成都理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）PAGEPAGE53基于偏微分方程的圖像平滑方法的刪除研究刪除作者姓名：劉洋專業(yè)班級：信息與計算科學(xué)2008070201指導(dǎo)教師：王茂芝摘要在信息化的社會里，圖像在信息傳播中所起的作用越來越大。所以，消除在圖像采集和傳輸過程中而產(chǎn)生的噪聲，保證圖像受污染度最小，成了數(shù)字圖像處理領(lǐng)域里的重要部分，圖像平滑作為圖像處理中的重要環(huán)節(jié)，也逐漸受到人們的關(guān)注，圖像平滑的目的主要是消除噪聲。本文詳細(xì)介紹了圖像平滑的發(fā)展，圖像平滑方法按空間域和頻率域的分類及各種方法的特點，由于傳統(tǒng)的這些方法在去噪的同時會破壞圖像的重要特征從而引出了基于偏微分方程的圖像平滑方法。首先介紹圖像處理應(yīng)用時的常用函數(shù)及其用法；其次詳細(xì)闡述了幾種去噪算法原理及特點；最后運用Matlab軟件對一張含噪圖片（含高斯噪聲或椒鹽噪聲）進行仿真去噪，本文分別從各向同性擴散方程和各向異性擴散方程對基于偏微分方程的圖像平滑方法進行研究，進一步完善圖像平滑方法，以達到平滑效果更理想的目的。關(guān)鍵詞：圖像平滑；偏微分方程；各向同性擴散；各向異性擴散

BasedonpartialdifferentialequationsforimagesmoothingmethodimagesmoothingmethodresearchbimagesmoothingmethodresearchbasedonpartialdifferentialequationsAbstractIntheinformationsociety,theroleofimageinthedisseminationofinformation.Therefore,toeliminatethenoiseintheimageacquisitionandtransmissionprocesstoensurethatanimportantpartoftheimagecontaminatedminimum,hasbecomethefieldofdigitalimageprocessing,imagesmoothingasanimportantlinkinimageprocessing,butalsograduallybytheattention,smooththeimagemainpurposeistoeliminatenoise.Thispaperdescribesthedevelopmentofimagesmoothing,imagesmoothingmethodaccordingtotheclassificationofthespaceandfrequencydomainsandthecharacteristicsofthevariousmethods,thesemethodsduetothetraditionaldenoisingwillalsounderminetheimageoftheimportantcharacteristicswhichleadsbasedonpartialdifferentialequationsimageSmoothingMethod.Firstintroducedthecommonfunctionsandtheirusageinimageprocessingapplications;elaboratedtheprincipleandcharacteristicsofseveraldenoisingalgorithm;Matlabsoftwareonanoisyimage(withGaussiannoiseorsaltandpeppernoise)simulationdenoisingInthispaper,researchfromtheisotropicdiffusionequationandanisotropicdiffusionforimagesmoothingmethodbasedonpartialdifferentialequations,andfurtherimprovetheimagesmoothingmethodinordertoachievethepurposeofbettersmoothingeffectKeywords:Imagesmoothing;partialdifferentialequations;isotropicdiffusion;anisotropicdiffusion

目錄第1章前言 11.1課題研究背景 11.2圖像平滑的研究現(xiàn)狀 21.2.1領(lǐng)域平均法 21.2.2低通濾波法 31.2.3多圖像平均法 41.2.4中值濾波法 41.2.5各向同性擴散方程 61.2.6各向異性擴散方程 61.3本文的研究目標(biāo)和主要內(nèi)容 7第2章偏微分方程基礎(chǔ)知識 82.1偏微分方程的導(dǎo)出與定解 82.1.1偏微分方程的概念 82.1.2幾個典型的數(shù)學(xué)物理方程 82.1.3初邊值問題 92.2熱傳導(dǎo)方程初值問題的求解 122.3二階偏微分方程的分類與化簡 132.3.1二階偏微分方程的分類 132.3.2二階偏微分方程的化簡 152.4與圖像處理有關(guān)的偏微分方程的例子 15第3章圖像的基本知識 173.1圖像介紹 173.1.1圖像概述 173.1.2圖像分類 183.2靜態(tài)灰度圖像的數(shù)學(xué)模型 183.2.1靜態(tài)灰度圖像的連續(xù)模型 183.2.2灰度圖像的離散模型 203.3靜態(tài)彩色圖像的數(shù)學(xué)模型 203.3.1靜態(tài)灰度圖像的連續(xù)模型 203.3.2彩色圖像的數(shù)學(xué)模型 203.4動態(tài)圖像的數(shù)學(xué)模型 213.5數(shù)字圖像的采集 213.6圖像格式 23第4章數(shù)字圖像處理的基本知識 274.1數(shù)字圖像處理的概述 274.1.1數(shù)字圖像處理技術(shù)的發(fā)展 274.1.2數(shù)字圖像處理技術(shù)的流程 274.1.3低層圖像處理 284.2濾波和濾波器 294.3圖像增強算法 304.3.1平滑空間濾波 304.3.2銳化空間濾波 304.4圖像還原算法 314.4.1噪聲模型 314.4.2去噪算法 32第5章基于偏微分方程的圖像平滑 345.1偏微分方程的概述 345.2基于偏微分方程的圖像平滑處理 345.2.1各向同性擴散方程 355.2.2各向異性擴散方程 375.3圖像平滑的實驗分析 385.3.1傳統(tǒng)圖像平滑方法分析 385.3.2偏微分方程圖像平滑方法分析 42結(jié)論 48致謝 50參考文獻 51第1章前言1.1課題研究背景21世紀(jì)，人類已經(jīng)進入了信息化時代，計算機在處理各種信息中發(fā)揮著重要作用。據(jù)統(tǒng)計，人類從自然界獲取的信息中，視覺信息占75%~85%。俗話說“百聞不如一見”，有些場景或事物，不管花費多少筆墨都難以表達清楚，然而，若用一幅圖像描述，可以做到一目了然?？梢?，在當(dāng)代高度信息化的社會中，圖形和圖像在信息傳播中所起的作用越來越大，在圖像處理領(lǐng)域，數(shù)字圖像處理得到了飛速發(fā)展。早期由于圖像處理領(lǐng)域涉及的數(shù)學(xué)理論較淺，盡管圖像處理與分析與計算機科學(xué)有很強的聯(lián)系，但在相當(dāng)長的一段時間里一些在特定條件下的算法的正確性沒有得到很好的證明，圖像處理研究的進展不大。近年來由于該領(lǐng)域研究者數(shù)學(xué)功底的增強，同時，由于該領(lǐng)域的巨大市場需求吸引了越來越多的數(shù)學(xué)工作者的加入。使該領(lǐng)域得到了前所未有的發(fā)展。圖像增強、圖像恢復(fù)和圖像分割是圖像處理與分析中的主要問題，對圖像進行平滑和邊緣檢測等處理是常用的方法；然而，圖像的平滑和邊緣的保持是一對矛盾的關(guān)系；圖像的低通濾波在降噪的同時模糊的圖像的邊界。而人對圖像的高頻部分（邊緣細(xì)節(jié)）是很敏感的，圖像的大部分信息存在于邊緣和輪廓部分。傳統(tǒng)的濾波和邊緣檢測方法難以處理這類問題。由于基于PDEs的圖像處理方法在平滑噪聲的同時可以使邊界得到保持，因此在圖像處理中得到廣泛的運用?