二次函數(shù)-二

⑨知識(shí)圖譜

1、y=ax-2+bx+c的圖象變換

要知識(shí)精講

一.y=④？+法+0的平移變換

1.將二次函數(shù)丁=依2+bx+c,向上平移〃個(gè)單位，函數(shù)解析式變?yōu)閥=改2+6x+c+a；向下

平移〃個(gè)單位，函數(shù)解析式變?yōu)閥=o?+法+C—〃.（即：上加下減）

2.將二次函數(shù)丁=以2+法+°,向左平移加個(gè)單位，函數(shù)解析式變?yōu)?/p>

y=a^x-\-mf+Z?（x+m）+c；向右平移m個(gè)單位，函數(shù)解析式變y=。（尤—加了+/7（%_帆）+（:.（即:

左加右減）

注意：通常，將平移前的函數(shù)尸加+法+0利用配方法化成>=4無(wú)_m2+左的形式，在根據(jù)

頂點(diǎn)的平移情況確定函數(shù)的平移情況，再將頂點(diǎn)式整理成一般式.

二.y=62+版+。的對(duì)稱(chēng)變換

1.關(guān)于元軸對(duì)稱(chēng)

y=ax2+Zzx+c關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=-涼---。；

y=a（^x-hf+左關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得至!J的解析式是y=—〃（%—力）2—k.

2.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

y=ax2+Z?%+c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=改?一法+。；

y=a（^x-hf+左關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得至!）的解析式是y=a（x+/z）2+k.

3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

y=ax2+法+。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=-加+Z?%-c；

y=a（<x-hf+左關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y=-〃（％+4）2-左;

要三點(diǎn)剖析

一.考點(diǎn)：二次函數(shù)丫=62+法+。的平移變換和對(duì)稱(chēng)變換.

二.重難點(diǎn)：

1.無(wú)論平移或?qū)ΨQ(chēng)變換，時(shí)保持不變；

2.由點(diǎn)的平移或?qū)ΨQ(chēng)延伸到線(xiàn)、圖形的平移或?qū)ΨQ(chēng).

三.易錯(cuò)點(diǎn)：

1.平移變換遵循“上加下減，左加右減”的原則，注意平移單位的正負(fù)取值;

2.點(diǎn)的平移與圖像的平移的區(qū)別：點(diǎn)的平移左減右加，圖像的平移左加右減;

3.對(duì)稱(chēng)變換務(wù)必注意變換前后開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)坐標(biāo).

向。題模精講

題模一：平移變換

例1.1.1將拋物線(xiàn)y=x2-2x+3向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物

線(xiàn)的解析式為()

A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)~+4

C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+6

例1.1.2把拋物線(xiàn)y=x，bx+c的圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式

為y=x?-2x+3,則b的值為.

例1.1.3函數(shù)y=Y+l,把這條拋物線(xiàn)沿射線(xiàn)y=x(x40)的方向平移應(yīng)個(gè)單位，其函數(shù)解析式

變?yōu)?若把拋物線(xiàn)y=Y+l沿射線(xiàn)y=gx-l（xNO）方向平移番個(gè)單位，其函數(shù)解析式則

變?yōu)?

例1.1.4如圖，在10X10的網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)

稱(chēng)為格點(diǎn).如果拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)圖中的三個(gè)格點(diǎn)，那么以這三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱(chēng)為該拋物線(xiàn)的

“內(nèi)接格點(diǎn)三角形”.設(shè)對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸的拋物線(xiàn)與網(wǎng)格對(duì)角線(xiàn)翻的兩個(gè)交點(diǎn)為4B,其頂點(diǎn)

為C,如果△/8C是該拋物線(xiàn)的內(nèi)接格點(diǎn)三角形，AB=3叵,且點(diǎn)4B,。的橫坐標(biāo)龍入，xB,xc

滿(mǎn)足4<Z</，那么符合上述條件的拋物線(xiàn)條數(shù)是（）

A.7B.8C.14D.16

題模二：對(duì)稱(chēng)變換

例1.2.1拋物線(xiàn)G：y=x2+1與拋物線(xiàn)G關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則拋物線(xiàn)C2的解析式為（）

A.y=—x~B.y=—x?+1C.y=x?—1D.y———1

例1.2.2拋物線(xiàn)丫=5+2）2-3可以由拋物線(xiàn)丫=/平移得到，則下列平移過(guò)程正確的是（）

A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位

B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位

C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位

D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位

例1.2.3已知拋物線(xiàn)y=Y一6x+5,求:

（1）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)的表達(dá)式.

例1.2.4如圖，已知拋物線(xiàn)G：y=a(x+2)2-5的頂點(diǎn)為R與x軸相交于46兩點(diǎn)(點(diǎn)/在點(diǎn)

6的左側(cè))，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)是1.

