例談雙點(diǎn)運(yùn)動問題如圖1，四邊形ABCD是直角梯形，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm，/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動．其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，從運(yùn)動開始，經(jīng)過多少時間，四邊形PQCD成為平行四邊形？成為等腰梯形？評析第(1)問由梯形的定義可知AD∥BC，若使四邊形PQCD成為平行四邊形，只要求PD＝CQ即可．可設(shè)運(yùn)動時間為tcm/s，因為速度已知，表示CQ長，表示AP長，進(jìn)一步求得PD長；第(2)問若使四邊形成為等腰梯形可根據(jù)QC＝PD＋2(BC－AD)求得，第(1)問利用了梯形兩底平行這一性質(zhì)，第(2)問要利用等腰梯形的性質(zhì)體會“QC＝PD＋2（BC－AD）”，顯得略難一些，但是通過所給條件也能順利解決，點(diǎn)的運(yùn)動使圖形活了起來，此題運(yùn)用了梯形、平行四邊形性質(zhì)、方程等知識點(diǎn)，轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想．將原題進(jìn)行變式與推廣，可得到幾道中考試題，本文舉例分析．例1如圖2，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)E的運(yùn)動速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動速度為3cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動速度為1.5cm/s．當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時，三個點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G運(yùn)動的時間為t（單位：s）．(1)當(dāng)t＝_______s時，四邊形EBFB'為正方形；(2)若以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．評析本題特殊之處在于三點(diǎn)同時運(yùn)動．第(1)問設(shè)AE＝￡，則BF＝3t，根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形，由BE＝BF列方程可求解；第(2)問欲證明△EBF與△FCG相似，可通過求得；第(3)問若點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合，根據(jù)條件點(diǎn)D是矩形對稱中心，通過計算可求出是否滿足條件的t值．本題運(yùn)用了相似三角形、方程等知識點(diǎn)，轉(zhuǎn)化、分類討論、建模等數(shù)學(xué)思想．例2如圖3，拋物線y＝ax2＋bx＋4的對稱軸是直線x＝，與y軸交于點(diǎn)C，又點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0）．(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，連結(jié)AD交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)AC．設(shè)△AEC的面積為S1，△DEC的面積為S2，求S1：S2的值；(3)點(diǎn)F坐標(biāo)為(6，0)，連結(jié)DF．在(2)的條件下，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，以每秒3個單位長的速度沿E→C→D→F勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒2個單位長的速度沿F→A勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，若點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，以D.P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？請直接寫出所有符合條件的t值．評析本題前兩問所給條件充分，根據(jù)條件很容易就能求出結(jié)果，關(guān)鍵是第(3)問，要根據(jù)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動到不同的位置與點(diǎn)D所構(gòu)造的直角三角形的不同，用分類討論思想來求出不同的t值，關(guān)鍵在于不能遺漏．例3如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，以O(shè)A為邊作等邊三角形OAB，點(diǎn)B在第一象限，過點(diǎn)B作AB的垂線交x軸于點(diǎn)C．動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿OC向C點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿BA向A點(diǎn)運(yùn)動，P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，速度均為1個單位／秒．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)求線段BC的長；(2)連結(jié)PQ，交線段OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)F．設(shè)線段EF的長為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；(3)在(2)的條件下，將△BEF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△BE'F'，使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E'落在線段AB上，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是F'，E'F'交x軸于點(diǎn)G，連結(jié)PF、QG．當(dāng)t為何值時，2BQ－PF＝QC?評析本題要充分利用題中所給的等邊三角形、直角三角形、平行線、圖形旋轉(zhuǎn)等條件，借助相似三角形、方程等數(shù)學(xué)模型來解決問題．第(1)問要挖掘隱含條件OC＝OB＝OA等，Rt△ABC中利用三角函數(shù)求出BC的長；第(2)問過Q點(diǎn)作QN∥OB，交x軸于點(diǎn)N，可證得△ANQ是等邊三角形；由△POE∽△PNQ，求得m與t的關(guān)系；第(3)問先證得AE'G為等邊三角形，由BE'＝BE＝m，可求出用t表示QE'的代數(shù)式，進(jìn)而用t表示GE'和QE'；通過證明△QGA是直角三角形，求出用t表示QG的代數(shù)式；因為EF∥OC，所以，再由△FCP∽△BCA，求出t＝1時結(jié)論成立，此題第(2)問雙點(diǎn)運(yùn)動同速度同時出發(fā)，較為簡單，第(3)問由于三角形旋轉(zhuǎn)再加上雙點(diǎn)運(yùn)動，問題較為復(fù)雜，需細(xì)心觀察、作圖才能理清思路，本題運(yùn)用了三角函數(shù)、相似三角形、方程等知識點(diǎn)，運(yùn)用類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想來完成解題，理清解題思路是關(guān)鍵．例4如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)D.E.F分別是邊AB.BC.AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE.DF，動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A.B同時出發(fā)，運(yùn)動速度均為1cm/s，點(diǎn)P沿A→F→D的方向運(yùn)動到點(diǎn)D停止；點(diǎn)Q沿B→C的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，過點(diǎn)Q作BC的垂線交AB于點(diǎn)M，以點(diǎn)P，M，Q為頂點(diǎn)作平行四邊形PMQN．設(shè)平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為y(cm2)（這里規(guī)定線段是面積為0的幾何圖形），點(diǎn)P運(yùn)動的時間為x(s)．(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)F時，CQ＝_______cm；(2)在點(diǎn)P從點(diǎn)F運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，某一時刻，點(diǎn)P落在MQ上，求此時BQ的長度；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段FD上運(yùn)動時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．評析本題本著由淺入深原則，體現(xiàn)了以人為本的理念，雙點(diǎn)運(yùn)動速度相同，都是1cm／s，運(yùn)動開始時間也相同，降低了解題難度．第(1)問點(diǎn)F是線段AC的中點(diǎn)，AC＝6cm，可得AF＝3cm，由于點(diǎn)B向點(diǎn)C沿著線段BC運(yùn)動的速度及時間相同，所以此時BQ＝3cm，，再由已知BC＝8cm，，可求得QC的長；第(2)問中AF＋FP＝x，AF＝3，則PF＝x－3，又BQ＝x，而BQ＋PF＝BC，列方程可求出BQ的