2023年河南省鄭州市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考模擬考試（含答案帶解析）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（30題）

設(shè)〃，y都是可導(dǎo)函數(shù)，且v≠0,則（今=

1.VOo

U

A：

uv-uv,

B.d

UV+“/

UVi-UV

D,

設(shè)/U)具有任意階導(dǎo)數(shù).且∕W-[∕U)f?則∕V)≡()

2A.VwrB.4[∕U)Γc.6(/u)rD」a/(*)r

e?十Cos;T為/Cr)的一個(gè)原函數(shù)，則/(N)等于()

A.ez-sixX

B*exu-sixx

C.e：+CoS?

3De'-cos?

已知∕Cr)=lr+/,則/'(0)=()

D.4

5.設(shè)函數(shù)z=χ2+3y2-4x+6y-l,則駐點(diǎn)坐標(biāo)為()。

A.(2,-1)B.(2,1)C.(-2,-1)D.(-2,1)

6.函數(shù)曲線y=ln(l+W)的凹區(qū)間是

A.A.(-1,1)B.(-∞,-l)C,(l,+∞)D.(-∞,+∞)

7已知/(x)的一個(gè)原函數(shù)為x2+sinx,則∫∕,(2x)dx=

A?4x+cos2x

C1C

2x+-cosZx

B.2

2x+-cos2x+C

C.2

x+2cos2x+C

JLr.

8.

設(shè)/G)的一個(gè)原函數(shù)為Zln(M+1),則下列等式成立的是().

A.jΛx)dx=*ln(x+1)+CB.∫f(*)ck=[xln(x+l)]f+C

C.?,r?n(a:+?)d*=f{x)+CD.J[xln<x+I)],(k=/(*)+C

定積分/f∕(V)dr等于()

A.∣∫1?f(j)drB.J1?f(?)dzCJH(Z)drD.∣j∕(jkZr

y=Sin2，.

曲線.在，?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處,曲線的法線方程為

10.X-COS/

U若點(diǎn)(1,3)是曲線y=g3+63的拐點(diǎn)，則

_3,_9

-=一彳’『

3,9

B15'g-2

α="∣-,?=-∣

C.22

3,9

Da=y,6=-T

,sin2(χ-1)”]

----------;----Kl,

X-I

設(shè)函數(shù)/(?)=Y?]貝IJlim八才)等于

4X-1*z→J

,/-1.?>1.()

A.0

B.1

C.2

12.D?不存在

,

13.f(xo)=O,Γ(xo)>O,是函數(shù)y=f(χ)在點(diǎn)χ=χo處有極值的O。

A.必要條件B.充要條件C.充分條件D.無關(guān)條件

設(shè)m是常數(shù)，則Iim嗎B等于

14.LoXOO

A.0

B.1

C.m

1

2

D.zn

∫?ln(l+2∕)d∕

?im----------：--------=

15.zXOo

A.3B.2C.lD.2/3

16.

設(shè)z=∕(x,y)在點(diǎn)(1，1)處有/；(1，l)=/；(b1)=0,且/=(1,1)=2,/；(】，1)=0,

/；(1.1)=1.則f(l,1)

A.是極大值B.是極小值

C.不是極大值D.不是極小值

極限存在的是()

A.Iime?

B.??im?n?

X-^T

C.iιmsi?iH

了■彳

D.Iimarctan?

17.L

IQ當(dāng)XTo時(shí)，ln(l+OX)是2x的等價(jià)無窮小量，則α=(、

?θ*?)o

A.-lB.0C.lD.2

19.

函數(shù)/(x)=∣2χ-1I在點(diǎn)X=B處的導(dǎo)數(shù)是().

a?0B??C.2D.不存在

20.

設(shè)"(M).T(X)在X=0處可導(dǎo),H.?(O)=I.U,(O)=l.o(0)=2,t?,(0)=2.

UmyhU2等于(

X).

