2020-2021學(xué)年宜春市高安中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60?0分）

1.設(shè)集合4={%|-3<%<4],5={%|-2<%<5},則4U8=()

A.{x|-2<x<4}B.{%|-3<%<5]

C.{x|—3<x<-2}D.{x|4<%<5]

2.將函數(shù)/（%）=VSsinxcosx+cos?%-g的圖象向左平移泠單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)

9。）是（）

A.周期為兀的奇函數(shù)B.周期為兀的偶函數(shù)

C.周期為2兀的奇函數(shù)D.周期為27r的偶函數(shù)

3.函數(shù)7?（%）=2%+?的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,2]B.[-2,0)U(0,2]

C.(-co,-2]U[2,+oo)D.(-2,0)U(0,2)

4.己知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（l,-百）,則cosa等于（）

V3

ABcD.

-I-T-42

sinacosa

已知向量五=(4sina,1—COSQ),b=(1,-2)，若五.石=一2,則=()

2cos2a-sin2a

A.1B.-1c*D-

6.若扇形的弧長是8c/n,面積是8c/n2,則扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）

A.1B.2C.7TD.4

7.點(diǎn)G為△4BC的重心，設(shè)耘=4,GC=則四=（）

A.|五一/B.坦+轉(zhuǎn)C.b-2aD.2a+b

8.如果將函數(shù)y=g（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再向左平移m個單位長度，得到函

數(shù)〃乃=5也（：》+》的圖象，則y=g（x）圖象的一條對稱軸的直線方程為（）

.IT

A.x=-B.%*C.x=；D.x=2n

9.cosl05°cos450+sin450si/il05°的值()

A-；B*C-TDT

10.關(guān)于哥函數(shù)y=；4下列說法正確在是()

A.偶函數(shù)且在定義域內(nèi)是增函數(shù)

B.非奇非偶函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)

C.奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是增函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)且在定義域內(nèi)是增函數(shù)

11.函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)R，/(x)=-f(2)X-1--1-x<0對任意的X6R都有f(x+2)=

(,log2(x+1),0<x<3.

f(x-2).若在區(qū)間［—5,3］上函數(shù)g(x)=f(x)—mx+m恰好有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值

范圍是()

A.W)B.W)C.D.

12.如圖，48是圓。的直徑，C、。是圓。上的點(diǎn)，4CB4=60°,/.ABD=45°,

CD=xOA+yBC^則%+y=()

A"

3

D.-V3

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量沅=(百％1),萬=(2g,2).若記〃7則尤=.

14.對一切正整數(shù)力不等式an+2a<n+1恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是.

15.已知函數(shù)〃乃=保］：；1,若函數(shù)y=/(x)-a%恰有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

16.命題“若產(chǎn)—3x+2力0,則x羊2”的逆否命題為.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.過點(diǎn)p(2,l)作直線［與x軸和y軸的正半軸分別交于4、B兩點(diǎn)，求

(1)△40B面積的最小值及此時直線，的方程;

(2)求直線2在兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值及此時直線2的方程;

(3)求E4PH的最小值及此時直線，的方程。

18.記所有非零向量構(gòu)成的集合為V,對于乙b&V，定義U0,B)=|xe-x?元=x?另|

(1)請你任意寫出兩個平面向量落b，并寫出集合V0，E)中的三個元素；

(2)請根據(jù)你在(1)中寫出的三個元素，猜想集合V01)中元素的關(guān)系，并試著給出證明；

⑶若U(五是)=其中方主陽求證：一定存在實(shí)數(shù)及，左，且%+%=1，使得Z%乙

19.如圖，。是直角AABC斜邊BC上一點(diǎn)，AB

乙ABC=

(1)證明sina+cos2p=0；

(2)若4c=0DC,求6的值.

20.如圖，在直四棱柱48CD—4B1G5中，底面四邊形4BCD是直角

梯形，其中481AD,AB=BC=1且4。==2.

(1)求證：直線GD1平面ACDi；

(2)試求三棱錐&-AC/的體積.

21.已知三個互不相同的平面向量|初=|3|=?=1，五與1夾角為60。，石與了夾角為60。,

(1)求證：(a-b)1c;

(2)\ka+b+c\>V6-求k的范圍.

22.已知某函數(shù)g(x)=(Hi?-2)xm(meR)在(o,+8)為減函數(shù)，已知/'(x)是對數(shù)函數(shù)且/'(-m+

1)+/(-771-1)=i.

(1)求g(x),/"(X)的解析式；

(2)若實(shí)數(shù)，滿足/(2t-1)</(5-t),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：A={x|-3<x<4},B={x|-2<x<5]；

[AUB={x[-3<x<5}.