(1)求a的值；

(2)如圖，拋物線(xiàn)G與拋物線(xiàn)G關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，將拋物線(xiàn)G向右平移，平移后的拋物線(xiàn)記為a,

拋物線(xiàn)G的頂點(diǎn)為M當(dāng)點(diǎn)只〃關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，求拋物線(xiàn)0的解析式.

例1.2.5在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為4(1,-4),且過(guò)點(diǎn)2(3,0).

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個(gè)單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？并直接寫(xiě)出平移

后所得圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).

要隨堂練習(xí)

隨練1.1將拋物線(xiàn)y=x2-2x+l向下平移2個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)的解析式是

（）

A.y=x2-2x-1B.y=x2+2x-1

C.y=x2-2D.y=x2+2

隨練L2把拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得的圖象的

解析式是y=x,-3x+5,則a+b+c=.

隨練1.3拋物線(xiàn)丁=;西+（m-3）龍-3（相＞0）與x軸交于46兩點(diǎn)，且點(diǎn)力在點(diǎn)8的左側(cè)，與y

軸交于點(diǎn)C,OB=OC.

（1）求這條拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若點(diǎn)尸（為,人）與點(diǎn)。（工2，匕）在（1）中的拋物線(xiàn)上，且占＜々，PQ=n.

①求4%12-+6〃+3的值；

②將拋物線(xiàn)在倒下方的部分沿國(guó)翻折，拋物線(xiàn)的其它部分保持不變，得到一個(gè)新圖象.當(dāng)這個(gè)

新圖象與x軸恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是.

隨練1.4在平面直角坐標(biāo)系中，先將拋物線(xiàn)y=f+x-2關(guān)于x軸作軸對(duì)稱(chēng)變換，再將所得的拋物

線(xiàn)關(guān)于y軸作軸對(duì)稱(chēng)變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線(xiàn)的解析式為（）

A.y=-—x+2B.y=一—+x—2

C.y=—X2+x+2D.y=x2+x+2

2、二次函數(shù)代數(shù)綜合

要知識(shí)精講

一.二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合

一次函數(shù)y=履+〃(左/0)的圖象/與二次函數(shù)y=㈤：2+6x+c(aw0)的圖象G的交點(diǎn)，由方程

y=kx+n

組的解的數(shù)目來(lái)確定:

y=ax2+bx+c

1.方程組有兩組不同的解時(shí)O/與G有兩個(gè)交點(diǎn);

2.方程組只有一組解時(shí)O/與G只有一個(gè)交點(diǎn)；

3.方程組無(wú)解時(shí)O/與G沒(méi)有交點(diǎn).

二.二次函數(shù)與不等式綜合

二次函數(shù)與不等式的聯(lián)系.如下表(以。>0為例)：

判別式:A="一4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)y=以2+法+。Ik

(〃>0)的圖象L

x=x

T。Il2x

ax2+bx+c>0

b

%或無(wú)>n2x豐------任意實(shí)數(shù)

(a>0)2a

不等式的解集

ax2+bx+c<0

玉<X<x2無(wú)解無(wú)解

(a>0)

三.二次函數(shù)與方程及代數(shù)式綜合

二次函數(shù)與方程及代數(shù)式綜合主要是二次函數(shù)與一元二次方程綜合及二次函數(shù)與代數(shù)式的化簡(jiǎn)

求值，與方程綜合注意分類(lèi)討論以及整數(shù)解問(wèn)題，與代數(shù)式綜合的解題思想是“消元降次，整體代

入”.

在三點(diǎn)剖析

一.考點(diǎn)：二次函數(shù)代數(shù)綜合.

二.重難點(diǎn)：二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與不等式綜合，二次函數(shù)與方程及代數(shù)式綜合.

三.易錯(cuò)點(diǎn)：

1.二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合中求解參數(shù)的取值范圍時(shí)容易漏解或者是分不清取值范圍的上限

或者下限；

2.二次函數(shù)與不等式綜合問(wèn)題解題時(shí)不要直接硬算，要結(jié)合函數(shù)圖像，利用函數(shù)的增減性來(lái)

求解參數(shù)的取值范圍；

3.二次函數(shù)與代數(shù)式綜合除了極少數(shù)情況下可以直接計(jì)算之外，一般情況下都是通過(guò)“消元降

次，整體代入”的方法來(lái)求解；

4.二次函數(shù)與方程綜合注意二次項(xiàng)系數(shù)的分類(lèi)討論.

句。題模精講

題模一：與不等式綜合

例2.1.1如圖，己知二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象過(guò)A(2,0)，B(0,-1)和C(4,5)三點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D,求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出直線(xiàn)y=x+l,并寫(xiě)出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)

的值.

例2.1.2已知一次函數(shù)+b(4W0)的圖象經(jīng)過(guò)(2,0),(4,1)兩點(diǎn)，二次函數(shù)

%=丁-2磁+4(其中a>2).