B.O

(5jt÷2)dlr=

21」

A.lB.3C.5D.7

sin2z

?≠0?

設(shè)函數(shù)/(?)=在z=0處連續(xù)，則a

?=0

[]

23.已知事件A和B的P(AB)=0.4,P(A)=O.8,則P(BlA)=

A.A.0.5B,0.6C.0.65D.0.7

若J/(Λ)d.t=.re"+CJ1∣J

A.xlnx+C

C.—InX÷C------InX÷C

24.xX

已知/(X)=叱，則八X)=

X

I-InXl+lnx

?-——B.2

XX

Inx-Ilnx-x

J2-D.

25.XX

1I?.???■■■■■---h_1

26.已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo),且1?！惫?。一2人)一/(A)4廁『你)

等于【】

A.-4B.-2C.2D.4

27.從10名理事中選出3名常務(wù)理事，共有可能的人選()。

A.120組B.240組C.600組D.720組

設(shè)函數(shù)z=e",則磊=()

28.A.**B.xe'tc.f'yD-e'

y≡J?*I∏J(J>o>,∣Ny?,=,

?U?

二、填空題(30題)

I+cos2xJ<O

已知函數(shù)/(x)n,在X=O處連續(xù)，則α

α+3x2QO

31.

32.

設(shè)函數(shù)f(2x-D=e，.則/(χ)=

A.yeu^l+CB.2e+"”+C

t

C.-∣-e^'4-CD.2e÷*j+n+C

33.

√3n2+1

Iim

ιr-*∞7n+l

34.

Ldx

T=—>則α=

Ja4+X28

35.設(shè)函數(shù)/(X)=?！?則/'(O)=

36.

設(shè)y=∕(lnx+α*)，則√(e)=.

.二元函數(shù)Z=的定義域是__________

37.

.設(shè)N=In[j7÷in(zy)j,則削=

38.

設(shè)函數(shù)y=/,則y"=

40.

下列關(guān)于二次積分交換積分次序錯(cuò)誤的是

tb

A?∫(1?j∕Go)dy=∫,?∣ζjQ~)&+∫Wj(x??)dx

B.?d??f(x,y)dy

ι=fd4√(j.?)dr

PΓJ,Jfif14

c

C.JtLrJ2?/(z0)dy=Jdyj./(x??)dr

=∫dy∫7-

D?Ldr∫'篇/(jrd)dyr/(z,y)cLr

J-IJ-VI-y

/(x+Ax)-/(x)

設(shè)/(x)≡ln4?則Iirn

41.I?x

?Γrsin∕2d∕=

42.d3°

43.設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)=O.4,P(A+B)=0.7,則P(B)=

44.若"1)=0且FYl)=2,則f(l)是值。

45?函數(shù)y=χ-l∏(l+^)的駐點(diǎn)為×=?

xdx

47.設(shè)y=sin(Inx),則y,⑴=_.

48.

設(shè)f(x)=SinL則/山=

4Q,若/(外在工=。處可導(dǎo),則pg/1+.泮?典=-----

下列做分方程中,其通解為y=Gcoκr+αain?r的是

50.',?,'-0&y*+y'=0C,y,+y≡0D.jΓ一,■。

51.曲線'"^ΓJC'7'+∣的拐點(diǎn)坐標(biāo)(X。，%)=-------曲線y=(l∕3)χ3-χ2=l的拐點(diǎn)坐

標(biāo)(xo,yo)=.

52.

下列函數(shù)在［-1.1］上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是()

a?>≡7B?y≡1÷∣XI

匚y=-r^?*—1)D.y=ln(14-?)

極限Iim也至J

53.?

一曲線y=∕-?r在點(diǎn)（IQ）處的切點(diǎn)線方程y=

54.

dx=

56.設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)=O.4,P(A+B)=0.7,則P(B)=

57.已知(COtXy=f(x),貝IJJXF(X)dx=

將二次積分，d?J：7（1,y）dr改變積分次序?yàn)?/p>

59.