故選：B.

進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

考查描述法的定義，以及并集的運(yùn)算.

2.答案：B

解析：

本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖象變換，屬于中等題.

由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f(x)=sin(2x+§,由平移變換可得g(x)

cos2x,由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得函數(shù)g(x)是周期為兀的偶函數(shù).

解：=V3sinxcosx+cos2x—|

V31

=—sin2x+-cos2x

22

=sin(2x+-),

6

nn

:?g?)=sin[2(x+-)+-]

7T

=sin(2x+—)

=cos2x,

...「=§=兀，即函數(shù)g(%)是周期為兀的偶函數(shù).

故選反

3.答案：B

解析：解：要使/(%)有意義,則：[”.NO；

1%H0

解得一24XW2,且x于0；

???/。)的定義域?yàn)椋篬-2,0)U(0,2].

故選：B.

可看出，要使得函數(shù)/(x)有意義，則需滿足匕工不？。，解出x的范圍即可.

考查函數(shù)定義域的概念及求法，指數(shù)函數(shù)的定義域.

4.答案：A

11

解析：解：,角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)則cosa=q^=a，

故選:A.

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得結(jié)果.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：C

解析：解：由五?方=-2可得：4-sina+2cosa-2=-2,

???cosa=-2sina,即tana=—

sinacosa_tana_2

2cos2a-sin2a2-tan2a7

故選：c.

根據(jù)數(shù)量積公式計算tana,再利用三角恒等變換計算求值.

本題考查平面向量的數(shù)量積，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：解：???設(shè)扇形的弧長為E,半徑為r,面積為S,圓心角為a,

可得扇形的弧長1=8,面積為S=“r=8,

???r=2,

i.

.??a=-=4.

r

故選：D.

由已知利用扇形的面積公式可求其半徑，進(jìn)而根據(jù)扇形的弧長公式即可求解.

本題主要考查了扇形的面積公式及弧長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：C

解析：解：由題意知，

EB+BG=EG，

即海+陽=萍，

故荏=就-2前=?-2方，

故選：C.

由題意作圖輔助，從而利用線性運(yùn)算求解即可.

本題考查了學(xué)生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用.

8.答案:A

解析：解：???將函數(shù)y=9。)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向左平移與個單位長度，得到

函數(shù)/'(x)=sin(|x+》的圖象，

即將=sinGx+》的圖象上所有點(diǎn)向右平移弓個單位長度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,

ZO-5Z

可得g(x)=sin(x-7O+7O)=sinx的圖象，

則y=g。)圖象的對稱軸的直線方程為x=]+k兀，kez,

故選：力.

由題意利用函數(shù)y=4sin(3x+0)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的

對稱性，得出結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)y=4sin(3x+(p)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：B

解析：解：cosl050cos45°+sin45°sinl05°

=cos(105°-45°)

=cos60°

_1

-2'

故選：B.

由已知利用兩角差的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解.

本題主要考查了兩角差的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

10.答案:D

解析：解：基函數(shù)y=￡(xN0)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是偶函數(shù)，4錯誤；

在定義域內(nèi)是增函數(shù)，.方錯誤；

是非奇非偶的函數(shù)，，C錯誤；

是非奇非偶函數(shù)且在定義域內(nèi)是增函數(shù)，.?.￡)正確.

故選：D.

根據(jù)基函數(shù)y=￡(x20),是定義域內(nèi)的增函數(shù)，且非奇非偶，對每一個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

本題考查了某函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)熟記常見基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是什么.

11.答案：B

解析：解：???任意的X6R都

有f(x+2)=/Q-2).

???函數(shù)f(x)的周期是4,

???在區(qū)間［-5,3］上函數(shù)

g(x)=/(x)—mx+?n恰

好有三個不同的零點(diǎn)，

即函數(shù)/(x)與函數(shù)h(x)=

mx-m在區(qū)間［一5,3］上有

三個不同的交點(diǎn)，

在同一直角坐標(biāo)系上畫出兩個函數(shù)的圖象:

得到辭4機(jī)<

-1—1—5—1

即一三m<

故選：B.

由函數(shù)的性質(zhì)得到周期性，由函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)換為兩圖象相交，由數(shù)形結(jié)合得到m的范圍.

本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合.

12.答案：A

解析：解：如圖，過C作CE10B于E,因?yàn)槭菆A。的直徑，C、。是圓。上

的點(diǎn),“B力=6。。所以E為。B的中點(diǎn),連結(jié)。D,則方疊揚(yáng)

―,—>—>—?1—?

