專題25同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

知考綱要求

識(shí)考點(diǎn)預(yù)測(cè)

梳常用結(jié)論

理方法技巧

題型一：“知一求二”問(wèn)題

題題型二：sina,cosa的齊次式問(wèn)題

型題型三：sina±cosa,sinacos。之間的關(guān)系

歸題型四：誘導(dǎo)公式

類題型五：基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

訓(xùn)練一：

培訓(xùn)練二：

優(yōu)訓(xùn)練三：

訓(xùn)訓(xùn)練四：

練訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)單選題：共8題

化多選題：共4題

測(cè)填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=I,sinx=tanx.

cosx

2.能利用單位圓中的對(duì)稱性推導(dǎo)出①a,7i±a的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.

2

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sirPa+cos系=1.

C、有將壬差Sina，\a^-+ht,k&TA

(2)商數(shù)關(guān)系：----=tanal2J.

cosa

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式—?二三四五六

2E+71

角兀+a-a式一a—a--\~a

ez)22

正弦sina~sina-singsinaco§acosa

余弦cosa-cos2cosa-cosasina—sing

正切tanatana—tang-tana

口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限

【常用結(jié)論】

1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形

(sina±cosa)2=l±2sinacosa；sina=tana-cosa.

2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指，的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱

的變化.

3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào).

【方法技巧】

1.利用si/a+cos2a=1可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，開(kāi)方時(shí)要根據(jù)角a所在象限確定符號(hào)；利用

皂?ntana可以實(shí)現(xiàn)角a的弦切互化.

cosa

2.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa這三個(gè)式子，

利用(sin注cosa)2=l±2sinacosa,可以知一求二.

3.注意公式逆用及變形應(yīng)用：1=sin2a+cos2a,sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a

4.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用

①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.

②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

5,含2兀整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2兀的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2兀的整數(shù)倍去

掉后再進(jìn)行運(yùn)算.如cos(57t—a)=cos(7i—a)=—cosa.

6.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活

使用公式進(jìn)行變形；注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響.

二、【題型歸類】

【題型一】“知一求二”問(wèn)題

【典例1］已知a是第四象限角，且tana=—1,則sina=()

3344

A.--B.-C.-D.--

5555

【典例2］已知a是三角形的內(nèi)角，且tana=—?jiǎng)tsina+cosa的值為

【典例3】已知cosa=—―,貝U13sina+5tana=.

13

【題型二】sina,cosa的齊次式問(wèn)題

【典例1】已知一*」=—1,求下列各式的值：

tana-1

⑴sina-3cosa

sina+cosa

(2)sin2a+sinacosa+2.

7

【典例2】已知sin夕+cos一，夕￡(0,兀)，則tanO=.

13

【典例3]已知tana=K則^^^cosa=________；sin2a+sinacosa+2=________.

2sina+cosa

【題型三】sina±cosa,sinacosa之間的關(guān)系

【典例1】已知a￡(一兀，0),sina+cosa=g.

⑴求sina-cosa的值；

小、qsin2a+2sin2a土

(2)求-------------的值.

1—tana

Q

【典例2】已知tana=—，則sina(sina—cosa)=()

4

A.21

25

D4

【題型四】誘導(dǎo)公式

【典例1】已知sinf—4」=；,貝Ucos〔4J的值為（

)

、2/口2也

---D.

3--------------------------------3

1

D.

3

r

I—otn---1

tan(7t—a)cos(27t—a)sinL2J

【典例2】的值為（

cos(—a—n)sin(一無(wú)一a)

A.-2B.-1C.1D.2

【典例3】已知函數(shù)/（x）=出-2+2（a>0且aWl）的圖象過(guò)定點(diǎn)尸，且角a的始邊與x軸的正半軸

+sin2a

重合，終邊過(guò)點(diǎn)P,則一等于()

sin(—7t—a)

2

AB.

-13

3

CD.

12

【題型五】基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

【典例1］已知a為銳角，且2tan（兀-a）—3cost+￡

+5=0,tan(7t+a)+6sin(7t+/?)—1=0,則

sina的值是（）

3^5B

A.音

5

3折

C.

