專題38幾何模型問題之主從聯(lián)動瓜豆原理（解析版）

典例剖析+針對訓(xùn)練

類型一點在直線上運動

典例1（2022?利州區(qū)模擬）如圖，正方形ABCQ的邊長為4,E為BC上一點,且BE=1,F為43邊上的

一個動點，連接EE以EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為（）

A.0.5B.2.5C.√2D.1

思路引領(lǐng)：由題意分析可知，點廠為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到

點G的運動軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值.

解：由題意可知，點F是主動點，點G是從動點，點F在線段上運動，點G也一定在線段軌跡上運動

將△￡：/由繞點E旋轉(zhuǎn)60°,使EF與EG重合，得到AEHG,連接BH,得到AEFB絲Z?EHG

從而可知AEB”為等邊三角形，點G在垂直于HE的直線HN上,

延長HM交C。于點N.

則aEFB絲ZkEHG,

'HE=BE=LNBEH=60°,NGHE=∕FBE=90",

：.AEBH為等邊三角形.

?.?四邊形A8CL＞是矩形，

ΛZFfiE=90°,

.'.ZGHE^ZFBE=Wa,

二點G在垂直于HE的直線HN上,

作CM,HM由垂線段最短可知，CM即為CG的最小值，

EPLCM,連接8",EH,

則四邊形"EPM為矩形，

；.MP=HE=1,NHEP=90°,

二/PEC=30°.

VEC=BC-BE=3,

13

,CP=^EC=?,

35

.?.CM=MP+CP=1÷^=∣,

即CG的最小值為∣.

方法二：以CE為邊作等邊三角形CEH,連接

則aCEGZZ?EF”,

LCG=FH,

當(dāng)FHLAB時?，raa>b=ι+∣=∣.

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段極值問題，分清主動點和從動點，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判

斷出點G的運動軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運用垂線段最短，構(gòu)造圖形計算，是極值問題中比較典型的

類型.

針對訓(xùn)練

I.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在aABC中，AB=AC,BC=6,tan/ACB=2遙，點P在邊4C上運

動（可與點A,C重合），將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段QP,連接BZXCQ,則CO長

的最小值為.

D

BC

思路引領(lǐng)：以BC為邊構(gòu)建出和ABPO相似的三角形，通過將CD邊轉(zhuǎn)化為其他邊來求值.

解：如圖所示，以BC為底邊向上作等腰a8QC,使NBQC=120°,連接PQ.

由題意可得48QC和4BPD均為頂角為120°的等腰三角形,

,BQBP1

可得就=訪=厲，NQBC=NPBD=30。,

NQBC-NQBD=ZPBD-ZQBD,

?NPBQ=4DBC,

：.叢PBQS叢DBC,

.PQBQ1

'"DC-BC^√3,

,當(dāng)PQJ_AC時,有尸0最小,即此時CD最小,

如圖所示，設(shè)OP'VAC,延長AQ與BC交K,此時。產(chǎn)為OP的最小值,

可得AKJ_BC,

,.?△8QC中，NBQC=I20°,BC=6,

.".BK=3,NQBK=30°,

r

-,-QCkK=不BK=√Π3j,

_AK

VtanZACB=2√3=KC=3,

：.AK=2√3ΛFC=6√3,

.".AQ=AK-QK=5√3,AC=y∕AK2+KC2=3√13,

；NAP'。=NAKC=90°,NQAP'=NCAK,

/.ZvφP'szMcκ,

.AQQP'

??—>

ACKC

?_QP'

,,3√13-3,

.,.CD=y∕3QP'=

總結(jié)提升：本題考查的是瓜豆原理的知識點，重難點在于構(gòu)造相似三角形的手拉手模型，屬于難題.

2.（2021秋?忠縣期末）如圖，在aABC中，ZACB=90o,點。在BC邊上，BC=5,CD=2,點E是邊

AC所在直線上的一動點，連接。E,將。E繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到。/，連接8F,則BF的最

小值為.

思路引領(lǐng)：由''SAS"可證E也AOBR可得E"=BF,則當(dāng)EH有最小值時，B尸有最小值，由垂

線段最短可得：當(dāng)EH_LAC時，EH有最小值，即可求解.

