2017年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）

1.（3分）下列實數(shù)中，為有理數(shù)的是（）

A.返B.兀C.料D.1

2.（3分）下列計算正確的是（）

A.五十心泥B.a+2a=2a2C.x（1+y）=x+xyD.（mn2）3=mn6

3.（3分）據(jù)國家旅游局統(tǒng)計，2017年端午小長假全國各大景點共接待游客約為82600000

人次，數(shù)據(jù)82600000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.826X106B.8.26x107C.82.6xl06D.8.26xl08

4.（3分）在下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

直角三角形正五邊形

正方形平行四邊形

5.（3分）一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3,則這個三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

6.（3分）下列說法正確的是（）

A.檢測某批次燈泡的使用壽命，適宜用全面調(diào)查

B.可能性是1%的事件在一次試驗中一定不會發(fā)生

C.數(shù)據(jù)3,5,4,1,-2的中位數(shù)是4

D.“367人中有2人同月同日出生”為必然事件

7.（3分）某幾何體的三視圖如圖所示，因此幾何體是（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.長方形B.圓柱C.球D.正三棱柱

8.（3分）拋物線y=2（x-3）2+4頂點坐標(biāo)是（）

A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4)

9.(3分)如圖，已知直線a〃b,直線c分別與a,b相交，Zl=110°,則N2的度數(shù)為(

10.（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD的長分別為6cm,8cm,則這個菱形的周

A.5cmB.lOcmC.14cmD.20cm

11.（3分）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初日健

步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).”其大意是，有人要去某關(guān)口，路程為378

里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了

六天才到達目的地，則此人第六天走的路程為（）

A.24里B.12里C.6里D.3里

12.（3分）如圖，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的一點H重合（H不與端點

C,D重合），折痕交AD于點E,交BC于點F,邊AB折疊后與邊BC交于點G.設(shè)正方

形ABCD的周長為m,ACHG的周長為n,則工■的值為（

ID

近二1D.隨H點位置的變化而變化

2

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.（3分）分解因式：2a?+4a+2=.

14.（3分）方程組（x+kl的解是_______.

13x^=3

15.（3分）如圖，AB為。O的直徑，弦CD_LAB于點E,已知CD=6,EB=1,則＜30的半

徑為_______

16.（3分）如圖，△ABO三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2,4）,B（6,0）,O（0,0）,以原

點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的工，可以得到4A，BQ,已知點B，的坐標(biāo)是（3,

2

0）,則點A，的坐標(biāo)是

17.（3分）甲、乙兩名同學(xué)進行跳高測試，每人10次跳高的平均成績恰好是1.6米，方差

分別是S甲2=1.2,S乙2=0.5,則在本次測試中，同學(xué)的成績更穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）

18.（3分）如圖，點M是函數(shù)y=J5x與y=k的圖象在第一象限內(nèi)的交點，OM=4,則k

x

的值為.

三、解答題（本大題共8小題，共66分）

19.（6分）計算：|-3|+（71-2017）0-2sin30°+（工）-1

3

20.(6分)解不等式組產(chǎn)，：并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

15x-l>3(x+l)

-5-4-3-2-1012345>

21.(8分)為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，市教育局決定開展“經(jīng)典誦讀進校園”活動，某校

團委組織八年級100名學(xué)生進行“經(jīng)典誦讀”選拔賽，賽后對全體參賽學(xué)生的成績進行整理，

得到下列不完整的統(tǒng)計圖表.

組別分數(shù)段頻次頻率

A60<x<70170.17

B70<x<8030a

C80<x<90b0.45

D90<x<10080.08

請根據(jù)所給信息，解答以下問題：

(1)表中a=,b=；

(2)請計算扇形統(tǒng)計圖中B組對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；

(3)已知有四名同學(xué)均取得98分的最好成績，其中包括來自同一班級的甲、乙兩名同學(xué),

學(xué)校將從這四名同學(xué)中隨機選出兩名參加市級比賽，請用列表法或畫樹狀圖法求甲、乙兩名

同學(xué)都被選中的概率.

B

45%

22.（8分）為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)利，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理，

如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時50海里的速度向正東方航行，在A處測得燈塔

P在北偏東60。方向上，繼續(xù)航行1小時到達B處，此時測得燈塔P在北偏東30。方向上.