曲線y=擊在?r=?處的切線方程是

A.3>—2x≡5B.-3y+2ι=b3yτ2/=5D.3y+21=—5

60.

設(shè)在（α,6）內(nèi)的曲線弧是上凹的（或凹的，下凸的），則曲線弧必位于其每一點(diǎn)處

的切線方.

三、計(jì)算題（30題）

巳知函數(shù)z=*'e”.求嘉.

61.

flΓ∕∣-?

62.計(jì)算IM√J,+ylAx.

63.設(shè)函數(shù)y=≡?r(?)由方程y=(1∏JΓ)J?Jhu確定,求y'.

64.

計(jì)算二重積分I=g∣?d?rdy,其中D為由曲線，=?-?*與V=H’1所圍成的區(qū)域.

,,求函數(shù)Z=/J+工、'的全部二階偏導(dǎo)數(shù)?

o?.

設(shè)M=e"m"'?J.求生

66.θ?,

設(shè)D是由曲線》-/(?)與！(線y-0.y—3圈成的區(qū)域.其中

x,.x≤2.

∕<x>-Jl

16zu,>2?

67.求D統(tǒng)承“發(fā)8形成的篋轉(zhuǎn)體的體枳.

求極限IimzT

一一.一C1

求極限^^^-3

69.6-2

70求ISIn(Iru)CLr.

_求極限Iime—u

7LL<sin?-x

72產(chǎn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)?

73.

計(jì)算二重積分/=∣y<jr'+_/+3y)d?rdy.其中D=((x>>)|J:÷yj≤αj.?≥0).

74.在拋物線y=l-x2與X軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)作一內(nèi)接矩形ABCD,

其一邊AB在X軸上(如圖所示).設(shè)AB=2x,矩形面積為S(x).

①寫出S(X)的表達(dá)式;

②求S(X)的最大值.

計(jì)算定積分COyJrSinzd?.

75.Ja

計(jì)算定機(jī)分?ln?d?.

76.J,

77求微分方程2_v'-3y-L.1的通解.

r。計(jì)算定積分1√2+2cos2xcLr.

78.Jo

79.已知曲線C為y=2χ2及直線L為y=4x.

①求由曲線C與直線L所圍成的平面圖形的面積S；

②求曲線C的平行于直線L的切線方程.

1u÷j

求極限lim/l-，)

80.

81.求!呷(1-=?)?

求極限Iim「（一￡:）生紅+3E3]

XX

82.

83求徵分方程2，"+5>,≡5x,—2χ—1的通解.

84.設(shè)函數(shù)y=x3cosx,求dy

求不定積分?πτ?τdx?

85.

求阿告一$}

86.

計(jì)算心'加dy.其中D由雙曲線>一/=1及直線N=OI所圍成的平面區(qū)域.

87.

88求微分方程/、、?/的通ft?.

89求函數(shù)V^rarttan?Inv?i*'的等數(shù)、1,

90.

求Q(?r+/)立.其中D為y=/.y=*+α,y=α和y=3α(α>0)為邊的平行四

邊形.

四、綜合題(10題)

巳知曲線》=α√Γ(α>0)與曲線y-In√7在點(diǎn)(工。.W)處有公切線.試求：

(1)常數(shù)α和切點(diǎn)(J?,w):

91.(2)兩曲線與工軸圖成的平面圖形的面積S.

i2rttt/(?)βN2?rctβ∏j.

(1)求函數(shù)/(r)的單兩區(qū)間和極值，

92.，k的…?八一的叫凸！《M和拐3.

設(shè)平面圖形D是由曲線y=c'.直線y=e及y軸所圍成的.求：

(1)平面圖形D的面積I

93.(2)平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

平面圖形由拋物線丁=21?與該曲線在點(diǎn)(?∣?.1)處的法線所圍成,試求I

(1)該平面圖形的面積I

94.<2)讀平面圖形繞?軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

95.