解：如圖，以BD為邊作等邊三角形DBH,連接E“，過點“作“N_L8力于M

VBC=5,CD=2,

?BD=3,

,.?△0/78是等邊三角形，HNLBD,

：,DN=BN=DB=DH,NHDB=60”,

7

ACN=工,

Y將DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到DF,

：.DE=DFfNEDF=60°,

：.ZEDF=ZHDB,

：.ZEDH=ZFDBf

在4O"E和aO3尸中，

DE=DF

乙EDH=乙FDB,

DH=DB

：?ZXDHEQXDBF(SAS),

LEH=BF,

???當(dāng)有最小值時，8尸有最小值，

由垂線段最短可得：當(dāng)EHLAC時，EH有最小值，

此時，9：EHJLAC,NACB=90°,HNLDB,

，四邊形。V”E是矩形，

7

：.HE=CN=/

7

故答案為：--

2

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔

助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(2021秋?東臺市期中)如圖，在矩形ABC。中，對角線AC,8。相交于點。，AB=6,NzMC=60°,

點F在線段Ao上從點A至點。運動，連接。凡以。F為邊作等邊三角形。FE,點E和點A分別位于

。尸兩側(cè)，則點E運動的路程長是—.

___________^lC

AB

思路引領(lǐng)：連接。E,利用SAS'證明aAOF絲Z?OOE(SAS),WOE=AF,ZDOE=ZDAO,則點E在

射線。E上運動，且OE=AF,當(dāng)點尸在線段4。上從點A至點。運動時，故點E的運動路程是40,利

用勾股定理求出AO的長即可.

解：連接OE,

DΓ^--------------

???四邊形A8C。是矩形，

AO=DO,∕DAB=90°,

VZDΛC=60o,

...△D4。是等邊三角形，

.'.DA=DO,乙400=60°,

?.?△DFE是等邊三角形，

：.DE=DF,NEDF=60°,

：.NADF=NODE,

又Ao=￡)0,DF=DE,

：.LADF@LODE(SAS),

ΛOE=AF,NDOE=NDAO,

點E在射線OE上運動，且OE=AF,

當(dāng)點F在線段AO上從點A至點O運動時，

???點E的運動路程是AO,

在RtA4OB中，設(shè)AD=X,則8D=2Λ,

.".⑵)2-X2-G2,

解得X=2√5(負(fù)值舍去)，

ΛΛD=AO=2√3,

即點E的運動路程為2b，

故答案為：2百.

總結(jié)提升：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定

理等知識，確定點E的運動路徑是解題的關(guān)鍵.

類型二點在圓上運動

典例2（2022?桐梓縣模擬）【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目：

如圖①，點。為坐標(biāo)原點，。。的半徑為1,點4（2,0）.動點8在C）O上，連接4B,作等邊AABC

（A,B,C為順時針順序），求OC的最大值

【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接08,以。8為邊在08

的左側(cè)作等邊三角形BOE,連接AE.

（1）請你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；

（2）線段OC的最大值為.

【靈活運用】

（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點4的坐標(biāo)為（2,0）,點B的坐標(biāo)為（5,0）,點P為線段AB外

一動點，且∕?=2,PM=PB,NBPM=90°,求線段AM長的最大值及此時點P的坐標(biāo).

【遷移拓展】

（4）如圖③，BC=4√2,點。是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點，以8。為邊作等邊△

（2）利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題；

（3）連接BM,將aAPM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到aPBN,連接AM得到aAPN是等腰直角三角

形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=%=2,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段84的延長線時，線段BN取得

最大值，即可得到最大值為2√Σ+3;過P作尤軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；

（4）如圖4中，以Be為邊作等邊三角形4BCM,由AABC之4OB仞，推出AC=M。，推出欲求AC的

最大值，只要求出OM的最大值即可，由8C=4a=定值，ZBDC=90°,推出點。在以BC為直徑的

。。上運動，由圖象可知，當(dāng)點。在BC上方，力LBC時，OM的值最大；

解：（1）如圖①中，結(jié)論：OC=AE,

理由：?.'∕?ABC,ABOE都是等邊三角形，

ΛBC=BA,BO=BE,/CBA=∕O8E=60°,

：.ZCBO^ZABE,

.?∕?CBO^∕?ABE,

：.OC=AE.

(2)在A40E中，AE^OE+OA,

當(dāng)￡、0、A共線，

.?.AE的最大值為3,

.?.0C的最大值為3.

故答案為3.

