一、選擇題1．(2010·高考大綱全國卷Ⅰ)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()A．30種 B．35種C．42種 D．48種解析：選A.總共有Ceq\o\al(3,7)＝35(種)選法，減去只選A類的Ceq\o\al(3,3)＝1(種)，再減去只選B類的Ceq\o\al(3,4)＝4(種)，故有30種選法．2．(2010·高考北京卷)8名學生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為()A．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9) B．Aeq\o\al(8,8)Ceq\o\al(2,9)C．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,7) D．Aeq\o\al(8,8)Ceq\o\al(2,7)解析：選A.不相鄰問題用插空法，先排學生有Aeq\o\al(8,8)種排法，老師插空有Aeq\o\al(2,9)種方法，所以共有Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)種排法．3．編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有()A．10種 B．20種C．30種 D．60種解析：選B.五個人有兩個人的編號與座位號相同，此兩人的選法共有Ceq\o\al(2,5)，假如編號1、2號人坐的號為1、2，其余三人的編號與座號不同，共有2種坐法．∴符合題意的坐法有2×Ceq\o\al(2,5)＝2×10＝20(種)．4．(2010·高考山東卷)某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位．該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有()A．36種 B．42種C．48種 D．54種解析：選B.分兩類，第一類：甲排在第一位時，丙排在最后一位，中間4個節(jié)目無限制條件，有Aeq\o\al(4,4)種排法；第二類：甲排在第二位時，從甲、乙、丙之外的3個節(jié)目中選1個節(jié)目排在第一位有Ceq\o\al(1,3)種排法，其他3個節(jié)目有Aeq\o\al(3,3)種排法，故有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種排法，依分類加法計數(shù)原理，知共有Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝42種編排方案．5．有6名男同學和4名女同學自左至右站成一排，其中女同學不相鄰而且最右端必須是女同學的排法種數(shù)為()A．Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(4,4) B．Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(6,6)C．Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(6,6) D．Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(3,6)解析：選B.先從4個女生中取一人站在最右端有Ceq\o\al(1,4)種方法，把六個男生進行全排列，將3個女生插入6個男生的六個空中，有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,6)種，共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(6,6)種排法．二、填空題6．某班由8名女生和12名男生組成，現(xiàn)要組織5名學生外出參觀，若這5名成員按性別分層抽樣產(chǎn)生，則參觀團的組成方法共有________種．(用數(shù)字作答)解析：由題意按分層抽樣應(yīng)抽2名女生和3名男生，則有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(3,12)＝6160種組成方法．答案：61607．在連續(xù)自然數(shù)100,101,102，…，999中，對于{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，取三個不同且不相鄰的數(shù)字按遞增或遞減的順序排成的三位數(shù)有________個．解析：分兩類：①遞減時，若有0，則0在個位，符合要求，從10個數(shù)字中選3個不相鄰數(shù)字，相當于從10個位置中選3個不相鄰的位置，故可將所選的3個位置插在其余7個位置的空位之中，故不同的情況共有Ceq\o\al(3,8)種；②遞增時，不能有0，則應(yīng)從1到9的9個數(shù)字中，選3個不相鄰的數(shù)字，同①有Ceq\o\al(3,7)種，故所求的三位數(shù)有：Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,7)＝91(個)．答案：918．(2012·三明質(zhì)檢)某公司計劃在北京、上海、蘭州、銀川四個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該公司不同的投資方案種數(shù)是________．(用數(shù)字作答)．解析：由題意知按投資城市的個數(shù)分兩類：①投資3個城市即Aeq\o\al(3,4)種．②投資2個城市即Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)種共有不同的投資方案種數(shù)是Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝60(種)．答案：60三、解答題9．按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．解：(1)無序不均勻分組問題．先選1本有Ceq\o\al(1,6)種選法；再從余下的5本中選2本有Ceq\o\al(2,5)種選法；最后余下3本全選有Ceq\o\al(3,3)種選法．故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種不同的分配方式．(2)有序不均勻分組問題．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)題的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種不同的分配方式．10．(1)以AB為直徑的半圓上，除A、B兩點外，另有6個點，又因為AB上另有4個點，共12個點，以這12個點為頂點共能組成多少個四邊形？(2)在角A的一邊上有五個點(不含A)，另一邊上有四個點(不含A)，由這十個點(含A)可構(gòu)成多少個三角形？