一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租.當(dāng)月租金定為2000元時(shí),公宜會(huì)全部租出去，當(dāng)月

租金每增加100元時(shí)?就會(huì)多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修

費(fèi).試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

CN求函數(shù)y=派TK的單Sl區(qū)間和極值.

Vo.

97.討論函數(shù)/(?r)b3J?1的單詞性,

.7are?an?

QQ證明：當(dāng)工》。時(shí)?∣n(l+?r)2τηry?

Vo.

99.

求由曲線y=/與直線?r=1.1=2及y=。困成平面圖形的面枳S以及該圖形燒

■r軸旋轉(zhuǎn)?周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

100.求函數(shù)八“一"注定義域內(nèi)的最大值和最小值.

五、解答題(10題)

101.

_?IO分)已知函數(shù)：="N?y)由方程e'=獷+sin(")確定.試求公

計(jì)算？??

102.d午

103.

104.（本題滿分8分）袋中有6個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字L2,3,4,5,

6.從中一次任取兩個(gè)球，試求：取出的兩個(gè)球上的數(shù)字之和大于8的

概率.

105.

設(shè)某家庭有三個(gè)孩子，在已知至少有一個(gè)女孩的條件下，求這個(gè)家庭至少有一個(gè)

男孩的概率.

106.

）

求由方程SinyEte=0確定的曲線在點(diǎn)（（），兀）處的切線方程.

107.

X

求tan2xdx.

[08.設(shè)連續(xù)函數(shù)/（?）橫足/（工）=--￡/IxXfr,求C/u?也?

109.

求極限Iime'-e-'.

設(shè)函數(shù)z=χy+M?(1),其中/(“)是二階可微的.

X

證明^2?+∕?=-∕/,(-)?

??θoxdyXX

六、單選題(0題)

lll.eft,?[z(B1f則嗚)等于(>-A.-2B.-lC.l/2D.1

參考答案

1.B

2.C

3.D

4.D

5.A

令生=0與生=0.可得x=2,y=-?.故選A.

er?y

6.A

2x?_2(1+X2)-4X22(1-%2)

因?yàn)閥'=,2

ττ√)(i+√)(l÷x2)2

y〃>0的區(qū)間為l-d>o,即-l<χ<l所以選A

7.C

根據(jù)原函數(shù)的定義可知/(x)=(?siru)'=2x+COSx

因?yàn)椤舀Mz(2x)dx=?∫∕,(2x)d(2x)=?Jdf(2x)=∣∕(2x)÷C

XZ14

所以∫∕*(2Λ)dx=-^[2?(2x)+cos(2x)]+C=2x+^cos2x+C

22

8.A

答應(yīng)選A.

分析本題考查的知識(shí)點(diǎn)是原函數(shù)的概念?

由/(x)的一個(gè)原函數(shù)為Xln(X+I),可得∫Λx)dx=xln(χ+1)+C,所以選A.

9.A

??√?-2'?-√J2

10.22

11.A

12.D

13.C

14.A

15.D

2

1.J}ln(l+2r)出洛必達(dá)法則Jdn(I+2x)等階代換「Ix2

Iimτ..............................Iim---------；-----------Iim--="

*→oX3χ→o3χ2*→θ3X23

［解析］根據(jù)極值的充分條件：B2-AC=-I,A=2X).

IND所以/(1，D為極小值，選B.

Io.B

17.B

18.D

w.ln(l+0t)..axa,

因m為lIim-----------=Iim一=—=L

Tf2xχ→o2x2

所以a=2

19.D

答應(yīng)選D?

分析絕對(duì)值求導(dǎo)的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào).然后根據(jù)分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)?

2x-?,XM,

因?yàn)?(*)=∣2x-I∣=?

I-2x.X<—9

所以/-(y)=^2^?,(y)~2?

