2021-2022學年北京市燕山區(qū)九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）

2.（2分）在等式①/+x=l；②3+2=5；③2+1=0；④x+y=l；⑤x+3=2%中，符合一元

x

二次方程概念的是（）

A.①⑤B.①C.（4）D.①④

3.（2分）經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉.如果這三種可能性

大小相同，甲、乙兩輛汽車經過這個十字路口時，一輛車向左轉，一輛車向右轉的概率

是（）

A.AB.Ac.2D.A

6299

4.（2分）利用定理“同弧所對圓心角是圓周角的兩倍”，可以直接推導出的命題是（）

A.直徑所對圓周角為90°

B.如果點A在圓上，那么點A到圓心的距離等于半徑

C.直徑是最長的弦

D.垂直于弦的直徑平分這條弦

5.（2分）計算半徑為1,圓心角為60°的扇形面積為（）

AA.兀BD.——兀Ck.兀D.K

362

6.（2分）在求解方程a^+bx+cuO（aWO）時，先在平面直角坐標系中畫出函數

的圖象，觀察圖象與x軸的兩個交點，這兩個交點的橫坐標可以看作是方程的近似解，

分析圖中的信息，方程的近似解是（）

A.x\=-3,X2=2B.XI=-3,X2=3C.XI=-2,X2=2D.xi=-2,X2=3

7.（2分）南宋著名數學家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云

長闊共六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道

它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設矩形田地的長為x步，根據題

意可以列方程為（）

A.?-60%-864=0B.x（x+60）=864

C.x2-60x+864=0D.x（x+30）=864

8.（2分）在中，/C=90°,BC=4cm,AC=3c〃].把△ABC繞點4順時針旋轉

90°后，得到△ABiCi,如圖所示，則點8所走過的路徑長為（)

—ucmC?—Tic/nD.5nc/n

42

二、填空題（每小題2分）

9.（2分）拋物線y=2（x-1）2+5的頂點坐標是,圖象的開口方向是

10.（2分）已知點A、B、C、。在圓。上，且尸。切圓。于點。，OELCQ于點E,對于

下列說法：①圓上AbB是優(yōu)?。虎趫A上A6O是優(yōu)弧；③線段AC是弦；④NCW和NAOF

都是圓周角；⑤/COA是圓心角，其中正確的說法是

11.（2分）在下圖中，AB是。。的直徑，要使得直線AT是。。的切線，需要添加的一個

條件是.（寫一個條件即可）

12.（2分）下面給出了用三角尺畫一個圓的切線的步驟示意圖，但順序需要進行調整，正

確的畫圖步驟是.

13.（2分）下面是用配方法解關于x的一元二次方程37+x-2=0的具體過程，3，+2x-l

=0.

解：第一步：/+2x-』=o

33

第二步：

33

第三步：/+乙+（A）2=A+（A）2

3333

第四步：（x+A）2=A.\X+A=+2-：.X\=—,X2=-1

39333

以下四條語句與上面四步對應：”①移項：方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項；

②求解：用直接開方法解一元二次方程；③配方：根據完全平方公式，在方程的兩邊各

加上一次項系數一半的平方；④二次項系數化1,方程兩邊都除以二次項系數”，則第一

步，第二步，第三步，第四步應對應的語句分別是.

14.（2分）時隔十三年，奧運圣火再次在北京點燃.北京將首次舉辦冬奧會，成為國際上

唯一舉辦過夏季和冬季奧運會的“雙奧之城”.墩墩和融融積極參加雪上項目的訓練，現

有三輛車按照1,2,3編號，兩人可以任選坐一輛車去訓練，則兩人同坐2號車的概率

是.

15.(2分)在平面直角坐標系中，已知點A(2a-b,-8)與點B(-2,a+3b)關于原點

對稱，貝IIa=,b=.

16.(2分)已知二次函數y=or2+/?x+c的圖象如圖所示，則下列結論①“<0；②9a+36+c>

0；③c>0；④-3〈一且<0中正確的是.