（3）如圖1,連接BM,

；將△"例繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到APBM連接AM則PN是等腰直角三角形,

：.PN=PA=2,BN=AM,

的坐標(biāo)為（2,0）,點8的坐標(biāo)為（5,0）,

.?OA=2,OB=5,

：.AB=3,

.?.線段AM長的最大值=線段BN長的最大值，

.?.當(dāng)N在線段84的延長線時，線段8N取得最大值（如圖2中）

最大值=A8+AN,

,：AN=√2ΛP=2√2,

???最大值為2√Σ+3;

如圖2,過P作P及LX軸于E,

?.?ZXAPN是等腰直角三角形，

ΛPE=AE=√2,

OE=BO-AB-AE=5-3-√2=2-√2,

：.P(2-√2,√2).

(4)如圖4中，以BC為邊作等邊三角形ABCM,

VZABD=ZCBM=60o,

：.NABC=NDBM,'：AB=DB,BC=BM,

.?.∕?ABC%ADBM,

.?AC^MD,

欲求4C的最大值，只要求出OM的最大值即可，

?.?8。=4夜=定值，ZBDC=90o,

點。在以BC為直徑的半圓。。上運動，

由圖象可知，當(dāng)點。在8C上方，DMJ_BC時，DW的值最大，最大值=2√Σ+2√6,

.,.AC的最大值為2√Σ+2√6.

綜上所述，

當(dāng)點A在線段BD的右側(cè)時，

以BC為邊作等邊ABCM,

VZABD=ZCBM=GOQ,

：.ZCBA,RAB^DB,BC=BM,

：.?ABC^?DBM(SAS),

J.AC=MD,

.?.欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可，

?.?8C=6√Σ=定值，ZBDC=90°,

.?.點力在以8C為直徑的OO上運動，

由圖象可知，當(dāng)點。在BC的上方，A)M_L8C時，OM的值最小，

DM的最小值=MO-OD=VBM2-FO2-∣BC=2√6-2√2,

.,.AC的最小值為2√δ-2√2.

綜上所述，AC的最大值為2√δ+2√Σ,Ae的最小值為2后-2√Σ

總結(jié)提升：本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性

質(zhì)、圓等知識，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，掌握旋

轉(zhuǎn)法添加輔助線，屬于中考壓軸題.

針對訓(xùn)練

1.(2022秋?天寧區(qū)校級期中)已知。。的半徑長7cm,P為線段OA的中點，若點P在。。上，則OA的

長是cm.

思路引領(lǐng)：根據(jù)點與圓的位置關(guān)系和中點定義進行解答即可.

解：根據(jù)點和圓的位置關(guān)系，得OP=7cm,

再根據(jù)線段的中點的概念，得。4=2OP=14<%.

故答案為：14.

總結(jié)提升：本題考查了點與圓的位置關(guān)系，中點定義，熟知點和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價關(guān)系是

解決問題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?嘉興期末）如圖，。。的直徑AB=2,C為。。上動點，連結(jié)C8,將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)

90°得至IJCD,連結(jié)OD,則OD的最大值為.

思路引領(lǐng)：通過證明AOBOs可得。D=√∑CE,當(dāng)CE有最大值時，O力有最大值，即可求解.

解：如圖，以O(shè)B為邊在AB的下方作等腰直角三角形OBE,連接CE,BD.

：將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,

：.BC=CD,NDCB=90°,

.".ZDBC=45o,BD=y[lBC,

「△OBE是等腰直角三角形，

ΛOE=BE,ZOBE=45o,OB=√2BE=1,

IBE=OE=孝，

'：ADBC=ZOBE,

1/OBD=NCBE,

DBOB

又：——=—=√r2,

CBBE

MDBOs∕?CBE,

ODDB

二一=——=√r2,

CECB

.?.OD=√2CE,

.?.當(dāng)CE有最大值時，。。有最大值,

當(dāng)點C,點。，點E三點共線時，CE有最大值為1+?，

.?.oo的最大值為√Σ+1,

總結(jié)提升：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰

當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?秦淮區(qū)校級期中）如圖，在RtaABC中，NACB=90°,AC=16,BC=I2,點P在以AB為

直徑的半圓上運動，由點8運動到點A,連接CP,點M是CP的中點，則點M經(jīng)過的路徑長為.

思路引領(lǐng)：由AB是直徑，得∕APB=90°,取BC,Ae的中點E和凡連接ME,MF,EF,由三角形

中位線知MELMF,即∕EMF=90°,則點M在以EF為直徑的半圓上，即可得出答案.

