2022-2023學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)高三（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若集合4={x∈N*∣x是4和10的公倍數(shù)},B={x∈R?x2≤1000）,則4nB=（）

A.0B.{-20,20}C.{20}D.[20,30]

2.若復(fù)數(shù)Z滿足(Z—3)(z-5)+2=0,則z?5=()

A.4B.√17C.16D.17

1,cosa

3.已知tαnα=,,則COS(a+9=()

?.—2V2B.—V2^C.D.2√2

4.紅薯于1593年被商人陳振龍引入中國，也叫甘薯、番薯等.紅薯耐旱耐脊、產(chǎn)量豐富，曾

于數(shù)次大饑荒年間成為不少人的“救命糧食”，現(xiàn)因其生食多汁、熟食如蜜，成為人們喜愛

的美食甜點.小澤和弟弟在網(wǎng)紅一條街買了一根香氣撲鼻的烤紅薯，準(zhǔn)備分著吃，如圖，該紅

薯可近似看作三部分:左邊部分是半徑為R的半球；中間部分是底面半徑為R、高為3R的圓柱；

右邊部分是底面半徑為R、高為R的圓錐，若小澤準(zhǔn)備從中間部分的甲、乙、丙、丁四個位置

選擇一處將紅薯掰成兩塊，且使得兩塊的體積最接近，則小澤選擇的位置是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

5.在AABC中，AB=2,BC=1,?ABC=≡若點M滿足麗=2拓?，則戒?刀=()

A.?B.IC.1D.I

6.若α=?湍，b=半?In巨，c-e,則()

111110

A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

7.已知隨機事件4B,C滿足0<P(A)<l,O<P(B)<1,0<P(C)<1,則下列說法錯

誤的是()

A.不可能事件。與事件4互斥

B.必然事件。與事件4相互獨立

C.P(4∣C)=P(4B∣C)+P(AB?C)

D.若P(AIB)=P(Λ∣B)>則P(H)=P(A)=?

8.已知4是橢圓E：W+/=l(α>b>0)的上頂點，點B,C是E上異于4的兩點，△4BC是

以4為直角頂點的等腰直角三角形.若滿足條件的^ABC有且僅有1個，則橢圓E離心率的取值

范圍是()

A?(0,爭B.(0,凈C.(0,爭D.(0,凈

二、多選題(本大題共4小題，共20.()分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知數(shù)列｛a71｝的前n項和Sn=G)n-i,則下列說法正確的有()

A.｛Sn｝是遞減數(shù)列B.｛αn｝是等比數(shù)列C.an<0D.Sn+αn=1

10.在正方體∕BCD-4ιBιGDι中，點E在線段BD上，且BE=

?BD,動點F在線段BlC上(含端點)，則下列說法正確的有()

A.三棱錐久一40尸的體積為定值

B.若直線EF〃平面貝IJCF=gCBi

C.不存在點F使平面DEF_L平面BBiCiC

D.存在點F使直線EF與平面ABCD所成角為科

11.已知點P是曲線C:%2+y2=閉+∣y∣上的動點，點Q是直線y=X+3上的動點，點。是

坐標(biāo)原點，則下列說法正確的有()

A.原點在曲線C上

B.曲線C圍成的圖形的面積為兀+1

C.過Q(0,3)至多可以作出4條直線與曲線相切

D.滿足P到直線y=x+3的距離為苧的點有3個

12.聲音中包含著正弦函數(shù)，周期函數(shù)產(chǎn)生了美妙的音樂.若我們聽到的聲音的函數(shù)是f(x)=

∣sm2x+ism4x+∣sm6xtWJ()

A./⑶的最小正周期是兀B.居)是f(x)的最小值

C.X=kτt｛k∈Z)是/(x)的零點D./(%)在弓,O存在極值

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若平面上有7條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條交于一點，則共有一個交點（用

數(shù)字作答）.

14.若圓χ2+y2+6χ=0與圓/+y2-2ττiy+r∏2—16=0外離，則實數(shù)m的取值范圍

是—.

15.已知（l+ayι的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，則正整數(shù)

n=__.

16.某校采用分層隨機抽樣采集了高一、高二、高三年級學(xué)生的身高情況，部分調(diào)查數(shù)據(jù)如

下：

項目樣本量樣本平均數(shù)樣本方差

高一100167120

高二100170150

高三100173150

則總的樣本方差S?=—.

