試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁模型1

平面向量幾何意義的應用【問題背景】平面向量作為一種基本工具，在平面幾何問題的求解中起到極其重要的作用，而教材中對于平面向量給出了幾何表示和坐標表示兩種形式，相比較而言，學生對于向量的坐標表示更容易接受和理解，但對向量的幾何表示包括幾何運算往往感到比較困難，然而從平面向量的幾何意義來看，其中又有很多獨特之處，如能合理地運用向量的加法、減法的平行四邊形法則或三角形法則以及向量平行與垂直的充要條件，結合平面向量的基本定理等這些幾何意義，那么在解決平面幾何問題時往往就能起到避繁就簡的效果.【解決方法】【典例1】（平面向量與解三角形交匯，雙空題｜2023天津）在三角形中，，為線段的中點，為線段的中點，若設，則可用表示為__________；若，則的最大值為__________.【套用模型】第一步：整體審題根據題中：若設，顯然以它們作為基底向量，借助與向量的加法，減法等運算表示出新的向量，再結合向量數量積的運算，運用函數和不等式的相關知識求最值.第二步：尋找聯想.題中已指定了兩個不共線的向量，故聯想到平面向量基本定理.在中，，點為的中點，點為的中點.對于第一空，用，表示即可；對于第二空，可作出圖形，再進行分析.第三步：確定方法并運算.選擇合適的三角形，借助向量的加法、減法和數乘運算表示出新的向量，再結合數量積的運算處理問題.第一空由于為的中點，所以，又是的中點，所以.由于，所以.第二空作出圖形，如圖1所示.圖1因為，所以，由可得，即，即.于是.記，則.在中，根據余弦定理得，于是.由和基本不等式得，，當且僅當時取得等號，故，則時，有最大值.第四步：得出結論故答案為：；.【典例2】（22-23高三下·陜西咸陽·期末）如圖2，中，，，半徑為1的分別交，于點，點是劣弧上的一個動點，則的取值范圍是________.圖2【套用模型】第一步：整體審題根據本題中的圖形是一個等腰三角形為背景，故聯想到可以建立平面直角坐標系，用坐標法處理本題.再結合向量數量積的運算，運用函數和不等式的相關知識求相關的范圍.第二步：尋找聯想.是頂角為、腰為4的等腰三角形，的半徑為1，是劣弧上的一個動點，求的取值范圍.有題圖，可以考慮建系；也可以考慮取三角形底邊的中點，用幾何法解決.第三步：確定方法并運算，運用坐標法處理，結合三角函數進行處理.方法一：坐標法如圖3，以為原點，垂直于的直線為軸建立平面直角坐標系，則，設，其中.所以.圖3因為，所以.方法二：幾何法如圖4，取的中點，連接，則兩個動向量均可用一個動向量和一個定向量表示..圖4因為為定值，所以的變化可由的變化確定.連接，易得，當為劣弧與的交點時，取得最小值，為；連接，的最大值為.所以的取值范圍是，即.第四步：得出結論所以一、單選題（22-23高三下·黑龍江大慶·期中）1．在中.已知是延長線上一點.點為線段的中點.若.且.則(

)A． B． C． D．（22-23高三下·湖南長沙·階段練習）2．如圖，在中，已知，，E，F分別是邊AB，AC上的點，且，，其中，，且，若線段EF，BC的中點分別為M，N，則的最小值為（

）A． B． C． D．（22-23高三上·山西呂梁·期中）3．如圖，在中，O為線段BC上一點，且，G為線段AO的中點，過點G的直線分別交直線AB，AC于D，E兩點，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2（2023·湖北武漢·一模）4．在中，為線段的中點，為線段垂直平分線上任一異于的點，則A． B． C． D．7（22-23高三上·浙江·開學考試）5．婆羅摩芨多是公元7世紀的古印度偉大數學家，曾研究過對角線互相垂直的圓內接四邊形，我們把這類四邊形稱為婆羅摩芨四邊形．如圖，已知圓O內接四邊形ABCD中，對角線于點P，過點P的直線EF分別交一組對邊AB，CD于點E，F，且，則①；②；③為定值；④，以上結論正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4（22-23高三上·浙江溫州·期末）6．在面積為2的中，，分別是，的中點，點在直線上，則的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．二、填空題（22-23高三上·江蘇南通·期中）7．如圖，在三角形中，點是邊上一點，且，點是邊的中點，過作的垂線，垂足為，若，則．

（22-23高三上·天津南開·期末）8．如圖，在中，，，，，分別是邊，上的點，，且，則，若是線段的中點，且，則.（23-24高三上·天津東麗·期中）9．在中，，面積為，點D為的中點，，設，，則用，表示為；若點F為的中點，則的最小值為．（22-23高三下·浙江·期中）10．如圖，設中的角所對的邊是，已知，，點分別為邊上的動點，線段交于點，且，若，則.（2023·天津津南·模擬預測）11．在中，是邊的中點，是線段的中點.設，試用表示為；若的面積為，則當時，取得最小值.（22-23高三下·重慶南岸·期中）12．如圖，在中，已知，點D，E分別在邊AB，AC上，且，，點F為線段DE上的動點，則的取值范圍是.