解：VZACB≈90°,AC=16,BC=12,

：.AB=yjAC2+BC2=√162+122=20,

連接AHBP,

YAB是直徑，

ΛZAPB=90a,

即APLBP,

取8C,AC的中點E和F,連接ME,MF,EF,

在48PC中,

'：M,E為PC、BC的中點，

J.ME∕∕BP,ME=3BP,

在AAPC中，

；點M、F為PC、AC的中點，

.^.MF∕/AP,MF=AP,

：.MEYMF,

即/EWF=90°,

.?.點例在以EF為直徑的半圓上，

：.EF=^AB=\0,

1

點M的運動路徑長為一X2τrX5=5τr,

2

故答案為：5π.

總結(jié)提升：本題主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理，利用定角對定弦確定點M的運動路徑是解

題的關(guān)鍵.

4.（2018?江漢區(qū)模擬）如圖，線段48為Oo的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4,8C=2,點尸是Oo

上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△「<?￡>,且使NQCP=60°,連接。。，則。。長

思路引領(lǐng)：如圖，作ACOE,使得NCEO=90°,ZECO=60a,W∣JCO=2CE,OE=2?NoCP=N

OPCP1

ECD,由aCOPSχcEf>,推出——=—=2,BPED==OP=1（定長），由點E是定點，OE是定長，

zEDCD2i

推出點。在半徑為1的。E上，由此即可解決問題.

解：如圖，作ACOE,使得NCEO=90°,NECo=60°,則CO=2CE,OE=2?/OCP=NECD,

VZCDP=90o,ZDCP=60o，

:?CP=2CD,

COCP

??_?_-__'~~_~~>_=?N,

CECD

SPSI?CED,

?OPCP

?_?__—__—_乙O，

EDCD

即ED=*OP=1（定長），

：點E是定點，QE是定長，

點。在半徑為1的。E上，

-.?OD≤OE+DE=2√3+1,

二。。的最大值為28+1,

故答案為28+L

總結(jié)提升：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加

常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

5.（2021秋?岳麓區(qū)校級月考）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與X軸，y軸分別交于A、C

兩點，拋物線y=∕+fer+C經(jīng)過4、C兩點，與X軸的另一交點為B.

（I）求拋物線解析式；

（2）若點M為X軸下方拋物線上一動點，當(dāng)點M運動到某一位置時，的面積等于AABC面積的

3

求此時點M的坐標(biāo)；

（3）如圖2,以B為圓心，2為半徑的與X軸交于E、尸兩點（F在E右側(cè)），若尸點是。B上一動

點，連接南，以∕?為腰作等腰Rt△雨力，使/外力=90°（尸、A、。三點為逆時針順序），連接叩.求

FO長度的取值范圍.

圖1圖2

思路引領(lǐng)：(1)將點A(1,O),C(0,5)代入y=∕+?r+c,即可求解；

(2)設(shè)MCm,nr-6〃?+5),先求A8=4,則S&ABC-10,再由題意可得SZ?AMB=6=×4×Cm2-6〃?+5),

即可求M(2,-3)或M(4,-3)；

(3)將點3繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°到8',連接AB',PB,B,D,可證明4AO8'絲Z?APB'(SAS),則可

得。在以B為圓心，2為半徑的圓上運動，又由8(1,-4),F(7,0),則BF=2g,所以。尸的最

大值為鬧+2,QF的最小值為鬧一2,即可求2√R-2WQF≤2√F+2.

解：(1)令X=0,則y=5,

：.C(0,5),

令y=0,貝IJX=1,

.?.A(1,0),

將點A(I,0),C(0,5)RAy=x1+bx+c,

得此+c=0,

N"=”

Ic=5

Λy=x2-6Λ÷5;

(2)設(shè)M(m,nι2-6∕π+5),

令y=0,貝∣j∕-6x+5=0,

解得x=5或Jl=I,

：.B(5,0),

.?AB=4,

1

Λ5ΔΛBC=2×4×5=10,

3

YΛABM的面積等于aABC面積的9

19

.,.S^AMB=6=2×4×Cm-6m+5),

解得m=2或m=4,

：.M(2,-3)或M(4,-3)；

(3)將點3繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°到8,連接A鞏PB,BD

VZB,AD+ZBAD=90o,ZPAB+ZBAD=90o,

1

/.ZBAD=ZPABf

λ,

:AB=AB9PA=AD9

Λ?ADB,^?APB'(SAS),

LBP=BD,

?：PB=2,

：.B'D=2,

???￡＞在以笈為圓心，2為半徑的圓上運動，

?；B(5,O),A(1,0),

.?.8(1,-4),

VBF=2,

：.F(7,0),

/.β,F=2√13,

???。尸的最大值為2√Π+2,QF的最小值為2√Π-2,

Λ2√13-2≤DF≤2√13+2.

