1第三章函數(shù)的數(shù)值逼近引言代數(shù)多項(xiàng)式插值分段線性插值與“保形”插值三次樣條函數(shù)插值曲線擬合的最小二乘法插值問(wèn)題曲線擬合問(wèn)題2二、Lagrange多項(xiàng)式插值(n次)求通過(guò)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的n次插值多項(xiàng)式Ln(x)定義

若n次多項(xiàng)式lk(

x

)(k=0,1,?,n)在各節(jié)點(diǎn)

設(shè)Ln(x)滿足插值條件：Ln(

xj)=yj

(j=0,1,?,n

).(6)先求插值基函數(shù)然后構(gòu)造插值多項(xiàng)式則稱這n+1個(gè)n

次多項(xiàng)式為這n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的n

次插值基函數(shù)。上滿足條件3定理（Lagrange）插值多項(xiàng)式通常次數(shù)=n,但特殊情形次數(shù)可<n,如：過(guò)三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式共線時(shí)(8)2.構(gòu)造插值多項(xiàng)式（Ln(x)是n+1個(gè)插值基函數(shù)的線性組合）其中函數(shù)有數(shù)表則滿足插值條件的插值多項(xiàng)式為構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法：

(1)先求插值基函數(shù)

(2)構(gòu)造插值多項(xiàng)式4定理（插值多項(xiàng)式余項(xiàng)）三、插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)截?cái)嗾`差:插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)（9）（1）函數(shù)有數(shù)表則對(duì)任意有插值多項(xiàng)式余項(xiàng)其中且依賴于x。有n次插值多項(xiàng)式Ln(x);5二、保形插值（Hermite插值）的思想出發(fā)點(diǎn)：分段線性插值光滑性較差插值信息中引入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.討論Hermite插值問(wèn)題（以一階導(dǎo)數(shù),i=0,1,…,n為例）函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表已知其中求2n+1次多項(xiàng)式H2n+1(x)使?jié)M足插值條件：?jiǎn)栴}：(12)6（用構(gòu)造法，同構(gòu)造L-插值多項(xiàng)式的方法）存在性。思路：可以設(shè)想，如果構(gòu)造出兩組函數(shù)2n+1次多項(xiàng)式滿足：顯然，多項(xiàng)式滿足插值條件(12)。7第二，求多項(xiàng)式（滿足插值條件(12)的多項(xiàng)式）事實(shí)上,有即(15)式是滿足插值條件(12)的插值多項(xiàng)式.所以存在2n+1次多項(xiàng)式滿足插值條件(12).為Hermite插值基函數(shù),即其中(15)8為Hermite插值多項(xiàng)式，則2.Hermite插值余項(xiàng)定理

(Hermite插值余項(xiàng))證明與Lagrange余項(xiàng)公式證明類似.設(shè)9高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值Hermite插值分段插值但分段線性插值在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑分段Hermite插值但導(dǎo)數(shù)值不容易提?。ㄕ业剑┤螛訔l插值（先由函數(shù)值確定導(dǎo)數(shù)值，再由分段Hermite插值解決問(wèn)題）1

汽車、船的外形設(shè)計(jì)，流體力學(xué)等要求流線型（光滑）；2木樣條的來(lái)源。一、發(fā)展背景工程實(shí)例：§4三次樣條插值10定義（3次樣條函數(shù)）：在每一個(gè)小區(qū)間上是次數(shù)多項(xiàng)式。若(1)中3次樣條函數(shù)S(x)滿足插值條件，即具有連續(xù)的一階，二階導(dǎo)數(shù)。如果函數(shù)S(x)滿足下述條件：(1)設(shè)有對(duì)[a,b]的剖分則稱S(x)為f(x)關(guān)于剖分Δ的一個(gè)3次樣條函數(shù)。

問(wèn)題：3次樣條插值函數(shù)存在性，唯一性？構(gòu)造？誤差估計(jì)函數(shù)表(2)設(shè)給定二、樣條函數(shù)定義則稱S(x)為f(x)關(guān)于剖分Δ的一個(gè)3次樣條插值函數(shù)。11分析：