四、解答題（本大題共6小題，共70.（）分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知α,b,C分別為△4BC的內(nèi)角4,B,C的對邊，且COSC+√5s譏C=處≡.

a

⑴求A;

（2）若α=2,AABC的面積為小，求b,c.

18.（本小題12.0分）

0n

已知數(shù)列｛a7l｝滿足aj.=1,a2=1>an-CLn-ι=n-2（≥3,n∈N'）,Sn表示數(shù)列｛α灑的前n

項和.

（1）求證：arl=Sn-2+1：

（2）求使得I夫-1]≥焉成立的正整數(shù)k（k≥3,∕c∈N*）的最大值.

19.（本小題12.0分）

“惟楚有材”牌坊地處明清貢院舊址，象征著荊楚仕子朱衣點額的輝煌盛況和江城文脈的源

遠流長，某學(xué)生隨機統(tǒng)計了來此參觀的100名游客，其中40名女性中有30名在“惟楚有材”

牌坊下拍照，60名男性中有20名在“惟楚有材”牌坊下拍照.

(1)用女性拍照的頻率估計概率，若再來4名女性(是否拍照互相之間不影響)中至少有2名在

“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；

(2)根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，分析游客在“惟楚有材”牌坊下拍照是否與性別

有關(guān)

2

附.κ2=n(ad-bc)其中H=a+b+c+d

"—(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

P(K2≥fc0)0.1000.0500.0100.0050.001

及02.7063.8416.6357.87910.828

20.(本小題12.0分)

在三棱錐P-ABC中，PC=AB=AC=^BC=1，PCl平面ABC,點M是棱PA上的動點,

點N是棱BC上的動點，且PM=CN=X(O<x<√∑)?

⑴當(dāng)X=亨時，求證：MN>C；

(2)當(dāng)MN的長最小時，求二面角力一MN-C的余弦值.

21.(本小題12。分)

已知點4(α,-l)是拋物線C：y2=2pχ(p>0)上一點，斜率為2的動直線，交C于M,N(異于4)

的兩點，直線4M,AN的傾斜角互補.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若IMNl=√5)求SinNMAN.

22.(本小題12.0分)

己知函數(shù)∕^(x)=α*與g(x)=logαx(α>0,且a≠1).

(1)求g(x)在(l,g(l))處的切線方程；

(2)若a>l,∕ι(x)=f(x)-g(x)恰有兩個零點，求a的取值范圍.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：集合力={x∈N*∣x是4和10的公倍數(shù)}={20,40,60,80,……},

B={x∈R?X2≤1000]={x∣-10√10<x<10√10).

則4CB={20}.

故選：C.

求出集合4,B,利用交集定義能求出4CB.

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：(z-3)(z-5)+2=0,

則Z2-8Z+17=0,即(Z-4)2=-1,

4=64—4X17=-4<0,

故Z=4÷i或Z=4—i,

當(dāng)z=4+i時,z=4-i,Z-Z=(4+i)(4-0=17,

當(dāng)z=4-i時，z=4+i,z?z=(4-i)(4+i)=17.

所以Z-Z-Yl.

故選：D.

根據(jù)已知條件，先求出z,再結(jié)合共朝復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解.

本題主要考查共軌復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

icosacosa√2√ΣCK

【解析】解：因為tana=Q則兩而飛(CoSa-SEa)=F=?僅

故選：D.

利用余弦的和角公式以及弦化切化簡即可求解.

本題考查了余弦的和角公式以及弦化切，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：若從丁處分為兩塊，則左側(cè)體積為|兀/?3+3兀&=9/?3,

右側(cè)體積為gττR3,兩者體積差為與兀R3,

若從丙處分為兩塊，則左側(cè)體積為∣TTR3+27ΓR3=∣7TR3,

R

右側(cè)體積為7ΓR3+g7τR3=27Γ3,兩者體積差為g71R3,

3

若從乙處分為兩塊，則左側(cè)體積為|近3+71R3=InR,

右側(cè)體積為兀R2?2R+g兀R3=97ΓR3,兩者體積差為∣7ΓR3,

若從甲處分為兩塊，則左側(cè)體積為∣7TR3,

右側(cè)體積為π?R2?3R+^πR2-R=yπ∕?3,兩者體積差為最R3,

故從乙處掰成兩塊，體積最接近，

故選：B.