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應(yīng)用瓜豆原理是解題

的關(guān)鍵.

第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練

1.（2022?安徽一模）如圖，正方形ABC。的邊長為5,E為BC上一點，且BE=2,尸為AB邊上的一個動

點，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊4EFG,連接CG,則CG的最小值為（）

C.3D.3.5

思路引領(lǐng)：由題意分析可知，點尸為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到

點G的運動軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值.

解：由題意可知，點F是主動點，點G是從動點，點下在線段上運動，點G也一定在直線軌跡上運動，

將AEFB繞點E旋轉(zhuǎn)60°,使EF與EG重合，得至IJ△EFB絲AEHG,

；.BE=EH,NBEH=60°,NGHE=90°,

為等邊三角形，點G在垂直于HE的直線HN上，

作CMLHN,則CM即為CG的最小值，

作EPLCM,可知四邊形HEPM為矩形，

ΛZPEC=1800-/PEH-NBEH=180°-90°-60°=30°,

1

.?.PC=^CE,

1Q7

則CM=MP+CP="E+尹C=2+尹?,

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段極值問題，分清主動點和從動點，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判

斷出點G的運動軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運用垂線段最短，構(gòu)造圖形計算，是極值問題中比較典型的

類型.

2.（2021?泰安）如圖，在矩形4BC。中，AB=5,BC=5√3,點P在線段BC上運動（含8、C兩點），連

接AP,以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60°到AQ,連接。。，則線段。Q的最小值為（)

55√3

A.-B.5√2C.—D.3

23

思路引領(lǐng)：如圖，以AB為邊向右作等邊aABR作射線尸。交AO于點E,過點D作DHLQE于H.利

用全等三角形的性質(zhì)證明/4只2=90°,推出NAEF=60°,推出點Q在射線FE上運動，求出可

得結(jié)論.

解：如圖，以A8為邊向右作等邊AAB凡作射線尸Q交AO于點E,過點。作O“J丁

；四邊形ABCC是矩形，

二N48P=NBAD=90°,

,.,?ABF,尸Q都是等邊三角形，

ΛZBΛF=Z∕?ρ=60o,BA=FA,PA=QA,

：.NBAP=ZFAQ,

在aBAP和△胡Q中，

(BA=FA

??BAP=?FAQ,

[PA=QA

.".?BAP^?FAQ(SAS),

：.ZABP=ZAFQ=90o,

VZME=90o-60°=30°,

.,.NAEF=90°-30°=60°,

,.'AB=AF=5,AE=A尸÷cos30°=

點。在射線FE上運動，

?：AD=BC=S炳,

cFS

.?DE=AD-

YDH工EF,NDEH=NAEF=60°,

.,.Z)H=Z)E?sin60°=嬰X孚=￡

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點。與，重合時，。。的值最小，最小值為|,

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三

角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點Q

的在射線EE上運動，屬于中考選擇題中的壓軸題.

3.(2022秋?惠山區(qū)校級月考)如圖，A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),點P是AABC邊上一動點，

連接OP,以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角aOPQ,當(dāng)點P在AABC邊且運動一周時,點Q的

思路引領(lǐng)：根據(jù)aOPQ是等腰直角三角形，可知點。的運動軌跡與點P的運動軌跡形狀相同，且OP：

0Q=√Σ1,得出面積比為2,求出aABC的面積即可解決問題.

解：?.?Z^0PQ是等腰直角三角形，

點。的運動軌跡與點P的運動軌跡形狀相同，

,COP?OQ=√2:1,

...點P的軌跡圖形與點。的軌跡圖形相似比為√LI,

「A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),

.?.AB=3,BC=4,

?11

??SMBC=2?BC?AB=訝x3x4=6,

1

.?.點Q的軌跡形成的封閉圖形面積為5X6=3,

故選：B.

總結(jié)提升：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確尋找點。的運動軌

跡是解題的關(guān)鍵.

4.(2021秋?沐陽縣校級期末)如圖，線段AB=2,點C為平面上一動點，且NAC8=90°,將線段4C的

中點P繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ,連接BQ,則線段B。的最大值為.

思路引領(lǐng)：證明AAOCsZ?4EQ,求出0E=*,在Rt△ABE中求出BE=等，進而求出答案.

11

解：如圖，取A8的中點￡),連接C。，過點A作AELA8,使AE=*AQ=*,連接。E、BE.