；谄⒎址匠痰膱D像處理是圖像處理領(lǐng)域中的一個重要分支，這方面的研究工作可從Nagao,rudin等關(guān)于圖像光滑和圖像增強的研究以及Koenderink對于圖像結(jié)構(gòu)的探索。圖像處理中的兩個分支直接影響到了這個學(xué)科的最終形成。第一是圖像分割，它實際上的是為了把真實世界中的物體從圖像中分離出來，同時得到真就的邊界。其中Mumford-Shah模型是較為常用的方法。具體算法略。第二是圖像濾波，它是所有圖像處理方法的前奏。1984年，Koenderink發(fā)現(xiàn)了圖像信號經(jīng)過高斯濾波后的結(jié)果與熱傳導(dǎo)方程存在一定的聯(lián)系。圖像濾波需要兩個限制條件：對比度不變和仿射不變，滿足的偏微分方程只有一個，所謂的AMSS方程。基于偏微分方程的圖像處理應(yīng)用范圍幾乎覆蓋要整個圖像處理領(lǐng)域，包括圖像識別、圖像分割、圖像重建、圖像邊緣提取、圖像檢索、醫(yī)學(xué)圖像處理、彩色圖像處理、動態(tài)圖像分析等。有的研究甚至用到了視覺哲學(xué)等的一些結(jié)論。一方面，這個領(lǐng)域的發(fā)展在應(yīng)用領(lǐng)域不斷拓展，另一方面隨著本學(xué)科的發(fā)展，人們試圖用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論對現(xiàn)存的圖像處理方法進行改造。基于偏微分方程的圖像處理在使用偏微分方程理論的同時也推動了偏微分方程理論的以展。我國的研究人員在這個領(lǐng)域關(guān)注的比較晚，從20世紀(jì)90年代到現(xiàn)在也取得了很多驕人的研究成果。1.2圖像平滑的研究現(xiàn)狀圖像平滑也稱為圖像去噪，是圖像處理中的重要環(huán)節(jié)，它極大地影響著后繼處理的結(jié)果。抑制或消除這些噪聲而改善圖像質(zhì)量的過程稱為圖像的平滑。圖像平滑的目的是為了消除噪聲。圖像噪聲的來源有三：一為在光電、電磁轉(zhuǎn)換過程中引入的人為噪聲；二為大氣層電（磁）暴、閃電、電壓、浪涌等引起的強脈沖性沖激噪聲的干擾；三為自然起伏性噪聲，由物理量的不連續(xù)性或粒子性所引起，這類噪聲又可分成熱噪聲、散粒噪聲等。一個較好的去除噪聲的方法應(yīng)該是既能消除噪聲又不使圖像的邊緣輪廓和線條變模糊,即在抑制噪聲的同時有效地保持空間分辨率。圖像平滑作為圖像處理的重要環(huán)節(jié)，平滑質(zhì)量的好壞直接影響到后繼處理和分析的結(jié)果。通過觀察噪聲圖像、考察圖像的噪聲模型可以知道不必要的細(xì)節(jié)和一些不光滑的現(xiàn)象，圖像平滑算法可以去除圖像中原本沒有的、由噪聲所帶來的細(xì)節(jié)。圖像平滑的方法有很多，亦可以分為空間域或頻率域，亦可以分為全局處理或局部處理，亦可以按線性平滑、非線性平滑和自適應(yīng)平滑來區(qū)別。下面介紹幾種簡單的圖像平滑的方法.1.2.1領(lǐng)域鄰域平均法鄰域鄰域平均法是一種局部空間域處理的算法。設(shè)一幅圖像為的陣列，平滑處理后得到的圖像為,由式（1.1）決定(1.1)式中的=0,1,2，,點鄰域中心點的坐標(biāo)的集合，但不包括點，內(nèi)坐標(biāo)點的總數(shù)。平滑化的圖像的每個像素的灰度值由包含在的預(yù)定鄰域中的的幾個像素的灰度值的平均值所決定。以上方法簡單，計算速度快，但它的主要缺點是在降低噪聲的同時使圖像產(chǎn)生模糊，鄰域越大，模糊越厲害。為了減少這種效應(yīng)，可以采用閾值法。當(dāng)一些點和它的鄰域內(nèi)點的灰度的平均值的差不超過規(guī)定的閾值時，就仍然保留其原灰度值不變，如果大于閾值時就用它們的平均值來代替該點的灰度值。這樣平滑后的圖像會比鄰域平均法模糊度減少。1.2.2低通濾波法這是一種頻域處理法。在分析圖像信號的頻率特性時，對于一幅圖像，它的邊緣、跳躍部分以及噪聲都代表圖像的高頻分量，而大面積的背景區(qū)和慢變部分則代表圖像的低頻分量，用頻域低通濾波法除去其高頻分量就能去掉噪聲，從而使圖像得到平滑。利用卷積定理，可以寫成以下形式（1.2）其中是含噪圖像的傅里葉變換，是平滑后圖像的傅里葉變換，是傳遞函數(shù)。利用使的高頻分量得到衰減，得到后再經(jīng)過反變換就得到所希望的平滑圖像了。線性濾波器線性濾波器圖1-1低通濾波平滑圖像的處理框圖由于傅里葉變換的性質(zhì)決定，這種平滑的方法在處理過程中會產(chǎn)生較嚴(yán)重的模糊和振鈴現(xiàn)象。1.2.3多圖像平均法如果一幅圖像包含有加性噪聲，這些噪聲對于每個坐標(biāo)點是不相關(guān)的，并且其平均值為零，在這種情況下就可能采用多圖像平均法來達到去掉噪聲的目的。設(shè)為有噪聲圖像，為噪聲，為原始圖像，可用（1.3）式表示：（1.3）多圖像平均法是把一系列有噪聲的圖像{}疊加起來，然后再取平均值以達到平滑的目的。當(dāng)做平均處理的含噪聲圖像數(shù)目增加時，其統(tǒng)計平均值就越接近原始無噪聲圖像。這種方法在實際應(yīng)用中的最大困難在于把多幅圖像配準(zhǔn)起來，以便使相應(yīng)的像素能正確地對應(yīng)排列。1.2.4中值濾波法（1）對某些輸入信號中值濾波的不變性對某些特定的輸入信號，如在窗口內(nèi)單調(diào)增加或減少的序列，中值濾波輸出信號仍保持輸入信號不變，即：或，則。3×3方形窗口中值濾波3×3方形窗口中值濾波3×3方形中值濾波(a)原始圖像(b)中值濾波輸出圖1.1中值濾波不變性示例二維中值濾波的不變性如圖1.1所示。它不但與輸入信號有關(guān)，而且還與窗口形狀有關(guān)。一般與窗口對頂角連線垂直的邊緣線保持不變性。利用這個特點，可以使中值濾波既能去除圖像中的噪聲，又能保持圖像中一些物體的邊緣。對于一些周期性的數(shù)據(jù)序列，中值濾波對此序列保持不變性。例如，下列一維周期性的數(shù)序列若設(shè)窗口長度為9，則中值濾波對此序列保持不變性。對于二維周期序列不變性，如周期網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖案，分析起來就更復(fù)雜了，可以通過試驗改變窗口形狀和尺寸來獲取。（2）中值濾波去噪聲性能對于零均值正態(tài)分布的噪聲輸入，中值濾波輸出的噪聲方差近似為（1.4）式中：為輸入噪聲功率（方差），為中值濾波窗口長度（點數(shù)），為輸入噪聲均值，為輸入噪聲密度函數(shù)。而均值濾波的輸出噪聲方差為（1.5）比較兩公式，可以看出，中值濾波的輸出與輸入噪聲的密度分布有關(guān)。對隨機噪聲的抑制能力，中值濾波比均值濾波要差一些。但對脈沖干擾，特別是脈沖寬度小于m/2、相距較遠(yuǎn)的窄脈沖干擾，中值濾波的效果較好。（3）中值濾波的頻譜特性設(shè)G為輸入信號頻譜，F(xiàn)為輸出信號頻譜，定義中值濾波的頻率響應(yīng)特性為（1.6）試驗表明，中值濾波頻譜特性起伏不大，其均值比較平坦?？梢哉J(rèn)為信號經(jīng)中值濾波后，頻譜基本不變。這一特點對設(shè)計和使用中值濾波器很有意義。1.2.5各向同性擴散方程傳統(tǒng)的圖像平滑算法如均值濾波、中值濾波和高斯濾波等,由于不考慮圖像的形狀特征,其平滑結(jié)果等價于傳導(dǎo)系數(shù)為常量的熱擴散方程,屬于各向同性擴散。如果圖像中存在某種雜質(zhì)，并且期濃度分布不均勻，這時，雜質(zhì)將從濃度較高的區(qū)域向濃度較低區(qū)域遷移，這種遷移過程在物理學(xué)了稱之為擴散；類似地，當(dāng)介質(zhì)中的溫度分布不均勻時，將發(fā)生熱量從溫度較高的區(qū)域向溫度較區(qū)域的遷移過程，稱之為熱傳導(dǎo)。若以函數(shù)表示濃度隨空間和時間的變化，那么空間分布的不均勻性用梯度來刻畫，于是可以將雜質(zhì)在宏觀上的定向遷移，看成是由梯度產(chǎn)生的作用力-所推動的，這里負(fù)號表示作用力指向u值減小的方向。1.2.6各向異性擴散方程（1）P-M模型為了達到去噪同時保護邊緣，可以采用擴散過程中的傳導(dǎo)系數(shù)依賴于圖像的局部特征。具體來說，在圖像比較平坦的區(qū)域，傳導(dǎo)系數(shù)能自動增大。這可使平坦區(qū)域中較小的起伏被平滑；而在圖像的邊緣附近，傳導(dǎo)系數(shù)能自動減小，可使邊緣幾乎不受影響。