上海市閘北第五中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+b與-b垂直，則的值為

A.

B.

C.

D.2參考答案：答案:A2.甲、乙兩位同學在5次考試中的數(shù)學成績用莖葉圖表示如圖，中間一列的數(shù)字表示數(shù)學成績的十位數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示數(shù)學成績的個位數(shù)字．若甲、乙兩人的平均成績分別是、，則下列說法正確的是（）A．＜，甲比乙成績穩(wěn)定 B．＜，乙比甲成績穩(wěn)定C．＞，甲比乙成績穩(wěn)定 D．＞，乙比甲成績穩(wěn)定參考答案：B考點：莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．專題：概率與統(tǒng)計．分析：由莖葉圖可得原式數(shù)據(jù)，可得各自的平均值和方差，比較可得結(jié)論．解答：解：由題意可知甲的成績?yōu)椋?2，77，78，86，92，乙的成績?yōu)椋?8，88，88，90，91，∴=（72+77+78+86+92）=81，=（78+88+88+90+91）=87，=[（72﹣81）2+（77﹣81）2+（78﹣81）2+（86﹣81）2+（92﹣81）2]≈7.94，=[（78﹣87）2+（88﹣87）2+（88﹣87）2+（90﹣87）2+（91﹣87）2]≈5.20，∴＜，且＜，乙比甲成績穩(wěn)定．故選：B點評：本題考查莖葉圖，考查平均值和方差，屬基礎(chǔ)題3.已知x，y滿足約束條件則z＝的最小值為（

）A.

B.

C.

4

D.

－參考答案：A4.函數(shù)在上的圖象大致為參考答案：C略5.設(shè){an}是等比數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（） A．若a1+a2＞0，則a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，則a1+a2＜0 C．若0＜a1＜a2，則2a2＜a1+a3 D．若a1＜0，則（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 參考答案：C【考點】等比數(shù)列的通項公式． 【專題】轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用． 【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q． A．由a1+a2＞0，可得a1（1+q）＞0，則當q＜﹣1時，a2+a3=a1q（1+q），即可判斷出正誤； B．由a1+a3＜0，可得a1（1+q2）＜0，由a1＜0．則a1+a2=a1（1+q），即可判斷出正誤； C．由0＜a1＜a2，可得0＜a1＜a1q，因此a1＞0，q＞1．作差2a2﹣（a1+a3）=﹣a1（1﹣q）2，即可判斷出正誤； D．由a1＜0，則（a2﹣a1）（a2﹣a3）=q（1﹣q）2，即可判斷出正誤． 【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q． A．∵a1+a2＞0，∴a1（1+q）＞0，則當q＜﹣1時，a2+a3=a1q（1+q）＜0，因此不正確； B．∵a1+a3＜0，∴a1（1+q2）＜0，∴a1＜0．則a1+a2=a1（1+q）可能大于等于0或小于0，因此不正確； C．∵0＜a1＜a2，∴0＜a1＜a1q，∴a1＞0，q＞1．則2a2﹣（a1+a3）=﹣a1（1﹣q）2＜0，因此正確； D．∵a1＜0，則（a2﹣a1）（a2﹣a3）=q（1﹣q）2可能相應(yīng)等于0或大于0，因此不正確． 故選：C． 【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 6.計算得

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D7.已知某幾何體的三視圖如圖（正視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標出數(shù)據(jù)，這個幾何體的體積是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A

8.已知i是虛數(shù)單位，是全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，若映射R滿足:對任意，以及任意R,都有,則稱映射具有性質(zhì).給出如下映射:①R,,iR;②R,,iR;③R,,iR;其中,具有性質(zhì)的映射的序號為A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③參考答案：B9.若實數(shù)x、y滿足，則的取值范圍是

A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.在邊長為的等邊中，為邊上一動點，則的取值范圍是．參考答案：略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則

．參考答案：4略12.設(shè)命題:實數(shù)滿足,其中;命題:實數(shù)滿足且的必要不充分條件,則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：（-∞，-4】略13.若實數(shù)x，y滿足，如果目標函數(shù)的最小值為，則實數(shù)m=______.參考答案：8略14.已知數(shù)列{an}滿足，，則

．參考答案：由，同時除以可得.即是以為首項，為公差的等差數(shù)列.所以，即.故答案為：.