'：ZACB-90u,。為AB的中點,

：.CD=^AB=1,

VZβΛC=90o,NEAB=90°,

.".ZQAE=ZCAD,

..AQ1AE1

"AC~2AD~2,

.?ΛADC^∕?AEQ,

.竺=絲=工

""CD~AC~2

；.QE=∣CD=|,

VZEΛβ=90o,

：.EB=yjAE2+AB2=?.

當(dāng)點。、E、8三點共線時，BQ最大為1+手=匕盧.

總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，

構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

5.（2022?祁江區(qū)校級一模）如圖,點A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個定點,4VLX軸于點M,交直線y=-亭V

于點M點P是線段ON上的一個動點，NAP8=30°,BAlPA,點尸在線段ON上運動時，A點不變,

B點隨之運動，當(dāng)點尸從點。運動到點N時，點B運動的路徑長是

思路引領(lǐng)：利用相似三角形aABo8"S∕viθN,求出線段為8"的長度，證明線段砌8”就是點B運動的路

徑即可.

解：由題意得：OM=2,點N在直線尸一爭上，AMLX軸于點M,

2Q-46

則AOMW為頂角30°的直角三角形，ON=√3×2-~,

設(shè)動點P在。點（起點）時，點8的位置為Bo,動點P在N點（終點）時，點B的位置為Bn,連接

BoBn,如圖1所示：

VAO±ABo,AN±AB,I,

：.NOAN=ZBoABn

o

又?.?4Bo=AO?tan30°，ΛBfl=A∕V?tan30,

：.ABo：AO=ABn:AN=tan30°,

.?.∕?ABoB“s4AON,且相似比為tan30°,

4√sQ4

ΛBo‰=02V?tan300=-?×?=

現(xiàn)在來證明線段加員就是點B運動的路徑，

當(dāng)點P運動至ON上的任一點時，設(shè)其對應(yīng)的點8為連接AP,ABi,BoBi,如圖2所示:

,:AOLABo,APLABi,

.,.NOAP=NBoABi,

XVΛBo=AO?tan30°,ABi=AP?Vm30o,

.?.A8o:AO=ABitAP,

：.∕?∕?AOP,

NABoBi=ZAOP.

又；AABoBnsAAON,

ZABoBn=ZAOP,

??NABOBi=∕ABoB",

.?.點B1在線段BnBnk,即線段BoB”就是點B運動的路徑,

4

綜上所述，點B運動的路徑是線段剛&,長度為？

總結(jié)提升：本題考查了一次函數(shù)圖象、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、軌跡等知識；確

定點B的運動路徑是解題的關(guān)鍵.

6.（2020春?江陰市期中）如圖，已知點4是第一象限內(nèi)的一個定點，若點P是以。為圓心，2個單位長

為半徑的圓上的一個動點，連接AP,以AP為邊向AP右側(cè)作等邊三角形APB.當(dāng)點P在。。上運動一

周時，點B運動的路徑長是

思路引領(lǐng)：根據(jù)已知條件得到點B的運動軌跡也為圓，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OP=O5=2,即可

求出路徑長.

解：如圖，連接A。、0P,將A。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得線段A。，，連接03、OO,,

...△04。'為正三角形，

ZkAPB為正三角形，

：.ZPAB=60°,PA=BA,

：.ZPAB-ZOAB=ZOAO'-ZOAB,

：.APAO=ABAO,

在aAPO與aABO'中，

AO=AO'

/.PAO=乙BA0'，

PA=BA

ΛΔ,APO^^ABO',

ΛOP=OB=2,

.?.OO'即為動點B運動的路徑，

???當(dāng)點P在。O上運動一周時，點B運動的路徑長是4π,

總結(jié)提升：此題考查了動點路徑長，關(guān)鍵在于確定從動點的運動軌跡，考查了旋轉(zhuǎn)、全等知識，“瓜豆原

理”.

7.(2019秋?鼓樓區(qū)期中)如圖，。。的半徑為2,。到定點A的距離為5,點B在。。上，點P是線段AB

的中點，若B在。。上運動一周.

(1)點尸的運動路徑是一個圓；

(2)Z?ABC始終是一個等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍.

定點"的距離等于定長r,由圖中的定點、定長

可以發(fā)現(xiàn)人

1

思路引領(lǐng)：(1)連接。4、OB,取OA的中點“，連接“P,則HP是AABO的中位線，得出HP=WoB

=1,即尸點到H點的距離固定為1,即可得出結(jié)論；

(2)由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)分別求出PC的最小值和最大值即可.

