1/152022版新高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)--第十一章計數(shù)原理§11.1排列、組合—五年高考—考點排列、組合1.(2021全國乙理,6,5分)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有 ()A.60種B.120種C.240種D.480種答案C2.(2020新高考Ⅱ,6,5分)3名大學(xué)生利用假期到2個山村參加扶貧工作,每名大學(xué)生只去1個村,每個村至少去1人,則不同的分配方案共有 ()A.4種B.5種C.6種D.8種答案C3.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學(xué)只去1個場館,甲場館安排1名,乙場館安排2名,丙場館安排3名,則不同的安排方法共有 ()A.120種B.90種C.60種D.30種答案C4.(2020課標(biāo)Ⅱ理,14,5分)4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動,每名同學(xué)只去1個小區(qū),每個小區(qū)至少安排1名同學(xué),則不同的安排方法共有種.

答案365.(2018課標(biāo)Ⅰ理,15,5分)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)

答案166.(2018浙江,16,4分)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)

答案12607.(2017天津理,14,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有個.(用數(shù)字作答)

答案10808.(2017浙江,16,4分)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務(wù)隊,要求服務(wù)隊中至少有1名女生,共有種不同的選法.(用數(shù)字作答)

答案6609.(2018江蘇,23,10分)設(shè)n∈N*,對1,2,…,n的一個排列i1i2…in,如果當(dāng)s<t時,有is>it,則稱(is,it)是排列i1i2…in的一個逆序,排列i1i2…in的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序數(shù),例如:對1,2,3的一個排列231,只有兩個逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數(shù)為2.記fn(k)為1,2,…,n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個數(shù).(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求fn(2)(n≥5)的表達式(用n表示).解析(1)記τ(abc)為排列abc的逆序數(shù),對1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.對1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,將數(shù)字4添加進去,4在新排列中的位置只能是最后三個位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)對一般的n(n≥4)的情形,逆序數(shù)為0的排列只有一個:12…n,所以fn(0)=1.逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數(shù)字調(diào)換位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.為計算fn+1(2),當(dāng)1,2,…,n的排列及其逆序數(shù)確定后,將n+1添加進原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三個位置.因此,fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.當(dāng)n≥5時,fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2因此,當(dāng)n≥5時,fn(2)=n2疑難突破要做好本題,關(guān)鍵是理解“逆序”“逆序數(shù)”“fn(k)”的含義,不妨從比較小的1,2,3入手去理解這幾個概念,這樣就能得到f3(2).f4(2)是指1,2,3,4這4個數(shù)中逆序數(shù)為2的全部排列的個數(shù),可以通過與f3(2),f3(1),f3(0)聯(lián)系得到,4分別添加在f3(2)的排列中最后一個位置、f3(1)的排列中的倒數(shù)第2個位置、f3(0)的排列中的倒數(shù)第3個位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)與fn(2)、fn(1)、fn(0)的關(guān)系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,從而得到fn(2)(n≥5)的表達式.以下為教師用書專用(1—18)1.(2016四川理,4,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為 ()A.24B.48C.60D.72答案D奇數(shù)的個數(shù)為C312.(2015四川理,6,5分)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有 ()A.144個B.120個C.96個D.72個答案B數(shù)字0,1,2,3,4,5中僅有0,2,4三個偶數(shù),比40000大的偶數(shù)為以4開頭與以5開頭的數(shù).其中以4開頭的偶數(shù)又分以0結(jié)尾與以2結(jié)尾,有2A43=48個;同理,以5開頭的有3A43=72個.于是共有48+72=120個評析本題考查了分類與分步計數(shù)原理、排列數(shù)的知識.考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3.(2014大綱全國理,5,5分)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組.則不同的選法共有 ()A.60種B.70種C.75種D.150種答案C從6名男醫(yī)生中選出2名有C62種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有C51種選法,由分步乘法計數(shù)原理得不同的選法共有C62·C4.(2014遼寧理,6,5分)6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為 ()A.144B.120C.72D.24答案D先把三把椅子隔開擺好,它們之間和兩端有4個位置,再把三人帶椅子插放在四個位置,共有A43=24種放法,故選評析本小題主要考查排列組合的應(yīng)用及邏輯思維能力,解決不相鄰問題常采用插空法.5.(2014四川理,6,5分)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有 ()A.192種B.216種C.240種D.288種答案B若最左端排甲,其他位置共有A55=120種排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4個位置有A44=24種排法,6.