（1）求NAPB的度數(shù)；

（2）已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

23.（9分）如圖，AB與。O相切于點C,OA,OB分別交。。于點D,E,CD=CE

（1）求證：OA=OB；

（2）已知AB=4A/G，OA=4,求陰影部分的面積.

O.

D

AB

24.(9分)自從湖南與歐洲的“湘歐快線”開通后，我省與歐洲各國經(jīng)貿(mào)往來日益頻繁，某

歐洲客商準(zhǔn)備在湖南采購一批特色商品，經(jīng)調(diào)查,用16000元采購A型商品的件數(shù)是用7500

元采購B型商品的件數(shù)的2倍，一件A型商品的進價比一件B型商品的進價多10元.

(1)求一件A,B型商品的進價分別為多少元？

(2)若該歐洲客商購進A,B型商品共250件進行試銷，其中A型商品的件數(shù)不大于B型

的件數(shù)，且不小于80件.已知A型商品的售價為240元/件，B型商品的售價為220元/件,

且全部售出.設(shè)購進A型商品m件，求該客商銷售這批商品的利潤v與m之間的函數(shù)關(guān)系

式，并寫出m的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，歐洲客商決定在試銷活動中每售出一件A型商品，就從一件A型

商品的利潤中捐獻慈善資金a元，求該客商售完所有商品并捐獻慈善資金后獲得的最大收

益.

25.(10分)若三個非零實數(shù)x,y,z滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)

的和，則稱這三個實數(shù)x,y,z構(gòu)成“和諧三組數(shù)”.

(1)實數(shù)1,2,3可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”嗎？請說明理由；

(2)若M(t,yi),N(t+1,y2),R(t+3,y3)三點均在函數(shù)y='(k為常數(shù)，厚0)的圖

x

象上，且這三點的縱坐標(biāo)yi,y2,y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，求實數(shù)t的值；

(3)若直線y=2bx+2c(be#))與x軸交于點A(xi，0),與拋物線y=ax?+3bx+3c(a，0)

交于B(X2,y2),C(X3,y3)兩點.

①求證：A,B,C三點的橫坐標(biāo)Xi，X2,X3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；

②若a>2b>3c,X2=l,求點PJ卜)與原點O的距離OP的取值范圍.

aa

26.(10分)如圖，拋物線y=mx2-16mx+48m(m>0)與x軸交于A,B兩點(點B在點

A左側(cè))，與y軸交于點C,點D是拋物線上的一個動點，且位于第四象限，連接OD、BD、

AC、AD,延長AD交y軸于點E.

(1)若△OAC為等腰直角三角形，求m的值；

(2)若對任意m>0,C、E兩點總關(guān)于原點對稱，求點D的坐標(biāo)(用含m的式子表示)；

(3)當(dāng)點D運動到某一位置時，恰好使得/ODB=/OAD,且點D為線段AE的中點，此

2

時對于該拋物線上任意一點P(xo,yo)總有n+l>-4V3my0-12心o-50成立，求實數(shù)

6

n的最小值.

2017年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）

1.（3分）下列實數(shù)中，為有理數(shù)的是（）

A.A/3B.7tC.我D.1

【分析】根據(jù)有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案.

【解答】解：M，n,如是無理數(shù)，

1是有理數(shù)，

故選：D.

【點評】本題考查了實數(shù)，正確區(qū)分有理數(shù)與無理數(shù)是解題關(guān)鍵.

2.（3分）下列計算正確的是（）

A.Vs+75=VsB.a+2a=2a2C.x（1+y）=x+xyD.（mn2）3=mn6

【分析】分別利用合并同類項法則以及單項式乘以多項式和積的乘方運算法則化簡判斷即

可.

【解答】解：A、無法計算，故此選項錯誤；

B、a+2a=3a,故此選項錯誤；

C、x（1+y）=x+xy,正確；

D、（mr?）3=m3n6,故此選項錯誤；

故選：C.

【點評】此題主要考查了合并同類項以及單項式乘以多項式和積的乘方運算等知識，正確掌

握運算法則是解題關(guān)鍵.

3.（3分）據(jù)國家旅游局統(tǒng)計，2017年端午小長假全國各大景點共接待游客約為82600000

人次，數(shù)據(jù)82600000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.826X106B.8.26X107C.82.6xl06D.8.26xl08

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中13al<10,n為整數(shù).確定n的值時,

要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)

絕對值>1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，n是負數(shù).