(1)解：連接。4、OB,取。4的中點H,連接”尸，如圖1所示：

則“。是AABO的中位線，

1

：.HP=^OB=1,

???尸點到H點的距離固定為1，

.?.8在00上運動一周，點P運動的路徑是以點”為圓心，半徑為1的一個圓;

(2)解：連接Ao并延長4?交。。于點M、N,如圖2所示：

「△ABC是等邊三角形，點P是線段A8的中點，

.?PCLAB,PA=PB=^AB=∣BC,

：.PC=y[3PA=亨A8,

當(dāng)點8運動到點M位置時，點P運動到點產(chǎn)位置，PC最短,

,:AM=OA-OM=5-2=3,

：.AP'=∣AM=

?.PDCC=~3√23~；

當(dāng)點8運動到點N位置時，點尸運動到點P”位置，PC最長,

??AN=OA+ON=5+2=7,

：.AP"=%N=

.?.PC=孕

圖2

總結(jié)提升：本題考查了軌跡、三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練

掌握三角形中位線定理和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.若AC=4,以點C為圓心，2為半徑作圓，點P為該圓上的動點，連接AP.

(1)如圖1,取點B,使AABC為等腰直角三角形，ZBAC=90o,將點尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到

AP'.

①點P'的軌跡是(填“線段”或者“圓”)；

②CP'的最小值是；

(2)如圖2,以A尸為邊作等邊AAPQ(點A、P、。按照順時針方向排列)，在點P運動過程中，求CQ

的最大值.

(3)如圖3,將點A繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到點連接PM,則CM的最小值為.

思路引領(lǐng)：(1)①連接C尸、BP',證明aABP,gZ?ACP(SAS),得出Bp=CP=2,即點尸'到點B的距離

等于定長，即可得出答案；

②由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC=√2AC=4√2,當(dāng)點P在線段BC上時，得出C產(chǎn)最小=BC-BP'=

4√2-2；

(2)以AC為邊長作等邊aACZX連接。Q,證明AADQ絲4ACP(SAS),得出DQ=CP=2,當(dāng)C、D、

。三點共線時，CQ有最大值=S+OQ=6;

(3)用點的軌跡是一個圓。'，求出Co和圓。，的半徑，即可解決問題.

解：(1)①連接CP、BP,,如圖1所示：

：ZvWC是等腰直角三角形，NBAC=90°,

：.AC=AB,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP=AP',N限/=90°,

：.ZPAC=ZPIAB,

AP,=AP

??ABP'??ACPΦ,??P'AB=?PAC^

AB=AC

；.△ABPNZXACP(SAS),

.,.BP,=CP=2,即點P到點B的距離等于定長，

點P'的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓；

故答案為：圓；

②YZXABC是等腰直角三角形，AC=4,

.,.SC=√2AC=4√2,

當(dāng)點P'在線段BC上時，CP'最小=BC-BP=4√Σ-2；

故答案為：4Λ∕2—2；

(2)以AC為邊長作等邊AACC,連接。Q、CP,如圖2所示:

YZXAPQ和4ACZ)是等邊三角形，

：.AP=AQ,AC=Ao=C。=4,∕Λ4Q=∕C4O=60°,

：.ZDAQ=ACAP,

AD=AC

在aAOQ和aACP中，?DAQ=?CAP,

AQ=AP

；.△AOQ嶺ZXACP(SAS),

：.DQ=CP=2,

當(dāng)C、。、Q三點共線時，CQ有最大值=Cz)+OQ=4+2=6;

(3)如圖3所示：例點的軌跡是以MM'為直徑的一個圓O,

則PM=B4=2,PΛf=B4=4+2=6,

則C。，是梯形PMAfP'的中位線，

.,.CO=?(2+6)=4,

連接MW,

則NMArM=90°,

.?P'M,"=PM=2,MM"'=PP'=4,

.?.MΛΓ=6-2=4-

4M"ΛT是等腰直角三角形，；.MM'=√2

MΛf"=4√2,

.?.O'M"=2√2,

,CM=CO'-0'Λf'=4-2√2;

故答案為：4-2Λ∕2.

Λf

總結(jié)提升：本題是圓的綜合題目，考查了軌跡、圓的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等

三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及最值問題；本題綜合性強，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

9.已知：如圖，A8是Oo的直徑，C是。。上一點，。力，AC于點。，過點C作C)O的切線，交。力的延

長線于點E,連接AE.

(1)求證：4E與。。相切；

(2)連接BD,若EO：OO=3：I,04=9,求AE的長；

(3)若AB=I0,AC=8,點F是。。任意一點，點M是弦AF的中點，當(dāng)點尸在C)O上運動一周，則

點M運動的路徑長為

思路引領(lǐng)：(1)只要證明4OEC會AOEA,得NOAE=∕OCE=90°,即可證明.