(2014重慶理,9,5分)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 ()A.72B.120C.144D.168答案B先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰,保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有A33·A43=144種,再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況,共有A33·A22·7.(2013山東理,10,5分)用0,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 ()A.243B.252C.261D.279答案B由分步乘法計數(shù)原理知:用0,1,…,9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個數(shù)為9×10×10=900,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9×9×8=648,則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900-648=252,故選B.評析本題考查分步乘法計數(shù)原理,考查學(xué)生的推理運算能力.8.(2012課標(biāo)理,2,5分)將2名教師,4名學(xué)生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有 ()A.12種B.10種C.9種D.8種答案A2名教師各在1個小組,給其中1名教師選2名學(xué)生,有C42種選法,另2名學(xué)生分配給另1名教師,然后將2個小組安排到甲、乙兩地,有A22種方案,故不同的安排方案共有C42評析本題考查了排列組合的實際應(yīng)用,考查了先分組再分配的方法.9.(2012遼寧理,5,5分)一排9個座位坐了3個三口之家.若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為 ()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!答案C第1步:3個家庭的全排列,方法數(shù)為3!;第2步:家庭內(nèi)部3個人全排列,方法數(shù)為3!,共3個家庭,方法數(shù)為(3!)3,∴總數(shù)為(3!)×(3!)3=(3!)4,故選C.評析本題主要考查計數(shù)原理的基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生分析、解決問題的能力.10.(2012安徽理,10,5分)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進行紀(jì)念品的交換,任意兩位同學(xué)之間最多交換一次,進行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀(jì)念品.已知6位同學(xué)之間共進行了13次交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為 ()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4答案D由題意及C62=15知只需少交換2次.記6位同學(xué)為A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨討論①A1少交換2次,如A1未與A2、A3交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)僅為A2、A32人;②A1、A2各少交換1次,如A1與A3未交換,A2與A4未交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)有4人,為A1、A2、A3、A4.故選評析本題考查了計數(shù)原理等知識,考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識,分類討論思想,利用符號標(biāo)記具體分析是順利解題的關(guān)鍵.11.(2016課標(biāo)Ⅱ,5,5分)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 ()A.24B.18C.12D.9答案B分兩步,第一步,從E→F,有6條可以選擇的最短路徑;第二步,從F→G,有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3=18條可以選擇的最短路徑.故選B.思路分析小明到老年公寓,需分兩步進行,先從E到F,再從F到G,分別求各步的最短路徑條數(shù),再利用分步乘法計數(shù)原理即可得結(jié)果.12.(2016課標(biāo)Ⅲ,12,5分)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù),若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有 ()A.18個B.16個C.14個D.12個答案C當(dāng)m=4時,數(shù)列{an}共有8項,其中4項為0,4項為1,要滿足對任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù),則必有a1=0,a8=1,a2可為0,也可為1.(1)當(dāng)a2=0時,分以下3種情況:①若a3=0,則a4,a5,a6,a7中任意一個為0均可,則有C41=4種情況;②若a3=1,a4=0,則a5,a6,a7中任意一個為0均可,有C31=3種情況;③若a3=1,a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個為0均可,有C21=2種情況;(2)當(dāng)a2=1時,必有a3=0,分以下2種情況:①若a4=0,則a5,a6,a7中任一個為0均可,有C31=3種情況;②若a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個為0均可,有C21=2種情況.綜上所述思路分析根據(jù)題意可知a1=0,a8=1,進而對a2,a3,a4取不同值進行分類討論(分類要做到不重不漏),從而利用分類加法計數(shù)原理求出不同的“規(guī)范01數(shù)列”的個數(shù).13.(2018浙江,16,4分)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)

答案1260解析本小題考查排列、組合及其運用,考查分類討論思想.含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有C52C31A31A33=540個,不含有數(shù)字0易錯警示數(shù)字排成數(shù)時,容易出錯的地方:(1)數(shù)字是否可以重復(fù);(2)數(shù)字0不能排首位.14.(2015廣東理,12,5分)某高三畢業(yè)班有40人,同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)

答案1560解析∵同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,且全班共有40人,∴全班共寫了40×39=1560條畢業(yè)留言.15.(2013北京理,12,5分)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張.如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是.