Perona和Malik引入的各向異性擴散方程是這個領(lǐng)域最有影響的工作。他們提出用保邊界的具有方向性的熱擴散方程來代替高斯平滑濾波器。他們的研究開辟了圖像處理中偏微分方程理論和應(yīng)用的很多新領(lǐng)域。（2）Catte模型理想的擴散系數(shù)要使得式在圖像均質(zhì)區(qū)域內(nèi)擴散程度大以利于噪聲消除；在邊緣區(qū)域內(nèi)擴散程度小以利于保持邊緣。Catte等人指出P-M方法是“病態(tài)”的，輸入的微小變化會導(dǎo)致輸出完全改變;Whitaker證明P-M方法處理所得的圖像受“階梯”效應(yīng)干擾，視覺效果差。1.3本文的研究目標(biāo)和主要內(nèi)容圖像在獲取和傳輸過程中，往往受到噪聲的干擾，而降噪的目的是盡可能保持原始信號主要特征的同時，除去信號中的噪聲。目前的圖像去噪方法可以將圖像的高頻成分濾除，雖然能夠達到降低噪聲的效果，但同時破壞了圖像細(xì)節(jié)。邊緣特性是圖像最為有用的細(xì)節(jié)信息，本文對鄰域平均法、中值濾波法、維納濾波法及偏微分方程的各向異性擴散方程方法和各向同性方程方法的圖像去噪算法進行了研究分析和討論。本文共分為六部分，具體內(nèi)容安排如下：前言，介紹所研究課題的研究背景、意義，國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，以及課題的研究思路、研究內(nèi)容。第二章，偏微分方程的基礎(chǔ)知識，簡單介紹了偏微分方程的概念和幾種常見的偏微分方程，及偏微分方程在圖像處理中的幾個例子。第三章，簡單地介紹了圖像的基本知識，介紹了圖像的概念、分類、圖像的采集、圖像的模型和常見的圖像的格式。第四章，簡單地介紹了數(shù)字圖像處理的基本知識，介紹了數(shù)字圖像處理的發(fā)展?fàn)顩r，說明了數(shù)字圖像處理的流程以及圖像增強算法和圖像還原算法。第五章，研究了基于偏微分方程圖像平滑的方法，簡單的介紹了各向同性擴散方程和各向異性擴散方程方法，用實驗驗證了偏微分方程的圖像平滑方法。第六部分給出了本文的研究結(jié)論，對比了傳統(tǒng)的圖像平滑方法和基于偏微分方程圖像平滑方法。第2章偏微分方程基礎(chǔ)知識2.1偏微分方程的導(dǎo)出與定解2.1.1偏微分方程的概念如果一個微分方程中待求解的未知函數(shù)只有一個自變量，那么這個方程是常微分方程；如果未知函數(shù)有多個自變量，方程中出現(xiàn)多元函數(shù)對不同自變量的各階偏導(dǎo)數(shù)，那么，這樣的微分方程就稱為偏微分方程。偏微分方程概念的引入是科學(xué)家研究自然的一個必然結(jié)果，因為幾乎所有的研究對象，包括天文學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域的物體運動、狀態(tài)變化等都不可能只受到一個因素的影響，它們往往與位置、時間、溫度等諸多因素相關(guān)，因此必須用偏微分方程才能描述并求解，需要指出的是，大多數(shù)的偏微分方程都與某個實際問題有密切的聯(lián)系，或者就是從某個實際問題中導(dǎo)出的，在早期的研究過程中，這樣的實際問題大多來源于物理學(xué)范疇，所以偏微分方程也經(jīng)常被稱為數(shù)學(xué)物理方程，因此偏微分方程從一開始就是一問應(yīng)用性極強的數(shù)學(xué)分支。與常微分方程的研究過程有所不同的是，數(shù)學(xué)家們在試圖建立偏微分方程研究的一般性理論時一再受挫，最終不得不放棄了這種企圖，偏微分方程是十分復(fù)雜的研究對象嗎，即使是線性的方程，也可以復(fù)雜到很難處理的程度；至于非線性方程，人們更加感到，目前大體上還只能分別針對各種具體問題，提出個別的解決辦法。在這個過程中，隨著偏微分方程研究的內(nèi)容越來越多、越來越難，各種新方法不斷涌現(xiàn)，不斷豐富和發(fā)展了偏微分方程的研究內(nèi)容，同時也促進了許多其它數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。2.1.2幾個典型的數(shù)學(xué)物理方程一個物理量往往是空間位置（）和時間的函數(shù)，例如，某個區(qū)域中溫度的分布和變化，就可以用來表示，有了這個函數(shù)，就能知道這個區(qū)域內(nèi)各點在各個時刻的溫度，在物體內(nèi)部不具有熱源的情況下，它的溫度分布應(yīng)該滿足（2.1）這里，是傳熱系數(shù)，是熱容量。（2.1）被稱為熱傳導(dǎo)方程，因為它表示了一種傳熱過程；其實一種化學(xué)物質(zhì)在溶液中的濃度也同樣滿足（2.1），所以它有時也被稱為擴散方程。當(dāng)物體處于熱穩(wěn)定狀態(tài)時，也就是說，此時它的溫度處于不隨時間變化而改變的狀態(tài)，那么溫度就滿足方程（2.2）方程（2.2）稱為拉普拉斯（Laplace）方程，或稱為調(diào)和方程，它除了表示熱的平衡外，也可以用來表示真空中靜止的電磁場、經(jīng)典的引力場、或流體的某種穩(wěn)態(tài)流動等。類似地，當(dāng)聲波在空氣中傳播時，如果表示壓強的小擾動，那么滿足(其中)（2.3）這里是聲音在空氣中的傳播速度，方程（2.3）不僅用來表示聲波，也可以用來表示電磁波或其它的波動，一般稱為波動方程。上述三種方程是物理學(xué)中最早出現(xiàn)的偏微分方程，18世紀(jì)以來，它們就被認(rèn)為是最典型的數(shù)學(xué)物理方程。對這三種方程的求解，能夠解釋許多重要的物理現(xiàn)象，因此有廣泛而重要的應(yīng)用。2.1.3初邊值問題對于波動方程，最典型的求解問題是初始值問題，或稱為柯西問題，即：求波動方程（2.3）中的解，使其滿足(2.4)上式稱為初始條件，其中的和是已給的函數(shù)，他們分別表示在時刻=0時的波的形狀和關(guān)于的變化率。我們先考慮一維的情形，此時（2.3）化為弦振動方程（2.5）相應(yīng)的初始條件為作變換則方程（2.5）化為從而（2.5）的通解為(2.6)這里和是任意的兩個具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，（2.6）的含義是，弦的橫振動是由一個向右傳的波和一個向左傳的波疊加而成的，之所以被稱為向右傳的波，是因為當(dāng)取不同值時，的波形總是一樣的，但以速度向右推移；含義類似。代入初始條件，我們得到弦振動的達朗貝爾（dAlembert）公式：=（2.7）在高維的情形下，相應(yīng)的求解過程要復(fù)雜的多，這時可以利用傅里葉（Fourier）變換求解，我們把記為x=()又記，定義（2.8）其中為向量內(nèi)積，我們稱為的傅里葉變換，當(dāng)時具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，且及其導(dǎo)數(shù)當(dāng)時速降，則不僅有意義，而且(2.9)式（2.9）稱為傅里葉逆變換，另外還有(i=1,2,3)(2.10)等公式，它表明求導(dǎo)運算經(jīng)傅里葉變換后化為乘法運算.用傅里葉變換求解偏微分方程（以波動方程為例）初始值問題的基本思路是：第一步，對方程（2.3）的初始條件（2.4）作關(guān)于變量（）的傅里葉變換，并利用性質(zhì)（2.10），從而得到含參數(shù)的關(guān)于t的常微分方程初始值問題：（2.11）（2.12）第二步，解常微分方程初值問題（2.11），（2.12），從而得出（2.13）其中.第三步，作的傅里葉逆變換，得出所求的解，這一運算過程比較復(fù)雜，最后結(jié)果是：（2.14）這就是解波動方程初始值問題的“泊松（Poison）公式”，式中是用向量表示的積分變量，是球面的面積元素，特別地，在最后的表達式中，積分是在沿以為中心，為半徑的球面上進行的。上述用傅里葉變換求解偏微分方程的思想可歸納為下述圖表：解傅里葉逆變換 解常微分方程初始條件傅里葉變換初始條件有時候我們考慮的偏微分方程求解問題與邊界有關(guān)，比如我們來考慮有限物體的溫度分布，設(shè)該物體占據(jù)三維空間的某個有界區(qū)域，他的邊界有一定的光滑性，顯然物體所處的環(huán)境肯定會對物體的溫度分布產(chǎn)生影響，如果物體表面的溫度是給定的，即（2.15）且當(dāng)時的溫度為（x為向量）（2.16）因此，我們要求的既要滿足熱傳導(dǎo)方程（2.1），又要滿足初始條件（2.16）和邊界條件（2.15），求解這樣的問題，稱為偏微分方程的初邊值問題.