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式及二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)利用函數(shù)圖象解決下列問(wèn)題：

①若a=g,求當(dāng)％>0且為W0時(shí)，自變量x的取值范圍；

②如果滿(mǎn)足%>0且%W0時(shí)的自變量x的取值范圍內(nèi)恰有一個(gè)整數(shù)，直接寫(xiě)出a的取值范圍.

5

4-

3-

2-

1

-5-4-3-2-1012345x

-1

例2.1.3某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件.試營(yíng)銷(xiāo)階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是25

元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為250件；銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天的銷(xiāo)售量就減少10件.

（1）寫(xiě)出商場(chǎng)銷(xiāo)售這種文具，每天所得的銷(xiāo)售利潤(rùn)w（元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大；

（3）商場(chǎng)的營(yíng)銷(xiāo)部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營(yíng)銷(xiāo)方案：

方案A：該文具的銷(xiāo)售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)30元；

方案B：每天銷(xiāo)售量不少于10件，且每件文具的利潤(rùn)至少為25元

請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高，并說(shuō)明理由.

題模二：與一次函數(shù)綜合

例2.2.1在平面直角坐標(biāo)系為夕中，拋物線(xiàn)y=加犬-2?zx+〃與x軸交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)

為（-2,0）.

（1）求8點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)直線(xiàn)y=L+4機(jī)+”經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.

2

①求直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式；

②點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的垂線(xiàn)/,垂足為。(。,4).將拋物線(xiàn)在直線(xiàn)/上方的部分沿直線(xiàn)/

翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象G.請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)圖象G與直線(xiàn)

y=只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，d的取值范圍是

-2--------

例2.2.2如圖，二次函數(shù)y=x?+bx+c圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)A(2,0),直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)B,且

ZBAO=45°.

(1)求二次函數(shù)解析式及其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)在直線(xiàn)AB上是否存在點(diǎn)D,使得4BCD為直角三角形.若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)

明理由.

例2.2.3在平面直角坐標(biāo)系x在中，拋物線(xiàn)'=7收-23-2(%#0)與丫軸交于點(diǎn)4其對(duì)稱(chēng)軸與

x軸交于點(diǎn)B.

(1)求點(diǎn)A,8的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線(xiàn)1與直線(xiàn)Z6關(guān)于該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)1的解析式；

(3)若該拋物線(xiàn)在-2<x<-1這一段位于直線(xiàn)1的上方，并且在2v%<3這一段位于直線(xiàn)Z8的下

方，求該拋物線(xiàn)的解析式.

1-

--------1—?----1—?__

O1-------------左

例2.2.4A廠(chǎng)一月份產(chǎn)值為16萬(wàn)元，因管理不善，二、三月份產(chǎn)值的月平均下降率為X(0<x<

1),B廠(chǎng)一月份產(chǎn)值為12萬(wàn)元，二月份產(chǎn)值下降率為X,經(jīng)過(guò)技術(shù)革新，三月份產(chǎn)值增長(zhǎng)，增長(zhǎng)

率為2x.三月份A、B兩廠(chǎng)產(chǎn)值分別為％、yB(單位：萬(wàn)元).

(1)分別寫(xiě)出yA、yB與x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)yA=yB時(shí)，求x的值；

(3)當(dāng)x為何值時(shí)，三月份A、B兩廠(chǎng)產(chǎn)值的差距最大？最大值是多少萬(wàn)元？

例2.2.5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)(0,2)且平行于x軸的直線(xiàn)，與直線(xiàn)y=x-1交于點(diǎn)A,

點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)x=l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B,拋物線(xiàn)Q：y=x?+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B.

(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；

(2)求拋物線(xiàn)G的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

2

(3)若拋物線(xiàn)C2：y=ax(a^O)與線(xiàn)段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍.

yx

1-

o1X

例2.2.6已知拋物線(xiàn)y=ax?+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2)三點(diǎn).

(1)求這條拋物線(xiàn)的解析式；

(2)如圖一，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC

的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖二，設(shè)線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)E,垂足為D,M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，那么在直線(xiàn)

DE上是否存在一點(diǎn)G,使ACMG的周長(zhǎng)最??？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題模三：與代數(shù)式綜合

例2.3.1已知關(guān)于x的方程mx2+(3根+l)x+3=0.

(1)求證：不論為7〃任意實(shí)數(shù)，此方程總.有實(shí)數(shù)根；

(2)若拋物線(xiàn)〉=〃仃2+(3根+1卜+3與無(wú)軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且根為正整數(shù)，試確定此拋物

線(xiàn)的解析式；

(3)若點(diǎn)P(修，力)與點(diǎn)Q(x1+n,y2)在(2)中拋物線(xiàn)上，(點(diǎn)P、Q不重合)，且

力=為，求代數(shù)式+12%1〃+5力2+16〃+8的值.