【解答】解：將82600000用科學(xué)記數(shù)法表示為：8.26X107.

故選B.

【點評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中

l<|a|<10,n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

直角三角形

平行四邊形

［分析］根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項正確;

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選C.

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,

圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

5.（3分）一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3,則這個三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。計算即可.

【解答】解：設(shè)三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為x、2x、3x,

則x+2x+3x=180°,

解得，x=30°,

貝ij3x=90°,

這個三角形一定是直角三角形，

故選：B.

【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于180。是解題的關(guān)

鍵.

6.（3分）下列說法正確的是（）

A.檢測某批次燈泡的使用壽命，適宜用全面調(diào)查

B.可能性是1%的事件在一次試驗中一定不會發(fā)生

C.數(shù)據(jù)3,5,4,1,-2的中位數(shù)是4

D.“367人中有2人同月同日出生”為必然事件

【分析】根據(jù)可能性的大小、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的定義及中位數(shù)概念、必然事件、不可能

事件、隨機事件的概念進行判斷即可.

【解答】解：A、檢測某批次燈泡的使用壽命，調(diào)查具有破壞性，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，此選項

錯誤；

B、可能性是1%的事件在一次試驗中可能發(fā)生，此選項錯誤；

C、數(shù)據(jù)3,5,4,1,-2的中位數(shù)是3,此選項錯誤；

D、“367人中有2人同月同日出生”為必然事件，此選項正確；

故選：D.

【點評】本題主要考查可能性的大小、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的定義及中位數(shù)概念、隨機事件,

熟練掌握基本定義是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）某幾何體的三視圖如圖所示，因此幾何體是（）

俯視圖

A.長方形B.圓柱C.球D.正三棱柱

【分析】從正面看到的圖叫做主視圖，從左面看到的圖叫做左視圖，從上面看到的圖叫做俯

視圖.

【解答】解：從正面看，是一個矩形；從左面看，是一個矩形；從上面看，是圓，這樣的幾

何體是圓柱，

故選B.

【點評】本題考查了幾何體的三種視圖，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中.

8.(3分)拋物線y=2(x-3)2+4頂點坐標(biāo)是()

A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4)

【分析】已知解析式為頂點式，可直接根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點，求頂點坐標(biāo).

【解答】解：y=2(x-3)2+4是拋物線的頂點式，

根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點可知，頂點坐標(biāo)為(3,4).

故選A.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記：頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,頂點坐

標(biāo)是(h,k),對稱軸是x=h.

9.(3分)如圖，已知直線2〃卜直線c分別與a,b相交，Zl=110°,則N2的度數(shù)為()

A.60°B.70°C.80°D.110°

【分析】直接根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：???直線a〃b,

.?.Z3=Z1=11O°,

.?.Z2=180°-110°=70°,

故選B.

【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等.

10.（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD的長分別為6cm,8cm,則這個菱形的周

長為（）

A.5cmB.lOcmC.14cmD.20cm

【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得ACLBD,OA=1AC,OB」BD,再利用勾

22

股定理列式求出AB,然后根據(jù)菱形的四條邊都相等列式計算即可得解.

【解答】解：：四邊形ABCD是菱形，

；.AC_LBD,OA」AC=L<6=3cm,

22

OB=—BD=—x8=4cm,

22

根據(jù)勾股定理得，AB=J0+oB2=132+42=5cm,

所以，這個菱形的周長=4x5=20cm.

故選D.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分，需熟

記.

11.（3分）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初日健

步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).”其大意是，有人要去某關(guān)口，路程為378

里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了

六天才到達目的地，則此人第六天走的路程為（）

A.24MB.12里C.6里D.3里

【分析】設(shè)第一天走了X里，則第二天走了Lx里，第三天走了LxLx…第六天走了（!）

2222

5x里，根據(jù)路程為378里列出方程并解答.

【解答】解：設(shè)第一天走了x里，

依題意得：x+—x+—x+—x+-i-x+-^-x=378,

2481632

解得x=192.

則（L）5x=（工）5乂192=6（里）.

22

故選：c.

【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用.根據(jù)題意得到（L）5x里是解題的難點.