初邊值問題可用分離變量法（即傅里葉變換法）求解，這是法國數(shù)學(xué)家傅里葉提出的，對數(shù)學(xué)及其各個領(lǐng)域的應(yīng)用產(chǎn)生了重要的影響。2.2熱傳導(dǎo)方程初值問題的求解本節(jié)我們講述如何利用傅里葉變換來求解這一類問題，為了方便用式子右上角叫ⅴ記號表示傅里葉的逆變換，于是 考慮以下初值問題（2.17）在上式兩邊關(guān)于變量作傅里葉變換，得到解之得，經(jīng)傅里葉變換得到（2.18）其中（2.19）通常稱（2.18）為泊松（Poisson）公式，稱為熱傳導(dǎo)方程的基本解。定理2.1若且有界，，則由泊松公式（2.18）確定的函數(shù)是初值問題（2.17）的解有界。2.3二階偏微分方程的分類與化簡2.3.1二階偏微分方程的分類前面介紹過三個典型的偏微分方程分別是：（波動方程）（2.20）（熱傳導(dǎo)方程）（2.21）（位勢方程）（2.22）其中為Laplace算子，的函數(shù)，其中a是常數(shù)，（2.22）中當(dāng)=0為調(diào)和方程，很顯然，他們都是二階線性偏微分方程。二階偏微分方程的一般形式是（2.23）其中的函數(shù)，因此上面提到的這三個方程都是它的特例。以A表示矩陣，對于波動方程，取m=n+1,,則A=對于熱傳導(dǎo)方程，取，則A=對于位勢方程，取m=n,則A=由線性代數(shù)的知識可知，如果A是一個常數(shù)矩陣，由于它是對稱陣，因此，一定存在一個正交矩陣，使得的轉(zhuǎn)置）是對角矩陣，此時對角線上的元素就是A的特征值?，F(xiàn)在我們對一般的二階方程（2.23）進行分類設(shè)定義1.1若個特征值全是正（或負(fù)）的，稱方程(2.23)在點是橢圓型的；若的特征值除了有一個為0以外，其他m-1個全是正（或）負(fù)的，稱方程（2.23）在點是拋物型的；方程（2.20）、（2.21）、（2.22）分別稱為雙曲型、拋物型和橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)型。定理1.2如果方程（2.23）的二階項系數(shù)是常數(shù)，即A是常數(shù)矩陣，且它屬于橢圓型（雙曲型，拋物型）方程，那么一定可以通過一個非奇異的自變量代換，把方程（2.23）的二階項化為形如（（2.23）、（2.20）、（2.21））的標(biāo)準(zhǔn)形式。2.3.2二階偏微分方程的化簡現(xiàn)在，我們在m維空間的某個區(qū)域上考察方程（2.23）。定義1.2稱維空間的一張曲面為方程（2.23）的特征曲面，如果對曲面S的每一點，有（2.24）定義1.3對于固定點，如果過該點的方向滿足特征方程（2.25）則稱為（2.23）在該點的特征方向。2.4與圖像處理有關(guān)的偏微分方程的例子在本節(jié)中，我們列出幾個常用的與圖像處理有關(guān)的非線性拋物型方程，并簡單介紹它們在圖像處理中的作用。1.這個方程所對應(yīng)的濾波器具有銳化的作用，可以使模糊的圖像，尤其是邊緣部分變得比較明顯，但這樣也可能會制造出一些假的邊緣。2.其中D是微分算子，這個方程與dilation算子或者erosion算子的迭代會產(chǎn)生一定的聯(lián)系。3.這個方程被稱為曲率流方程，它可以和中值濾波器的迭代產(chǎn)生的聯(lián)系，同時，它本身也具有比較深刻的物理意義。4.這個方程導(dǎo)出了AMSS（affinemorphologicalscalespace）算子，它滿足了平移不變、灰度平移不變、仿射不變、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)不變燈多種不變性。第3章圖像的基本知識本章主要介紹圖像的一些基礎(chǔ)知識，首先，從兩個不同的側(cè)面對圖像進行分類：第一種把圖像分為灰度圖像和彩色圖像；第二種分類導(dǎo)致靜態(tài)圖像和動態(tài)圖像兩個范疇。對不同的圖像，我們分別介紹他們的數(shù)學(xué)模型，作為重點，我們將主要介紹靜態(tài)灰度圖像的連續(xù)和離散的數(shù)學(xué)模型。在廣泛應(yīng)用的計算機圖像處理領(lǐng)域，我們通常所指的圖像就是基于離散模型的數(shù)字圖像。3.1圖像介紹3.1.1圖像概述簡單來說，圖像是自然界景物的客觀反映，圖像技術(shù)是人類認(rèn)識世界和改造世界的重要工具，圖像是用各種觀測系統(tǒng)以不同形式和手段觀測客觀世界而獲得的，可以直接或間接作用于人眼并進而產(chǎn)生視知覺的實體。具體來說，人的視覺系統(tǒng)就是一個觀測系統(tǒng)，通過它得到的圖像就是客觀景物在人眼中形成的影像，圖像信息不僅包含光通量分布，而且還包含人類視覺的主觀感受，隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，人們還可以人為地創(chuàng)造出色彩斑斕、千姿百態(tài)的各種圖像。人類社會已經(jīng)進入了信息時代，對信息的獲取、加工、傳輸?shù)葮?gòu)成了現(xiàn)代社會的基礎(chǔ)性工作，科學(xué)研究和統(tǒng)計表明，人類從外界獲得的信息約有75%來自視覺系統(tǒng)，也就是從各種圖像中獲得的。這里圖像的定義是比較廣泛的，包括照片（photo）、圖像（graphics）、視頻（video）等等。今天計算機和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)得到了空前的發(fā)展，我們所面對的圖像絕大多數(shù)是離散化的，并且以數(shù)字的形式存儲在計算機中，它們被稱為數(shù)字圖像。在計算機中對數(shù)字圖像的處理和操作被稱為數(shù)字圖像處理?，F(xiàn)在普遍采用image（或者digitalimage）代表離散化了的數(shù)字圖像，數(shù)字圖像處理用imageprocessing(或者digitalimageprocessing)表示，伴隨著計算機計算速度、大規(guī)模存儲容量、網(wǎng)絡(luò)和通信速度的飛速提高和顯示系統(tǒng)的逐步成熟，數(shù)字圖像處理已經(jīng)發(fā)展成為一門重要的學(xué)科。雖然數(shù)字圖像處理的基礎(chǔ)建立在數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計表示的基礎(chǔ)上，但人的直覺和分析在評價一種具體的圖像處理技術(shù)的時候依然起著主題作用，這種評價常常是主觀的視覺判定，在目前的許多情況中，由于圖像處理技術(shù)還不很成熟，許多客觀的圖像評價標(biāo)準(zhǔn)有待完善，所以主觀的視覺判定依然是圖像處理中的一個重要組成部分。3.1.2圖像分類在介紹圖像的數(shù)學(xué)模型之前，我們先對圖像作一個分類，針對不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，可能產(chǎn)生不同的分類方法，這里只介紹按顏色類型和運動類型的圖像分類。第一，按顏色類型分，圖像可以分為灰度圖像和彩色圖像，也就是所謂的黑白照片和彩色照片，其主要區(qū)別是灰度圖像僅僅使用了顏色的空間中比較特殊的一類顏色，但包含了豐富的亮度層次；而彩色圖像則使用了顏色空間中的大量顏色，包含了亮度、顏色飽和度、顏色對比度等信息。第二，按運動類型分，圖像被分為動態(tài)圖像和靜態(tài)圖像，簡單的說，靜態(tài)圖像就是照片，動態(tài)圖像就是電影，也稱視頻圖像、活動圖像、或者運動圖像，是靜態(tài)圖像在時間軸上的排列。綜合起來，可以對圖像作以下劃分：表3.1基于顏色類型和活動類型的圖像分類彩色灰度靜態(tài)靜態(tài)彩色圖像靜態(tài)灰度圖像動態(tài)動態(tài)彩色圖像動態(tài)灰度圖像3.2靜態(tài)灰度圖像的數(shù)學(xué)模型在表3.1所列的圖像分類中，靜態(tài)灰度圖像時最簡單的一類圖像，下面我們介紹灰度圖像的數(shù)學(xué)模型，包括連續(xù)模型和離散模型，其中，建立圖像的連續(xù)模型主要是因為理論研究的需要，本文的相關(guān)內(nèi)容和偏微分方程有一定的聯(lián)系，因而對圖像模型有連續(xù)性或者可微的要求。