例2.3.2已知二次函數(shù)y=a(x-m)2-a(x-m)(a,m為常數(shù)，且aWO).

(1)求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C,與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D.

①當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值；

②當(dāng)4ABC的面積與4ABD的面積相等時(shí)，求m的值.

2

例2.3.3已知拋物線(xiàn)y=ax+bx+c(0<2a<b)的頂點(diǎn)為P(x0,y?),點(diǎn)A(1,yA)>B(0,yu)、

C(-1,yc)在該拋物線(xiàn)上.

(I)當(dāng)a=l,b=4,c=10時(shí)，

①求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②求九的值;

yB-yc

(II)當(dāng)y°NO恒成立時(shí)，求一^—的最小值.

yB-yc

例2.3.4己知：關(guān)于x的一元二次方程mx2-(3m+2)x+2m+2=0(m>0).

(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為Xrxz(其中X1<x2).若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x2-2x1,求

這個(gè)函數(shù)的解析式；

(3)在(2)的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量m的取值范圍滿(mǎn)足什么條件時(shí)，yW2m.

安隨堂練習(xí)

隨練2.1如圖，二次函數(shù)%=加+法+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)人(_3,0)、8(1,0),交y軸點(diǎn)G

C、2是二次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，一次函數(shù)為=7HX+”的圖象經(jīng)過(guò)8、〃兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)，的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出力>以時(shí)，x的取值范圍.

隨練2.2已知：拋物線(xiàn)丁=加+（。-2）%—2=0過(guò)點(diǎn)A（3,4）.

（1）求拋物線(xiàn).的解析式；

（2）將拋物線(xiàn),=改2+5一2江-2=0在直線(xiàn)、=-1下方的部分沿直線(xiàn)）；=-1翻折，圖象其余

的部分保持不變，得到的新函數(shù)圖象記為G.點(diǎn)M（機(jī),乂）在圖象G上，且

①求利的取值范圍；

②若點(diǎn)N（〃z+k%）也在圖象G上，且滿(mǎn)足%24恒成立，則發(fā)的取值范圍為.

隨練2.3已知拋物線(xiàn)y=-d+2皿-蘇+1與x軸交點(diǎn)為A、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交

于點(diǎn)C.

（1）試用含m的代數(shù)式表示A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時(shí)，若△BOC是等腰三角形，求拋物線(xiàn)的

解析式；

（3）已知一次函數(shù)>=依+6,點(diǎn)P（〃,0）是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作

垂直于x軸的直線(xiàn)交這個(gè)一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M,交拋物線(xiàn)、=-尤2+2“-〃12+1于點(diǎn)2若只有當(dāng)

1<〃<4時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.

隨練2.4已知關(guān)于x的一元二次方程V-2優(yōu)+1卜+左2一2左-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求4的取值范圍；

(2)當(dāng)“取最小的整數(shù)時(shí)，求拋物線(xiàn)y=d-2優(yōu)+1卜+公一2人-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與x軸的交

點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)將(2)中求得的拋物線(xiàn)在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得

到一個(gè)新圖象.請(qǐng)你畫(huà)出這個(gè)新圖象，并求出新圖象與直線(xiàn)丫=》+機(jī)有三個(gè)不同公共點(diǎn)時(shí)"的值.

5

4

234

3

隨練2.5已知二次函數(shù)y=(r+l)x2+2Q+2)x+；在x=0與x=2的函數(shù)值相等.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若一次函數(shù)y=fcv+6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-3,加)，求m與A的值；

(3)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B,C(點(diǎn)6在點(diǎn)C的左側(cè))，將二次函數(shù)的圖象B,C間的

部分(含點(diǎn)6和點(diǎn)C)向左平移〃(〃>0)個(gè)單位后得到的圖象記為G,同時(shí)將(2)中得到的直線(xiàn)

>=履+6向上平移〃個(gè)單位.請(qǐng)結(jié)合圖象回答：平移后的直線(xiàn)與圖象G有公共點(diǎn)時(shí)，〃的取值范圍。

隨練2.6已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+(a+4)x+a=0.

(1)求證：無(wú)論a為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)拋物線(xiàn)￡:y=2Y+(a+4)龍+。與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為今，其中將拋物線(xiàn)0向

右平移5個(gè)單位，再向上平移;個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)。2.求拋物線(xiàn)C2的解析式；

(3)點(diǎn)4("力和3(〃,⑼都在⑵中拋物線(xiàn)Cz上，且A、B兩點(diǎn)不重合，求代數(shù)式

2m3-2mn+2n3的值.

3、二次函數(shù)與三角形綜合

要知識(shí)精講

一.二次函數(shù)與等腰三角形綜合

二次函數(shù)與等腰三角形存在性問(wèn)題：

解題思路：先找后求.

