2023年高考數(shù)學(xué)之平面向量專題突破專題八平面向量的極化恒等

式

利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量

的幾何屬性，讓"秒殺向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾

何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平

移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決.

1.極化恒等式：???=∣[(α+?)2—(α—?)2]

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線''與"差對(duì)角線''平方

差的去

2.平行四邊形模式：如圖(1),平行四邊形ABC。，。是對(duì)角線交點(diǎn).則：(I)Λ??Λ^=∣[∣ΛCp-IBDpJ.

3.三角形模式：如圖(2),在BC中，設(shè)。為BC的中點(diǎn)，則/=HDF-IBOF.

三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決.

記憶：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差.

考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的定值問題

【方法總結(jié)】

利用極化恒等式求數(shù)量積的定值問題的步驟

(1)取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；

(2)利用積化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差；

(3)求中線及第三邊的長(zhǎng)度，從而求出數(shù)量積的值.

積化恒等式適用于求對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移

轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積，從而用極化恒等式解決.在運(yùn)用極化恒等式求數(shù)量

積時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn)，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式，難點(diǎn)在于求中線及第三邊的長(zhǎng)

度，通常用平面幾何方法或用正余弦定理求解，從而得到數(shù)量的值.

【例題選講】

[例1]⑴(2014?全國(guó)∏)設(shè)向量4,ft??∣β+*∣=√iδ,Iα-?∣=√6,則。/=()

A.1B.2C.3D.5

答案A解析通法由條件可得，(α+A)2=10,(a—6)2=6,兩式相減得4a?b=4,所以a?6=l.

極化恒等式a-Ka+O/—(a-6月=[(10—6)=1.

(2)(2012?浙江)在BC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3,BC=IO,則矣?〃=.

答案T6解析因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，由極化恒等式得：顯?證=HMF一加C"-/<100=一

16.

(3)如圖所示，AB是圓。的直徑，P是AB上的點(diǎn)，M,N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB

=6,MN=4,則可T麗=()

A.13B.7C.5D.3

答案C解析連接AP,BP,則麗=或+磁,麗=彷+的=動(dòng)一3宓,所以回。瓦=（無+A??（動(dòng)

-AM）=RA-AM+AM-PB-?AM?1=-PA-AM+AM-PB-?AM?2=AMAB-?AM?2=?×6-1=5.

（4）如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=I,AD=2,?E,F,G,”分別是A8,BC,CD,A。邊上

的中點(diǎn)，則球總+可/.澤=.

答案W解析連結(jié)EG,FH,交于點(diǎn)0,則昉用=阱前=反＞2一亦=Le）=1，Gh，H^=

曲流'=反）2一亦=i一G）巖，因此阱科+而迸：=|.

（5）（2016?江蘇）如圖，在AABC中，。是BC的中點(diǎn)，E,尸是4。上的兩個(gè)三等分點(diǎn).BACA=4,BPCP

=—1,則盛?國(guó)的值為.

A

/E?

7

答案

-解析

8極化恒等式法設(shè)8。=拉C=m，AE=EF=FD=n,則Ao=3〃.根據(jù)向量的極化恒

222222

等式，有融祀=Xt)—加2=9層—ZΠ2=4,F^?Ft=Fb-D^=n-fn=-1.聯(lián)立解得層=￡,∕n=?^.因

OO

77

此乃?Et=Eb2-Dh1=4n2-m2=Q.即B??&：=[.

OO

坐標(biāo)法以直線BC為X軸,過點(diǎn)D且垂直于BC的直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy,

如圖：設(shè)A(3α,3b)9B(—c,0),C(~c,0),則有E(2a,2b),Fg,b)Bλcλ=(3a+c93b)?(3a-c93b)

222222222

=9a-c+9?=4融?彷=(α+c,b)?(a-c,b)=a-c+b=~i,則a+b=^fcBick=

OO

?,因此宓=∣,就=M曲法=(的—函用虎於=!6市:呢鼻

(6)在梯形ABC。中，滿足4O〃8C,AD=I,BC=3,通快=2,則/■質(zhì)的值為

答案4解析過A點(diǎn)作AE平行于。C,交BC于E,取BE中點(diǎn)F,連接AF,過。點(diǎn)作Z)H平行

UUUIlUuIUUUUUIlIlUU

于AC,交BC延長(zhǎng)線于H,E為BH中點(diǎn),連接CE,ABDC=ABAE=AF2-BF2=AF2-}=2,AC-

ULaUULlUUUU

BD=-DB?DH=BE?-DE?=4-DE?,又FE=BE-BF=I,AD//BC,則四邊形AQEF為平行四邊形，

UUtlULiD

AF=DE,:.ACBD=?.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則融?方A的值為.