15.已知2a＝5b＝，則＝＿＿＿參考答案：216.如圖，△AOB為等腰直角三角形，OA=1，OC為斜邊AB的高，點P在射線OC上，則?的最小值為．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】如圖所示，，設(shè)=t≥0．可得?=?=t2﹣t=﹣，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：如圖所示，，設(shè)=t≥0．∴?=?=﹣=t2﹣t=﹣．當t=時取等號，∴?的最小值為﹣．故答案為：．17.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“垂直對點集”．給出下列四個集合：①M={（x，y）|y=}；

②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；

④M={（x，y）|y=ex﹣2}．其中是“垂直對點集”的序號是．參考答案：②④考點： 函數(shù)的圖象．

專題： 新定義；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 利用數(shù)形結(jié)合的方法解決，根據(jù)題意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直對點集”，就是在函數(shù)圖象上任取一點A，得直線OA，過原點與OA垂直的直線OB，若OB總與函數(shù)圖象相交即可．解答： 解：由題意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}滿足，對于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直對點集”，那么在M圖象上任取一點A，過原點與直線OA垂直的直線OB總與函數(shù)圖象相交于點B．對于①M={（x，y）|y=}，其圖象是過一、三象限的雙曲線，做第一象限的角平分線與雙曲線交于點A，與OA垂直的直線是二、四象限的角平分線，顯然與雙曲線沒有公共點．所以對于點A，在圖象上不存在點B，使得OB⊥OA，所以①不符合題意；對于②M={（x，y）|y=sinx+1}，畫出函數(shù)圖象，在圖象上任取一點A，連OA，過原點作直線OA的垂線OB，因為y=sinx+1的圖象沿x軸向左向右無限延展，且與x軸相切，因此直線OB總會與y=sinx+1的圖象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直對點集”，故②符合；對于③M={（x，y）|y=log2x}，對于函數(shù)y=log2x，過原點做出其圖象的切線OT（切點T在第一象限），則過切點T做OT的垂線，則垂線必不過原點，所以對切點T，不存在點M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直對點集”；故③不符合題意；對于④M={（x，y）|y=ex﹣2}，其圖象過點（0，﹣1），且向右向上無限延展，向左向下無限延展，所以，據(jù)圖可知，在圖象上任取一點A，連OA，過原點作OA的垂線OB必與y=ex﹣2的圖象相交，即一定存在點B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=ex﹣2}是“垂直對點集”．故答案為：②④點評： 這種類型的題目應(yīng)先弄清所給信息要表達的幾何意義，將其轉(zhuǎn)化為一個幾何問題，然后借助于函數(shù)的圖象解決．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)，其中．記，，作函數(shù)，使其圖象為逐點依次連接點的折線．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，判斷的大小關(guān)系；（Ⅲ）證明：當時，．參考答案：（Ⅰ）解：，

………………2分；

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分因為，所以．

………………8分（Ⅲ）證：由于的圖象是連接各點的折線，要證明，只需證明．…………9分事實上，當時，．下面證明．法一：對任何，………………10分……11分…………12分所以．…………13分法二：對任何，當時，；………10分當時，綜上，．

………13分略19.(12分)曲線C是中心在原點，焦點為的雙曲線的右支，已知它的一條漸近線方程是．（１）求曲線C的方程；（２）已知點，若直線與曲線C交于不同于點E的P、R兩點，且，求證：直線過一個定點，并求出定點的坐標．

參考答案：解析：（1）設(shè)C：

（≥，＞0，＞0）

則

∴

--------------4分（2）①當不垂直x軸時，設(shè)：，，

由∵

-------------------6分由＝化簡得：

-------------------9分（此時過點E，不合題意，舍去）--------------10分．-------------------11分②當垂直x軸時，∵又．----------------------12分20.已知函數(shù)，.（1）當時，若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍；（2）當時，證明：.參考答案：（1）由，得.整理，得恒成立，即.令.則.∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴函數(shù)的最小值為.∴，即.∴a的取值范圍是.（2）∵為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項和.∴只需證明即可.由（1），當時，有，即.令，即得.∴.現(xiàn)證明，即.現(xiàn)證明.構(gòu)造函數(shù)，則.∴函數(shù)在[1,+∞)上是增函數(shù)，即.∴當時，有，即成立.令，則式成立.綜上，得.對數(shù)列，，分別求前n項和，得.21.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，為圓的直徑，為圓的切線，點為圓上不同于的一點，為的平分線，且分別與交于，與圓交于，與交于，連接．（1）求證：平分；（2）求證：．參考答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析.考點：1