2a

三、解答題.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.(5分)用適當的方法解下列方程：

(1)2?-18=0.

(2)(m-1)2-l+w=0.

18.(5分)在實數范圍內定義一種運算“*”，其運算法則為-岫.如：2*1=22-2

Xl=2.根據這個法則，

(1)計算：3*2=:

(2)判斷(什2)*(2什1)=0是否為一元二次方程，并求解；

(3)判斷方程(x+2)*1=3的根是否為加=-3-泥,■=T忐,并說明理由.

22

19.(5分)已知7+4X-5=0,求代數式2(x+1)(x-1)-(%-2)2的值.

20.(5分)如圖，AB是。0的弦，C是00上的一點，且NACB=60°,于點E,

交。。于點。.若。。的半徑為6,求弦A8的長.

21.(5分)己知：如圖，射線4M.

求作：△ABC,使得點B在射線AM上，/C=90。,ZA=60°.

作法：①在射線AM上任取一點。；

②以點。為圓心，0A的長為半徑畫圓，交射線AM于另一點8；

③以點A為圓心，A。的長為半徑畫弧，在射線AM上方交。。于點C；

④連接AC、BC.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：TAB為。。的直徑，點C在。。上，

ZACB=90°（）（填推理依據）.

連接0C.

"：OA=OC=AC,

...△AOC為等邊三角形（）（填推理依據）.

ZA=60°.

所以AABC為所求作的三角形.

?------------?--------------------------

A0M

22.（5分）已知關于x的方程/-4/nx+4/〃2-9=0.

（1）求證：此方程有兩個不相等的實數根；

（2）設此方程的兩個根分別為xi,X2,其中xi<x2.若2XI=X2+1,求，〃的值.

23.（5分）苗木種植不僅綠了家園，助力脫貧攻堅，也成為鄉(xiāng)村增收致富的“綠色銀行”.小

王承包了一片荒山，他想把這片荒山改造成一個蘋果園，現在有一種蘋果樹苗，它的成

活率如下表所示:

移植棵數（〃）成活數（相）成活率（典）移植棵數（”）成活數（相）成活率（如）

nn

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.92370006335X

7506620.88314000126280.902

根據以上信息，回答下列問題:

（1）當移植的棵數是7000時，表格記錄成活數是,那么成活率x是；

（2）隨著移植棵數的增加，樹苗成活的頻率總在0.900附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性,

可以估計樹苗成活的概率是；

（3）若小王移植10000棵這種樹苗，則可能成活；

（4）若小王移植20000棵這種樹苗，則一定成活18000棵.此結論正確嗎？說明理由.

24.（7分）已知一個二次函數圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表所示:

X???-10123

y…0-3m-30???

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）求俄的值；

（3）在給定的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數的圖象;

（4）這個二次函數的圖象經過點（-2"）和（a"）兩點，寫出,b=

25.（6分）數字“122”是中國道路交通事故報警電話.為推進“文明交通行動計劃”，公

安部將每年的12月2日定為“交通安全日”.班主任決定從4名同學（小迎，小冬，小

奧，小會）中通過抽簽的方式確定2名同學去參加宣傳活動.

抽簽規(guī)則：將4名同學的姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面，把4張卡片的背面朝

上，洗勻后放在桌子上，班主任先從中隨機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的3張

卡片中隨機抽取一張，記下名字.

（1）“小冬被抽中”是事件，“小紅被抽中”是事件（填“不可能”、“必

然”、“隨機”），第一次抽取卡片抽中小會的概率是；

(2)試用畫樹狀圖或列表的方法表示這次抽簽所有可能的結果，并求出小奧被抽中的概

率.

26.(6分)如圖，以四邊形ABC。的對角線30為直徑作圓，圓心為0,過點A作AELCD

的延長線于點E,已知DA平■分NBDE.