算出分別從甲乙丙丁處分兩塊的體積之差，比較大小即可.

本題考查簡單結(jié)合體的體積計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由題意得荏?品=2x1x(-3=一1,

因為點M滿足麗=2M~A,

則而7?AC=1AB-AC=^AB-(AB+BC)=AB2+^AB-BC=^-∣=1.

故選：C.

由己知結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生計算能力，屬于較難題.

構(gòu)造f(x)=ln(l+x)-X,X>—1,判斷出單調(diào)性，可比較出b<c,構(gòu)造九(X)=ex-ex,xeR,

判斷出單調(diào)性，可比較出α>c,結(jié)合答案得出選項.

【解答】

解：構(gòu)造/(久)=In(I+x)-X,X>—1,

?(x)=Ξ?τ=Ξ?

令f'(χ)=解得％—0，

/(%)在(一1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

/(式)≤/(0)=0,即In(I÷%)≤%,當(dāng)且僅當(dāng)％=0取等號，

,IOe211IOe2,1、IOe21/H,.,

b=---11，即Π力Z

11?In1—0=-1-1--InIflH---I-O)7<--1-1--×——10=——11Ve=cVc;

構(gòu)造∕ι(X)=ex—ex,X&R,

h'(x)=ex—e,

令∕ι'(X)-0,解得X=1,

/I(X)在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

∕ι(x)≥∕ι(l)=0.MPex≥ex,當(dāng)且僅當(dāng)X=I取等號，

α=∣γβiδ>∣^×e×γ^=e=c>即a>c：

綜上可得：b<c<a,

故選：A.

7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4不可能事件。不會發(fā)生，與事件A互斥，A正確；

對于8,必然事件0一定會發(fā)生，與事件4是否發(fā)生沒有關(guān)系，故必然事件O與事件A相互獨立，B

正確；

對于C,PQ4∣C)=篝ξ而p(gc)+P(麗C)=胃祟+號*=器?,故P(AlC)=P(4B∣C)+

P(ABlC)，C正確；

對于D,POIlB)=今需，p(4∣8)=嚅?,若POIIB)=P(I田)，則有P(4∣B)=P(1|B)，P(4)=

P(A)=T不一定成立，力錯誤；

故選：D.

根據(jù)題意，由不可能事件和必然事件的性質(zhì)分析可得4、B正確，由條件概率的公式性質(zhì)可得C

正確，。錯誤，即可得答案.

本題考查概率的性質(zhì)，涉及條件概率的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：由題意可設(shè)：直線4B的方程為y=kx+b,(k>0),直線4C的方程為y=-1x+b,

'y=kx+b

2kba22k2ba2

聯(lián)立My2(a>1),化為：(b+a2k2)x2+2kba2x=0,解得%B=—

(AL再贏74Bb2+a2

b.

同理可得：XC=器=，

bk+αz

232

yc=-

22

2bay∣l+k

|4Cl=?2√+a2

????AB?=?AC?,

2222

2ba∣k∣yJl+k_2bay∣l+k

2222

'''h+a^k=bk+a2-

化為:α2(∕c2-fc)=62(fc3-l),

化為(k-l)[h2fc2-(a2-b2)k+b2]=0,

當(dāng)k-l=0,即k=l時，此時滿足條件的AABC只有一個;

當(dāng)爐/_(a2_b2^k+b2=0時，

4=(a2-b2)2-4b4=(a2+h2)(a2-3爐)，

當(dāng)l<a<√5b時，Δ<0,此時滿足條件的△力BC只有一個；

a=VSb時，Δ=0,k=1,此時滿足條件的△4BC只有一個；

a>√5b時，滿足條件的△ABC有3個.

綜上可得：當(dāng)b<a≤gb,即乎≤2<1時，滿足條件的△4BC只有一個.

3a

???e=(=JlY)2=e(0,野

故選：B.

由題意可設(shè)：直線ZB的方程為y=依+b,(fc>0),直線4C的方程為y=—卜+6,分別與橢圓

方程聯(lián)立解出B,C的坐標(biāo)，利用IABl=MC并且對a分類討論即可得出.