解：(1)分類討論：A、B只含有一個點時，共有2(Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4))＝160(個)；既含A又含B時，共有Ceq\o\al(2,6)＝15(個)；既不含A也不含B時，共有Ceq\o\al(4,10)－1－Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＝185(個)．所以共有160＋15＋185＝360(個)．(2)含A點時，可構(gòu)成Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＝20個三角形；不含A點時，可構(gòu)成Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝70個三角形．故共有20＋70＝90個三角形．一、選擇題1．(2012·海淀質(zhì)檢)某班班會上準備從甲、乙等7名學生中選派4名學生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加．當甲乙同時參加時，他們兩人的發(fā)言不能相鄰．那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()A．360種 B．520種C．600種 D．720種解析：選C.若甲乙同時參加，可以先從剩余的5人中選出2人，先排此兩人，再將甲乙兩人插入其中即可，則共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種不同的發(fā)言順序；若甲乙兩人只有一人參加，則共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)種不同的發(fā)言順序，綜上可得不同的發(fā)言順序為Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝600(種)．2．(2010·高考重慶卷)某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1個，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有()A．504種 B．960種C．1008種 D．1108種解析：選C.依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440種，其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班的方法共有Ceq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝240種；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在10月7日值班的方法共有Ceq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝240種；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝48種．因此滿足題意的方法共有1440－2×240＋48＝1008種．二、填空題3．從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________種．解析：先從6雙手套中任選一雙，有Ceq\o\al(1,6)種取法，再從其余手套中任選2只，有Ceq\o\al(2,10)種取法，其中選一雙同色手套的取法有Ceq\o\al(1,5)種．故總的取法有Ceq\o\al(1,6)(Ceq\o\al(2,10)－Ceq\o\al(1,5))＝240(種)．答案：2404．(2012·合肥調(diào)研)三條直線兩兩異面，則稱為一組“T型線”，任選正方體12條面對角線中的三條，“T型線”的組數(shù)為________．解析：如圖，任選正方體12條面對角線中的三條，組成一組“T型線”，則必有2條分別在相對的2個面上．以選出面對角線AC，B′D′為例，可得出“AC，B′D′，A′D”、“AC，B′D′，BC′”、“AC，B′D′，A′B”、“AC，B′D′，DC′”這4組“T型線”，即出現(xiàn)面對角線AC，B′D′的“T型線”的組數(shù)為4；同理，出現(xiàn)面對角線A′C′，BD的“T型線”的組數(shù)也為4；出現(xiàn)面對角線A′D，BC′的“T型線”的組數(shù)也為4；0出現(xiàn)面對角線AD′，B′C的“T型線”的組數(shù)也為4；出現(xiàn)面對角線A′B，DC′的“T型線”的組數(shù)也為4；出現(xiàn)面對角線AB′，D′C的“T型線”的組數(shù)也為4.故任選正方體12條面對角線中的三條，“T型線”的組數(shù)為6×4＝24.答案：24三、解答題5．已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進行一一測試，直至找出所有4件次品為止．(1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？(2)若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？解：(1)先排前4次測試，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)種測法，再排余下4件的測試位置，有Aeq\o\al(4,4)種測法．所以共有不同排法Aeq\o\al(4,6)Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(4,4)＝103680種．(2)第5次測試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)．所以共有不同測試方法Aeq\o\al(1,4)·(Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)＝576(種)．6．六人按下列要求站一排，分別有多少種不同的站法？(1)甲、乙必須相鄰；(2)甲、乙之間恰間隔兩人；(3)甲、乙站在兩端．解：(1)法一：先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，有Aeq\o\al(5,5)種站法，再把甲、乙進行全排列，有Aeq\o\al(2,2)種站法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,2)＝240種站法．法二：先把甲、乙以外的4個人作全排列，有Aeq\o\al(4,4)種站法，再在5個空檔中選出一個供甲、乙站，有Aeq\o\al(1,5)種站法，最后讓甲、乙全排列，有Aeq\o\al(2,2)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＝240種站法．(2)法一：先將甲、乙以外的4個人作全排列，有Aeq\o\al(4,4)種站法，然后將甲、乙按條件插入，有3Aeq\o\al(2,2)種站法，故共有Aeq\o\al(4,4)·(3Aeq\o\al(2,2))＝144種站法．法二：先從甲、乙以外的4個人中任選2人排在