：.CE=CB+BE=-BC^-OA

2

__>2__>

.?.CD=C0^0D=0A-~BC^—CE

V3

21

=0A-BC+—(-BC=-(1++(—+1)04

V32

???CD=x0^4+y5C

21V3

.?-x+y=-(l+-)+(-+l)=-T

故選A.

利用向量的線性運(yùn)算，可得而=-（1+務(wù)前+G+1）雙結(jié)合條件，即可確定結(jié)論.

本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，利用已知向量表示所求向量是解題

的難點(diǎn).

13.答案:1

解析：解：m=（V3x,1）.p=（2A/3,2）.

由沆〃萬，得：2xbx-lx2%=0，

解得：x=1.

故答案為：1.

直接由向量共線的坐標(biāo)表示列式求得x的值.

平行問題是一個重要的知識點(diǎn)，在高考題中常常出現(xiàn)，常與向量的模、向量的坐標(biāo)表示等聯(lián)系在一

起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別.若五=（。1列2）,石=（瓦也）,則五13o%a2+瓦尻=0,

a//b<=>a1b2—a2b1=0>是基礎(chǔ)題.

14.答案：（―8,|）

解析：解：由不等式cm+2a<n+l恒成立，得

a<窸=1一2恒成立，只需a<1-2的最小值，而對一切正整數(shù)n,（1-

故a<

故答案為：（一8,|）.

分離變量，利用函數(shù)的最值求解即可.

本題考查函數(shù)恒成立的應(yīng)用，分離變量的方法，函數(shù)的最值的求法，考查計算能力.

15.答案：aS0或a21

解析：

本題考查分段函數(shù)及函數(shù)零點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)果.

解：函數(shù)fCOnlELrZ/ql,圖象如圖所示：

12,x>1

函數(shù)y=/(%)-ax恰有一個零點(diǎn)，即函數(shù)y=/(%)與、=ax恰有一個交點(diǎn),

由圖可得a40時，函數(shù)y=/(無)—aX恰有一個零點(diǎn)，

將(1,1)代入y=ax得a=1,

???a>1時函數(shù)y=/(%)與y=a%恰有一個交點(diǎn)，

綜上所述實(shí)數(shù)Q的取值范圍是Q<0或a>1.

故答案為Q<?；騛>1.

16.答案：若x=2,則％2—3x+2=0

解析：解：?.?命題“若》2一3冗+2。0,則％W2”，

?,?其逆否命題為：若％=2,則%2一3%+2=0；

故答案為：若％=2,則/—3%+2=0.

已知命題“若%2一3%+2W0,則％W2”可以根據(jù)逆否命題的定義進(jìn)行求解；

此題主要考查否命題和逆命題的定義，四種命題間的逆否關(guān)系是高考?？嫉膬?nèi)容，注意原命題與其

逆否命題之間的關(guān)系.

17.答案：解：(1)設(shè)直線［的方程為y—l=k(%—2).

2發(fā)一1

令y=0,得％=—...;令％=0,得y=1-2fc.

k

2上一1

???4、8兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(二——，0),8(0,1-2k).

k

A.B是l與x軸、y軸正半軸的交點(diǎn),

k<0,

2k-1八

—>0"

\-2k>0.

S-BC=--\OA\-OB\=---(l-2/c)=I(4-l-4k).

22k2k

由一工>0,-4k>0,有一工一4九22

?（-4左）=4.

當(dāng)且僅當(dāng)一9一工時，-1-4k取最小值4.

-4k,即k

2k

???S-OB的最小值為°X(4+4)=4.

2

此時[的方程是y-1=-4(x-2),即x+2y-4=0.

2

(2)7/1(^11,0),8(0,1-2k)(k<0),

k

2k1Ii

?,?截品巨之和為-----+1—2k=3—2k.——=3+(—2k)+(——)N3+22鐐(——)=3+2?

kkk\k

此時—2/c=即/c=一走.故截距之和的最小值為3+2J5.

k27

此時1的方程為y-1=一#(x-2).即x-72y-2+72=0.

(3)vA(2--,0),8(0,1-2/c)(k<0),

k

■■\PA\'\PB\=,^44.4^2—2]――+(—fc)J>4.

當(dāng)且僅當(dāng)一卜=一工，即k=-1時上式等號成立.

k

故|P*,|PB|的最小值為4.此時直線，的方程為x+y-3=0.

解析：本題的關(guān)鍵是何時取得最值.可以先設(shè)出斜率，分別求出|0川，|OB|,然后再由不等式、判別

式或三角變換等有關(guān)方法來求.