(1)求證：AE是。0切線；

(2)若AE=4,CD=6,求。。的半徑和AQ的長.

27.(7分)△ACB中，ZC=90°,以點A為中心，分別將線段A8,4c逆時針旋轉60°

得到線段AD,AE,連接OE,延長￡>E交CB于點F.

(1)如圖1,若/4=60°,/CFE的度數為；

(2)如圖2,當30°<ZA<60°時，

①依題意補全圖2；

②猜想CF與AC的數量關系，并加以證明.

28.(7分)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-^+hx+c與x軸交于點A,B(A在B

的左側).

(1)拋物線的對稱軸為直線x=3,AB=4.求拋物線的表達式；

(2)將(1)中的拋物線，向左平移兩個單位后再向下平移，得到的拋物線經過點O,

且與x軸正半軸交于點C,記平移后的拋物線頂點為P,求點尸的坐標；

(3)當匕=4時，拋物線上有兩點M(xi,川)和N(X2,”)，若xi<2,X2>2,X\+X2

>4,試判斷yi與”的大小，并說明理由.

2021-2022學年北京市燕山區(qū)九年級（上）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：A.

【點評】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的知識，關鍵是掌握好中心對稱圖形與軸

對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對

稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉180°后與原圖重合.

2.（2分）在等式①f+x=l；②3+2=5；③-1+1=0；@x+y—1；⑤x+3=2x中，符合一元

x

二次方程概念的是（）

A.①⑤B.①C.@D.①④

【分析】根據一元二次方程的定義逐個判斷即可.只含有一個未知數，并且未知數的最

高次數是2的整式方程叫一元二次方程.

【解答】解：①f+x=l是一元二次方程；

②3+2=5,不含未知數，不是方程；

③工+1=0是分式方程；

⑤x+y=l是二元一次方程；

⑤x+3=2x是一元一次方程；

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵.

3.（2分）經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉.如果這三種可能性

大小相同，甲、乙兩輛汽車經過這個十字路口時.，一輛車向左轉，一輛車向右轉的概率

是（）

A.AB.Ac.2D.A

6299

【分析】畫樹狀圖，共有91種等可能的結果，一輛車向左轉，一輛車向右轉的結果有2

種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

共有91種等可能的結果，一輛車向左轉，一輛車向右轉的結果有2種，

.?.一輛車向左轉，一輛車向右轉的概率為2,

9

故選：C.

【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能

的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件.解題的關鍵是根據題意畫出樹狀圖，再由概

率=所求情況數與總情況數之比求解.

4.（2分）利用定理“同弧所對圓心角是圓周角的兩倍”，可以直接推導出的命題是（）

A.直徑所對圓周角為90°

B.如果點A在圓上，那么點A到圓心的距離等于半徑

C.直徑是最長的弦

D.垂直于弦的直徑平分這條弦

【分析】利用圓周角定理及其推論進行判斷.

【解答】解：定理“同弧所對圓心角是圓周角的兩倍”，可以直接推導出直徑所對的圓周

角為90°.

故選：A.

【點評】本題考查了命題與定理：要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而

判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.也考查了圓周角定理.

5.（2分）計算半徑為1,圓心角為60°的扇形面積為（）

AA.幾B口.TT「C.7TD「.n

362

【分析】利用扇形面積公式可得.

【解答】解：5扇彩=60.X12=工,

3606

故選：B.

【點評】此題主要考查了扇形的面積公式應用，熟練記憶扇形面積公式是解題關鍵.

6.（2分）在求解方程a?+bx+c=O（a/O）時，先在平面直角坐標系中畫出函數）=0?+版+。

的圖象，觀察圖象與x軸的兩個交點，這兩個交點的橫坐標可以看作是方程的近似解，

分析圖中的信息，方程的近似解是（）

A.用=-3,X2—2B.xi=-3,A2=3C.x\--2,X2—2D.x\--2,%2—3

【分析】根據圖象即可求得.