2.如圖，AAOB為直角三角形，0A=l,0B=2,C為斜邊4B的中點(diǎn)，P為線段OC的中點(diǎn)，則不?0>=

()

A.1B.-77C.4D.—τ

Io4Z

3.如圖，在平面四邊形A8CZ)中，。為8。的中點(diǎn)，且。4=3,OC=5,若屈?力=一7,則瓦?皮的值

4.已知點(diǎn)A,B分別在直線x=3,x=l上，I次一份|=4,當(dāng)IOA+彷|取最小值時(shí)，用?初的值是

A.0B.2C.3D.6

5.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，D,E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)（Q靠近點(diǎn)8）,則屐）?盛等于（)

6.在AABC中，?AB+AC?=?AB-AC?,AB=2,AC=?,E,尸為BC的三等分點(diǎn)，則A?淳等于()

8ClO-25-26

A-9b?yC?yD.y

7.如圖，在平行四邊形43C。中,已知48=8,AD=5,Cp=3Pb,#歷=2,則部?無力的值是（)

A

A.44B.22C.24D.72

8.如圖，在AABC中，已知A8=4,AC=6,/4=60。，點(diǎn)O,E分別在邊48,AC上，且軸=2祝＞,At

=2ξ?,若F為OE的中點(diǎn)，則耕?命的值為

9.如圖，在A48C中，已知AB=3,AC=2,NBAC=I20。，。為邊BC的中點(diǎn)，若CZ）_LA。，垂足為E,

則EB?EC=

10.在平面四邊形48CD中，點(diǎn)E,尸分別是邊A。，BC的中點(diǎn)，且AB=1,EF=巾,CD=y∣5,若屐）?進(jìn)

=15.則公?礪的值為.

考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的最值（范圍）問題

【方法總結(jié)】

利用極化恒等式求數(shù)量積的最值（范圍）問題的步驟

(1)取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn);

(2)利用積化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差；

(3)求中線長(zhǎng)的最值(范圍)，從而得到數(shù)量的最值(范圍).

積化恒等式適用于求對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積的最值(范圍)問題,利用極化恒等式將多變量轉(zhuǎn)

變?yōu)閱巫兞?，再用?shù)形結(jié)合等方法求出單變量的范圍.對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法

等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積的最值(范圍)問題，從而用極化恒等式解決.在運(yùn)用極化恒等

式求數(shù)量積的最值(范圍)時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn)，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式，難點(diǎn)在

于求中線長(zhǎng)的最值(范圍)，通過觀察或用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊

之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長(zhǎng)的最值(范圍)，從而得到數(shù)量的最值(范圍).

【例題選講】

[例1]⑴若平面向量”,)滿足∣2α-b∣q∕j,則α?b的最小值為.

O11—32Q

答案一Q解析β?6=o[(2α+?)2-(2α-?)2]=^[∣2α+?∣2-∣2α-?∣2]≥~—=一&?當(dāng)且僅當(dāng)∣2α+Z>∣

OOOOO

339

2a~b=3,即∣∣<。，>>=兀時(shí)，取最小值一處

=0,??Ial=?4,?=zZ,o

(2)如圖，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A位于兩平行直線如〃的同側(cè)，且A至〃的距離分別為1,3,點(diǎn)8,

C分別在加，"上，電+獨(dú)=5,則顯?祀的最大值是.

C”

21

答案亍解析坐標(biāo)法以直線〃為X軸，過點(diǎn)A且垂直于〃的直線為y軸，建立如圖所示的平面

直角坐標(biāo)系xθy,如圖：則A(O,3),CS0),B(b,2),則霜=(6,—1),祀=(C,—3),從而(b+c)2

+(—4)2=52,即0+C)2=9,XAtT.磊=A+3S":C)+3=和當(dāng)且僅當(dāng)h=c時(shí),，等號(hào)成立.