本題考查了橢圓與圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點之間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推

理能力與計算能力，屬難題.

9.【答案】ABC

【解析】解：數(shù)列的前項和n

｛a7l｝nSn=φ-1,

???6尸隨著n的增大不斷減小，

是遞減數(shù)列，故正確；

???｛Sπ｝A

數(shù)列的前項和n

｛αzι｝nSn=φ-1,

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn_1=G)'一晝嚴-】=一?)%

當(dāng)ZI=I時，α?=SI=1=—手上式也成立，

???ɑn=-(∣)n-

是等比數(shù)列,a<0,故正確;

???｛αn｝nBC

nn

Sn+an=(∣)-1-(j)=-1,故D錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)已知條件，結(jié)合時，即可求出即，即可依次求解.

n≥2α∏=Szi-Sri-I,

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AB

【解析】解：選項A,連接如圖所示：設(shè)正方體的棱長為2α,

因為4出〃DC,A1B1=DC,

所以四邊形AlBlDC為平行四邊形,

所以BIC〃2D,

又BICU平面A1DU平面ADDlA1，

所以BlC〃平面

即BIC〃平面

所以直線BlC上的所有點到平面ADCi的距離都相等都等于正方體的棱長2α為定值，

所以點尸到平面4。Dl的高度為2a,

由SlDDl=?×2αX2α=2a?為定值，

2

所以/)]-AOF=VF-DIAD=?×2a×2a=ga3為定值，

故4正確，

以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,Onl分別為X,y，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

設(shè)方=/1兩(0≤4≤l),設(shè)正方體的棱長為1,

因為點E在線段BD上，且BE=aBO,所以E在線段BD的中點,

則力(1,0,0),Dl(0,0,1),B1(l,l,l),F(i,j,O),

所以麗=(—1,0,1)，福=(0,1,1)，

設(shè)平面Dl的法向量為沅=(a,b,c),

m?AD=—a+c=0?“El,

___,Λ，令c=l,則Q=1,e1=-1,

m?TlB=Z?÷c=0

{1

所以平面4當(dāng)。1的法向量為沅=(1,一1,1),

由C(0,l,0),設(shè)F(%,y,z),

所以謂=(%,y-Lz),又函=(1,0,1),

所以謂=Λ西，(％y-tz)=A(LOJ)，

所以y—1=0,所以y=l,

z=λ?z=λ

所以F(4,l"),所以前=

直線EF〃平面4B】Di，所以前，沆，

即前?布=(2-?)×1+∣(-1)+λ+1=0,

解得4=",CF=^CB1,故B選項正確；

當(dāng)F處于C點時，平面DEF即為平面ABCD,

而在正方體中平面力BCD_L平面BBlGC，

故存在點F,使得平面DEF，平面BBlCIC,

故C錯誤，

由B選項知前==(44),由西_L平面ABCD,

所以西為平面4BCCD的一個法向量，

設(shè)直線EF與平面ABCD所成角為。,

由線面角的性質(zhì)有:

廓?西I_______∣λ∣________

sinθ=Icos<EF>DDl>|==

?EF?-mJ(λ.l)2+φ2+λiχl'

假設(shè)存在點使直線E尸與平面ABCD所成角為全

,TT∣λ∣√3

則SmL中IW

即4M-64+3=0,

因為/=(—6)2-4x4x3=-12<0,無實數(shù)解，

所以不存在點F使直線EF與平面ABCD所成角為或

故。選項不正確；

故選：AB.

選項A連接4。，設(shè)正方體的棱長為2α,說明BIC〃平面Az)D1，可說明點F到平面AZ)Dl的高度為

定值，SJW/為定值，利用等體積法即可說明，選項B建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可，

選項C,當(dāng)尸處于C處時即可判斷，選項。借助選項B中的相關(guān)結(jié)論，假設(shè)存在點F使直線EF與平

面4BC。所成角為?根據(jù)假設(shè)條件，表示出線面角，列出等式，推出結(jié)論即可.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查線面角的求法，考查面面垂直的判斷，屬中檔題.

