年佛山市順德區(qū)高三數(shù)學3月模擬聯(lián)考試題卷考試范圍：聯(lián)考考綱；考試時間：120分鐘2024.03第I卷（選擇題）一、單選題（4*15＝60，注意：均只提供四個選擇項，與聯(lián)考不一樣）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D． E．均不是2．已知，，，則（

）A． B． C． D． E．均不是3．已知，分別是關于的方程，的根，則下面為定值2023的是（

）A． B． C． D． E．均不是4．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D． E．均不是5．以下不滿足的角是（

）A． B． C． D． E．均不是6．已知，為雙曲線（，）的兩個焦點，為雙曲線上的任意一點，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3 E．均不是7．設等差數(shù)列，的前項和分別為，，若對任意正整數(shù)都有，則（

）A． B． C． D． E．均不是8．一個彈性小球從10米自由落下，著地后反彈到原來高度的處，再自由落下，又彈回到上一次高度的處，假設這個小球能無限次反彈，則這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程為（

）A．50 B．60 C．70 D．80 E．均不是9．如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D． E．均不是10．已知，則被10除所得的余數(shù)為（

）A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是11．在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是12．過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D． E．均不是13．已知圓：（）與雙曲線：（，），若在雙曲線上存在一點，使得過點所作的圓的兩條切線，切點為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D． E．均不是14．如圖，點在邊長為1的正方形邊上運動，是的中點，當點沿運動時，點經(jīng)過的路程與的面積的函數(shù)的圖象的形狀大致是（