（2023·天津·一模）13．如圖，在中，，D,E分別邊AB,AC上的點,且，則，若P是線段DE上的一個動點，則的最小值為.（22-23高三上·天津和平·期末）14．如圖，在中，，，D，E分別是直線，上的點，，，且，則．若P是線段上的一個動點，則的最小值為．（22-23高三上·北京密云·期中）15．如圖，在中，，，.為內部（包含邊界）的動點，且.則；的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【分析】通過利用向量的三角形法則,以及向量共線,由,,,求解,結合條件,即可求得答案.【詳解】,,,可得:由故選:A.【點睛】本題主要考查了向量的三角形法則,解題關鍵是掌握向量的基礎知識,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.2．C【分析】根據平面向量加法的運算法則，結合平面向量基本定理和平面向量數量積的運算性質進行求解即可.【詳解】因為，，所以，因為，所以，所以因為，，所以，當時，有最小值，最小值為，故選：C【點睛】關鍵點睛：運用平面向量加法的運算法則，利用平面向量數量積的運算性質是解題的關鍵.3．C【分析】根據向量的線性運算的幾何表示及向量共線可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】因為，所以，即，又因為G為線段AO的中點，所以，因為，，所以，因為D、G、E三點共線，所以，即，所以，當且僅當，即時取等號．故選：C.4．A【分析】利用勾股定理求得，利用向量垂直的性質可得，利用平面向量運算的平行四邊形法則與三角形法則，可得，從而可得結果.【詳解】由，得，，由勾股定理，得，因為為線段垂直平分線上任一異于的點，所以，可得，故選A.【點睛】本題主要考查向量的幾何運算及數量積公式、向量的夾角，屬于中檔題．向量的幾何運算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）．5．D【分析】對于①：根據圓的性質可得，由此可判斷；對于②：根據平面幾何知識可得，，由此可判斷；對于③：由勾股定理可判斷；對于④：根據向量的線性運算和向量數量積運用可判斷.【詳解】解：對于①：因為，，所以點F是CD的中點，且有PF=CF=FD，所以，又，，所以，所以，所以，故①正確；對于②：連接CO并延長交圓O于G，連接GD，則，又，所以，且，又，，，所以，所以，所以，即，故②正確；對于③：，CG為圓的直徑，所以為定值，故③正確；對于④：，又，所以，所以，故④正確，所以正確的命題的個數是4個，故選：D.6．C【解析】根據平面幾何知識，結合三角形面積公式，可得，即可求得的表達式，由余弦定理結合基本不等式，可得，進而可得的表達式，利用導數判斷的單調性，即可求得函數的最小值，即可得答案.【詳解】因為，分別是，的中點，點在直線上，所以EF到BC的距離即為點A到BC距離的一半，所以的面積=2的面積，即，設角，，所以，即，所以，由余弦定理得：，顯然，所以，所以，所以，令，則，令，解得，當時，即時，，函數為增函數，當時，即時，，函數為減函數，所以當時，即時，函數有最小值，且為，所以的最小值是.故選：C【點睛】解題的關鍵是熟練掌握數量積公式，面積公式，基本不等式等，并靈活應用，易錯點為當在為減函數，所以為先減后增函數，即有最小值，考查分析理解，計算求值的能力，綜合性強，屬中檔題.7．32【分析】根據線段對應向量的位置關系，利用向量加減、數量積運算律及幾何意義得到，即可求結果.【詳解】由題設，，又，故，由及數量積幾何意義，則.故答案為：328．【分析】由向量的數量積計算可得，平面向量的線性運算可得，由平面向量的基本定理可得的值，進而可得結論.【詳解】由，，所以，所以；由是的中點，所以,所以又，所以，化簡可得，又，所以，所以故答案為:9．##0.5【分析】根據向量的線性運算，結合為的中點進行求解；用表示出，結合上一空答案，于是可由表示，然后根據數量積的運算和基本不等式求解.【詳解】因為，則，可得;因為點F為的中點，，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，，由基本不等式,于是，當且僅當取得等號，則時，有最小值.故答案為：；.10．【分析】由向量的線性運算結合三點共線可得，由三角形的面積滿足的關系可得，聯立即可求解，，由向量的模長公式即可求解.【詳解】設，三點共線，.①又，.②,由①②得或（舍去）,故，,（或者在中可以用余弦定理求出.）故答案為：11．2【分析】根據向量加減法的線性運算即可求解，由的面積求得的值，利用平面向量的線性運算與數量積運算求出，利用基本不等式求出它取最小值時、的值，再利用余弦定理求出的值．【詳解】是邊的中點，是線段的中點，則，所以如圖所示，中，，所以的面積為，所以；所以；當且僅當時取等號，所以的最小值為6；所以此時，，，所以，所以．故答案為：；2．

12．【分析】運用平面向量基本定理和數量積的定義，將表示為某變量的函數，進而求出取值范圍即可.【詳解】因為，所以，，設，則，，則，對于，其開口向上，對稱軸為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取得最大值，當時，取得最小值，所以的取值范圍是.故答案為：13．1【解析】由利用數量積公式可求的值為1，設的長為，則，，利用平面向量的幾何運算法則結合數量積的運算法則，可得，再利用配方法可得結果【詳解】，；又因為且，為正三角形，，，，設的長為（），則，，時取等號，的最小值為.故答案為：1，.【點睛】向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結合平面幾何知識和三角函數知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）平面向量數量積的計算問題，往往有兩種形式，一是利用數量積的定義式，二是利用數量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當的平面直角坐標系，可起到化繁為簡的妙用．14．【分析】由題可知，，由，可得，代入相應數據即可求得的值，從而求得；設，，根據平面向量的混合運算可推出，再利用配方法即可得解．【詳解】∵，，∴，，∵，∴，解得，∵，∴．設，，∴，∴當時，有最小值，為．故答案為：；．【點睛】(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．15．4【分析】方法1：①由正弦定理求得，進而可求得b，可得在是等腰三角形，取BC的中點E，在中可求得AE，再由可求得的值.②設，，則展開計算，轉化為三角函數在給定區(qū)間上求值域，即可得結果.方法2：①由余弦定理求得