II.【答案】ACD

【解析】解：對于4將原點坐標(biāo)0(0,0)代入，O2+O2=∣0∣+∣O∣正確，故選項A正確;

對于B：當(dāng)X>0,丫>0時;曲線C：X2+y2=X+y,

BPx2-x+y2-y=0,

即@_妒+(7)2弓，表示圓心為(另)，半徑為苧的圓,

第一象限內(nèi)曲線C與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為2×l×l+∣×τr×(y)2=ψ.

根據(jù)對稱性可知，總面積為：牛X4=兀+2.故選項B錯誤；

由函數(shù)圖像知過Q(0,3)至多可以作出4條直線與曲線相切，故選項C正確;

,∣-l×0+l×0+3∣3V2。百

原點到直線y=χ+3的距離為：d=]；+儼=〒,滿足P到直線y=x+3的距離為挈的點

有P1，P2,。共3個，故選項D正確.

故選：ACD.

分類討論后，根據(jù)對稱性畫出函數(shù)圖像，從而可以進一步求解.

本題考查了曲線與方程的關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對于A選項，函數(shù)y=鼻山的最小正周期為7\=:=兀，

函數(shù)y=；sin4x的最小正周期為&=γ=p

函數(shù)y=*sin6x的最小正周期為△=?=p且兀=Tl=2T2—^iT3,

因此，函數(shù)/(x)的最小正周期是幾，A對；

對于B選項，因為展)=^sinπ÷^sin2π+^si∏3π=0,

又因為/(一/=jsin(-∣)÷isin(-≡)+∣sin(-≡)=-?-?<0>

故居)不是/(X)的最小值，B錯；

對于C選項，對任意的keZ,∕(∕OT)=^sin2kπ+^si∏4kπ+^sinβkπ=0,

故x=∕ra(keZ)是/(x)的零點，C對；

對于。選項，???/(%)=-sin2x+-sin4x÷-sin6χ

八，246f

則/'(%)=cos2x+cos4x+cosβx=cos(4%—2x)+cos4x+cos(4x+2x)

=cos4xcos2x+sin4xsin2x+cos4x+cos4xcos2x—sin4xsin2x

=cos4x(2cos2x÷1)=(2cos22x—1)(2COS2x+1),

當(dāng)即<X<TT時，<2x<2π,則CoS2%>0,令f'(τ)=0可得COS2%=乎,

z

所以，2%=?,可得％=等，

4O

當(dāng)Y<x<與時，f'(x)<0,此時函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)?<%<兀時，f'(x)>O,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

O

因此，f(x)在第㈤存在極值，。對.

故選：ACD.

求出函數(shù)∕?(X)的最小正周期，可判斷4選項；利用特值法可判斷B選項；計算出f(∕OT)(k6Z)的值,

可判斷C選項；利用函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷D選項.

本題考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】21

【解析】解：根據(jù)題意，平面內(nèi)有7條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條交于一點，

則任意兩條直線確定一個交點，

則共有G=21個交點.

故答案為：21.

根據(jù)題意，分析可得7條直線中任意兩條直線確定一個交點，由組合數(shù)公式計算可得答案.

本題考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，注意排列、組合的不同，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】(一8,-2何)0(2內(nèi),+8)

22

【解析】解：「圓/+y+6x=O與圓/+y2_2my+TTi-16=O外離，

???兩個圓的圓心的距離大于半徑之和，

(一3,0)與(0,m)之間的距離大于半徑之和3+4=7,

：.√9+m2>7,

2√1O<m或m<—2√Tθ,

故答案為：(-∞,-2√Tθ)U(2√10,+∞).

寫出兩個圓的半徑，和兩個圓的圓心的距離，利用兩個圓的圓心的距離大于半徑之和，得到結(jié)果.

本題考查兩個圓的位置關(guān)系，是一個基礎(chǔ)題，本題解題的關(guān)鍵是正確寫出兩個圓的圓心和半徑,

根據(jù)兩個圓的位置關(guān)系得到結(jié)果.

15.【答案】14或23

【解析】解：(l+αyι的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，

則黨+e?ɑ=2黑，n≥10,即W?+>("I=就焉，化簡整理可得，標(biāo)一37n+322=0,

解得Ji=14或23.

故答案為：14或23.

根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，推得您+巾。=2叱，再結(jié)合組合數(shù)的公式，即可求解.