【解答】解：由圖象可知，拋物線y=〃/+云+c（〃WO）與x軸的交點接近（-2,0）和

（3,0）,

...方程。/+勿;+。=0（。#0）的近似解是xi=-2,X2=3,

故選：D.

【點評】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似解，拋物線與X軸的交點，熟知二次

函數與一元二次方程的關系是解題的關鍵.

7.（2分）南宋著名數學家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云

長闊共六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道

它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設矩形田地的長為x步，根據題

意可以列方程為（）

A.x2-60%-864=0B.x（x+60）=864

C./-60x+864=0D.x（x+30）=864

【分析】由矩形田地的長與寬的和是60步，可得出矩形田地的寬為（60-x）步，根據

矩形田地的面積是864平方步，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：???矩形田地的長為x步，矩形田地的長與寬的和是60步，

...矩形田地的寬為（60-%）步.

依題意得：x（60-JC）=864,

整理得：/-60x+864=0.

故選：C.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數學常識，找準等量關系，正

確列出一元二次方程是解題的關鍵.

8.（2分）在RtZ\ABC中，ZC=90°，BC=4cm,AC=3cm.把△ABC繞點A順時針旋轉

90°后，得到△481。，如圖所示，則點8所走過的路徑長為（）

A.5,\[2cmB.—TicmC.—irc/nD.5ncm

42

【分析】根據勾股定理可將A8的長求出，點B所經過的路程是以點A為圓心，以A8的

長為半徑，圓心角為90°的扇形的弧長.

【解答】解：在RtaABC中，/1B=VBC2+AC2=Vl2+32=5,

IAB=

故點B所經過的路程為昂的.

2

故選：c.

【點評】本題的關鍵是將點B所走的路程轉化為求弧長，使問題簡化.

二、填空題（每小題2分）

9.（2分）拋物線y=2（x-1）2+5的頂點坐標是（1,5）,圖象的開口方向是

±.

【分析】根據二次函數的頂點式的特點即可得出答案.

【解答】解：..5=2（x-1）2+5是二次函數的頂點式，

,該函數的頂點坐標為（1,5）,

?.?二次項系數a=2>0,

...該拋物線的開口向上，

故答案為：（1,5）,向上.

【點評】本題主要考查二次函數的頂點式的性質，關鍵是要牢記二次函數頂點式的特點.

10.（2分）已知點A、B、C、。在圓。上，且FC切圓。于點。，OELCD于點E,對于

下列說法：①圓上AbB是優(yōu)??；②圓上AbD是優(yōu)?。虎劬€段AC是弦；@ZCAD和NAQF

都是圓周角；⑤/COA是圓心角，其中正確的說法是①②③⑤.

b

【分析】由優(yōu)弧，弦，圓周角的概念及切線的性質可得出答案.

【解答】解：由圖可知圓上46B及圓上A6D是優(yōu)弧，故①②正確,

由弦的定義可知線段AC是弦，故③正確；

：尸￡>切圓。于點D,

.../AO尸是圓周角，

故④不錯誤；

VA,C是圓上的點，

；.NAOC是圓心角，故⑤正確；

故答案為：①②③⑤.

【點評】本題考查了圓有關的概念，切線的性質，熟練掌握圓的有關概念是解題的關鍵.

11.（2分）在下圖中，A8是。。的直徑，要使得直線AT是。。的切線，需要添加的一個

條件是件7MC=/B（答案不唯一）.（寫一個條件即可）

【分析】要使得直線AT是的切線，只要證明/。47=90°即可，根據直徑所對的圓

周角是直角可得N4CB=90°,從而得NB+N8AC=90°,所以只要滿足N：WC=NB即

可.

【解答】解：「AB是。。的直徑，

，N4CB=90°,

/.ZB+ZBAC=90°,

當/窗C=NB時，ZTAC+ZBAC=90°,

即NOAT=90°,

,：OA是圓。的半徑，

直線AT是O。的切線，

故答案為：ZTAC=ZB（答案不唯一）.