因?yàn)樗栽赬=9處的導(dǎo)數(shù)不存在,故選D?

20.D

答應(yīng)之D.

分千J之！-.W.二不與去電求限限的方法以及乘積的導(dǎo)致公式.

：丁.一==InnU口門了.“>”*)=UYO)Mo)+u(0),0)

?S?**cJ

?l?2÷l?2=4β

所以送D.

21.B

22.C

/(?)在I=O處連續(xù)，則f(τ)左工=O處既左連續(xù)又右連續(xù)，所以Iim/(H)=Iimf(τ)=

+

x→0J-*0-

lim/(?)=Iim幽?=2=/(0)=α,故a=2.

j→0z→0X

23.A

rrjteI八P(AB)0.4

因?yàn)?ArιzM')=/萬=誦=05'所以選A.

24.C

答應(yīng)選c.

分析本題考我的知識(shí)點(diǎn)是不定積分的概念和換元枳分的方法.

對(duì)于不定積分的積分公式如Jcosxdx=sinX+C.考生應(yīng)該更深一層次地理解為其結(jié)構(gòu)式是

∫eos□d□≡sin□+C式中的方塊一口”既可以是變舐*,也可以是X的函數(shù)式,例如JCOB回d回=

Sin叵-C.[cOSNad[還=si"?Aj+C.只要符合上述結(jié)構(gòu)式的雨數(shù)或變量,均有上面的積

分公式成立.其他的積分公式也有完全類似的結(jié)構(gòu)式.如果將上述式子口內(nèi)的函數(shù)的微分寫出

來,則有：卜。8(J)d(∕)=2∣xcoa(x,)d*Sjccβ(Inx)d(Inx)=Jg(W(InH)dx,如果在試

題中將等式右邊部分拿出來,這就需要用湊微分法(或換元積分法)將被積表達(dá)式寫成能利用公

式的不定積分的結(jié)構(gòu)式,從而得到所需的結(jié)果或答案?考生如能這樣深層次理解基本積分公式，

則無論是解題能力還是計(jì)算能力與水平都會(huì)有一個(gè)較大層次的提高.

基于上面對(duì)積分結(jié)構(gòu)式的理解,本題亦為：

巳知J∕(口)d□=口eR+C,則J%lnw)dx等于().

由于JflnG<k=∫∕(lnx)d(InS),此時(shí)□=In%所以∫?/(Inx)dx=Inxe-1**+C≡

Inx?6*>++9=!人*+<：,即選項(xiàng)(：正確.

［解析］利用商的導(dǎo)數(shù)公式可知

(lnx)*x-lnx?x,I-Inx

X2X2

25.A

26.B

_________1_________1=%于是/5)

l??(?o—2h)—/(?o)=-2.

—2/1)—If(JrQ)-2/'(ZQ)

27.A

28.A

29.B

z=?+?)=-7-??

30.6∕x

31.

32.D

33.

√3

34.

+o0

1X1,πaπ

因?yàn)?—arctan—=一(--arctan—)x=一

22fl2228

aπ

arctan—=—

24

a

所以-=1,a=2

2

35.

因?yàn)?'G)=±?，所以/'(0)=∣?

36.

∕,(l+αe)?(,+α'lna)

fl(l+α*)?(>+α?nα

37.

38.

39.

20/

40.D

41.0

42.xsinx2

43.0.5

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),

即0.7=0,4+P(B)-0?4P(B)o

得P(B)=O.5。

44.極小極小

45.應(yīng)填0.本題考查的知識(shí)點(diǎn)是駐點(diǎn)的概念及求

根據(jù)定義,使廣(Z)=O的工稱為函數(shù)/(工)的駐點(diǎn)，因此有y'=1-4=0,得工=0.

法.故填0?