極化恒等式連接BC取8C的中點(diǎn)。，AhAt=AD2-BD2,又AD=J油+&|=|,故也正=苧

-BD2=^-^BC2,又因?yàn)锽G"M=3-1=2,所以(霜?痔S=弓.

rH

（3）（2017.全國(guó)II）已知A48C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則或（成+配的最小

值是（）

A.12D.-1

答案B解析方法一（解析法）建立坐標(biāo)系如圖①所示,則A,8,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0,√5）,

B（-l,0）,C（l,0）.設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,

BO

圖①

則成=(—x,√3-y),協(xié)=(-l-χ,-y),-y),耳?(聞+陌=(一χ,√3-y)?(-2x,

：2x（—J=一/當(dāng)且僅當(dāng)X=O,y=乎時(shí)，防（防+無）取得

-2y)=2(∕+y2-

最小值，最小值為一3宗故選B.

方法二（幾何法）如圖②所示，麗+瓦=2可）（。為BC的中點(diǎn)），則可?（彷+瓦？）=2耳.可）.

圖②

要使成?前最小，則成與用方向相反，即點(diǎn)P在線段AO上，則（2成?瓦））min=-21祝Il用問題轉(zhuǎn)化

為求兩方的最大值.又當(dāng)點(diǎn)P在線段A。上時(shí)，I前+1討）∣=∣?∣=2χ乎=√5,為兩瓦）∣≤（陷?的＞

=2=[,，網(wǎng).(防+心]min=(2或協(xié)min=-2x1=一/故選B.

極化恒等式法設(shè)BC的中點(diǎn)為。，40的中點(diǎn)為M,連接。P,PM,可.(息+反0=2外.可=2|麗

13O

I2—2∣AZ)∣2=2∣P?2~2~~2'當(dāng)且僅當(dāng)M與P重合時(shí)取等號(hào).

(4)己知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O,點(diǎn)P是圓。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則可?感的取值范圍是

答案[-2,6]解析取AB的中點(diǎn)￡),連接CC,因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以。為三角形

ABC的重心，。在Cf)上，且OC=2OE>=2,所以C￡>=3,AB=2√3.又由極化恒等式得：可?防=IPOF

-∣∣AB∣2=∣ro∣2-3,因?yàn)镻在圓。上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，IPolmaX=3,當(dāng)尸在Co的延長(zhǎng)線與圓。的

交點(diǎn)處時(shí)，IPRmin=L所以或?彷∈[—2,6].

(5)如圖，已知P是半徑為2,圓心角為力的一段圓弧AB上的一點(diǎn)，若油=2發(fā)',則反'?中的最小值為

ΛBC

答案5-2√B解析通法以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于AB的直徑所在直線為X軸，AB的垂直平

分線所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則4-1,小),C(2,√5),設(shè)P(2cos8,2sin喏學(xué)聾)，

則無?同=(2—2COSΘ,√3-2sin仍?(一1一2COSΘ,√3~2sin》=5—2COS6>-4√3sine=5-2√13sin(0+^),

其中Octan9=坐"戶?，所以0<夕令當(dāng)6=方一0時(shí)，無不取得最小值，為5—2?∕I5.

極化恒等式法設(shè)圓心為。，由題得A8=2,.?.4C=3.取AC的中點(diǎn)例，由極化恒等式得用?成=麗

2—6=M力一點(diǎn)要使死?或取最小值，則需尸M最小，當(dāng)圓弧矗的圓心與點(diǎn)P,M共線時(shí)，PM最小.易

知。M=/.?.0M=、侍乙耳=羋，所以尸M有最小值為2一誓，代入求得而可的最小值為5—

2√13.

（6）在面積為2的AABC中，E,尸分別是48,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在直線E尸上，則卮?麗+就2的最小

值是.