【點評】本題考查了切線的判定，熟練掌握圓周角定理與切線的判定是解題的關鍵.

12.（2分）下面給出了用三角尺畫一個圓的切線的步驟示意圖，但順序需要進行調整，正

確的畫圖步驟是②③④①.

【分析】由圓周角定理及切線的性質可得出答案.

【解答】解：由圓周角定理先畫出圓的直徑，再由切線的性質畫出圓的切線可得出正確

的畫圖步驟是：

②③④①.

故答案為：②③④①.

【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵.

13.（2分）下面是用配方法解關于x的一元二次方程3?+x-2=0的具體過程，3?+2x-1

=0.

解：第一步：x2+-^vV--=0

33

2

第二步：x+-2vr=A

33

第三步：，+4+（1）2=工+（1）2

3333

第四步:（x+A）2=^.：.x+——+—XI--1

39333

以下四條語句與上面四步對應：''①移項：方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項；

②求解：用直接開方法解一元二次方程；③配方：根據完全平方公式，在方程的兩邊各

加上一次項系數一半的平方；④二次項系數化1,方程兩邊都除以二次項系數”，則第一

步，第二步，第三步，第四步應對應的語句分別是④①③②.

【分析】把二次項系數化為1以后，把常數項移到等號右邊，兩邊都加上一次項系數一

半的平方，再運用開平方法求解.

【解答】解：3，+2x-1=0,

把二次項系數化1得：/+--工=0,

33

移項得：

33

配方得：/+4+（工）2=_L+（A）即（x+JL）

333339

開方得：X+——+—,

33

解得：XI——,XI--1,

3

故第一步，第二步，第三步，第四步應對應的語句分別是④①③②，

故答案為：④①③②.

【點評】本題主要考查解一元二次方程一配方法，解題的關鍵是掌握配方法解一元二次

方程的步驟.

14.（2分）時隔十三年，奧運圣火再次在北京點燃.北京將首次舉辦冬奧會，成為國際上

唯一舉辦過夏季和冬季奧運會的“雙奧之城”.墩墩和融融積極參加雪上項目的訓練，現

有三輛車按照1,2,3編號，兩人可以任選坐一輛車去訓練，則兩人同坐2號車的概率

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，其中墩墩和融融兩人同坐2號車的結果有1

種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

M123

/1\z4\/N

123123123

共有9種等可能的結果，其中墩墩和融融兩人同坐2號車的結果有1種，

墩墩和融融兩人同坐2號車的概率為上，

9

故答案為：1.

9

【點評】本題考查了樹狀圖法求概率：利用樹狀圖法展示所有等可能的結果〃，再從中選

出符合事件4或B的結果數目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.

15.(2分)在平面直角坐標系中，已知點A(2〃-8,-8)與點8(-2,〃+36)關于原點

對稱，則a=2,h=2.

【分析】利用關于原點對稱的點的特點建立方程組即可.

【解答】解：；點A(2a-b,-8)與點B(-2,a+3b)關于原點對稱,

.'.2a-b=2,a+3b=S,

?.a=2,Z?=2,

故答案為2,2.

【點評】此題是關于原點對稱的點的坐標，主要考查坐標系中點的對稱點的特征，熟記

對稱點的特征是解本題的關鍵，是一道簡單題.

16.(2分)已知二次函數的圖象如圖所示，則下列結論①a<0：②9a+38+c>

0；③c>0；④-3V一且<0中正確的是①③④.

【分析】根據二次函數的圖象可確定。和c的符號，根據x=3的函數值和對稱軸的位置

即可得出答案.

【解答】解：由二次函數的圖象可知開口向下，

...①說法符合題意，

,由圖象可知，當x=3時，y=9a+3b+c<0,

???②說法不合題意，

???二次函數的圖象與y軸的交點在x軸的上方，

.,.c>0,

③說法符合題意，

???由圖象可知拋物線的對稱軸在-3和0之間，

A-3<-且V0,

2a

④說法符合題意，

故答案為：①③④.