本文中，我們可以把數(shù)字圖像（圖像的離散模型）看作是由圖像的連續(xù)模型經(jīng)離散化后得到的。3.2.1靜態(tài)灰度圖像的連續(xù)模型一般來說，一幅靜態(tài)灰度圖像是一個定義在矩形區(qū)域內(nèi)的反映現(xiàn)實場景的灰度變化的組合，其中顯示圖像內(nèi)容的那個區(qū)域被稱為圖像的支撐集(support)。如圖3.1，假設(shè)圖像的支撐集為，如圖3.1（a）所示，圖像的物理模型是定義在上的一個映射，即（3.1）其中值域是所有灰度的集合，如圖3.1（b）所示，它包含了所有從最暗到最亮的灰度，一幅圖像對應(yīng)了一個具體的映射規(guī)則，例圖圖2.1（c）所示的圖像就是依據(jù)一個具體的映射規(guī)則得到的，依據(jù)不同的映射規(guī)則會得到不同的圖像。需要把物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，這需要合適表示V，這樣，式（3.1）中的就可以被認(rèn)為是一個函數(shù)而加以研究，于是，需要建立一個V和之間所有實數(shù)的映射：圖2.1（b）中，亮度最低的純黑色對應(yīng)0；亮度最高的純白色對應(yīng)1；其他的灰度根據(jù)亮度的不同而均勻地對應(yīng)于之間的某個實數(shù)，這是個一一映射，借助以下關(guān)系：（3.2）建立圖像的函數(shù)模型，即（3.3）這個模型即是灰度圖像的連續(xù)模型。y0（0）1（255）x（a）圖像支撐集（b）圖像的值域V：灰度值（c）圖像（d）隨機圖像圖3.1圖像的連續(xù)模型3.2.2灰度圖像的離散模型我們知道計算機只能處接受和處理離散數(shù)據(jù)，一幅圖像必須要在空間和灰度上都離散化才能被計算機處理，這種離散化了的圖像就是數(shù)字圖像，相應(yīng)的過程為圖像的數(shù)字化。其中空間坐標(biāo)的離散化稱為空間采樣，而灰度的離散化稱為灰度量化。空間采樣就是把圖像支撐集合離散化為一些按行和列整齊排列的小方塊，它們被稱為像素，在同一幅圖像中，像素的大小是相等的。整個灰度離散集合記為，灰度V到G的映射：（3.4）離散圖像的模型為（3.5）其中是離散的。3.3靜態(tài)彩色圖像的數(shù)學(xué)模型3.3.1靜態(tài)灰度圖像的連續(xù)模型關(guān)于顏色空間理論，涉及到計算機圖形學(xué)、光學(xué)等多門學(xué)科的知識，簡單的說，對于自然界中的任何一種顏色c，都可以分為三個顏色的分量，它們分別屬于紅色的色度空間，和綠色的色度空間和藍(lán)色的色度空間。3.3.2彩色圖像的數(shù)學(xué)模型靜態(tài)彩色圖像的數(shù)學(xué)模型和靜態(tài)灰度圖像的數(shù)學(xué)模型有非常類似的地方，記彩色圖像的支撐集合為，那么彩色圖像就是從到顏色空間的一個映射，類似于灰度圖像的做法，分別作出從的一一映射后，可以得到彩色圖像的連續(xù)模型而如果被空間采樣，被量化為后，我們可以得到彩色圖像的離散模型3.4動態(tài)圖像的數(shù)學(xué)模型動態(tài)圖像又視頻圖像，它是由一組圖像在時間軸上的有序排列，是二維圖像在一維時間軸上構(gòu)成成的序列圖像，如記時間軸坐標(biāo)為t，那么動態(tài)灰度圖像和動態(tài)彩色圖像的數(shù)學(xué)模型分別為和映射和量化后的動態(tài)灰度圖像的數(shù)學(xué)模型連續(xù)模型：模型離散：動態(tài)彩色圖像的數(shù)學(xué)模型，離散模型：在連續(xù)模型和離散模型中，為正整數(shù)，實際背景是在傳統(tǒng)電影模型中，是由一張一張的膠片組成，每一張膠片都是連續(xù)的，而在反映的時間軸上是離散的。在數(shù)字電影中，每一張膠片是離散的，被稱為幀（frame）,目前在計算機中刷新速度為30幀/秒。3.5數(shù)字圖像的采集當(dāng)我們進行圖像處理的時候，數(shù)字圖像的數(shù)據(jù)就已經(jīng)存儲在計算機上了，僅需要對這些數(shù)據(jù)進行處理就可以達到我們的目的，那么計算機中的圖像數(shù)據(jù)是從哪里的呢?通常的獲取手段是照片的掃描和數(shù)碼相機的拍攝。為采集數(shù)字圖像，需要兩種裝置，一種是對某個電磁能量普波段敏感的物理器件，它能產(chǎn)生于所接受到的電磁能量成正比的電信號，另一種稱為數(shù)字化器，它能將上述電信號轉(zhuǎn)化為數(shù)字的形式，所有采集數(shù)字圖像的設(shè)備都需要兩種裝置。以常見的X光透視成像儀為例，由X光源發(fā)出的射線穿越物體達到另一端對X光敏感的媒體，這個媒體能獲得物體對X光不同吸收率的圖像，它可以是膠片、一個帶有將X光轉(zhuǎn)化為光子的電視攝影儀。使用顯微密度計時，需要將透明底片或照片放在一個平板上或卷在一個圓鼓上，當(dāng)光線聚焦在圖像上時，平移平板或轉(zhuǎn)動圓鼓就可以完成掃描，如果是透明底片，光線穿過透明底片；如果是相片，光從表面反射，在這兩種情況下，光束都聚焦在光子檢測儀上，各個檢測儀根據(jù)光強的記錄下對應(yīng)當(dāng)前位置的圖像灰度值，如果灰度值和位置坐標(biāo)都去整數(shù)，就得到一幅數(shù)字圖像，盡管顯微密度計速度比較慢，但由于機械平移過程的連續(xù)本質(zhì)，它的空間精度很高。視像管攝影機的工作原理基于光導(dǎo)性質(zhì)，聚焦在視像管表面的圖像能形成光學(xué)圖像的灰度分布相對應(yīng)的光導(dǎo)模式，用另一個獨立的電子束掃描光導(dǎo)的另一面，由于中和作用，這個電子束在一個接受器上產(chǎn)生于輸入光亮度模式對應(yīng)的壓差信號，如果量化這個信號并記錄下對應(yīng)的掃描束位置，就可以得到一幅數(shù)字圖像。固態(tài)陣列是有稱為感光基元（photosites）的離散硅成像元素構(gòu)成，這樣的感光基元素能產(chǎn)生與所接受的輸入光強成正比的輸出電壓，固態(tài)陣列可按幾何組織形式分為兩種：線掃描器和平面掃描器，線性掃描傳感器包括一行感光基元，它靠場景和檢測器之間的相對的運動來獲得2-D圖像，平面掃描傳感器由排成方陣的感光基元組成，可直接得到2-D圖像，固態(tài)平面?zhèn)鞲衅麝嚵械亩粋€顯著特點是它具有非?？斓目扉T速度，所以能將許多運動瞬間凍結(jié)。固態(tài)陣列中的主要元件是電荷耦合器件CCD，圖3.2給出一個線性掃描CCD傳感器示意圖，這個傳感器由一行感光基元、兩個定時的將感光基元中的內(nèi)容傳給傳輸寄存器的傳輸門和傳輸寄存器隔開，以及一個定時的將傳輸寄存器中的內(nèi)容傳給放大器的傳輸門構(gòu)成，放大器傳輸?shù)碾妷盒盘柵c感光基元行的內(nèi)容成比例。電荷耦合平面陣列的工作原理與線陣相似，但感光基元排列成一個矩陣形式并由傳輸門和傳輸寄存器隔開，先將奇數(shù)列感光基元內(nèi)容順序送進放大器就得到1幀隔行的視頻信號，對偶數(shù)列感光基元重復(fù)以上過程就可得到另1幀隔行的視頻信號?，F(xiàn)在常用的線掃描CCD一般有512到4096個像素或更多，而4096×4096個像素的平面掃描CCD也已在使用。利用圖像處理和分析手段，還可以通過圖像的拼接用較小的分辨率的CCD獲得較大視場的圖像，電視攝像機一般用CCD陣組成，要得到數(shù)字圖像需把攝像機的視頻輸出送到一個數(shù)字化器中，這個工作常通過在計算機中插入專門的硬件捕獲卡實現(xiàn)。傳輸（移位）寄存器傳輸（移位）寄存器輸出信號放輸出信號放大器輸出門傳輸門（選送門）N感光基元321N感光基元321傳輸門（選送門）傳輸門（選送門） 傳輸（移位）寄存器傳輸（移位）寄存器圖3.2線性掃描傳感器3.6圖像格式一、BMP格式BMP是英文Bitmap的簡寫，它是Windows操作系統(tǒng)中標(biāo)準(zhǔn)圖像文件格式，能夠被多種Windows應(yīng)用程序所支持，隨著Windows操作系統(tǒng)的流行與豐富的Windows應(yīng)用程序的開發(fā)，BMP位圖格式理所當(dāng)然地被廣泛應(yīng)用，這種格式的特點是包含的圖像信息比較豐富，幾乎不進行壓縮，但由此導(dǎo)致了它的缺點—占用磁盤空間過大。二、GIF格式GIF是英文GraphicsInterchangeFormat(圖形交換格式)的縮寫，因此這種格式是用來交換圖片的，GIF格式的特點是壓縮比較高，磁盤占用空間比較少，所以這種格式迅速發(fā)展，最初的GIF只是簡單的存儲單幅靜止圖像?？