數學導數及其應用多選題(講義及答案)及答案一、導數及其應用多選題1．對于函數，其中，下列個命題中正確命題有（）A．該函數定有個極值 B．該函數的極小值一定不大于C．該函數一定存在零點 D．存在實數，使得該函數有個零點【答案】BD【分析】求出導函數，利用導數確定極值，結合零點存在定理確定零點個數．【詳解】函數定義域是，由已知，，有兩個不等實根，但，一正一負．由于定義域是，因此只有一個實根，只有一個極值，A錯；不妨設，則時，，遞減，時，，遞增．所以是函數的極小值．，，＝，設，則，時，，遞增，時，，遞減，所以極大值＝，即，所以，B正確；由上可知當的極小值為正時，無零點．C錯；的極小值也是最小值為，例如當時，，，時，，又（，所以在和上各有一個零點，D正確．故選：BD．【點睛】思路點睛：本題考查用導數研究函數的極值，零點，解題方法是利用導數確定函數的單調性，極值，但要注意在函數定義域內求解，對零點個數問題，注意結合零點存在定理，否則不能確定零點的存在性．2．對于函數，下列說法正確的有（）A．在處取得極大值 B．有兩個不同的零點C． D．若在上有解，則【答案】ACD【分析】利用導數求出函數的單調區(qū)間，進一步求出函數的極值可判斷A；利用函數的單調性和函數值的范圍判斷B；利用函數的單調性比較出函數值的大小關系判斷C；利用不等式有解問題的應用判斷D．【詳解】函數，所以，令，即，解得，當時，，故在上為單調遞增函數．當時，，故在上為單調遞減函數．所以在時取得極大值，故正確；當時，，在上為單調遞增函數，因為，所以函數在上有唯一零點，當時，恒成立，即函數在上沒有零點，綜上，有唯一零點，故錯誤．由于當時，，在上為單調遞減函數，因為，所以，故正確；由于在上有解，故有解，所以，設，則，令，解得，當時，，故在上為單調遞減函數．當時，，故在上為單調遞增函數．所以．故，故正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查導數的應用，這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學們往往因為某一處知識點掌握不好而導致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.3．已知：是奇函數，當時，，，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由已知構造得，令，判斷出函數在時單調遞增，由此得，化簡可判斷A；，化簡并利用是奇函數，可判斷B；，化簡可判斷C；由C選項的分析得，可判斷D.【詳解】因為當時，，所以，即，所以，令，則當時，，函數單調遞增，所以，即，化簡得，故A正確；，即，化簡得，所以，又是奇函數，所以，故B不正確；，即，又，化簡得，故C正確；由C選項的分析得，所以，又是奇函數，所以，故D正確,故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：解決本題中令有導函數的不等式，關鍵在于構造出某個函數的導函數，得出所構造的函數的單調性，從而可比較函數值的大小關系.4．設函數，則（）A． B．的最大值為C．在單調遞增 D．在單調遞減【答案】AD【分析】先證明為周期函數，周期為，從而A正確，再利用輔助角公式可判斷B的正誤，結合導數的符號可判斷CD的正誤．【詳解】的定義域為，且，，故A正確．又，令，則，其中，故即，故，當時，有，此時即，故，故B錯誤．，當時，，故在為減函數，故D正確．當時，，故，因為為增函數且，而在為增函數，所以在上為增函數，故在有唯一解，故當時，即，故在為減函數，故C不正確．故選：AD【點睛】方法點睛：與三角函數有關的復雜函數的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而單調性的研究需看函數解析式的形式，比如正弦型函數或余弦型函數可利用整體法來研究，而分式形式則可利用導數來研究，注意輔助角公式在求最值中的應用．5．設函數，，給定下列命題，其中正確的是（）A．若方程有兩個不同的實數根，則；B．若方程恰好只有一個實數根，則；C．若，總有恒成立，則；D．若函數有兩個極值點，則實數．【答案】ACD【分析】利用導數研究函數的單調性和極值，且將題意轉化為與有兩個不同的交點，即可判斷A選項；易知不是該方程的根，當時，將條件等價于和只有一個交點，利用導數研究函數的單調性和極值，從而可推出結果，即可判斷B選項；當時，將條件等價于恒成立，即函數在上為增函數，通過構造新函數以及利用導數求出單調區(qū)間，即可求出的范圍，即可判斷C選項；有兩個不同極值點，根據導數的符號列出不等式并求解，即可判斷D選項.【詳解】解：對于A，的定義域，，令，有，即，可知在單調遞減，在單調遞增，所以極小值等于最小值，，且當時，又，從而要使得方程有兩個不同的實根，即與有兩個不同的交點，所以，故A正確；對于B，易知不是該方程的根，當時，，方程有且只有一個實數根，等價于和只有一個交點，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為,由大致圖像可知或，故B錯誤；對于C，當時，恒成立，等價于恒成立，即函數在上為增函數，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調遞增，在上單調遞減，則，于是，故C正確；對于D，有兩個不同極值點，等價于有兩個不同的正根，即方程有兩個不同的正根，由C可知，，即，則D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數的應用，利用導數研究函數的單調性和極值，以及利用導數解決函數的零點問題和恒成立問題從而求參數范圍，解題的關鍵在于將零點問題轉化成兩個函數的交點問題，解題時注意利用數形結合，考查轉化思想和運算能力．