【點評】本題主要考查二次函數的圖象和性質，關鍵是要能根據圖象確定a,c的符號,

能確定9a+38+C是x=3時的函數值.

三、解答題.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.(5分)用適當的方法解下列方程：

(1)2?-18=0.

(2)Cm-1)2-1+/M=0.

【分析】(1)利用直接開平方法求解比較簡便；

(2)利用因式分解法求解比較簡便.

【解答】解：(1)移項，得2?=18,

所以X2=9,

所以x=±3.

所以x\—3,X2—-3.

(2)(w-1)2+(m-1)=0,

(/??-1)("2-1+1)=0.

nt(TH-1)=0.

.\m=0或相-1=0.

??mi=0,77721.

【點評】本題考查了解一元二次方程，掌握直接開平方法、因式分解法是解決本題的關

鍵.

18.(5分)在實數范圍內定義一種運算“*”，其運算法則為如：2*1=22-2

XI=2.根據這個法則，

(1)計算：3*2=3；

(2)判斷(f+2)*(2什1)=0是否為一元二次方程，并求解；

(3)判斷方程(x+2)*1=3的根是否為x2=z3jV5_,并說明理由.

22

【分析】(1)利用題中的新定義列式計算可得結果；

(2)利用題中的新定義判斷即可；

(3)利用題中的新定義判斷即可.

【解答】解：(1)根據題中的新定義得：3*2=32-3X2=9-6=3,

故答案為：3；

(2)已知等式變形得：(/+2)2-(/+2)(2/+1)=0,整理得尸+「2=0,是一元二次方

程；

解方程得p+r-2=o,得(f+2)(f-1)=0,即什2=0或L1=0,解得〃=-2,f2=l；

(3)方程變形得：(x+2)2-(x+2)=3,

整理得：/+4x+4-x-2-3=0,即/+3x-1=0,

??Z=1,b=3,c--1,

?”_-b±db?-4ac--3±后

.?人------------------------->

2a2

解得：XI=.-,X2———―??

22_

故方程(x+2)*1=3的根不是xi=±Z5,%2=T點.

22

【點評】此題考查了根與系數的關系，實數的運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵.

19.(5分)已知/+4x-5=0,求代數式2(x+1)(x-1)-(x-2)2的值.

【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式展開，去括號合并得到最簡結果，把已知

等式變形后代入計算即可求出值.

【解答】解：；？+4尤-5=0,即/+4x=5,

原式=27-2-X2+4X-4=/+4x-6=5-6=-1.

【點評】此題考查了整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

20.(5分)如圖，A8是00的弦，C是。。上的一點，且NACB=60°,0CAB于點E,

交。0于點。.若。。的半徑為6,求弦AB的長.

【分析】連接08，根據圓周角定理求出NAO8=2NAC8=120°,求出

=工(180°-ZAOB)=30°,解直角三角形求出AE,根據垂徑定理求出AE=BE,再

2

求出答案即可.

VZACB=60°,

/.ZAOB=2ZACB=120°,

?：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=1.(180°-ZAOB)=30°,

2

VOELAB,OE過圓心O,

：.AE=BE,NAEO=90°,

：OA=6,

：.OE=1.OA=3,

2

由勾股定理得：^￡=V0A2-0E2=V62-32=3^3,

，BE=3料，

即A8=4E+BE=3百+3禽=6后

【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質和直角三角形的性質等

知識點，能根據垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關鍵.

21.（5分）已知：如圖，射線AM.

求作：△ABC,使得點8在射線AM上，NC=90°,乙4=60°.

作法：①在射線AM上任取一點0；

②以點0為圓心，0A的長為半徑畫圓，交射線AM于另一點氏

③以點A為圓心，A。的長為半徑畫弧，在射線AM上方交。。于點C；

④連接AC、BC.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：???AB為。。的直徑，點C在。。上，

ZACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）（填推理依據）.