∣ln(4+√)+C

［解析］=?JT?^τd(4+χ2)=:ln(4+√)+C

46j4+x2J4+X22

47.1

［解析］y'-cos(Inx)(Inx)z--cosIn.r.y,(∣)=?eosInxi.=I.

XX,i?1

48.π2

π2

由f,(x)=cos-?(一-y)所以f,(-)=一一τ^-cos-J-=π2

XXn(1)21

ππ

49用M)8f'(α)

50.C

51.

叩，；).因?yàn)榘?χ-230.得x=l.又因?yàn)樵凇?兩惻y"異號(hào),且χ=l時(shí),y=；,

所以點(diǎn)(∣,/)為拐點(diǎn).

52.C

53.

54.2(x-l)

arcsinx-√l-x2+C

［解析］dx

=arcSinX-√l-x2+C

55.

56.0.5

XX

------5-----COtx÷C-------5-----COtX÷C

57.SinXsin*x

58.

drj/(Xty)dy

59.C

60.±±

,/—=2JC4T÷√yeo=(2]+]、)小，

??

-?-=/e"+(2?r+zF)ef?r=<3√÷.r1>)e^.

?x?y

'：—=2JC4V+>ye"=(2x+τ2v)e,'.

??

；??-=+(2x÷√^)e^=(3√÷x1>)ez?

?^?y

62.

根據(jù)題意，先做出枳分區(qū)域?如圖所示,然后在極坐標(biāo)

系下進(jìn)行計(jì)算.

f'd3-fy'7√xi÷√dx=f'd￠Γr?rdr

JOJeJOJO

根據(jù)題意.先做出枳分區(qū)域?如圖所示,然后在極坐標(biāo)

系F進(jìn)行計(jì)算.

∫'?j'l7√√+√dx=∫'dtf∫'r?rdr

πn

=T6^?

[(lru->G,?Jbu+(lr‰r)??(Jkj)

[e,i,]'?產(chǎn)+(ln?),?(e")

ln(ln?)+??：—?一?xkr+d∏j-)r?el?*.2lιrr?-

in?XX

≡(ln?)4?rIn(Inx)+亡]?*~+2(lru)r*1?JrH

63.

y—[(lru->*J,?jbu+(InJ)"?(jta,)

=[ej?ta"~'y.J?u*+(ln?)??“3)

ta(lnx)→.X.l]xur÷(l∏j?)j.eta*?2lιu?—

=(ln?)4?pn(ln?)+?]?-rhu+2(lru?)*+l?工

原式/=丁中工：業(yè)

=??(1—X7—x!+1)d?

=??(2—2xt)d?

=A∏4-—111=?(i-4)=???=i.

8L?∣?<J8383

64.

原式/=iT,d?r∫]'∣d?r

=??(1-+1)d?

=??(2—2X2)d?

Λ1

3ΓΛ2JT113—4、381

8L3ITJ8383

因?yàn)?/p>

111

zt=4xy÷2xy.zy=2?r'y+3∕'y'?

所以

≡I2x2y2+2y3?

NA=2J,+6x,?.

i2

ztf≡6jry+6xy?

z=8x,y+6τ>j.

65.9β

因?yàn)?/p>

3,ii2

zt=4xy+2Q'=2xy+3xy?

所以

=12√√+2√?

==2J,+6∕y?

zt1=8*'y+6?ry'?

z9β=8/y+6*>：?

k

=e?rcun∕x÷∕

?—parcUn>/J+/____?_______2工_______

"θ?^l+√+√2√r2――

=_________?_________.e?rcwiv???

rr22

66.√7÷y(1+x÷y)

,

?—Aarct*n4y.____?_______2工

''θ?1÷x,÷√23十一

.e*rru**{Jr，'

√rr÷yr(1÷X*+?r2)

由題意得

V,=π∣(6—y)∣dy-x((√y):d-y

由題意得

rt

匕=π∣(6—jy)dy-χf<∕y)d3>

2√7

f

Isin(ln?)d?=??sin(ln?)]?dsin(ln?)

esinl-?eos(lrvr)d?

esinl-[?eos(ln?)J+?deos(?n?)