(1)先設(shè)直線/的方程為y-1=/c(x-2)(fc>0)

2^-1111

令y=0,得％=----->0;令％=0,得y=1-2k>0.可得到S△4BC=一?|。川?OB|=—(4一一

上22k

-4k).

由一1>o,-4k>0,然后利用基本不等式求解最小值并求得當(dāng)且僅當(dāng)-4=

-4k,即k時,

kk2

-1-4k取最小值4,并求得直線方程.

k

2上一1

(2)?.?力(-----,0),5(0,1-2/c)(fc<0),

k

??.截距之和為S北一」1+1-2k(k<0),則可利用基本不等式求得最小值3+2五.

此時一2k=-4，即卜=一42即可求得直線方程.

k2

⑶「4(2」，0),F(0,l-2/c)(fc<0),

k

\PA\-\PB\=jj+i?石石m化簡整理可利用基本不等式求得最小值上

當(dāng)且僅當(dāng)-k=即k=-1時上式等號成立，即可求得直線方程.

k

18.答案：解:(1)比如蒼=(1,2),b=(3,4)>設(shè)3?=(x,y),

由*方=*方，可得x+2y=3x+4y,

即為久+y=0,

則集合V0，E)中的三個元素為(1,一1)，(2,-2),(3,-3)；

(2)由(1)可得這些向量共線.

理由：設(shè)三=(s,t),a-(a,b),b—(c,d)>

由*蒼=*9，可得as+bt=cs+dt,

即有s="t,

a-c

即H=(—t,t),

xa-c'

故集合中元素的關(guān)系為共線；

(3)證明：設(shè)三=(s,t),a=(a,b),b=(c,d)>

y=(u,v),c=(e,f),

若U0,石)=V(a,c)>

即有as+bt=cs+dt,au+bv=ue+fv,

解得a==￡C+樂飛+濡二丁,

可令d=f，可得及=言，

%=^7，

sv-ut

則一定存在實(shí)數(shù)％,A2,且;11+%=1，使得五加+%乙

解析：(1)比如五=(1,2),3=(3,4)，設(shè)m=(x,y),運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到所求元素：

(2)由(1)可得這些向量共線.理由：設(shè)M=(s,t),方=(a,b),方=(c,d)，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示,

以及共線定理即可得到；

(3)設(shè)宣=(s,t),a=(a,b),b=(c,d)>y=(u,v),c=(e,/),運(yùn)用新定義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示,

解方程可得a,即可得證.

本題考查新定義的理解和運(yùn)用，以及平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡整理運(yùn)算和推理能力,

屬于中檔題.

19.答案：解：(l)?.?a=^—4840=5-(兀-2夕)=2/7一]

???sina=sin(2/?一])=~cos2p,

BfJsina+cos2s=0

(2)△ADC中由正弦定理熬=合即黑=焉

、/sinasin(7r—p)sinasinp

則si川？=6sina

由(1)得sin/?=—y]3cos2p=—V3(l—2sin2/?)

即2百sin?6-sin/?-V3=0

解得sin。=苧或=—日

nV3TI

■-0<P<-sinp=—?,?J?=-

解析：（1）利用誘導(dǎo)公式可求得a=2￡-壬進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式求得sina=-cos20,整理得sina+

cos2j3=0.原式得證.

（2）根據(jù)正弦定理可求得s譏夕=6sina進(jìn)而利用（1）中的結(jié)論求得s譏夕-73（1-2$譏2。）代入

sin/3-gsina即可求得sin/?,

進(jìn)而求得0的值.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式化簡求值，正弦定理.考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力.

20.答案：解：（1）證明：在梯形力BCD內(nèi)過C點(diǎn)作CE14。交4。于點(diǎn)E,

則由底面四邊形ABCD是直角梯形，ABLAD,AB=BC=1,

以及AD=y/2AA±=2可得：CE=1,且AC=CD=y/2=AA1=CQ,AC1CD.

又由題意知CCil^ABCD,從而4C1CC「而CC】QCD=C,

故AC1CQ

因CD=CG，及已知可得CDDiG是正方形，從而GD1CDX.

因GD，CZ）i，GDIAC,E.ACClCDt=C,

所以GD_1_面/^。1.（6分）

（2）因三棱錐&-4CD1與三棱錐C-AAiA是相同的，故只需求三棱錐。一4必久的體積即可，而

CELAD,

且由441JL面ABCD可得CEJLA4,又因?yàn)锳Dn441=4,

所以有CE1平面40D1&,即CE為三棱錐C一人久久的高.

故％-"W[=1x1-CE=|xixV2x2xl=號.（12分