6．阿基米德是偉大的物理學家，更是偉大的數學家，他曾經對高中教材中的拋物線做過系統(tǒng)而深入的研究，定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設拋物線：上兩個不同點橫坐標分別為，，以為切點的切線交于點.則關于阿基米德三角形的說法正確的有（）A．若過拋物線的焦點，則點一定在拋物線的準線上B．若阿基米德三角形為正三角形，則其面積為C．若阿基米德三角形為直角三角形，則其面積有最小值D．一般情況下，阿基米德三角形的面積【答案】ABC【分析】設出直線的斜截式方程、點的坐標，根據導數的幾何意義求出切線的方程，進而求出點的坐標，將直線的方程和拋物線方程聯立，得到一元二次方程以及該方程兩根的和、積的關系.A：把拋物線焦點的坐標代入直線的斜截式方程中，根據拋物線的準線方程進行判斷即可；B：根據正三角形的性質，結合正三角形的面積公式進行判斷即可；C：根據直角三角形的性質，結合直角三角形的面積公式進行判斷即可；D：根據點到直線距離公式、兩點間距離公式進行求解判斷即可..【詳解】由題意可知：直線一定存在斜率，所以設直線的方程為：，由題意可知：點，不妨設，由，所以直線切線的方程分別為：，兩方程聯立得：，解得：，所以點坐標為：，直線的方程與拋物線方程聯立得：.A：拋物線：的焦點坐標為，準線方程為，因為過拋物線的焦點，所以，而，顯然點一定在拋物線的準線上，故本選項說法正確；B：因為阿基米德三角形為正三角形，所以有，即，因為，所以化簡得：，此時，點坐標為：，因為阿基米德三角形為正三角形，所以有，所以，因此正三角形的邊長為，所以正三角形的面積為，故本選項說法正確；C：阿基米德三角形為直角三角形，當時，所以，直線的方程為：所以點坐標為：，點到直線的距離為：，，因為，所以，因此直角的面積為：，當且僅當時，取等號，顯然其面積有最小值，故本說法正確；D：因為，所以，點到直線的距離為：所以阿基米德三角形的面積，故本選項說法不正確.故選：ABC【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵就是一元二次方程根與系數關系的整體代換應用，本題重點考查了數學運算核心素養(yǎng)的應用.7．定義在上的函數的導函數為，且，則對任意、，其中，則下列不等式中一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】構造，由有，即在上單調遞減，根據各選項的不等式，結合的單調性即可判斷正誤.【詳解】由知：，令，則，∴在上單調遞減，即當時，；當時，；A：，有，，所以；B:由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且時，，，，有，，所以無法確定的大小.故選：ABC【點睛】思路點睛：由形式得到，1、構造函數：，即.2、確定單調性：由已知，即可知在上單調遞減.3、結合單調性，轉化變形選項中的函數不等式，證明是否成立.8．定義在R上的函數，若存在函數（a，b為常數），使得對一切實數x都成立，則稱為函數的一個承托函數，下列命題中正確的是（）A．函數是函數的一個承托函數B．函數是函數的一個承托函數C．若函數是函數的一個承托函數，則a的取值范圍是D．值域是R的函數不存在承托函數【答案】BC【分析】由承托函數的定義依次判斷即可.【詳解】解：對A，∵當時，，∴對一切實數x不一定都成立，故A錯誤；對B，令，則恒成立，∴函數是函數的一個承托函數，故B正確；對C，令，則，若，由題意知，結論成立，若，令，得，∴函數在上為減函數，在上為增函數，∴當時，函數取得極小值，也是最小值，為，∵是函數的一個承托函數，∴，即，∴，若，當時，，故不成立，綜上，當時，函數是函數的一個承托函數，故C正確；對D，不妨令，則恒成立，故是的一個承托函數，故D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：以函數為載體的新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中函數只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力．9．已知函數，給出下列四個結論，其中正確的是（）A．曲線在處的切線方程為B．恰有2個零點C．既有最大值，又有最小值D．若且，則【答案】BD【分析】本題首先可根據以及判斷出A錯誤，然后根據當時的函數單調性、當時的函數單調性、以及判斷出B正確和C錯誤，最后根據得出，根據函數單調性即可證得，D正確.【詳解】函數的定義域為，當時，，；當時，，，A項：，，則曲線在處的切線方程為，即，A錯誤；B項：當時，，函數是減函數，當時，，函數是減函數，因為，，所以函數恰有2個零點，B正確；C項：由函數的單調性易知，C錯誤；D項：當、時，因為，所以，因為在上為減函數，所以，，同理可證得當、時命題也成立，D正確，故選：BD.【點睛】本題考查函數在某點處的切線求法以及函數單調性的應用，考查根據導函數求函數在某點處的切線以及函數單調性，導函數值即切線斜率，若導函數值大于，則函數是增函數，若導函數值小于，則函數是減函數，考查函數方程思想，考查運算能力，是難題.10．關于函數，，下列結論正確的有（）A．當時，在處的切線方程為B．當時，存在惟一極小值點C．對任意，在上均存在零點D．存在，在有且只有一個零點【答案】ABD【分析】逐一驗證，選項A，通過切點求切線，再通過點斜式寫出切線方程；選項B，通過導數求出函數極值并判斷極值范圍，選項C、D，通過構造函數，將零點問題轉化判斷函數的交點問題.【詳解】對于A：當時，，，所以，故切點為，，所以切線斜，故直線方程為，即切線方程為：，故選項A正確；對于B：當時，，，，恒成立，所以單調遞增，又，，所以存在，使得，即，則在上，，單調遞減，在