答案96解析5張參觀券分成4份,1份2張,另外3份各1張,且2張參觀券連號,則有4種分法,把這4份參觀券分給4人,則不同的分法種數(shù)是4A4416.(2013大綱全國理,14,5分)6個人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種.(用數(shù)字作答)

答案480解析先將除甲、乙兩人以外的4人排成一行,有A44=24種排法,再將甲、乙插入有A52=20種,所以6人排成一行,17.(2013浙江理,14,4分)將A,B,C,D,E,F六個字母排成一排,且A,B均在C的同側(cè),則不同的排法共有種(用數(shù)字作答).

答案480解析從左往右看,若C排在第1位,共有排法A55=120種;若C排在第2位,共有排法A42·A33=72種;若C排在第3位,則A、B可排C的左側(cè)或右側(cè),共有排法A22·A33+A32·A33=48種;若C排在第4,5,6位時,其排法數(shù)與排在第318.(2011北京理,12,5分)用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有個.(用數(shù)字作答)

答案14解析解法一:數(shù)字2只出現(xiàn)一次的四位數(shù)有C41=4個;數(shù)字2出現(xiàn)兩次的四位數(shù)有C42C22=6個;數(shù)字2出現(xiàn)三次的四位數(shù)有C解法二:由數(shù)字2,3組成的四位數(shù)共有24=16個,其中沒有數(shù)字2的四位數(shù)只有1個,沒有數(shù)字3的四位數(shù)也只有1個,故符合條件的四位數(shù)共有16-2=14個.評析本題考查排列組合的基礎(chǔ)知識,考查分類討論思想,解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確分類,并注意相同元素的排列數(shù)等于不同元素的組合數(shù).屬于中等難度題.—三年模擬—A組考點基礎(chǔ)題組考點排列、組合1.(2020湖南長沙明德中學(xué)3月月考,7)現(xiàn)有10名學(xué)生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相鄰排在一起,則不同的排法共有種. ()

A.A62A72B.A4答案D2.(2019河北武邑中學(xué)3月月考,7)在高三下學(xué)期初,某校開展教師對學(xué)生的家庭學(xué)習(xí)問卷調(diào)查活動,已知現(xiàn)有3名教師對4名學(xué)生進行家庭問卷調(diào)查,若這3名教師每名至少到一名學(xué)生家中進行問卷調(diào)查,這4名學(xué)生的家庭都能且只能得到一名教師的問卷調(diào)查,那么不同的問卷調(diào)查方案的種數(shù)為 ()A.36B.72C.24D.48答案A3.(2021湖南永州二模,5)2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案,將采取“3+1+2”模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語必考,考生首先在物理、歷史中選擇1門,然后在政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門,則某同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為 ()A.18B.15C.14答案C4.(2021上海楊浦一模,15)從正方體的8個頂點中選取4個作為頂點,可得到四面體的個數(shù)為 ()A.C84-12B.C84-8C.C8答案A5.(2021湖南衡陽聯(lián)考,3)衡陽市在創(chuàng)建“全國衛(wèi)生文明城市”活動中,大力加強垃圾分類投放宣傳.某居民小區(qū)設(shè)有“廚余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”三種不同的垃圾桶,一天,居民小賢提著上述分好類的垃圾各一袋,隨機每桶投一袋,則恰好有一袋垃圾投對的概率為 ()A.19B.16C.13答案D6.(2021湖北九師聯(lián)盟2月質(zhì)量檢測,3)若5個人排成一列縱隊,則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有 ()A.4種B.14種C.5種D.12種答案D7.(2021上海崇明二模,10)某學(xué)校組織學(xué)生參加勞動實踐活動,其中4名男生和2名女生參加農(nóng)場體驗活動,體驗活動結(jié)束后,農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排合影留念,則2名女生互不相鄰,且農(nóng)場主站在中間的概率等于.(用數(shù)字作答)