=esinl-ecosl+1-sin(ln?)d?t

sin(?n?)d?=-[e(sinl-cosl)+1]?

70.

sin(ln?)d?=[?sin(ln?)][一J?dsin(?n?)

-Jeos(lrvr)d?

=esinl-[?eos(in?)]+?deos(ln?)

=esinl-ecosl+1-sin(ln?)d?.

Sin(IrLr)CLr=?[e(sinl-cosl)+1J.

72?f(x)的定義域?yàn)镚oO,0),(0,+∞),且

f,(×)≈2>FJ"(G=2--γ?

XX

令/'(z)=0,得χ=-∣;令/"(*)=0,得“萬.

列表如下：

(-B,-I)-I(-i.0)（o.M）____JCfi.4B)

-O?

小）??-O?

/(>)?較小值3Z■拐點(diǎn)（"a

由上表可知.函數(shù)/（χ）的單調(diào)減少區(qū)間為（-8.-I）,雎調(diào)增加區(qū)間為（-1,0）和（0,+8）；

/（-1）=3為極小值；

函數(shù)/（χ）的凹區(qū)間為（-8.0）和（蘇，+8）,凸區(qū)間為（0,萬）；

拐點(diǎn)坐標(biāo)為（蘇.0）?

由對(duì)稱性知』3yd∕dy=O?所以

υ

lf(??+y)dxdy—21時(shí)r4dr=?ɑ*,

73./-

由對(duì)稱性知』3y<kdy=O.所以

D

I=l?(?2÷y2)dxdy=2,dt?r4dr=?ɑ'I

74.φS(x)=AB?BC=2xy=2x(l-x2)(0<x<l).

?I

②SYX)=2-6,≈0,得x=χ(舍去負(fù)值).

√3

由于只有唯一駐點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題有最大值,所以當(dāng)/號(hào)時(shí)啕邛為最大值?

設(shè)U=eos??Wldu=-sin∕d∕,當(dāng)Jr=O時(shí)U=IS當(dāng)Jr=■^時(shí)

__,原式一一「“'du=_+I=I.

75.JI4Ii4

設(shè)“=cow,則d“=-sin?d??當(dāng)Jr=O時(shí)“=11當(dāng)Jr=時(shí)?N=0

：?原式=-?tt`dw=一;L≡?.

原式=打

ln?d?"

?i1「2?I

=?ln???2-----??一CLr

11ZJl?

一

=2ln2???d?=2ln2----?-?*

=2ln2-?

76.4

原式=??jn?d??

=?ln?r??r1'^?∫∕??dj

=2ln2—?-??d?=21n2—?-?*

=2ln2—J-.

4

77.

微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y-Zy—3>≡0?

其特征方程為一-2r-3=0,特征根為C=3,rt=-1.故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

yNCle^÷C,e?(ɑ,,e,為任意常數(shù)

β

由于自由項(xiàng)/(?)=(3j+l)e*.λ=0不是特征根，故可設(shè)特制為

y?=A+Rr?

將V代入原方程?得

—28-3A—3Hr=r??+1?

有-3B=3.-2B-3A≡1.

故A=J.B=—1,從而>'=?-x?

OJ

所以原方程的通解為

u

y-C1e+C,e*÷?-r(CttC,為任意常數(shù)).

微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y—2y'—3y≡0?

其特征方程為--2r-3-0,特征根為C=3,rt=一】，故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

i

y≡Cle^+Ge(C,.C,為任意常數(shù)).

β

由于自由項(xiàng)/(?)=(3x+l)e-.λ=0不是特征根，故可設(shè)特解為

y9≈A+Hr?

將/代入原方程?得

-2B—3A—3Hr=31+1?

有-3H=3.-2B-3A≡I.