0^2

答案2√j解析取BC的中點(diǎn)為。，連接P。，則由極化恒等式得反>彷+匝2=用2—丁+肥

=協(xié)+零≥平+季，此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)施，團(tuán)時(shí)取等號(hào)，此油十就2≥平+手≥2^y乎乎=

2√3.

另解取BC邊的中點(diǎn)M,連接PM,設(shè)點(diǎn)P到BC邊的距離為小則SAABC=或∣"=2=∣剜=本

PM>h,,h2

=√5時(shí)，等號(hào)成立）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.已知AB是圓。的直徑，AB長(zhǎng)為2,C是圓O上異于A,B的一點(diǎn)，尸是圓。所在平面上任意一點(diǎn),

順成+協(xié)）.比的最小值為（）

I11

bC.D.-1

?--4?^32

2.如圖，設(shè)A,8是半徑為2的圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為Ao中點(diǎn)，則?5?δ?的取值范圍是（）

A.[—1,3]B.[1,31C.[-3,-1]D.[-3,1]

3.如圖，在半徑為1的扇形AOB中，ZΛ0fi=∣,C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)P,則0>?前的最

小值為.

3

4.（2020?天津）如圖，在四邊形ABC。中，N3=60。，AB=3,BC=6,且彷=2覺，??初=一,則實(shí)

數(shù)4的值為,若M,N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且Iml=1,則成?加的最小值為.

5.??ABCΦ,AC=2BC=4,N4CB為鈍角，M,N是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=1,若CMCN的

a

最小值為三，則COSNACB=.

4

6.已知AB為圓O的直徑,M為圓O的弦CD上一動(dòng)點(diǎn),AB=8,Cf>=6,則前A?諦的取值范圍是.

7.如圖，設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)尸在以AB為直徑的弧APB上，則無?初的取值范圍為.

8.已知正AABC內(nèi)接于半徑為2的圓。，E為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交圓。于點(diǎn)凡則瓦.屈

的取值范圍是.

9.已知AB是半徑為4的圓。的一條弦，圓心。到弦AB的距離為1,P是圓。上的動(dòng)點(diǎn)，則可?Z?的取

值范圍為.

10.矩形ABCD中，AB=3,3C=4,點(diǎn)M,N分別為邊8C,Cz）上的動(dòng)點(diǎn)，且MN=2,則破?初的最小

值為?

11.在AABC中，已知A8=√5,C=今則方?■的最大值為.

12.已知在AABC中，PO是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B=%B,且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P,恒有防?反≥Rk枇

,則()

A.ZABC=90oB.ZBΛC=90oC.AB=ACD.AC=BC

13.在正方形ABa)中，AB=I,A,。分別在x,y軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，則帥的最大值為

14.在三角形ABC中，。為AB中點(diǎn)，NC=90。，AC=4,BC=3,E,E分別為8C,AC上的動(dòng)點(diǎn)，且

EF=L則時(shí)?赤'最小值為.

15.在RtABC中，ZC=90o,AC=3,A8=5,若點(diǎn)A,8分別在x,y軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，則溫?求的

最大值為

16.已知正方形ABCO的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸為48的中點(diǎn)，以A為圓心，AF為半徑作弧交Ao于E,若P為

劣弧EF上的動(dòng)點(diǎn)，則無?防的最小值為.

17.如圖，已知B,O是直角C兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，ADLBD,∣λt)∣=√3,ZBAD=^,θt∕=∣(CA+C?),c?=

^(cb+cλ),則G以前的最大值為.

18.如圖，在平面四動(dòng)形ABC。中，ABLBC,ADLCD,NBCZ)=60。，CB=CD=2幣.若點(diǎn)M為邊BC

上的動(dòng)點(diǎn)，則破?血的最小值為.

19.（2018?天津）如圖，在平面四邊形ABC。中，ABVBC,AD±CD,ZBAD=UOo,AB=AD=I.若點(diǎn)E

為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則危潴的最小值為

TT

20.如圖，圓。為RtAABC的內(nèi)切圓，已知AC=3,BC=4,C=看過圓心。的直線/交圓于P,。兩點(diǎn),

則前?前的取值范圍為

21.在三棱錐S-ABC中，SA,SB,SC兩兩垂直，且SA=SB=SC=2,點(diǎn)M為三棱錐S-ABC的外接球

面上任意一點(diǎn)，則宓?旋的最大值為

22.如圖所示，正方體ABCD-AIBGA的棱長(zhǎng)為2,MN是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩點(diǎn)

之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，Mk的的取值范圍是

23.已知線段AB的長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)C滿足CV仍=2。為常數(shù))，且點(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心，3為半徑的

圓內(nèi)，則負(fù)數(shù)2的最大值為.