答案11B組綜合應(yīng)用題組時間:40分鐘分值:70分

一、單項選擇題(每小題5分,共30分)1.(2020廣東廣州番禺線上3月檢測,10)中國古代“五行”學(xué)說認(rèn)為:物質(zhì)分“金、木、水、火、土”五種屬性,并認(rèn)為:“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取2種,則抽到的兩種物質(zhì)不相生的概率為 ()A.15B.14C.13答案D2.(2021廣東揭陽4月聯(lián)考,3)某學(xué)校有東、南、西、北四個校門,受新型冠狀病毒肺炎疫情的影響,學(xué)校對進入四個校門的人員做出如下規(guī)定:學(xué)生只能從東門或西門進入校園,教師只能從南門或北門進入校園,現(xiàn)有2名教師和3名學(xué)生要進入校園(不分先后順序),則進入校園的方式共有 ()A.6種B.12種C.24種D.32種答案D3.(2020山東濰坊臨朐模擬,8)現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色,要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色,則不同的著色方法共有 ()A.24種B.30種C.36種D.48種答案D4.(2021遼寧沈陽市郊聯(lián)體一模,8)中國古典樂器一般按“八音”分類,這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法,最早見于《周禮·春官·大師》.八音分為“金、石、土、革、絲、木、匏、竹”,其中“金、石、木、革”為打擊樂器,“土、匏、竹”為吹奏樂器,“絲”為彈撥樂器.某同學(xué)安排了包括“土、匏、竹”在內(nèi)的六種樂器的學(xué)習(xí),每種樂器安排一節(jié),連排六節(jié),并要求“土”與“匏”相鄰排課,但均不與“竹”相鄰排課,且“絲”不能排在第一節(jié),則不同的排課方式的種數(shù)為 ()A.960B.1024C.1296D.2021答案C5.(2021廣東揭陽4月聯(lián)考,5)中醫(yī)是中國傳統(tǒng)文化的瑰寶,中醫(yī)方劑不是藥物的任意組合,而是根據(jù)中藥配伍原則,總結(jié)臨床經(jīng)驗,用若干藥物配制組成的藥方,以達到取長補短,辨證論治的目的,中醫(yī)傳統(tǒng)名方“八珍湯”是由補氣名方“四君子湯”(由人參、白術(shù)、茯苓、炙甘草四味藥組成)和補血名方“四物湯”(由熟地黃、白芍、當(dāng)歸、川芎四味藥組成)兩個方共八味藥組合而成的主治氣血兩虛證方劑.現(xiàn)從“八珍湯”的八味藥中任取四味,取到的四味藥剛好組成“四君子湯”或“四物湯”的概率是 ()A.135B.170C.1840答案A6.(2021廣東廣州一模,6)如圖,洛書(古稱龜書)是陰陽五行術(shù)數(shù)之源.在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四角黑點為陰數(shù).若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中隨機選取3個數(shù),則選取的3個數(shù)之和為奇數(shù)的方法數(shù)為 ()A.30B.40C.44D.70答案B二、多項選擇題(共5分)7.(2021江蘇七市第二次調(diào)研,11)“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示,由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā),引一組平行線,從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1,1,2,3,5,8,13,…,則 ()A.在第9條斜線上,各數(shù)之和為55B.在第n(n≥5)條斜線上,各數(shù)自左往右先增大后減小C.在第n條斜線上,共有2nD.在第11條斜線上,最大的數(shù)是C答案BCD三、填空題(每小題5分,共35分)8.(2020山東濟寧一中質(zhì)量檢測,15)“中國夢”的英文翻譯為“ChinaDream”,其中China又可以簡寫為CN,從“CNDream”中取6個不同的字母排成一排,含有“ea”字母組合(順序不變)的不同排列共有種.

答案6009.(2020普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一模擬考試)五聲音階是中國古樂基本音階,故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為宮、商、角、徴、羽,如果把這五個音階全用上,排成一個五個音階的音序,并要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè),可排成種不同的音序.

答案3210.(2019河北衡水中學(xué)第一次摸底,15)由數(shù)字0,1組成的一串?dāng)?shù)字代碼,其中恰好有7個1,3個0,則這樣的不同數(shù)字代碼共有個.

答案12011.(2020南師附中期初檢測,13)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從1,2兩個數(shù)中任取的一個數(shù),則關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有實根的概率是.

答案512.(2021江蘇鹽城二模,13)某班4名同學(xué)