紤]到網(wǎng)絡(luò)傳輸中的實際情況，GIF圖像格式還是增加了漸顯方式，即在圖像傳輸過程中，用戶可以先看到圖像的大致輪廓，然后隨著傳輸過程的繼續(xù)而逐步看清圖像中的細(xì)節(jié)部分，從而適應(yīng)了用戶的“從朦朧到清晰”的觀賞心理．GIF的圖像的缺點，不能存儲超過２５６色的圖像，但這種格式仍在網(wǎng)上流行，這和GIF圖像文件短小、下載速度快、可用許多具有同樣大小的圖像文件組成動畫等優(yōu)勢是分不開的。三、JPEG格式JPEG也是常見的一種圖像格式，它由聯(lián)合圖像專家組（jointphotographicexpertsgroup）開發(fā)并命名為“ISO10918-1”同時JPEG還是以種很靈活的格式，具有調(diào)節(jié)圖像質(zhì)量的功能，允許用不同的壓縮比例對這種文件進行壓縮。由于JPEG優(yōu)異的品質(zhì)和杰出的表現(xiàn)，它的應(yīng)用也非常廣泛，特別是在網(wǎng)絡(luò)和光盤讀物上，可能都能找到它的影子，目前各類瀏覽器均支持JPEG圖像格式。四、JPEG2000格式JPEG2000格式同樣是由JPEG組織負(fù)責(zé)制定的，它有一個正式名加做“ISO15444”JPEG2000作為JPEG的升級版，其壓縮率比JPEG高約30%左右，與JPEG不同的是，JPEG2000同時支持有損和無損壓縮，而JPEG只能支持有損壓縮，無損壓縮對保存一些重圖片是十分有用的，JPEG2000的一個極其重要的特征在于它能實現(xiàn)漸進傳輸，讓圖像由朦朧到清晰顯示，而不必是像現(xiàn)在的JPEG一樣，由上到下慢慢顯示。五、TIFF格式TIFF(tagimagefileformat)由Aldus和微軟聯(lián)合開發(fā)，最初是出于跨平臺存儲掃描圖像的需要而設(shè)計的，它的特點是圖像格式復(fù)雜、存貯信息多，圖像的質(zhì)量也相對較高，故而非常有利于原稿的復(fù)制。該格式有壓縮和非壓縮的兩種格式，其中壓縮可采用LZW無損壓縮方案存儲，不過，由于TIFF格式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，兼容性較差，因此有時軟件可能不能正確識別TIFF文件，目前在Mac和PC機上移植TIFF文件也十分便捷，因而TIFF現(xiàn)在也是微機上使用最廣泛的圖像文件格式之一。六、PSD格式這是著名的Adobe公司的圖像處理軟件Photoshop的專用格式PhotoshopDocument（PSD），PSD其實是Photoshop進行平面設(shè)計的一張“草稿圖”，它里面包含有各種圖層、通道、遮罩等多種設(shè)計的樣稿，以便于下次打開文件時可以修改上一次的設(shè)計。在Photoshop所支持的各種圖像格式中，PSD的存取速度比其他的格式快的多，功能也強大的多，由于Photoshop越來越廣泛地應(yīng)用。七、PNG格式PNG（portablenetworkgraphics）是一種新興的網(wǎng)絡(luò)圖像格式，PNG一開始便結(jié)合GIF及JPG兩家之長，打算一舉取代這兩種格式。PNG是目前保證最不失真的格式，它汲取了GIF和JPG二者的優(yōu)點，存貯形式豐富，兼有GIF和JPG的色彩模式；它的另一個特點是能把圖像文件壓縮到極限以利于網(wǎng)絡(luò)傳輸，但又能保留所有與圖像品質(zhì)有關(guān)的信息，因為PNG是采用無損壓縮方式來減小文件的大小，這一點與犧牲圖像品質(zhì)以換取高壓縮率的JPG有所不同；它的的第三個特點是顯示速度快，只需下載1/64的圖像信息就可以顯示出低分辨率的預(yù)覽圖像；第四，PNG同樣支持透明圖像的制作，透明圖像在制作網(wǎng)頁圖像的時候很有用，我們可以把圖像背景設(shè)為透明，用網(wǎng)頁本身的顏色信息來代替設(shè)為透明的色彩，這樣可讓圖像和網(wǎng)頁背景很和諧地融合在一起。PNG的缺點是不支持動畫應(yīng)用效果，如果在這方面有所加強，簡直就可以取代GIF和JPEG了，現(xiàn)在越來越多的軟件開始支持這一格式，而且在網(wǎng)絡(luò)上也越來越流行。八、SWF格式利用Flash我們可以制作出一種后綴名為SWF（shockwaveformat）的動畫，這種格式的動畫圖像能夠用比較小的體積來表現(xiàn)豐富的多媒體形式，在圖像的傳輸方面，不必等到文件全部下載才能觀看，而是可以邊下載變看，因此特別適合網(wǎng)絡(luò)傳輸，尤其是在傳輸速率不佳的情況下，也能取得較好的效果，SWF如今已被大量應(yīng)用于web網(wǎng)頁進行多媒體演示與交互性設(shè)計，此外，SWF動畫基于矢量技術(shù)制作的，因此不管將畫面放大多少倍，畫面不會因此而有任何損害，目前已成為網(wǎng)上動畫的事實標(biāo)準(zhǔn)。九、SVG格式SVG格式可以算是目前最火熱的圖像文件格式，英文全稱ScalableVectorGraphics，意思為可縮放的矢量圖像，它是基于XML。SVG格式提供了GIF和JPEG格式無法具備的優(yōu)勢，可以任意放大圖像顯示，但絕不會以犧牲圖像質(zhì)量為代價，可在SVG圖像中保留可編輯和可搜索的狀態(tài)。第4章數(shù)字圖像處理的基本知識本章主要介紹數(shù)字圖像處理的基本知識，主要對低層圖像處理技術(shù)做了簡單的概述，同過濾波實現(xiàn)圖像增強和圖像還原的處理方法，涉及到了濾波器、平滑濾波、統(tǒng)計排序濾波等；圖像還原涉及了噪聲模型、平滑去噪等。4.1數(shù)字圖像處理的概述4.1.1數(shù)字圖像處理技術(shù)的發(fā)展數(shù)字圖像處理技術(shù)的歷史可以追溯到20世紀(jì)20年代報紙業(yè)中采用的Bartlane電纜傳輸系統(tǒng)，當(dāng)時把一幅圖片的數(shù)據(jù)橫跨大西洋傳輸需要一周時間，而Bartlane系統(tǒng)通過編碼技術(shù)把時間減少到了3個小時。20世紀(jì)60年代，第3代計算機的研制成功以及傅里葉變換算法的發(fā)展和應(yīng)用使得對圖像的某些計算得以實現(xiàn)，人們逐步開始使用計算機進行圖像處理，數(shù)字圖像處理開始在醫(yī)學(xué)圖像、地球遙感和天文學(xué)領(lǐng)域等得到廣泛的應(yīng)用。20世紀(jì)70年代，數(shù)字圖像處理技術(shù)有了較大的發(fā)展，第一部圖像處理書籍DigitalPictureProcessing也出版，此時間發(fā)明的計算機軸向斷層技術(shù)是圖像處理在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域得到了重要的發(fā)展。20世紀(jì)80年代，各種硬件的發(fā)展使得人們不僅可以對靜態(tài)圖像處理，而且還可以對動態(tài)圖像的處理，在地球物理領(lǐng)域，圖像處理技術(shù)被用來從航空和衛(wèi)星傳送回來的圖像中研究污染模型；在考古領(lǐng)域，使用圖像處理技術(shù)以成功復(fù)原了模糊圖片；物理學(xué)領(lǐng)域，圖像處理技術(shù)也用于增強高能等離子和電子顯微鏡等產(chǎn)生的實驗圖像，此外在天文學(xué)、生物學(xué)、國防等領(lǐng)域也得到廣泛的應(yīng)用。20世紀(jì)90年代，數(shù)字圖像處理技術(shù)已經(jīng)滲透了人類生活和社會發(fā)展的各個領(lǐng)域，如多媒體技術(shù)、虛擬實現(xiàn)技術(shù)等。4.1.2數(shù)字圖像處理技術(shù)的流程圖像處理技術(shù)的內(nèi)容非常豐富，根據(jù)抽象程度和研究方法等不同分為三個層次（見圖4.1）：圖像處理、圖像分析和圖像理解。其中圖像處理又被稱為低層圖像處理。圖像理解高小圖像理解 高層 符號圖像分析抽 操數(shù)圖像分析象語中層 目標(biāo)作據(jù)圖像處理程義對量圖像處理度低層 像素象低大圖4.1圖像處理技術(shù)三層次示意圖4.1.3低層圖像處理一般來講，低層圖像處理輸入是原始采集的圖像，輸出的是經(jīng)過處理后改善了某些質(zhì)量或者更適合于某些特定應(yīng)用的圖像。低層圖像處理有兩個主要內(nèi)容：圖像增強和圖像復(fù)原。