1.找法：已知三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，找第三個(gè)頂點(diǎn)，方法如下：

I

I

//一一未f、

//I\\

:/:\

IAj―~IB

\\；//

:、、一￥一，

I

2.求法：分類(lèi)討論；設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩腰長(zhǎng)相等，列方程求解.

二.二次函數(shù)與直角三角形綜合

二次函數(shù)與直角三角形存在性問(wèn)題：

解題思路：先找后求.

1.找法：已知直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，找第三個(gè)頂點(diǎn)，方法如下：

jI;

A+--------------+B\/

I|、、-/

'AB為直角邊！AB為斜邊

2.求法：分類(lèi)討論；設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理，列方程求解.

安三點(diǎn)剖析

考點(diǎn)：二次函數(shù)與三角形綜合.

二.重難點(diǎn)：二次函數(shù)與等腰三角形和直角三角形的存在性問(wèn)題.

易錯(cuò)點(diǎn):

1.不要漏解，按模型找到所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)然后計(jì)算求解;

2.注意數(shù)形結(jié)合思想.

題模精講

題模一：等腰三角形

例3.1.1如圖，拋物線(xiàn)、=。尤2+6元+c過(guò)點(diǎn)A(T,O),且經(jīng)過(guò)直線(xiàn)y=x-3與x軸的交點(diǎn)5及與y軸

的交點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；

(2)求拋物線(xiàn)的解析式；

(3)求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)"的坐標(biāo)；

(4)在直線(xiàn)y=x-3上是否存在點(diǎn)尸，使是等腰三角形？若存在，求出滿(mǎn)足條件

的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

>1

例3.1.2如圖，已知拋物線(xiàn)y=-x2+2x+l-m與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)

C的坐標(biāo)是(0,3),頂點(diǎn)為點(diǎn)D,連接CD,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)E.

(1)求m的值；

(2)求NCDE的度數(shù)；

(3)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)部分上是否存在一點(diǎn)P,使得APDC是等腰三角形？如果存在，求出符

合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例3.1.3如圖，已知直線(xiàn)V=-2x+4與無(wú)軸、,軸分別相交于A、C兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)

、=-2元2+法+。(”o)經(jīng)過(guò)點(diǎn)c

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)/是直線(xiàn)、=-2X+4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)“作"E垂直無(wú)軸于點(diǎn)E,在》軸(原點(diǎn)除外)上是

否存在點(diǎn)/，使尸為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)"的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例3.1.4如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)y=-x+4與x軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A的拋

物線(xiàn)y=ax2+bx與直線(xiàn)y=-x+4交于另一點(diǎn)B,且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1.

(1)求a,b的值；

(2)點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合)，過(guò)點(diǎn)P作PM〃OB交第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)

于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MC_Lx軸于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)P作PF_LMC于點(diǎn)F,設(shè)PF的長(zhǎng)為t,MN的

長(zhǎng)為d,求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)SAACN=SAP?N時(shí)，連接ON,點(diǎn)Q在線(xiàn)段BP上，過(guò)點(diǎn)Q作QR〃MN交ON于

點(diǎn)R,連接MQ、BR,當(dāng)NMQR-NBRN=45°時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo).

例3.1.5己知拋物線(xiàn)y=a(XFI)2+n與y軸交于點(diǎn)A,它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B,點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)0的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)分別為C、D.若A、B、C、D中任何三點(diǎn)都不在一直線(xiàn)上，則稱(chēng)四邊形ABCD為拋物線(xiàn)的伴隨四

邊形，直線(xiàn)AB為拋物線(xiàn)的伴隨直線(xiàn).

(1)如圖1,求拋物線(xiàn)丫=(x-2)2+1的伴隨直線(xiàn)的解析式.

(2)如圖2,若拋物線(xiàn)y=a(x-m)2+n(m>0)的伴隨直線(xiàn)是y=x-3,伴隨四邊形的面積為12,求

此拋物線(xiàn)的解析式.

(3)如圖3,若拋物線(xiàn)y=a(x-m)2+n的伴隨直線(xiàn)是y=-2x+b(b>0),且伴隨四邊形ABCD是矩

形.

①用含b的代數(shù)式表示m、n的值；

②在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使得是一個(gè)等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的

坐標(biāo)（用含b的代數(shù)式表示）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題模二：直角三角形

例3.2.1已知拋物線(xiàn)y=a（x—T）一+?（。、，是不為°的常數(shù)）的頂點(diǎn)是A,拋物線(xiàn)

y=d-2x+l的頂點(diǎn)是當(dāng)

（1）判斷點(diǎn)A是否在拋物線(xiàn)y=*-2x+l上，為什么？

（2）如果拋物線(xiàn),=°（1一'—1）2+〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)3

①求。的值；②這條拋物線(xiàn)與天軸的兩個(gè)交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)A能否構(gòu)成直角三角形？

例3.2.2如圖1,已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為4(2,1),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為H

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)連接力、AB,如圖2,在x軸下方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)戶(hù)，使得△戚與相似？若存

在，求出尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

例3.2.3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZXABC是直角三角形，ZACB=90°,AC=BC,OA=L0C=4,

拋物線(xiàn)yux'+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D.