連接0C.

,：0A=0C=AC,

...△A0C為等邊三角形（三邊相等的三角形是等邊三角形）（填推理依據）.

.*.NA=60°.

所以△ABC為所求作的三角形.

?------------?-------------------------

A0M

【分析】（1）根據要求作出圖形即可；

（2）證明NACB=90°,NA=60°即可.

為。。的直徑，點C在OO上，

AZACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）,

連接0C.

,：OA=OC=AC,

...△AOC為等邊三角形（三邊相等的三角形是等邊三角形），

AZA=60°.

所以AABC為所求作的三角形.

故答案為：直徑所對的圓周角是直角，三邊相等的三角形是等邊三角形.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問

題.

22.（5分）已知關于x的方程/-%+病””

（1）求證：此方程有兩個不相等的實數根；

（2）設此方程的兩個根分別為xi,xi,其中xi<x2.若2XI=A2+1,求，”的值.

【分析】（1）首先得到4=（-4/77）2-4（4病-9）=36>0證得方程有兩個不相等的

實數根；

（2）根據已知條件得到得出關于m的方程求得答案即可.

【解答】解：（1）VA=（-4w）2-4（4m2-9）=36>0,

此方程有兩個不相等的實數根；

（2）4m±V36=2m±3,

2

.*.xi=2777-3,x2=2m+3,

2xi=X2+I,

.*.2（2m-3）=2m+3+l,

??m=5.

【點評】本題考查了根的判別式的知識，同時題目中還考查了配方法等知識，特別是解

決第（2）題時，用公式法求含有字母系數方程更是個難點.

23.（5分）苗木種植不僅綠了家園，助力脫貧攻堅，也成為鄉(xiāng)村增收致富的“綠色銀行”.小

王承包了一片荒山，他想把這片荒山改造成一個蘋果園，現在有一種蘋果樹苗，它的成

活率如下表所示：

移植棵數（〃）成活數（相）成活率（典）移植棵數（〃）成活數（加）成活率（旦）

nn

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.92370006335X

7506620.88314000126280.902

根據以上信息，回答下列問題：

(1)當移植的棵數是7000時，表格記錄成活數是6335，那么成活率x是0.905；

(2)隨著移植棵數的增加，樹苗成活的頻率總在0.900附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性,

可以估計樹苗成活的概率是0.900；

(3)若小王移植10000棵這種樹苗，則可能成活9000棵；

(4)若小王移植20000棵這種樹苗，則一定成活18000棵.此結論正確嗎？說明理由.

【分析】隨著移植棵數的增加，樹苗成活的頻率總在0.900附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定

性，可以估計樹苗成活的概率是0.900,據此進行解答即可.

【解答】解：(D當移植的樹數是7000時，表格記錄成活數是6335,那么成活率x是

0.905,

故答案為：6335,0.905；

(2)隨著移植棵數的增加，樹苗成活的頻率總在0.900附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性,

可以估計樹苗成活的概率是0.900,

故答案為：0.900；

(3)若小張移植10000棵這種樹苗，則可能成活10000X0.900=9000(棵)，

故答案為：9000棵：

(4)此結論錯誤，

理由：；隨著移植棵數的增加，樹苗成活的頻率總在0.900附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定

性，可以估計樹苗成活的概率是0.900,

成活的概率是0.900可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，

故若小張移植20000棵這種樹苗，不一定成活18000棵.

【點評】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關鍵是明確概率的定義，大量重復實

驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個

頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件

的概率.