圖像增強將原來不清晰的圖像變得清晰或強調(diào)某些關(guān)注的特征，抑制非關(guān)注的特征，使之改善圖像質(zhì)量、豐富信息量，加強圖像判讀和識別效果的圖像處理方法增強圖象中的有用信息，它可以是一個失真的過程，其目的是要改善圖像的視覺效果，針對給定圖像的應(yīng)用場合，有目的地強調(diào)圖像的整體或局部特性，將原來不清晰的圖像變得清晰或強調(diào)某些感興趣的特征，擴大圖像中不同物體特征之間的差別，抑制不感興趣的特征，使之改善圖像質(zhì)量、豐富信息量，加強圖像判讀和識別效果，滿足某些特殊分析的需要。圖像增強可分成兩大類：頻率域法和空間域法。前者把圖像看成一種二維信號，對其進行基于二維傅里葉變換的信號增強。采用低通濾波（即只讓低頻信號通過）法，可去掉圖中的噪聲；采用高通濾波法，則可增強邊緣等高頻信號，使模糊的圖片變得清晰。具有代表性的空間域算法有局部求平均值法和中值濾波（取局部鄰域中的中間像素值）法等，它們可用于去除或減弱噪聲。圖像增強的方法是通過一定手段對原圖像附加一些信息或變換數(shù)據(jù)，有選擇地突出圖像中感興趣的特征或者抑制(掩蓋)圖像中某些不需要的特征，使圖像與視覺響應(yīng)特性相匹配。在圖像增強過程中，不分析圖像降質(zhì)的原因，處理后的圖像不一定逼近原始圖像。圖像增強技術(shù)根據(jù)增強處理過程所在的空間不同，可分為基于空域的算法和基于頻域的算法兩大類?；诳沼虻乃惴ㄌ幚頃r直接對圖像灰度級做運算基于頻域的算法是在圖像的某種變換域內(nèi)對圖像的變換系數(shù)值進行某種修正，是一種間接增強的算法。二、圖像復(fù)原對遙感圖像資料進行大氣影響的校正、幾何校正以及對由于設(shè)備原因造成的掃描線漏失、錯位等的改正，將降質(zhì)圖像重建成接近于或完全無退化的理想圖像的過程。4.2濾波和濾波器在上一節(jié)里已經(jīng)提到了低層圖像處理的兩個主要分支，即圖像增強和圖像還原，而對它們的處理過程稱為濾波。圖像濾波的方法分為兩大類：空間域方法和頻域方法，空間域指圖像平面本身，這類方法直接對圖像的像素值進行處理；頻域處理技術(shù)是以圖像的傅里葉變換為基礎(chǔ)。在離散模型下，定義一個像素鄰域的主要方法是利用中心在點的正方形子圖像，在圖像處理時，子圖像的中心從一個像素移動到另一個像素。為了保證濾波器的對稱性，取濾波器的大小為，濾波器系數(shù)的表示是記中心像素的系數(shù)值為，其他系數(shù)依據(jù)其位置分別記為如果（4.1）那么，稱濾波系數(shù)滿足歸一化條件。圖像對于濾波器的響應(yīng)是逐點定義的，在()點處的響應(yīng)是（4.2）隨著濾波器在圖像中的移動，當(dāng)它遍歷整個圖像支撐集時，就實現(xiàn)了對整幅圖像的操作，稱為濾波。4.3圖像增強算法圖像增強的空間濾波算法分為平滑空間濾波和銳化空間濾波，經(jīng)常用到的平滑空間濾波有平滑線性濾波和統(tǒng)計排序濾波，而銳化空間濾波器則由基于二階微分的圖像增強算法、反銳化俺蔽、梯形法等組成。4.3.1平滑空間濾波1.平滑線性濾波器平滑線性濾波器的響應(yīng)是對包含在濾波器中的像素作一個簡單的平均，因此也稱均值濾波，它用濾波器范圍內(nèi)的像素平均灰度去代替像素的值，這種處理減少了圖像灰度的“尖銳”變化。2.統(tǒng)計排序濾波器統(tǒng)計排序濾波器是以種非線性的空間濾波器，它的響應(yīng)主要基于圖像濾波器包圍的圖像區(qū)域中的像素的排序，統(tǒng)計排序濾波器中最有名的是中值濾波器，即它是將像素鄰域內(nèi)灰度值的中值代替該像素的值。4.3.2銳化空間濾波銳化的主要目的是為了突出了圖像中的細(xì)節(jié)或增強被模糊的細(xì)節(jié)，這種模糊的產(chǎn)生不是因為操作錯誤，而是特殊的圖像獲取過程中的固有影響，圖像銳化應(yīng)用非常廣泛，從電子映像和醫(yī)學(xué)成像到工業(yè)檢測和國防系統(tǒng)中等。銳化可以通過微分來實現(xiàn)，兩種比較經(jīng)典的銳化算法：基于二階微分的圖像增強和反銳化俺蔽。（1）基于二階微分的圖像增強各向同性二階微分算子是Laplace算子，一個圖像的Laplace變換定義在離散格式下，用差微分代替微分，因此關(guān)于的一階微分是（4.3）關(guān)于的二階微分是相應(yīng)的，關(guān)于的二階微分是所以（2）反銳化俺蔽銳化處理是將圖像的模糊形式從原始圖像中除去，這種處理被稱為圖像的反銳化俺蔽，可表示為4.4圖像還原算法圖像還原算法通常是用來處理受到噪聲干擾的圖像。數(shù)字圖像的噪聲主要來源于圖像的獲取過程和傳輸過程之中，圖像傳感器的工作原理受到各種因素的影響，如圖像獲取過程中環(huán)境條件和傳感器自身質(zhì)量，如果使用CCD攝像機獲取圖像，光照程度和傳感器溫度是生成圖像中產(chǎn)生大量噪音的主要因素。圖像在傳輸過程中主要由于所用的傳輸信道的干擾而受到干擾，對于灰度圖像，數(shù)字化過程中，主要產(chǎn)生一下兩種噪音：（1）由于傳感器的靈敏度不同而產(chǎn)生的條紋狀干擾；（2）器件的熱噪聲以及各種隨機干擾源引起的圖像中雜亂分布的黑點與白點。4.4.1噪聲模型空間噪聲描述符號噪聲分量灰度值的統(tǒng)計特性，所以空間噪聲可以被認(rèn)為是由概率密度函數(shù)表述隨機變量，常見有高斯模型、瑞麗模型、伽馬模型、指數(shù)模型、脈沖模型（椒鹽模型）等。（1）高斯噪聲由于高斯噪聲在空間和頻率上比較容易用數(shù)學(xué)方法處理，因此這種噪聲模型經(jīng)常得到應(yīng)用，高斯隨機變量的概率密度函數(shù)為其中z表示灰度值，表示z的數(shù)學(xué)期望，表示方差，如果噪聲的灰度值z滿足上式中的高斯分布，根據(jù)概率論結(jié)論，有95%的灰度值在之間，說明絕大多數(shù)位置上的噪聲灰度值不大。在高斯噪聲中，是一個非常重要的參數(shù)，越大，說明圖像被噪聲干擾的程度就越大。（2）椒鹽噪聲椒鹽模型的概率分布：若b>a，則灰度值b在圖像中將顯示為一個亮點；反之，a的值將顯示為一個暗點。若為0，則稱單極脈沖，若近乎相等，則脈沖噪聲將類似于隨機分布在圖像上的胡椒和鹽粉微粒。一般來說，脈沖干擾的強度比圖像信號的強度大，因此在一幅圖像中，脈沖噪聲總是數(shù)字化為最大值，這樣通常設(shè)為a和b為飽和度值。由于這一結(jié)果，負(fù)脈沖以一個黑點出現(xiàn)在圖像中，正脈沖以白點出現(xiàn)在圖像中，對于離散模型，這就意味著a=0，b=去噪算法去噪是圖像處理領(lǐng)域中最成熟的分支之一，目前已有許多去噪的方法，通過觀察噪聲圖像、考察圖像的噪聲模型，平滑算法去除了圖像中的細(xì)節(jié)，所以在圖像增強中所闡述的平滑濾波方法完全適用于去噪算法。在圖像去噪的研究領(lǐng)域中，通常交叉使用去噪、濾波、光滑、平滑這四個術(shù)語。（1）算術(shù)均值濾波算術(shù)均值濾波器就是計算被干擾圖像在的一個鄰域的平均值作為濾波的結(jié)果，設(shè)B是一個包含原點的區(qū)域，則濾波可由下列公式：相應(yīng)的離散模型是在這種情況下，認(rèn)為是一個濾波器的作用結(jié)果，濾波的模板大小為B，系數(shù)是（2）加權(quán)均值濾波器如果對算術(shù)均值濾波器作一個改進，使用系數(shù)不同的濾波器，這樣，從權(quán)值上看，一些像素比另外一些像素更重要，處于濾波器中央的值比其他像素的系數(shù)值大，而離模板中心比較遠(yuǎn)的圖像對結(jié)果的影響比較小，相應(yīng)的權(quán)值也比較小，相應(yīng)的公式為連續(xù)模型:離散模型：（3）中值濾波器最著名的順序統(tǒng)計濾波器是中值濾波器，用該像素的想鄰的像素的灰度中間值來代替該像素的值，中值濾波的結(jié)果來自于原圖像中的某個像素的原始值，中值濾波器的應(yīng)用非常普遍，對很多隨機噪聲有很好的去噪效果，且在相同尺寸下比線性平滑濾波器引起的模糊比均值濾波器少，尤其對椒鹽噪聲的抑制比較明顯。第5章基于偏微分方程的圖像平滑在過去的十年中，偏微分方程已經(jīng)成為計算機視覺和圖像分析領(lǐng)域到的重要方法，廣泛應(yīng)用于圖像去噪等領(lǐng)域，主要原因是：變分偏微分方程可以直接處理圖像視覺上的重要的幾何特征；變分偏微分方程可以有效的模擬具有視覺意義的動態(tài)過程，如各向同性擴散、各向異性擴散以及信息的傳輸機制；變分偏微分方程可以采取成熟的數(shù)值計算方法，也可以采取智能優(yōu)化算法，如模擬退火、遺傳算法和計算流體動力學(xué)中的“激波捕獲”算法等；變分偏微分方程方法能獲得較好的圖像質(zhì)量，并具有一定的穩(wěn)定性。