24.若點(diǎn)。和點(diǎn)F分別為橢圓，+5=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則辦?存的最大值

為()

A.2B.3C.6D.8

專題八平面向量的極化恒等式

利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量

的幾何屬性，讓"秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾

何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與兒何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平

移轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決.

1.極化恒等式：ab-^[(a+b)2-(a-?)2]

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線''與''差對(duì)角線''平方

差的?

A

2.平行四邊形模式：如圖(1),平行四邊形ABC。，。是對(duì)角線交點(diǎn).則：(l)Ai-At)=jl∣AC∣2-∣BD∣2].

3.三角形模式：如圖(2),在AABC中，設(shè)。為BC的中點(diǎn)，則/=g￡>F—∣8OF.

三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決.

記憶：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差.

考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的定值問題

【方法總結(jié)】

利用極化恒等式求數(shù)量積的定值問題的步驟

(1)取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；

(2)利用積化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差；

(3)求中線及第三邊的長(zhǎng)度，從而求出數(shù)量積的值.

積化恒等式適用于求對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積，對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移

轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積，從而用極化恒等式解決.在運(yùn)用極化恒等式求數(shù)量

積時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn)，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式，難點(diǎn)在于求中線及第三邊的長(zhǎng)

度，通常用平面幾何方法或用正余弦定理求解，從而得到數(shù)量的值.

【例題選講】

[例1]⑴(2014,全國(guó)II)設(shè)向量α,b滿足外+加=畫,∣α-?∣=√6,則α?Z>=()

A.1B.2C.3D.5

答案A解析通法由條件可得，(α+B)2=ιo,(q-6)2=6,兩式相減得4α√>=4,所以α?3=l.

極化恒等式α??=∣[(α+b)2-(a-b)2]=∣(lθ-6)=1.

(2)(2012?浙江)在AABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3,BC=IO,則屈?祀=.

答案一16解析因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，由極化恒等式得：屈?祀=IAMF—%8C∣2=9-；XIoo=—

16.

(3)如圖所示，AB是圓。的直徑，P是AB上的點(diǎn)，M,N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB

=6,MN=4,則聞f?麗=()

A.13B.7C.5D.3

答案C解析連接AP,BP,則麗=謖+篇,兩=兩+說=/一篇,所以前.前=(溫+硒?(聞

PB-PA-AM+AM-PB-?AM?1^-RA-AM+AM-PB~?AM?2^AM-AB-?AM?2=l×6~l=5.

(4)如圖，在平行四邊形ABCz)中，AB=I,AO=2,點(diǎn)E,F,G,H分別是A8,BC,CD,A。邊上

的中點(diǎn)，則赤?劭+可∕?Z?=.

答案I解析連結(jié)EG,FH,交于點(diǎn)。，則年前=球前=亦-δ?2=L0=鼻,反旗=

而才=的2-亦=Lg)=*因此阱附+曲曲

(5)(2016?江蘇)如圖，在AABC中，力是BC的中點(diǎn)，E,尸是4。上的兩個(gè)三等分點(diǎn).BACA^4,BPCP

=—I,則星?Gfe的值為.

7

答案解析極化恒等式法設(shè)3D=OC=m,AE=EF=尸。=小則AO=3〃.根據(jù)向量的極化恒

O

C1Q

等式，有屈祀=T)2一訪』94一加2=4,元.武=91—的2=∏2-HI?=-1.聯(lián)立解得/=石，浮=木.因

OO

此前.病=亦一前2=4/-rn2=J.即旗.摩=(.