2

12.（3分）如圖，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的一點H重合（H不與端點

C,D重合），折痕交AD于點E,交BC于點F,邊AB折疊后與邊BC交于點G.設(shè)正方

形ABCD的周長為m,ACHG的周長為n,則工■的值為（）

C.近二1D.隨H點位置的變化而變化

2

【分析】設(shè)CH=x,DE=y,則DH=2-X,EH=q-y,然后利用正方形的性質(zhì)和折疊可以

44

證明ADEHs^CHG,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以把CG,HG分別用x,y分別表

示，△CHG的周長也用x,y表示，然后在RtADEH中根據(jù)勾股定理可以得到叫x-x?」之,

22

進而求出^CHG的周長.

【解答】解：設(shè)CH=x,DE=y,貝!JDH=皿-x,EH=2-y,

44

ZEHG=90°,

.*.ZDHE+ZCHG=90°.

???ZDHE+ZDEH=90°,

.\NDEH=NCHG,

XVZD=ZC=90°,△DEH^ACHG,

?CGCHHG用CGxHG

DHDEEH叫—y叫―

44y

x(y-x)x借p)

r.CG=―------，HG=―--------,

yy

mx2

v-x

ACHG的周長為n=CH+CG+HG=4--------，

y

在RtADEH中，DH2+DE2=EH2

即(典-X)2+y2=(B-y)2

44

整理得工匹-x2理，

22

mx2四

虧-x~D~m

n=CH+HG+CGi---------=z-ra.

yy2

；n,l

in2

故選:B.

【點評】本題考查翻折變換及正方形的性質(zhì)，正方形的有些題目有時用代數(shù)的計算證明比用

幾何方法簡單，甚至幾何方法不能解決的用代數(shù)方法可以解決.本題綜合考查了相似三角形

的應(yīng)用和正方形性質(zhì)的應(yīng)用.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

13.(3分)分解因式：2a2+4a+2=2(a+1)2.

【分析】原式提取2,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=2(a2+2a+l)

=2(a+1)2,

故答案為：2（a+1）2.

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的

關(guān)鍵.

14.（3分）方程組伊尸1的解是」X=1_.

[3x-y=3[.0

【分析】根據(jù)加減消元法，可得答案.

【解答】解：兩式相加，得

4x=4,解得x=l,

把x=l代入x+y=l,解得y=0,

方程組的解為

ly=O

故答案為：

ly=O

【點評】本題考查了解二元一次方程組，利用加減消元法是解題關(guān)鍵.

15.（3分）如圖，AB為。O的直徑，弦CD_LAB于點E,已知CD=6,EB=1,則＜30的半

【分析】連接OC,由垂徑定理知，點E是CD的中點，AE=LCD,在直角aOCE中，利

2

用勾股定理即可得到關(guān)于半徑的方程，求得圓半徑即可.

【解答】解：連接0C,

：AB為。O的直徑，ABXCD,

CE=DE=—CD=^x6=3,

22

設(shè)。O的半徑為xcm,

貝!JOC=xcm,OE=OB-BE=x-1,

在R3OCE中，OC2=OE2+CE2,

AX2=32+(x-1)2,

解得：x=5,

???OO的半徑為5,

故答案為：5.

【點評】本題利用了垂徑定理和勾股定理求解，熟練掌握并應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵.

16.（3分）如圖，△ABO三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2,4）,B（6,0）,O（0,0）,以原

點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的工，可以得到仆A-B-O,已知點B，的坐標(biāo)是（3,

2

0）,則點A，的坐標(biāo)是（1,2）.

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)進行計算即可.

【解答】解：：點A的坐標(biāo)為（2,4）,以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的

1

2

.,.點A，的坐標(biāo)是（2X_L,4XL）,即（1,2）,

22

故答案為：（1,2）.

【點評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為

位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k是解題的關(guān)鍵.

17.（3分）甲、乙兩名同學(xué)進行跳高測試，每人10次跳高的平均成績恰好是1.6米，方差

分別是S甲2=1.2,S乙2=0.5,則在本次測試中，乙同學(xué)的成績更穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）

【分析】根據(jù)方差的意義可作出判斷.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越小，

表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

【解答】解：甲2=1.2,S乙2=0$,

ASQS乙,

，甲、乙兩名同學(xué)成績更穩(wěn)定的是乙；

故答案為：乙.

【點評】本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這

組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布

比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

18.(3分)如圖，點M是函數(shù)y=J^x與y=K的圖象在第一象限內(nèi)的交點，0M=4,則k

X

的值為4M

【分析】作MN_Lx軸于N,得出M(x,V3x),在R30MN中，由勾股定理得出方程,

解方程求出x=2,得出M(2,2、后,即可求出k的值.