5.1偏微分方程的概述偏微分方程概念的引入是科學(xué)家研究自然的一個必然結(jié)果，因為幾乎所有的研究對象，包括天文學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域的物體運動、狀態(tài)變化等都不可能只受到一個因素的影響，它們往往與位置、時間、溫度等諸多因素相關(guān)，因此必須用偏微分方程才能描述并求解。大多數(shù)的偏微分方程都與某個實際問題有密切的聯(lián)系，或者就是從某個實際問題中導(dǎo)出的。偏微分方程是十分復(fù)雜的研究對象，即使是線性的方程，也可以復(fù)雜到很難處理的程度，至于非線性方程，人們更加感到，目前大體上還只能分別針對各種具體問題，提出個別的解決辦法。在這個過程中，隨著偏微分方程研究的內(nèi)容越來越多、越來越難，各種新方法不斷涌現(xiàn)，不斷豐富和發(fā)展了偏微分方程的研究內(nèi)容，同時也促進了許多其它數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。5.2基于偏微分方程的圖像平滑處理人們對偏微分方程的研究已經(jīng)有近300年的歷史。早期的偏微分方程問題產(chǎn)生于力學(xué)、幾何、物理等理論學(xué)科和實際工程中。近年來，在生命科學(xué)、經(jīng)濟學(xué)中也出現(xiàn)了大量的偏微分方程問題。正是這些偏微分方程的出現(xiàn)，使得圖像處理產(chǎn)生了不同的意義?；谄⒎址匠痰膱D像處理是圖像處理領(lǐng)域中的一個重要分支。在過去的幾年中,基于偏微分方程的圖像處理技術(shù)在圖像分析中成為一個引起眾多研究者感興趣的課題。它能夠良好地兼顧噪聲消除和特征保護,在圖像分割、序列圖像恢復(fù)方面都可以取得較好的效果。在圖像分析中引入偏微分方程有很多優(yōu)點。可將圖像模型在一個連續(xù)域中分析,與網(wǎng)格無關(guān),且具各向同性,可以很自然地合并算法。在圖像處理中運用偏微分方程的思想最早可追溯到Gabor和更近一些的Jain。Koenderink獨立研究工作使本領(lǐng)域有了突出進步。他們引入了尺度空間的概念,在多尺度同時表達圖像。他們通過高斯濾波獲得多尺度圖像表達,這等價于以經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程對原始圖像各向同性變形。以Perona和Malik在系數(shù)各向異性分布方面的研究在本領(lǐng)域最有影響。他們提出以系數(shù)方向性分布取代高斯(Gaussian)平滑(相當(dāng)于各向同性分布),保留邊緣信息。他們揭開了一系列偏微分圖像處理領(lǐng)域理論和實際上的問題。經(jīng)過眾多研究者廣泛深入研究,偏微分方程理論框架應(yīng)用到了圖像處理和計算機視覺許多方面與許多問題的解決中?；谄⒎址匠蹋≒DE）的圖像處理方法已經(jīng)在圖像處理領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。使用偏微分方程方法,由對數(shù)值分析廣泛研究,增加了獲得高精度和穩(wěn)定性的可能。偏微分方程方法與通常的圖像處理算法相比，雖然計算量較大，耗時較長，但由于其靈活的拓?fù)鋵W(xué)結(jié)構(gòu)、廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域逐漸受到人們的重視，包括數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)、不變形狀分析、分割問題、圖像增強、圖像去噪等。5.2.1各向同性擴散方程傳統(tǒng)的圖像平滑算法如均值濾波、中值濾波和高斯濾波等,由于不考慮圖像的形狀特征,其平滑結(jié)果等價于傳導(dǎo)系數(shù)為常量的熱擴散方程,屬于各向同性擴散。如果圖像中存在某種雜質(zhì)，并且期濃度分布不均勻，這時，雜質(zhì)將從濃度較高的區(qū)域向濃度較低區(qū)域遷移，這種遷移過程在物理學(xué)了稱之為擴散；類似地，當(dāng)介質(zhì)中的溫度分布不均勻時，將發(fā)生熱量從溫度較高的區(qū)域向溫度較區(qū)域的遷移過程，稱之為熱傳導(dǎo)。若以函數(shù)u(x,y,z,t)表示濃度隨空間和時間的變化，那么空間分布的不均勻性用梯度來刻畫，于是可以將雜質(zhì)在宏觀上的定向遷移，看成是由梯度產(chǎn)生的作用力-所推動的，這里負(fù)號表示作用力指向u值減小的方向。如果介質(zhì)是各向同性的，那么，在這一作用力下的推動下，將產(chǎn)生流密度，即單位時間通過與梯度矢量垂直的單位面積的雜質(zhì)（5.1）式中a為一標(biāo)題，稱為傳輸系數(shù)。在最簡單的情況下，a是一個常數(shù)，但a也可以是依賴于空間位置的標(biāo)題函數(shù)，即a(x,y,z)；更復(fù)雜的情況是，傳導(dǎo)系數(shù)還依賴于u本身，即a(x,y,z,u)。在另外一類介質(zhì)中，流密度的方向并不與梯度的方向一致，例如，晶體中的雜質(zhì)擴散就可能出現(xiàn)這種情況。這種介質(zhì)稱為各向異性介質(zhì)。為避免對圖像特征的損害,又能取得良好效果,平滑處理應(yīng)該自適應(yīng)調(diào)整權(quán)值,基于各向同性平滑方法各方向的梯度權(quán)值相同,不能很好地保留邊緣信息。高斯平滑過程可用各向同性分布偏微分方程(即熱傳導(dǎo)方程)表示如下:（5.2）式中表示演化中的圖像，為初始圖像。式(5.2)可通過fourier變換方法得到它的解為（5.3）式中（5.4）（5.4）表示中心在坐標(biāo)原點的二維Gaussian函數(shù)，其x和y方向上的等效寬度均為。由此可見，令圖像進行線性擴散，等價于傳統(tǒng)圖像處理中對圖像采用Gaussian濾波器進行濾波。對線性擴散方程生成尺度空間的性質(zhì)，數(shù)學(xué)上已進行了充分研究，其主要結(jié)論可歸納如下：Gaussian函數(shù)是唯一能滿足對稱性、歸一化并且不增加局部極大值的卷積核。對于圖像對比變換和Euclidean變換而言，線性方程的解具有不變性。滿足極值原理，即式中是圖像的定義域。線性擴散方程的穩(wěn)態(tài)解為式中，常數(shù)等于的平均灰度，隨著尺度參數(shù)（擴散時間）的增大，圖像變得越來越模糊，最后以圖像灰度值為常數(shù)（平均值）而告終。Gaussian濾波在平滑噪聲的同時，使圖像邊緣越來越模糊。圖像的邊緣模糊化在圖像處理中往往是不能接受的，因為邊緣被認(rèn)為是圖像的最重要的特征，并且人的視覺對邊緣也非常敏感。5.2.2各向異性擴散方程（1）P-M模型為了達到去噪同時保護邊緣，可以采用擴散過程中的傳導(dǎo)系數(shù)依賴于圖像的局部特征。具體來說，在圖像比較平坦的區(qū)域，傳導(dǎo)系數(shù)能自動增大。這可使平坦區(qū)域中較小的起伏被平滑；而在圖像的邊緣附近，傳導(dǎo)系數(shù)能自動減小，可使邊緣幾乎不受影響。Perona和Malik引入的各向異性擴散方程是這個領(lǐng)域最有影響的工作。他們提出用保邊界的具有方向性的熱擴散方程來代替高斯平滑濾波器。他們的研究開辟了圖像處理中偏微分方程理論和應(yīng)用的很多新領(lǐng)域。Perona和Malik提出的各向異性平滑過程可以表達為：（5.5） 為原始灰度圖像，其中div是散度算子,是圖像的梯度,c是擴散系數(shù),k是梯度門限。通常采用分析Perona-Malik方程的擴散系數(shù)可知，只有梯度幅值大于參數(shù)K的像素才作為邊緣信息被保留；而梯度幅值較小的低對比度邊緣將被濾除。因此，K的取值直接影響到各向異性擴散方法對圖像的平滑去噪和細(xì)節(jié)保持能力。參數(shù)K為常數(shù)時實驗結(jié)果不佳，原因在于：在對噪聲圖像平滑的異性擴散過程中，隨著圖像平滑程度的增加，相應(yīng)的梯度不斷下降，因此參數(shù)K遞減才能有效地保持邊緣。雖然各向異性擴散方法得到了廣泛應(yīng)用，但它仍然存在一些缺陷，比如平滑時有