OO

坐標(biāo)法以直線BC為X軸,過點(diǎn)。且垂直于BC的直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy,

如圖：設(shè)A(3α,3b),B(~c,O),C(~c,0),則有E(24,2b),F(a,b)βA-Cλ=(3a+c,3b)-(3a~c,3b)

=9a2-c2÷9?2=4BpCp=(a+c,h)-(a~c,b)=a2~c2+b2=~l,則d2+b2=^,c2=ττB??C?=

OO

/7

Cla—c,2hY(2a-c2?)=4a2—c2÷4?2=ɑ.

fO

基向量或?5?=(∕??~D?)(醇?一氏)=4彷;屋=36%二於=4,阱.蘇=防一而份一虎)

AFD1-BC14eb?6FD2-BC2

1,因此用2$此=*Mck=(Dk-D?)(D?-Dt)=4-=48

4

(6)在梯形ABC。中，滿足AD〃BC,AD=IfBC=3,AB?DC=2f則祀?筋的值為

答案4解析過A點(diǎn)作AE平行于OC,交BC于E,取BE中點(diǎn)R連接A片過。點(diǎn)作平行

ULiuULimuuuULaIuuu

于AC,交BC延長(zhǎng)線于“，E為BH中點(diǎn)、,連接E>E,AB-DC=AB-AE=AF2-BF2=AF2-?=2,AC-

BD=-DB-DH=BE1-DE2=A-DE2,又FE=BE—BF=1,AD//BC,則四邊形AOEF為平行四邊形,

ClLUUCU_1U

AF=DE,:.ACBD=I.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.己知正方形ABCZ)的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是48邊上的動(dòng)點(diǎn)，則踮?次的值為.

1.答案1解析取AE中點(diǎn)0,設(shè)HEl=MOW爛1),則HOl=IV,，發(fā)?次=DOF—HOF=12+0J2

-*=1.

2.如圖，AAOB為直角三角形，0A=l,OB=2,C為斜邊AB的中點(diǎn)，P為線段OC的中點(diǎn)，則萬>??>=

)

2.答案B解析取AO中點(diǎn)Q,連接尸。，APδP=PAPO=PQ2-AQ/2=~^=^.

3.如圖，在平面四邊形ABCD中，。為80的中點(diǎn)，且0A=3,OC=5,若屈??=-7,則反??皮的值

3.答案9解析因?yàn)閰f(xié).初=彷一沆＞2=9—沅）2=-7=H）2=]6,所以猶.虎=Qp-9P=25

4.已知點(diǎn)A,B分別在直線x=3,x=l上，I流一時(shí)|=4,當(dāng)|次+加|取最小值時(shí)，溫?份的值是

4.答案C解析如圖，點(diǎn)A,B分別在直線x=l,x=3上，?A??=4,當(dāng)|況+時(shí)|取最小值時(shí)，48的

中點(diǎn)在X軸上，況?彷=加2—麗=4-4=0.

?f

5.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，D,E是邊8C的兩個(gè)三等分點(diǎn)（。靠近點(diǎn)8）,貝必D4E等于（）

5.答案C解析解法一：因?yàn)?。，E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以80=0E=CE=/在AABD中,

AD1=BD2+AB2-2BDAB?cos60o=(1)2+?2-2×∣×?×∣=即AD=亭,同理可得AE=亭，??ADE

2,2

AD2+AE2-DE29913LLll—?―?—>—>xfl

中，由余弦定理得CoSND4E=γj,所以AO?AE=∣AD∣?∣AE∣cos∕ZME=看

IADAE

13

18'

建立平面直角坐標(biāo)系，由正三角形的性質(zhì)易得A（0,里￡＞（一:，0）,EQ,0),

解法二：如圖,

所以病=（3,一坐）,然=￡一啜所以訪危=（J一冽&一里）=w+%!∣.

極化恒等式法取力E中點(diǎn)尸，連接AF,則而?病=IA尸F(xiàn)—1。呼=；-B=Ii

4?θ10

6.在^A8C中，?Ab+At?=?Ah-At?,AB=2,AC=I,E,F為BC的三等分點(diǎn)，則A??A∣'等于（）

8IO〃2526

A-9B.gC.yD.y

6.答案B解析坐標(biāo)法由?+獨(dú)=∣A?—祀化簡(jiǎn)得屈?祀=0,又因?yàn)锳B和AC為三角形的兩

條邊，它們的長(zhǎng)不可能為0,所以AB與AC垂直，所以AABC為直角三角形.以A為原點(diǎn)，以AC所

在直線為X軸，以AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A（0,0）,B（0,2）,C（l,

0）.不妨令E為BC的靠近C的三等分點(diǎn)，則語，D，雄，§，所以戲=（|，|）,#=（；，§，所

以旅#=舞+黑=號(hào).