）A．B．C．D．E．均不是15．已知函數(shù)，給出下列四個結論：①函數(shù)的最小正周期是；②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；③函數(shù)的圖象關于直線對稱；④函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到.其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4 E．0第II卷（非選擇題）二、解答題16．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)在上的取值范圍；(2)當時，求函數(shù)在上的最大值.17．設數(shù)列滿足，．(1)計算，猜想的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列，求的前項和．18．已知雙曲線的漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為，過點作直線（不與軸重合）與雙曲線相交于兩點，過點作直線的垂線為垂足．(1)求雙曲線的標準方程；(2)是否存在實數(shù)，使得直線過定點，若存在，求的值及定點的坐標；若不存在，說明理由.19．一般地，任何一個復數(shù)（，）都可以表示成形式，其中，是復數(shù)的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數(shù)的輻角，叫做復數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開來，（，）叫做復數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱“代數(shù)形式”.(1)畫出復數(shù)對應的向量，并把表示成三角形式；(2)已知，，，其中，.試求（結果表示代數(shù)形式）.20．已知關于的不等式的解集為.(1)求，的值；(2)求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積.1．D【分析】求二次函數(shù)值域可得集合，解指數(shù)不等式可得集合，再求交集即可.【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以.所以.故選：D.2．D【分析】運用對數(shù)運算公式計算即可.【詳解】由題意知，，，，因為，，所以由換底公式可得，，又因為（），所以，所以由換底公式可得.故選：D.3．C【分析】由與關于直線對稱，關于直線對稱可得與為同一點即可求得結果.【詳解】由已知條件可知，，，令，，，如圖所示，曲線與曲線關于直線對稱，曲線關于直線對稱，設曲線分別與曲線，交于點，，則點，關于直線對稱，而點關于直線對稱的點為，即為點，則，即.故選：C.4．A【分析】結合圖象變換求得解析式，再結合偶函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意知，（）又因為為偶函數(shù)，所以關于軸對稱.所以，，解得，，又，所以當時，取得最小值為.故選：A.5．D【分析】利用誘導公式及反三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】對于A項，，故A項正確；對于B項，令，則，所以，故B項正確；對于C項，，故C項正確；對于D項，，故D項不成立.故選：D.6．A【分析】設出點，，坐標，運用數(shù)量積坐標公式可得，結合可得，進而可求得離心率.【詳解】如圖，設，，，則（當且僅當在頂點時取等號），所以，即，所以.故選：A.7．C【分析】運用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前項和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得，.故選：C.8．C【分析】運用等比數(shù)列求和公式計算可得解析式，結合極限思想即可求解.【詳解】由題意知，這個小球在這次運動中第次反彈著地后所經(jīng)過的總路程為，假設這個小球能無限次反彈，所以這個小球在這次運動中所經(jīng)過的總路程為.故選：C.9．C【分析】在上取點，使，連接、，過點作于點，結合題意可得平面，平面，故點到直線距離的最小值為，計算出即可得.【詳解】在上取點，使，連接、，過點作于點，由，故，又平面，平面，故平面，由平面，平面，故，故，又，，、平面，故平面，故到平面的距離為，又在線段上，故點到直線距離的最小值為，由，故，則，故.故選：C.10．C【分析】由題意可得，將其展開式寫出后可得，即可得解.【詳解】，由，故被10除所得的余數(shù)為.故選：C.11．B【分析】由題意，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個陽爻包含基本事件數(shù)為，由此能求出這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率.【詳解】在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個陽爻包含的基本事件數(shù)為，所以這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是.故選：B.12．B【分析】得到圓的圓心與半徑后，借助切線性質(zhì)可得，即可得，即可得.【詳解】圓可化為，即圓心為，半徑為，故圓心到點的距離為，則，由，故，故.故選：B.13．B【分析】由圓的切線的性質(zhì)可得，即雙曲線與圓有交點，即，即可計算離心率的范圍.【詳解】由，故，則，即雙曲線與圓有交點，即，即，即，即雙曲線的離心率的取值范圍是.故選：B.14．A【分析】求出點在對應線段上時的解析式，結合圖象判斷即可得.【詳解】當點在上時，，當點在上時，，當點在上時，，其中A選項符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.故選：A.15．B【分析】根據(jù)降冪公式和輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可判斷.【詳解】，對于①，因為，則的最小正周期，故①錯誤；對于②，由函數(shù)解析式可知，滿足時單調(diào)遞減，解得，當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，故②正確；對于③，由函數(shù)解析式可知，對稱軸滿足，解得，所以當時，對稱軸為，故③正確；對于④，函數(shù)的圖象向左平移個單位可得，故④錯誤.故正確結論的個數(shù)是個.故選：B.16．(1)(2)【分析】（1）對函數(shù)配方后，可得其對稱軸，從而可求得其單調(diào)區(qū)間，進而可求出的取值范圍，（2）對函數(shù)配方后，可得其對稱軸，然后分和兩種情況求出函數(shù)的最大值【詳解】（1）當時，，對稱軸為直線，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是；（2）當時，，對稱軸為直線，當時，函數(shù)在上的最大值；當時，函數(shù)在上的最大值；函數(shù)在上的最大值.17．(1)，，，猜想，證明見解析(2)【分析】（1）利用遞推關系式可求得，由此可猜想得到通項公式；利用數(shù)學歸納法可證得通項公式成立；（2）由（1）可得，采用錯位相減法可求得.【詳解】（1）由，得：；；；由此可猜想，證明如下：當時，，即成立；假設當時，成立，那么當時，，即成立；綜上所述：當時，.（2）由（1）得：，，，兩式作差得：，.18．(1)(2)存在實數(shù)，使得直線過定點【分析】（1）焦點到漸近線的距離為，在根據(jù)漸近線方程求出；（2）計算出的直線方程，再令即可求出定點坐標.【詳解】（1）焦點到漸近線的距離不妨求直線的距離，漸近線方程，得所以雙曲線方程為；（2）假設存在實數(shù)，使得直線過定點,設直線，則．聯(lián)立，消得則．直線，令得:又當即時，為定值所以存在實數(shù)，使得直線過定點.19．(1)圖象見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)對應的點在第四象限畫出圖象，求得復數(shù)的模和輔角即可；（2）根據(jù)，進而求得，，再利用復數(shù)的乘法求解.【詳解】（1）因為對