曾經(jīng)學過眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)等各種數(shù)字特征，應(yīng)當說，這些數(shù)字都能夠為我們

提供關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息。例如前面一節(jié)在調(diào)查100位居民的月均用水量的問題中，從

這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.251（最高的矩形的中點）

（圖略見課本第62頁）它告訴我們，該市的月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為

其他值的居民數(shù)多，但它并沒有告訴我們到底多多少。

R提問請大家翻回到課本第56頁看看原來抽樣的數(shù)據(jù)，有沒有2.25這個數(shù)值呢？根據(jù)

眾數(shù)的定義，2.25怎么會是眾數(shù)呢？為什么？（請大家思考作答）

分析：這是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的?些數(shù)據(jù)給遺失的原因，而2.25是由

樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差。

K提問3：那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)呢？

分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位

數(shù)。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位數(shù)左邊和右

邊的直方圖的面積應(yīng)該相等。由此可以估計出中位數(shù)的值為2.02。（圖略見課本63頁圖2.2-6）

K思考》2.02這個中位數(shù)的估計值，與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中的原因

嗎？（原因同上：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了）

（課本63頁圖226）顯示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少數(shù)

居民的月均用水量特別高，顯然，對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的。

K思考》：中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優(yōu)點，但是它對極端

值的不敏感有時也會成為缺點，你能舉例說明嗎？（讓學生討論，并舉例）

＜二＞、標準差、方差

1.標準差

平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，可是，有時平均數(shù)也會使我們作出對總體的片面

判斷。某地區(qū)的統(tǒng)計顯示，該地區(qū)的中學生的平均身高為176cm,給我們的印象是該地區(qū)

的