極化恒等式法取E尸中點(diǎn)連接AM,則求#=|AMJ∣EM∣2=A&=竿.

7.如圖，在平行四邊形ABC。中，已知AB=8,AD=5,#=3瓦），AA屏）=2,則荏?無方的值是（）

A.44B.22C.24D.72

7.答案B解析如圖，取AB中點(diǎn)E,連接EP并延長(zhǎng)，交AO延長(zhǎng)線于F,Ap-Bp=EP2-AE?=EP-

-16=2,.?.EP=3√Σ又,：牛=3地,Ak=Eh,A^=Dt,：.AE=2DP,即△/?E中，DP為中位線,

AF=2AQ=10,AE=BA3=4,FE=2PE=(φ,AP2=40,Aδ?A?=A>?A?=AP2-EP2=40-(3√2)2=

22.

8.如圖，在AABC中，已知AB=4,AC=6,/4=60。，點(diǎn)O,E分別在邊AB,AC上，且輻=2m，At

=2A?,若F為OE的中點(diǎn)，則屏'?融的值為.

8.答案4解析取8。的中點(diǎn)N,連接NREB,則ΛBE=2√3.在AQEB中.FN//?EB.：.

FN

=√5.游?晟=2或?用=2CFN2-fW2)=4.

9.如圖，在AABC中，已知AB=3,AC=2,ZBAC=120°,。為邊BC的中點(diǎn)，若CZ）_L4Q,垂足為E,

則諉應(yīng)=.

9.答案一用解析由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2ABACcosnθ°=?9,即8。=血，因?yàn)椴」?/p>

AD2-CD2=∣AB∣?∣AC∣?cosl20o--3,所以Hol=亭，因?yàn)镾AABC=25”比,則?4B∣?IAaSinI20°=2」

?AD??CE?,解得IC￡|=*L在RtADEC中，∣DEl=NCD2—CE2=嚕,所以無?愛=IEoI2-∣cθF=一弓.

10.在平面四邊形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別是邊AD,BC的中點(diǎn)，且A8=l,EF=y∣2,CD=4,若病?反`

=15.則公?訪的值為.

10.答案解析極化恒等式如圖，取A&4C,8,5￡＞中點(diǎn)”，/,J,K,四邊形ABCD中，易知

UU≡IILIIUUIΓULT15ULuUIiLUiLiuuiuuu?

Ef?Z,及/三線共點(diǎn)于0,QADBC=15^HKHI=-=HO2-IO2,又QACBD=4HE?HF=

4

4(//O2-FO2),在ΔE∕7中，QEF=6壬1=與FI=；,由中線長(zhǎng)公式知砂=J.,從而//O?=4,

UUUUuU1

AC?BD=4(4—)=14.

UUUIiLUiUUUUUn2uu??lll≡,UlfflUUlI

基向量法Q2EF=AB+DC,：.4￡F=AB+DC+2ABDC,又AB=I,DC=瓜EF=丘,

UUUULiUUUUlUiaiIiuuiuutiIiusinunUUDUUDUUBUUlIUUDli□∏UUlI2

.?.AB-DC=I,QAD-BC=↑5,:.(AC+CD)(BD+DC)=↑5,則AC?BO+AC?OC+CD?BO-OC

UllllIllBl∕UUΠUIKUUlIUl≡l/IlLOIUulI?UUIIULIUULlIUuiIULUULILUI

=15,可化為4C?8O+(AB+8C)χ?OC+CO?(BC+CD)-5=15,AC?BD+ABDC=\5,故AC?3Q

=14.

D

E

考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的最值（范圍）問題

【方法總結(jié)】

利用極化恒等式求數(shù)量積的最值（范圍）問題的步驟

（1）取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；

（2）利用積化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差；

（3）求中線長(zhǎng)的最值（范圍），從而得到數(shù)量的最值（范圍）.