(1)求b,c的值；

(2)點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于

點(diǎn)F,當(dāng)線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下：

①求以點(diǎn)E、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積；

②在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P,使4EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

例3.2.4如圖，拋物線(xiàn)尸-3x?+*x-4與x軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)

55

軸與X軸相交于點(diǎn)M.P是拋物線(xiàn)在X軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P、M、C不在同一條直線(xiàn)上）.分別

過(guò)點(diǎn)A、B作直線(xiàn)CP的垂線(xiàn)，垂足分別為D、E,連接點(diǎn)MD、ME.

（1）求點(diǎn)A,B的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果），并證明AMDE是等腰三角形；

（2）△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由；

（3）若將“P是拋物線(xiàn)在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P、M、C不在同一條直線(xiàn)上）”改為“P是拋物

線(xiàn)在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，其他條件不變，AMDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時(shí)點(diǎn)P的

坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果）；若不能，說(shuō)明理由.

,QQ1

例3.2.5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=—x——與拋物線(xiàn)y=—/+fcv+c交于A、B兩點(diǎn)，

-424

點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8.

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為

C,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D,作PELAB于點(diǎn)E.

①設(shè)4PDE的周長(zhǎng)為1,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出1的最大值；

②連接PA,以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改

變.當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

要隨堂練習(xí)

隨練3.1平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板/回放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上,

且點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)如圖所示，拋物線(xiàn)>=62+6一2經(jīng)過(guò)點(diǎn)氏

(1)求點(diǎn)6的坐標(biāo)；

(2)求拋物線(xiàn)的解析式；

(3)在拋物線(xiàn)上是否還存在點(diǎn)尸(點(diǎn)8除外)，使仍然是以/。為直角邊的等腰直角三角形?

若存在，求所有點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

隨練3.2已知拋物線(xiàn)y=6i?+fcv+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)6(12,0)和C(0,-6),對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)尤=2.

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式以及拋物線(xiàn)與x軸另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo).

(2)點(diǎn)〃在線(xiàn)段上，且AZ)=AC,若動(dòng)點(diǎn)尸從/出發(fā)沿線(xiàn)段48以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻

速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)0以某一速度從C出發(fā)沿線(xiàn)段％勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)是否存在某一時(shí)刻，使線(xiàn)段

國(guó)被直線(xiàn)切垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t(秒)和點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)速度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(3)在(2)的結(jié)論下，直線(xiàn)x=l上是否存在點(diǎn)必使AMW為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出

隨練3.3如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,4),B(1,0),C(5,

0),拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸1與x軸相交于點(diǎn)M.

(1)求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式和對(duì)稱(chēng)軸；

(2)設(shè)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)(x>5)上的一點(diǎn)，若以A、0、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊的長(zhǎng)度為四個(gè)

連續(xù)的正整數(shù)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)連接AC,探索：在直線(xiàn)AC下方的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)N,使4NAC的面積最大？若存在，

請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

隨練3.4如圖，拋物線(xiàn)y=mx2-2mx-3m(m>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).

(1)請(qǐng)求出拋物線(xiàn)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)經(jīng)探究可知，ABCM與4ABC的面積比不變，試求出這個(gè)比值；

(3)是否存在使ABCM為直角三角形的拋物線(xiàn)？若存在，請(qǐng)求出；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

隨練3.5如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸為x=3的拋物線(xiàn)y=ax2+2x與x軸相交于點(diǎn)B,0.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式，并求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)連接AB,把AB所在的直線(xiàn)平移，使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,得到直線(xiàn)1.點(diǎn)P是1上一動(dòng)點(diǎn).設(shè)以點(diǎn)

A、B、0、P為頂點(diǎn)的四邊形面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,當(dāng)0VSW18時(shí)，求t的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)t取最大值時(shí)，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q,使為直角三角形且0P為

直角邊？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

4、二次函數(shù)與四邊形綜合

安知識(shí)精講

一.二次函數(shù)與四邊形綜合

二次函數(shù)與四邊形綜合主要是與平行四邊形或者特殊的平行四邊形(矩形，菱形，正方形)的

綜合.在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要注意“平行四邊形”的四個(gè)頂點(diǎn)中是有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或二個(gè)動(dòng)點(diǎn).

i.如果只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則先求點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入檢驗(yàn)；

2.如果有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則常用的方法有兩個(gè)，①引入坐標(biāo)代入函數(shù)解析式后建立方程，注意最

后要檢驗(yàn)；②從已知條件直接進(jìn)行分析.