24.(7分)已知一個二次函數圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表所示：

X???-10123

y…0-3m-30

(1)求這個二次函數的表達式；

(2)求m的值；

(3)在給定的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數的圖象;

(4)這個二次函數的圖象經過點(-2,b)和(a,b)兩點，寫出a=4,b=5

【分析】(1)設交點式)，(x+1)(x-3),然后把(0,-3)代入求出得到拋物線解析

式；

(2)把x=l代入解析式即可求得；

(3)利用描點發(fā)法畫函數圖象；

(4)根據二次函數的對稱性求得把x=-2代入解析式即可求得從

【解答】解：(1)設y—a(x+1)(x-3),

將(0,-3)代入得-3a=-3,解得4=1,

.?.拋物線解析式為y=(x+1)(x-3),

即y—x1-2x-3；

(2)把x=l代入y—x1-2x-3得，y=l-2-3=-4,

'.m--4；

(3)?.?圖象經過點(-1,0),(3,0),

拋物線的對稱軸為直線x=±3=1,

2

二拋物線的頂點坐標為(1,-4),

如圖，

（4）?.?二次函數的圖象經過點（-2,8）和（a,8兩點，拋物線的對稱軸為直線x=l,

.72+a=i,

2

；.a=4,

把x=-2代入y=7-2x-3得，y=4+4-3=5,

.'.b=5,

故答案為：4,5.

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，

二次函數的圖象和性質，熟知待定系數法是解題的關鍵.

25.（6分）數字“122”是中國道路交通事故報警電話.為推進“文明交通行動計劃”，公

安部將每年的12月2日定為“交通安全日”.班主任決定從4名同學（小迎，小冬，小

奧，小會）中通過抽簽的方式確定2名同學去參加宣傳活動.

抽簽規(guī)則：將4名同學的姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面，把4張卡片的背面朝

上，洗勻后放在桌子上，班主任先從中隨機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的3張

卡片中隨機抽取一張，記下名字.

（1）“小冬被抽中”是隨機事件,“小紅被抽中”是不可能事件（填“不可能”、

“必然”、“隨機”），第一次抽取卡片抽中小會的概率是1;

—4―

（2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示這次抽簽所有可能的結果，并求出小奧被抽中的概

率.

【分析】（1）由隨機事件、不可能事件的定義和概率公式即可得出答案；

（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中小奧被抽中的結果有6種，再由概率公

式求解即可.

【解答】解：(1)小冬被抽中”是隨機事件，“小紅被抽中”是不可能事件,

第一次抽取卡片抽中小會的概率是工，

4

故答案為：隨機，不可能，

4

(2)把小迎，小冬，小奧，小會4名同學的卡片分別記為：A、B、C、D,

畫樹狀圖如下：

開始

ABCD

/l\/1\ZN

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結果，其中小奧被抽中的結果有6種，

小奧被抽中的概率為&=1.

122

【點評】本題考查了樹狀圖法求概率以及隨機事件；用到的知識點為：概率=所求情況

數與總情況數之比；正確畫出樹狀圖是解題的關鍵.

26.(6分)如圖，以四邊形ABCD的對角線80為直徑作圓，圓心為0,過點A作AE_LC￡>

的延長線于點E,已知D4平分N8DE.

(1)求證：AE是切線；

(2)若AE=4,CD=6,求。。的半徑和A。的長.

【分析】(1)連接0A,根據已知條件證明0ALAE即可解決問題；

(2)取CO中點凡連接。尺根據垂徑定理可得。尸J_C。，所以四邊形AEF。是矩形,

利用勾股定理即可求出結果.

【解答】(1)證明：如圖，連接0A,

,JAE1.CD,

：.ZDAE+ZADE=90°.

,：DA平分/BOE,

，NADE=ZADO,

又：04=0。，

：.ZOAD^ZADO,

：.ZDAE+ZOAD=90a,

：.OA±AE,

；.AE是。。切線；

(2)解：如圖，取CO中點F,連接。兄

OFLCD于點F.

...四邊形AEF。是矩形，

VCD=6,

:.DF=FC=3.

在RL^OFD中，。尸=AE=4,

???°。=VOF2+DF2=Vl2+32=5，

在RtZXAEQ中，AE=4,ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2,

：.AD=-yj42+22=A/20=275)

...AC的長是蓊.

【點評】本題考