故A=J?B=-I,從而y=?-x?

所以原方程的通解為

y=C,en+C,ej+?~x(C**C?為任意常數(shù))?

因2+2cos2τ=2(1+cos2x)=4coY<r?所以

?y/2÷2cos2τcLr=?^eos??d?

=?2Ieos?Id?

=2∣eos?d?-2fCoSerCLr

JoJf

+w

=2sinx-2sinx=2+2=4.

78.

因2+2cos2τ=2(1+cos2x)=4cos-.所以

%∕2+2cos2jrcLr=?^ieos^?d?

=?2Ieos?ICLr

=21：eos?d?-2j,eos?d?

=2siτu,-2siru,=2+2=4.

OI

79.畫出平面圖形如圖陰影所示

-2√)dx=(2√-f√)|：吟.

②設(shè)過點(diǎn)（了。,力）的切線平行于y=4x,則），'（％）=4工。=4,所以q=1.%=2.過此點(diǎn)的切線

方程為

y-2≡4(Jr-I).即4x-v-2=0.

令一工=，,則當(dāng)1―8時(shí).有I—8.所以

80.

原式UIim。二1飛原式=Iim「二中

.e*-1_.?一。’一】

?lIim----r?—Σ7=hm?----Γ~Γ~二

r?oe-I+xe^r?oe-14

.e'_1e,一1

=h1fn—,]G==T?=hm-;丁丁1H于.

81.?-ɑ?e+2c2?.?jre+2c2

82.

由于當(dāng)Hfo時(shí),K是無窮小趴且卜in盤J≤1.故可知坪，sin￡=0.

當(dāng)?r—O時(shí).1-e^u*?3/.故

(1—e-,'f)sin2x∣.3J1?sin??∣.3sin2x_

Irim--------------------=Iim---------；------=Iim?-=3.

I。XQXJ—O?

所以如產(chǎn)二弓‘鵬+3嗎]=3.

由于當(dāng)N→0時(shí),?r'是無窮小址,且卜in±∣≤1.故可知!iry'in±=0.

83.

與原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為

2yf+5y'=0,

特征方程為

2rτ+5r=0?

故

?5

rl≡O(shè)trf≡-??

于是

y≈Ci÷C1eR

為齊次線性方程的通解.

而5》-2］一?中的AnO為單一特征根.故可設(shè)

y,≈?(?r?+fir+C)

為

2∕+5√=5J1-2J-1

的一個(gè)特解,于是有?

(y?)'=3Ar1+2Hr+C,(>*)*=6Ar+2B.

知

2(6Ar+2B)+5(3Ar,+2fir+C)=5JI-2J-1.

即

15Λri÷(12A+1OB)X÷4B+5C=5α?,-2J-1.

故

15A=5,12A+IOB=-2.4B÷5C=-1.

于是

A?U3λ,7

A=τ,B=-y,C≡-

所以

??13?7”

>=T~T÷215

為

2y"+5y'=SJT2—Zx

的一個(gè)特餅,因此原方程的通郵為

y≡=Cl+CjC'+=+if'G?C'為任意常數(shù)）,

與原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為

2y*+5y'O.

特征方程為

2rs+5r=0.

故

0,rt

于是

>=C∣+??eT

為齊次線性方程的通解.

而5》-2工一1中的；Ino為單一特征根.故可設(shè)

y,≈jr(Ar1+Rr+C)

為

2y,+5y'≡5xl—2J—1

的一個(gè)特解.于是有

(y?Y=-3Ar1+2Hr÷C,(y?)"=6Ar÷2B.

知

2(6Ar÷2B)+5(3Ar1+2Rr+C)=5J,-2J-1.

即

15Λri+<12Λ÷IOB)J+4B÷5C-5√-2J-1,

故

15A=5,12A+IOB=-2.4B+5C?=-1.

于是

_?_3e7

Aλ=T'βuβ"5^?c≡