【解答】解：作MNLx軸于N,如圖所示：

設(shè)M(x,y),

:點M是函數(shù)y=V3x與y=N的圖象在第一象限內(nèi)的交點，

X

.'.M(x,心)，

在RtAOMN中，由勾股定理得：x2+(V5x)2=42,

解得：x=2,

；.M(2,2后，

代入y=k得：k=2x2夷=4?；

X

故答案為：4M.

y

顯

-x

ON

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象得交點、勾股定理、反比例函數(shù)解析式的

求法；求出點M的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共8小題，共66分）

19.（6分）計算：|-3|+（兀-2017）0-2sin30°+（工）-1.

3

【分析】原式利用絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)累、負整數(shù)指數(shù)塞法則，以及特殊角的三角函

數(shù)值計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=3+1-1+3=6.

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，絕對值，以及零指數(shù)塞、負整數(shù)指數(shù)幕，熟練掌握運算法

則是解本題的關(guān)鍵.

20.（6分）解不等式組4"、:、，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

5x-l>3（x+l）

-5-4-3-2-1012345>

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、

大大小小無解了確定不等式組的解集.

【解答】解:解不等式2xN-9-x,M：x>-3,

解不等式5x-l>3（x+1）,得：x>2,

則不等式組的解集為x>2,

將解集表示在數(shù)軸上如下：

?|||?1|A|1?）

-5-4-3-2-1012345

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同

大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

21.（8分）為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，市教育局決定開展“經(jīng)典誦讀進校園”活動，某校

團委組織八年級100名學(xué)生進行“經(jīng)典誦讀”選拔賽，賽后對全體參賽學(xué)生的成績進行整理,

得到下列不完整的統(tǒng)計圖表.

組另IJ分數(shù)段頻次頻率

A60<x<70170.17

B70<x<8030a

C80<x<90b0.45

D90<x<10080.08

請根據(jù)所給信息，解答以下問題：

(1)表中a=0.3,b=45；

(2)請計算扇形統(tǒng)計圖中B組對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；

(3)已知有四名同學(xué)均取得98分的最好成績，其中包括來自同一班級的甲、乙兩名同學(xué),

學(xué)校將從這四名同學(xué)中隨機選出兩名參加市級比賽，請用列表法或畫樹狀圖法求甲、乙兩名

同學(xué)都被選中的概率.

【分析】(1)首先根據(jù)A組頻數(shù)及其頻率可得總?cè)藬?shù)，再利用頻數(shù)、頻率之間的關(guān)系求得a、

b；

(2)B組的頻率乘以360。即可求得答案；

(2)列樹形圖后即可將所有情況全部列舉出來，從而求得恰好抽中者兩人的概率；

【解答】解：⑴本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為17HM7=100(人),

則2=也_=0.3,b=100x0.45=45(人)，

100

故答案為：0.3,45；

(2)360°x0.3=108°,

答：扇形統(tǒng)計圖中B組對應(yīng)扇形的圓心角為108。；

(3)將同一班級的甲、乙學(xué)生記為A、B,另外兩學(xué)生記為C、D,

..?共有12種等可能的情況，甲、乙兩名同學(xué)都被選中的情況有2種，

，甲、乙兩名同學(xué)都被選中的概率為2=1.

126

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖

中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)

計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

22.(8分)為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)利，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理，

如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時50海里的速度向正東方航行，在A處測得燈塔

P在北偏東60。方向上，繼續(xù)航行1小時到達B處，此時測得燈塔P在北偏東30。方向上.

(1)求/APB的度數(shù)；

(2)已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

【分析】(1)在△ABP中，求出NPAB、/PBA的度數(shù)即可解決問題;

(2)作PHXAB于H.求出PH的值即可判定；

【解答】解:(1)VZPAB=30°,ZABP=120°,

.,.ZAPB=180°-ZPAB-ZABP=30°.

(2)作PH_LAB于H.

1.,ZBAP=ZBPA=30°,

.*.BA=BP=50,

在RtAPBH中，PH=PB?sin60°=50xY3=25E，

2

V25A/3>25,

，海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確根據(jù)題意畫出圖形、準(zhǔn)確標(biāo)

注方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

23.（9分）如圖，AB與。O相切于點C,OA,OB分別交。O于點D,E,CD=CE

（1）求證：OA=OB；

求陰影部分的面積.