10

sin（—a—兀）cos（5兀-a）tan（2兀-a）

【典例2］已知a是第三象限角，且/（a）=

tan(—a—TT)

①化簡(jiǎn)/(a)；

②若tan(?r—a)=—2,求./(a)的值;

③若a=-420。，求y(a)的值.

【典例3］已知tan(—2019兀+。)=-2,則2/sin1—6］吊［°+J=()

R23+1

A.-2

5

「2出+3

D.-

55

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】己知a為第二象限角，則3際忑+如《^^=-------?

【訓(xùn)練二】如圖是由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大

正方形，若直角三角形中較小的內(nèi)角為仇大正方形的面積是1,小正方形的

面積是工，則siir2。一cos?。的值是.

25--------

【訓(xùn)I練三】(多選)已知加)=2si*osa12(0Wa司則下列說(shuō)法正確的是

sina+cosa+1

()

A.火㈤的最小值為一班

B./(a)的最小值為一1

C./(a)的最大值為/一1

D./(a)的最大值為I一啦

【訓(xùn)練四]已知關(guān)于x的方程2x2—(\5+1)X+/M=0的兩根分別是sin。和cos6,?！?0,2兀)，求:

(1)s四+上^的值;

sin夕一cos01-tan0

(2)m的值；

(3)方程的兩根及此時(shí)。的值.

【訓(xùn)練五】已知sina=l—sinQ+U求siMa+sint1+1的取值范圍.

【訓(xùn)練六】在△NBC中，

⑴求證：cos2^^~^+cos2；=1；

什倡+z][―+fil

⑵右cosv2Jsin〔2Jtan(C—n:)<0>

求證：△Z8C為鈍角三角形.

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

3

1.已知a0(0,兀)，cosa=-則tana=()

A.3B--4

4

D--3

2.已知sinQ3}=1,貝!]cos°十2的值是（

)

A」!

B5

2也

D.

3

7兀

cos

3.Iog24j的值為（）

\

A.-1B.

2

4,若si[+工

-1，且吟

71,貝!Jsin(兀-2a)=()

A.―么B.」

2525

24

D.2t

噫25

5.若土地J

則cosa-3sina=()

sina

A.-3B.3

_9

C.

5

°+圖等于（）

6.已知sinl則cos

B弩

1r2s

Cr.----D1?--------

33

7i

7.已知sin2a=~貝ijtana~\-------=()

39tana

A.SB矩

C.3D.2

8.已知adR,sina+2cosa=(0,則tan2a=()

【多選題】

9.在△NBC中，下列結(jié)論正確的是()

A.sin(Z+8)=sinC

C.tan(Z+8)=-tan

D.cos(A+B)=COSC

10.已知Q￡(0,兀)，且sina+cosa=g,則()

A.^<a<7i

2

Bn.si-nacosa=---1--2

25

Cc.cosa—sina=~7

5

DC.cosa-sina=—7

5

11.已知角a滿足sina-cosaWO,則表達(dá)式也也士幽+您也士㈣/GZ)的取值可能為()

sinacosa

A.-2B.—1或1

C.2D.-2或2或0

12.若sina=*且a為銳角，則下列選項(xiàng)中正確的有（）

A.tana=~

3

B.cosa=~

5

C.sina+cosa=~

5

D.sina-cosa=--

5

【填空題】

什sin（兀-8）+cos（9—2兀）1,八

13.若----------------------則tan0=______________.

sin夕+cos（兀+夕）2

14.若tana=-2,貝I」cos2a+2sin2a=.

15.已知一3VaV0,sina+cosa=~9則—丁」-廠的值為_(kāi)______.

25cos%—sin2a

16.已知。是第四象限角，且sin"皆=3,則taj"3=.

【解答題】

17.（1）已知cosa是方程3x2—x—2=0的根，且。是第三象限角，求

a+瑪伊+a]2,、

sinl2Jcosl2Jtair（?！猘）

[MJ]一的值；

cosU