二.動(dòng)點(diǎn)與平行四邊形存在性問(wèn)題常見(jiàn)模型：

1.兩固兩動(dòng)型：兩個(gè)固定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形

(1)分類(lèi)討論，分成兩個(gè)固定點(diǎn)連線(xiàn)為平行四邊形對(duì)邊和對(duì)角線(xiàn)來(lái)討論，利用對(duì)邊平行且相

等找出所有的存在的情況.

(2)設(shè)出一個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式法算出另外一個(gè)點(diǎn)的表達(dá)式，代入另一個(gè)點(diǎn)所在函數(shù)

關(guān)系式.

2.三固一動(dòng)型：三個(gè)固定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)線(xiàn)構(gòu)成平行四邊形

(1)分類(lèi)討論，可以利用大三角的方法來(lái)找出所有的點(diǎn).

大三角：連接三個(gè)固定點(diǎn)形成一個(gè)三角形，過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)做對(duì)邊的平行線(xiàn)，三個(gè)平行線(xiàn)交點(diǎn)即為要找

的點(diǎn).

Pi

(2)利用中點(diǎn)公式法，求出點(diǎn)坐標(biāo).

中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若尸(為，乂),。(々,%)為坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)，則尸。中點(diǎn)M的坐標(biāo)為

中點(diǎn)公式法：設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用線(xiàn)段尸B、AC的中點(diǎn)都為。點(diǎn)，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo).

總結(jié)：二次函數(shù)與四邊形綜合問(wèn)題常用的解題方法是：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線(xiàn)

段長(zhǎng)度，進(jìn)而建立方程求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).

委三點(diǎn)剖析

考點(diǎn)：二次函數(shù)與四邊形綜合.

二.重難點(diǎn)：二次函數(shù)與平行四邊形的存在性問(wèn)題，特殊平行四邊形的存在性問(wèn)題.

三.易錯(cuò)點(diǎn)：二次函數(shù)與四邊形綜合問(wèn)題最容易出現(xiàn)的問(wèn)題就是分類(lèi)討論不徹底導(dǎo)致漏解，解題時(shí)

務(wù)必審清題意，按照模型分類(lèi)討論.

g題模精講

題模一：二次函數(shù)與四邊形綜合

例4.1.1己知如圖，拋物線(xiàn)y=x?+bx+c過(guò)點(diǎn)A(3,0),B(1,0),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是該拋物

線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)沿拋物線(xiàn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合),過(guò)點(diǎn)P作PD〃y軸交直線(xiàn)

AC于點(diǎn)D

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線(xiàn)段PD長(zhǎng)度的最大值；

(3)4APD能否構(gòu)成直角三角形？若能請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M使|MA-MC1最大？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明

理由.

例4.1.2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=rnx2+4mx-5nl（m<0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在

點(diǎn)B的左側(cè)），該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)y=?x相交于點(diǎn)E,與x軸相交于點(diǎn)D,點(diǎn)P在直線(xiàn)y=

手x上（不與原點(diǎn)重合），連接PD,過(guò)點(diǎn)P作PFLPD交y軸于點(diǎn)F,連接DF.

（1）如圖①所示，若拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6出，求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖②所示，小紅在探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，/PDF的大小為定值，進(jìn)

而猜想：對(duì)于直線(xiàn)y=掾x上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)重合），/PDF的大小為定值.請(qǐng)你判斷該猜

想是否正確，并說(shuō)明理由.

例4.1.3已知：二次函數(shù)y=/+法+8的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-2,0）.

（1）求二次函數(shù)y=+bx+8的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)6及頂點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)0從點(diǎn)〃出發(fā)，以每

秒2個(gè)單位的速度沿豎直方向向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)。時(shí)，只0同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)「、點(diǎn)，

分別為點(diǎn)一、點(diǎn)0關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)四邊形制⑦的面積為S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,求S與￡的函數(shù)

關(guān)系表達(dá)式（不必寫(xiě)出力的取值范圍）；

（3）在（2）的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形尸色能否形成矩形？若能，求出此時(shí)/的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

8

7

6

5

4

3

2

1

-4-3-2-1Oji2345x

-2

例4.1.4如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=ax+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A(-3,

0),B(0,3),C(1,0).

(1)求此拋物線(xiàn)的解析式.

(2)點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，(不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足

為F,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E,作PDLAB于點(diǎn)D.

①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，4PDE的周長(zhǎng)最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

②連接PA,以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改

變.當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo).(結(jié)果保留根號(hào))

要隨堂練習(xí)

隨練4.1如圖，已知拋物線(xiàn)y=-x?+bx+c與一直線(xiàn)相交于A(-1,0),C(2,3)兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)N.其頂點(diǎn)為D.