積化恒等式適用于求對(duì)共起點(diǎn)（終點(diǎn)）的兩向量的數(shù)量積的最值（范圍）問題，利用極化恒等式將多變量轉(zhuǎn)

變?yōu)閱巫兞?，再用?shù)形結(jié)合等方法求出單變量的范圍.對(duì)于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法

等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)共起點(diǎn)（終點(diǎn)）的兩向量的數(shù)量積的最值（范圍）問題，從而用極化恒等式解決.在運(yùn)用極化恒等

式求數(shù)量積的最值（范圍）時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn)，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式，難點(diǎn)在

于求中線長(zhǎng)的最值（范圍），通過觀察或用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊

之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長(zhǎng)的最值（范圍），從而得到數(shù)量的最值（范圍）.

【例題選講】

[例1]⑴若平面向量a,b滿足∣2α一加W√5,則ab的最小值為.

911O2-329

答案一Q解析a?b=ol（2a+?）2—（2α—b）2]=e[?2a+?∣2—∣2α—?∣2]≥~?-=—&?當(dāng)且僅當(dāng)∣2α+臼

OOOOO

339

=0,∣2α-?∣=3,即Ial=不∣?∣=z,<a,t>=π時(shí),α?b取最小值一石.

（2）如圖，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A位于兩平行直線機(jī)，”的同側(cè)，且A到機(jī)，〃的距離分別為1,3,點(diǎn)8,

C分別在〃3〃上，I曲+獨(dú)=5,則^的最大值是.

rit

、21

答案y解析坐標(biāo)法以直線〃為X軸，過點(diǎn)A且垂直于〃的直線為y軸，建立如圖所示的平面

直角坐標(biāo)系x0y,如圖：則A（O,3）,C（c,0）,BS2）,則露=（〃，-1）,祀=（C,一3）,從而0+c）2

+（—4）2=52,即（6+C）2=9,又祀.屈=bc+3*^^+3=募?，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立.

極化恒等式連接3C,取BC的中點(diǎn)。，Ah-At=AD2-BD2,又A。T屈+祀|=|,故在正巖

-BD2=^-^BC2,又因?yàn)锽G"M=3—1=2,所以（屈?At）S=*

（3）（2017?全國(guó)∏）已知AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，尸為平面4BC內(nèi)一點(diǎn)，則可?（曲+試）的最小

值是（）

B.-1

A.-2C.D.一1

答案B解析方法一（解析法）建立坐標(biāo)系如圖①所示,則A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4（0,?。?

β（-l.0）,C（l,0）.設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,

則成=(-χ,√3-y),Pb=(-l-x,—y),Pt=(?~x,~y),可?(協(xié)+μ=(一》，√3-Γ)?(-2JC,

-2y)=2(x2+γ2-小)，)=jχ2+Q—坐)2_*2x(—1)=一∣.當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=坐時(shí)，討.(乃+陌取得

最小值，最小值為一∣?故選B.

方法二（幾何法）如圖②所示，曲+反=2用（。為Be的中點(diǎn)），則可.（成+無）=2或可）.

P

圖②

要使成?用最小，則成與外方向相反，即點(diǎn)P在線段A。上，則（2成?/）min=-21兩曲，問題轉(zhuǎn)化

為求I用Il瓦）|的最大值.又當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，I中1+1防I=|力I=2X半=小，為兩電區(qū)（網(wǎng)贄

2=1，.?.麗（感+反?）］min=（2或協(xié)min=-2x,=-?故選B.

極化恒等式法設(shè)BC的中點(diǎn)為￡>,AD的中點(diǎn)為M,連接。P,PΛ∕,.?.可.（而+電=2可）.討=2|所

133

I2—2∣At）∣2=2∣P?2-2>—2"當(dāng)且僅當(dāng)M與P重合時(shí)取等號(hào).

（4）已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓。，點(diǎn)P是圓。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則可?息的取值范圍是

答案［-2,6］解析取AB的中點(diǎn)。，連接CD,因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以。為三角形

4BC的重心，。在C。上