本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】146

【解析】解：高一樣本的均值記為五，方差記為

高二樣本的均值記為看，方差記為黃，

高三樣本的均值記為五，方差記為登，

IiiiiMJ.?_j_pH/古、IOO—.100—.100—167+170+173

則總樣本均值為X=荻X】+荻&+而“3=-3—170,

22

所以總樣本方差為S?=??ɑ×{100×[s?+(x1—x)]+100×[si+(x2一?)]+100×[s?+

(??-?)2])

=∣×{[120+(170-167)2]+[150+(170-170)2]+[150+(170-173)2]}

=146.

故答案為：146.

高一樣本的均值記為套，方差記為名，高二樣本的均值記為五，方差記為黃，高三樣本的均值記

為京，方差記為受，利用定義求出總樣本均值和方差即可.

本題考查了分層抽樣方法的平均數(shù)和方差的計算問題，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】解:(1)VcosC+y∕3sinC=勺3即Q(CoSC+V3sinC)=b+c,

，在△ZBC中，由正弦定理得sE4cosC+小SmASinC=SinB+SmC,

???A+B+C=7T,???SinB=sin(4+C)=SinAcosC+CoSASinC,

???SinAcosC+aSmASinC=SinAcosC+cosAsinC+SinC，

VC∈(O,"),：?sinC≠0,

?y[3sinA-cosA=1,即2sin(A-^)=1,sin(4Y)=

則4-∑=?÷2∕σr或A—7=+2kττ,

Oo66

V0<Tl<7T,則。=,

(2)???△"。的面積為8，

???S=?bcsinA=√3,則be=4,

22

由余弦定理得=6+C—2bccosAf即b+c=4,

??b=c=2,

【解析】本題考查三角函數(shù)的恒等變換、正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯

推理能力和運算能力，屬于中檔題.

(1)利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化成角，將已知等式中涉及的邊和角進行轉(zhuǎn)化，利用輔助角公式，即可得

出答案；

(2)根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理，即可得出答案.

18.【答案】解：(I)證明：???Q71-%T=αrι-25≥3,n∈N"),

?-ι一。幾-2=Qn-3，an-2—an-3=Qn-4，…，a3~a2=aIf

aa

將以上各式相加得Qrι—∏n-ι+CLn-I~n-2+Qn-2—%-3+…+。3-。2=n-2+ɑn-?+

α∏τ+…+。1=S九一2,

???an-a2=Sn-2，

*?'U?2=1，

λa

n=Sn-2+1；

(2)由(1)得On=Sn_2+1，即以=S∕2+1,

...U_Sk-2+l_?]

sk-2sk-2sk-2，

??-l=^

Sk-2Sy

又—1∣≥?l?,即1≥焉，

2Ivv^k-2l?v

Vα1=1,α2=1,an-an_1=an_2(n≥3f∏eN*),

?*?ɑ?=Q，2+Ql=2,CI4=。2+ɑ?=3,CI5=。3+。4=5,ɑe=Q5+。4=8,Gly=ɑe+Q5=13,

CLQ—CLj+。6=21,ɑg—CLQ+CLj—34,ɑ?θ—CLg+ɑ?—55,

?*?Qχj>O,

'k-2

.J_>J_

??sk-2-lθθ,

αaαα

???S9=6?+Ql+。3+。4+。6+。5+。8+。7+Q9=88V100,SlO=α2÷l÷3÷4÷6÷

α

α5+α8÷α7÷9÷QIO=143>100,

???k-2的最大值為9,

故/c的最大值為11.

【解析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推式可得α?-l-an-2=an-3<an-2-an-3=即-4.......α3-α2=aI'

即可證明結(jié)論；

i

(2)由(1)得αrl=sn_2+1，即%=S”2+1.則熱=??=1+在，題意轉(zhuǎn)化為IelN擊，

11

結(jié)合斯>0，可得司G2而，求出Sg=88,SlO=I43,即可得出答案.

本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列與不等式的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，

屬于中檔題.

19.【答案】解：⑴女性拍照的頻率為券=*,用頻率估計概率，若再來4名女性(是否拍照互相之

間不影響)中至少有2名拍照的概率為

p≈ι-(i4)4-cl×∣×(i4)3=1-?-≡=≡

(2)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，如下所示：

男性女性合計

拍照203050

沒拍照401050

合計6040100

零假設(shè)為飛：游客拍照與性別之間無關(guān)聯(lián).