OAOD

(2)設(shè)。。=α,則DE=3α,由aOAOS^OEA,得==不，列出方程求出處再利用勾股定理即可

ZOEOA

解決問題.

(3)如圖2中，連接。M,取04的中點0',連接O'M,當(dāng)點/在。。上運動一周，則點M運動的

路徑是以0'為圓心2為半徑的圓，由此即可解決問題.

(1)證明：如圖1中，連接OC

圖1

ODlAC,

.?AD=DC,

：.EA=EC,

在aOEC和40E4中,

(OE=OE

?θC=OA,

{EA=EC

J.∕?OEC^∕?OEA,

.?.∕OAE=NOCE,

；EC是OO切線，

：.ECYOC,

.?.NOCE=90°,

：.ZOAE=ZOCE=90o,

：.OA±AE,

???AE是OO的切線?

(2)如圖1中，設(shè)。。=〃，則。E=3m

VZAOD=ZAOE,ZODA=ZOAEf

：.ΔOAD^AOEA,

OAOD

OEOA

：.4Λ2=8L

Va>O,

.9

??a=2?

???OE=I8,

在RtZXAOE中，AE=√0F2-OA2=√182-92=9√3.

(3)如圖2中，連接OM,取OA的中點O',連接O'M.

AM=MFf

：.OM.LAF9

,.,AO'=OO,,OA=OB=5,

1?

:,θ`MEoA=定長=當(dāng)

.?.當(dāng)點尸在。。上運動一周，則點M運動的路徑是以0'為圓心I為半徑的圓，

.5

點M運動的路徑長為2π?-=5π.

故答案為5n.

總結(jié)提升：本題考查圓綜合題、垂徑定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、軌跡等

知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

10.(2021?遵義)點4是半徑為2次的C)O上一動點，點8是。。外一定點，OB=6.連接AB.

(1)【閱讀感知】如圖①，當(dāng)AABC是等邊三角形時，連接OC,求OC的最大值；

將下列解答過程補充完整.

解：將線段08繞點2順時針旋轉(zhuǎn)60°到O'B,連接0。'，CO'.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：ZOBO1=60°,BO'=BO=6,即aOBO'是等邊三角形.

Λ00'=BO=6

又?.?Z?ABC是等邊三角形

ΛZABC=60t,,AB=BC

：.ZOBO1=ZABC=60°

.?ZOBA=ZO'BC

在aOBA和△(?'BC中，

OB=O1B

?0BA=?0'BC

.AB=CB

■絲Z?O'BC(SAS)

.,.OA=O1C

在aoo'C中，oc<oo'+o'c

當(dāng)0,0',C三點共線，且點C在O0'的延長線上時，OC=OO'+0'C

即OCWOO'+0'C

...當(dāng)。，0',C三點共線，且點C在0?！难娱L線上時，OC取最大值，最大值是_6+2百_.

(2)【類比探究】如圖②，當(dāng)四邊形ABc。是正方形時，連接OC,求OC的最小值；

(3)【理解運用】如圖③，當(dāng)AABC是以AB為腰，頂角為120°的等腰三角形時，連接OC,求OC的

最小值，并直接寫出此時AABC的周長.

圖②圖③

思路引領(lǐng)：（1）第一個空根據(jù)前面提到的兩個三角形以及后面的SAS知是判斷這兩個三角形全等；第二

個空根據(jù)前面的取等條件OC=O（7+（7C即知最大值；

（2）類似地，如第（2）問解答中以08為邊作正方形，類似第（1）問做法依然證明兩個三角形全等,

再利用三角形兩邊之差小于第三邊，三點共線時取等號得OC最小值；

（3）類似地，如第（3）問解答中以。8為腰，點B為頂點作頂角120°的等腰三角形，類似第（1）問

的做法依然證明兩個三角形全等，再利用三角形兩邊之差小于第三邊，三點共線時取等號得OC最小值，

再求AB的長，最后得aABC的周長.

解：（1）將線段OB繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°至∣JO'B,連接00',Co'.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：ZOBO'=60°,BO'=Bo=6,即AOBO'是等邊三角形，

Λ00'=Bo=6,

又,：ZXABC是等邊三角形，

ΛZABC=600,AB=BC,

.".ZOBO'=ZABC=60°,

.?ZOBA=ZO'BC,

在4O8A和△<?'