(1)拋物線(xiàn)及直線(xiàn)AC的函數(shù)關(guān)系式;

(2)設(shè)點(diǎn)M(3,m),求使MN+MD的值最小時(shí)m的值;

(3)若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)AC相交于點(diǎn)B,E為直線(xiàn)AC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF〃BD交拋

物線(xiàn)于點(diǎn)F,以B,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)若P是拋物線(xiàn)上位于直線(xiàn)AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AAPC的面積的最大值.

隨練4.2已知：拋物線(xiàn)￡：丫=-2/+桁一6與拋物線(xiàn)C?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，拋物線(xiàn)￡與x軸分別交

于4(1,0)，B(/n,0),頂點(diǎn)為弘拋物線(xiàn)。2與x軸分別交于G，兩點(diǎn)(點(diǎn)。在點(diǎn)，的左側(cè))，頂點(diǎn)

為瓦

(1)求加的值；

(2)求拋物線(xiàn)￡的解析式；

(3)若拋物線(xiàn)G與拋物線(xiàn)C?同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸方向分別向左、向右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)記

A,B,C,D,M,"在某一時(shí)刻的新位置分別為,B',C'，D',M',N',當(dāng)點(diǎn)、A'與點(diǎn)”

重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形B,ON'能否形成矩形？若能，求出此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t

(秒)的值，若不能，說(shuō)明理由.

隨練4.3已知拋物線(xiàn)丫=」/+―+,與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連結(jié)AC,BC,D

-4

是線(xiàn)段0B上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向右側(cè)作正方形CDEF,連結(jié)BF.若見(jiàn)(^=8，AC=BC.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)求證:BF±AB；

(3)求"BE的度數(shù)；

(4)當(dāng)D點(diǎn)沿x軸正方向移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E也隨著運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)E所走過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)是.

5、二次函數(shù)面積問(wèn)題

要知識(shí)精講

一.二次函數(shù)與面積綜合問(wèn)題

在直角坐標(biāo)系中，已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，如果三角形的三條邊中有一條邊與坐標(biāo)軸平行,

可以直接運(yùn)用三角形面積公式求解三角形面積.如果三角形的三條邊與坐標(biāo)軸都不平行，則通常有

以下方法：

1.如圖(1),過(guò)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)作與X軸或y軸的平行線(xiàn)，將原三角形分割成兩個(gè)滿(mǎn)足一條

邊與坐標(biāo)軸平行的三角形，分別求出面積后相加：

=

S&ABC=S.CD+=萬(wàn)|"<4^卜田一力|=S^ACE+~'\xA-XB\；

2.如圖(2),首先計(jì)算三角形的外接矩形的面積，然后再減去矩形內(nèi)其他各塊面積：

^&ABC=SDEBF-SADAC-^&AEB~^ACBF

3.如果只是求解面積最大值或者此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以通過(guò)平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有

一個(gè)交點(diǎn)時(shí)三角形的面積最大，此時(shí)可以直接求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用上述兩種方法求出面積的

最大值.

在三點(diǎn)剖析

一.考點(diǎn)：二次函數(shù)與面積問(wèn)題.

二.重難點(diǎn)：二次函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題.

1.在用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線(xiàn)段長(zhǎng)度，進(jìn)而表示圖形面積的時(shí)候一定要保證線(xiàn)段的非負(fù)性，可以直接加

上絕對(duì)值或者是分類(lèi)討論；

2.與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題相關(guān)的面積問(wèn)題一定要分析清楚每個(gè)階段圖形的形狀，然后再分別求出每個(gè)階段下

面積的表達(dá)式.

g題模精講

題模一：面積最值問(wèn)題

例5.1.1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=〃a?+2如+〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(T,0)和點(diǎn)2(0,3).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)向右平移上述拋物線(xiàn)，若平移后的拋物線(xiàn)仍經(jīng)過(guò)點(diǎn)8求平移后拋物線(xiàn)的解析式；

(3)在(2)的條件下，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為笈，試問(wèn)：在平移后的拋

物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)戶(hù)，使△。女尸的面積與四邊形A4助的面積相等，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

若不存在，說(shuō)明理由.

例5.1.2如圖，二次函數(shù)y=-Lx2+mx+m+L的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與

22

y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)D在第一象限.過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，垂足為H.

3

(1)當(dāng)m=-時(shí)，求tan/ADH的值；

2

(2)當(dāng)60°W/ADBW90。時(shí)，求m的變化范圍；

(3)設(shè)4BCD和AABC的面積分別為Si、S2,且滿(mǎn)足SFS?,求點(diǎn)D到直線(xiàn)BC的距離.

Q9

例5.1.3如圖，拋物線(xiàn)y=-—六+3與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,與直線(xiàn)y=-—x+b相交于點(diǎn)B,點(diǎn)C,直

(1)寫(xiě)出直線(xiàn)BC的解析式.

(2)求4ABC的面積.

(3)若點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A向B運(yùn)動(dòng)(不與A,B重合),同時(shí)，點(diǎn)

N在射線(xiàn)BC上以每秒2個(gè)