2

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到式：κ=10°XGOxlO-30X40)=史。16,667>10,828=X0001.

50×50×60x403

根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，即推斷”o不成立，

因此可以認為游客在“惟楚有材”牌坊下拍照與性別有關(guān).

【解析】(1)女性拍照的頻率為本用頻率估計概率，利用對立事件的概率計算即可；

(2)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算K2,對照附表得出結(jié)論.

本題考查了獨立性檢驗和有關(guān)概率的計算問題，是中檔題.

20.【答案】證明：(1)在平面ABC內(nèi)過點C作CDI力C,使得點D與點B在AC同側(cè),

???PC，平面ABC,CD?5F≡λBC,ACU平面ABC,

?PCLAC,PC1CDfUI∣JPC,AC,CD兩兩互相垂直.

以C為坐標(biāo)原點，石?,而,而正方向為K,y,Z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則C(O,O,O),4(1,0,0),P(OAl):

由4B=AC=:BC得，AB2+AC2=BC2,AB1.AC,

.?.△ABC為等腰直角三角形，.??B(1,1,O);

同理可得：△力PC為等腰直角三角形，

當(dāng)X=苧時，AM=^AP,CN=^CB,：.M,N分別是4P,CB中點,

???w(i,θ,?),/v(?,?,θ),.?.MN=(O,∣,-∣),CΛ=(1,0,0),

.?.M∕V?CΛ=O×1+∣×O+(-∣)XO=0,MN1AC-,

(2)由(I)可得：A(1,0,0),P(0,0,l),B(l,l,0),?ABC,△APC為等腰直角三角形,

???M(yx,0,1-yX),∕V(γ%,yX,0)>

KIJM∕V2=(??—??)2+(0—??)2+(1—??)2=x2—V∑x+1；

.?.當(dāng)X=芋時，MN最小，.?.M,N分別是4P,CB中點，

1

zl

j?-

j2

-歷1

仇=

Mn2-o?AM=(-?O?),^v=(-??O),

設(shè)平面CMN的法向量為方=(XI,Z1),

(CM-α=???+?z?=O

則〈_,11,令％1=—1,解得：y1=lfZI=I.,,,?左=(—1,1,1)；

(CN.α=iχ1+iy1=O

設(shè)平面/MN的法向量q=(χ2,y2,z2),

AM./?=—：%2+；Z2=0

則《__>→??，令％2=1，解得：72

1<Z2=1>-?β=(1,1,1)；

。,

ANS=--x2+2)2=0

???∣cos<環(huán)瓶>∣=禺=嬴=%

由圖形可知：二面角A-MN-C為鈍二面角，??.二面角H-MN-C的余弦值為一宗

【解析】（1）作CDI4C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PC,AC,Cn兩兩互相垂直，以C為坐標(biāo)原點

建立空間直角坐標(biāo)系，易證得A4BC,AAPC為等腰直角三角形，由此可得M,N坐標(biāo)，根據(jù)麗/.

CA=O可證得結(jié)論;

（2）用X表示M,N坐標(biāo)，將MN2表示為關(guān)于X的二次函數(shù)，由此可確定X=乎時，MN最小，進而

得到M,N坐標(biāo)；利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.

本題考查了線線垂直的證明和二面角的計算，屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）由直線MN的斜率為2,設(shè)直線MN；X-^y+n?,M（x1,yj）,/V（x2,y2）（^ι＜?。?，

y2=2px

聯(lián)立,1,消去X得：y2—py—2pm=0,Δ=p2+8pm>0,

%=-y+τn

m>~l'

+丫

由韋達定理得:>12=P

,yιY2=-2pm'

由直線4M,4N的傾斜角互補且M,N為不同兩點,

故直線AM,4N的斜率均存在，分別記為心M，kAN

則心"+心'=猾+紜=|^;+^^=0,

丫1+1丫2+1-1

,整理得：y02+(為+力)(僧一Q+2)+2η-2α=0,

∣y1+m-α∣y2÷m-α

代入?>1+y2=p

%%=-2pm,

??

得：—2pm÷pm-pa-p+2m—2α=0,(2—p)ym÷-p—2α—pα=O,

由點4(Q,-1)是拋物線C：y2=2pχ(p>0)上一點，2ap=1,α=?,