【分析】（1）連接0C,由切線的性質(zhì)可知/ACO=90。，由于CD=CE，所以/AOC=NBOC,

從而可證明NA=/B,從而可知OA=OB；

（2）由（1）可知：AAOB是等腰三角形，所以AC=2jQ，從可求出扇形OCE的面積以及

△OCB的面積

【解答】解：（1）連接OC,

VAB與。。相切于點C

.?.ZACO=90°,

由于CD=CE，

.\ZAOC=ZBOC,

.\ZA=ZB

.?.OA=OB,

（2）由（1）可知：AOAB是等腰三角形,

.?.BC=-^-AB=2A/3-

.,.sin/COB&ai,

OB2

.-.ZCOB=60°,

.1.ZB=30°,

.?.OC」OB=2,

2

...扇形OCE的面積為：60兀X4=2J￡

3603

AOCB的面積為：A.X2V3X2=2A/3

??S陰影=2，*^"—Ti

3

【點評】本題考查切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求證OA=OB,然后利用等腰三角形的三線合

一定理求出BC與OC的長度，從而可知扇形OCE與△OCB的面積，本題屬于中等題型.

24.（9分）自從湖南與歐洲帕勺“湘歐快線”開通后，我省與歐洲各國經(jīng)貿(mào)往來日益頻繁，某

歐洲客商準(zhǔn)備在湖南采購一批特色商品，經(jīng)調(diào)查，用16000元采購A型商品的件數(shù)是用7500

元采購B型商品的件數(shù)的2倍，一件A型商品的進價比一件B型商品的進價多10元.

（1）求一件A,B型商品的進價分別為多少元？

（2）若該歐洲客商購進A,B型商品共250件進行試銷，其中A型商品的件數(shù)不大于B型

的件數(shù)，且不小于80件.已知A型商品的售價為240元/件，B型商品的售價為220元/件,

且全部售出.設(shè)購進A型商品m件，求該客商銷售這批商品的利潤v與m之間的函數(shù)關(guān)系

式，并寫出m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，歐洲客商決定在試銷活動中每售出一件A型商品，就從一件A型

商品的利潤中捐獻慈善資金a元，求該客商售完所有商品并捐獻慈善資金后獲得的最大收

血.

【分析】（1）設(shè)一件B型商品的進價為x元，則一件A型商品的進價為（x+10）元.根據(jù)

16000元采購A型商品的件數(shù)是用7500元采購B型商品的件數(shù)的2倍，列出方程即可解決

問題；

(2)根據(jù)總利潤=兩種商品的利潤之和，列出式子即可解決問題；

(3)設(shè)利潤為w元.則w=(80-a)m+70(250-m)=(10-a)m+17500,分三種情形

討論即可解決問題.

【解答】解：(1)設(shè)一件B型商品的進價為x元，則一件A型商品的進價為(x+10)元.

由題意：160也=返”2,

x+10x

解得x=150,

經(jīng)檢驗x=150是分式方程的解，

答：一件B型商品的進價為150元，則一件A型商品的進價為160元.

(2)因為客商購進A型商品m件，所以客商購進B型商品(250-m)件.

由題意：v=80m+70(250-m)=10m+17500,

'/80<m<250-m,

/.80<m<125,

(3)設(shè)利潤為w元.則w=(80-a)m+70(250-m)=(10-a)m+17500,

①當(dāng)10-a>0時，w隨m的增大而增大，所以m=125時，最大利潤為(18750-125a)元.

②當(dāng)10-a=0時，最大利潤為17500元.

③當(dāng)10-a<0時，w隨m的增大而減小，所以m=80時，最大利潤為(18300-80a)元.

【點評】本題考查分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會

構(gòu)建方程或一次函數(shù)解決問題，屬于中考常考題型.

25.(10分)若三個非零實數(shù)x,y,z滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)

的和，則稱這三個實數(shù)x,y,z構(gòu)成“和諧三組數(shù)”.

(1)實數(shù)1,2,3可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”嗎？請說明理由；

(2)若M(t,yi),N(t+1,y2),R(t+3,y3)三點均在函數(shù)y=k(k為常數(shù)，厚0)的圖

x

象上，且這三點的縱坐標(biāo)yi,y2,y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，求實數(shù)t的值；

(3)若直線y=2bx+2c(bcRO)與x軸交于點A(xi，0),與拋物線y=ax?+3bx+3c(a，0)

交于B(X2，y2)，c(X3，y3)兩點.

①求證：A,B,C三點的橫坐標(biāo)Xi，X2,X3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；

②若a>2b>3c,X2=l,求點P(―,—)與原點O的距離OP的取值范圍.

aa

【分析】(1)由和諧三組數(shù)的定義進行驗證即可；

(2)把M、N、R三點的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)解析式，可用t和k分別表示出yi、y2、

y3,再由和諧三組數(shù)的定義可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；

(3)①由直線解析式可求得xi=-￡,聯(lián)立直線和拋物線解析式消去y,利用一元二次方程

b

根與系數(shù)的關(guān)系可求得X2+X3=-k,X2X3=&,再利用和諧三數(shù)組的定義證明即可；②由條

aa

件可得到a+b+c=0,可得c=-(a+b),由a>2b>3c可求得旦的取值范圍，令m=2利用

aa

兩點間距離公式可得到OP?關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得OP?的取值范

圍，從而可求得0P的取值范圍.

【解答】解:

(1)不能，理由如下：

VI,2、3的倒數(shù)分別為1、1、1

實數(shù)1,2,3不可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；

(2)VM(t,yi),N(t+1,y2),R(t+3,y3)三點均在函數(shù)&(k為常數(shù)，WO)的圖象

x

上，

yi>y2、y3均不為0，且yi=K,y2=—&—，y3=—K—，

tt+1t+3

..1t1t+l1t+3

Yiky2ky3k

Vyi,y2,y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，

有以下三種情況：

當(dāng)l-=」-+2-時，貝1］工=上土L+上坦，即1n+1+1+3,解得t=-4；

了1y2y3kkk

當(dāng)」-=」一+2-時，貝ij曲=2+生，即t+l=t+t+3,解得t=-2；

乃y1V3

當(dāng)工=工+2-時，貝上坦=工+上土L,即t+3=t+t+l,解得t=2；

y3yly2kkk

的值為-4、-2或2；

(3)①：a、b、c均不為0,

二?Xl，X2,X3都不為0,

??,直線y=2bx+2c(bc#0)與X軸交于點A(xi，0),

0=2bxi+2c,解得xi=-—,

b

聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c=ax?+3bx+3c,即ax2+bx+c=0,

???直線與拋物線交與B(X2，y2)，C(x3,ys)兩點，

X2>X3是方程ax2+bx+c=0的兩根，

??X2+X3=-—'X2X3=0,

aa

_b_

-1^1_X2+X3_^￡__b_1

x2x3X2X3—cxj

a

AXI，X2,X3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；

@VX2=L

a+b+c=0,

/.c=-a-b,

Va>2b>3c,

,(a>2bQi.-I

.??a>2b>3(-a-b)>且a>0,整理可得J，解得—-V—V—，

5b>-3a5a2

?/P,—)

aa

22222

：.OP=(—)+(—)=(-a-b)2+(回)2=2(k)+2^-+l=2(—+—)+-L,

aaaaaaa22

々m=b,則且n#0,且OP?=2(m+1)2+^,

a5222

V2>0,

當(dāng)--<m<-1時，OP2隨m的增大而減小，當(dāng)m=-工時，OP?有最大值坦，當(dāng)m=

52550

-L時，op?有最小值!，

22

當(dāng)-L<m<1時，OP?隨m的增大而增大，當(dāng)m=-工時，OP?有最小值!，當(dāng)m」時，

22222

OP?有最大值反，

2

.?工op2<5且OP2#b

2-2

?；P到原點的距離為非負數(shù)，

.?.返且OP^l.

2一2

【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義、函數(shù)圖象的交點、一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想等知識.在（1）中注意

利用和諧三數(shù)組的定義，在（2）中由和諧三數(shù)組得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）

①中用a、b、C分別表示出Xi，X2,X3是解題的關(guān)鍵，在（3）②中把OP?表示成二次函數(shù)

的形式是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是最后一問，難度很大.

26.（10分）如圖，拋物線y=mx2-16mx+48m（m>0）與x軸交于A,B兩點（點B在點

A左側(cè)），與y軸交于點C,點D是拋物線上的一個動點，