因S(x)在[xj,xj+1]上是3次多項(xiàng)式，即4n個(gè)待定系數(shù):n+1個(gè)條件內(nèi)部條件：已有條件：連續(xù)性3(n-1)個(gè)條件共有4n-2個(gè)條件，尚須2個(gè)附加條件12常見(jiàn)邊界條件有三種：第1種邊界條件：第2種邊界條件：若，稱為自然邊界條件。已知已知第3種邊界條件(周期邊界條件)：為周期函數(shù)，此時(shí)稱為周期樣條函數(shù)。亦是周期函數(shù)，周期為即取要求

注：一般不取一端是一階導(dǎo)數(shù)而另一端是二階導(dǎo)數(shù)。即即13三、三次樣條插值函數(shù)表達(dá)式思路：以分段三次Hermite插值為基礎(chǔ)，由(3)三種邊界條件中的某一種推導(dǎo)3次樣條插值函數(shù)。方法：1、先確定插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，記為即為3次樣條插值函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)表示。2、先確定插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記為即為3次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示。(1)函數(shù)表14方程組(25)為關(guān)于所滿足的方程組：(1)增加第1種邊界條件：則方程組(25)為關(guān)于所滿足的方程組可寫(xiě)為：(26)矛盾方程組n+1個(gè)未知量，n-1個(gè)方程15因?yàn)镾j(x)是三次樣條插值函數(shù)，所以是一次函數(shù)。2、二階導(dǎo)數(shù)表示由兩點(diǎn)Lagrange插值得參數(shù)對(duì)上式積分,得再積分,得(30)(31)(32)令令16(38)(2)若已知，代入方程(37)，只需解n-1個(gè)方程(39)滿足方程17一、問(wèn)題的提出1．函數(shù)逼近設(shè)f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，尋求一個(gè)近似函數(shù)P(x)，在[a,b]上均勻逼近f(x)。2．?dāng)?shù)據(jù)逼近（實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)）已知,求n次多項(xiàng)式Pn(x),n<m,使Pn(x)能更好地逼近或修正的誤差。二、解決的方法函數(shù)逼近：采用最佳逼近離散數(shù)據(jù)：采用最小二乘逼近兩個(gè)函數(shù)類：代數(shù)多項(xiàng)式；三角多項(xiàng)式；分式有理函數(shù)另外：§5

數(shù)值逼近問(wèn)題18三、數(shù)學(xué)提法：函數(shù)逼近的兩種度量1.最佳一致逼近尋求次數(shù)的多項(xiàng)式P*n(x)，使的n次最佳一致逼近多項(xiàng)式。相應(yīng)的逼近問(wèn)題稱為最佳一致逼近（或稱為極大極小逼近，或稱為理論上可以證明，對(duì)存在且唯一。多項(xiàng)式次最佳一致逼近切比雪夫（Chebyshev）逼近）。已知或在Hn中求一函數(shù)Pn(x),使得f(x)-Pn(x)在某種度量下最小。若存在稱為f(x)192.最佳平方逼近均方誤差尋求使

其中權(quán)函數(shù)ω(x)滿足：這種逼近問(wèn)題稱為最佳平方逼近問(wèn)題。中的最佳平方逼近多項(xiàng)式。在[a,b]上可積在[a,b]任意小區(qū)間內(nèi)不恒等于020

3.最小二乘逼近（擬合）

已知求使的最小二乘逼近(擬合)多項(xiàng)式或稱為f(x)的經(jīng)驗(yàn)公式(數(shù)學(xué)模型)。該問(wèn)題稱為最小二乘問(wèn)題。離散數(shù)據(jù)逼近的度量：注：(2)n越小越好。(3)當(dāng)n確定時(shí)，求。21四、問(wèn)題(1)在各種度量意義下最佳逼近多項(xiàng)式是否存在？是否唯一？

（主要討論：最小二乘逼近）(2)如何具體尋找或構(gòu)造各種最佳逼近意義下多項(xiàng)式

基礎(chǔ)知識(shí)已知關(guān)于點(diǎn)集上函數(shù)值，(1)內(nèi)積：(2)范數(shù)：(3)正交:定義:24一、一般的最小二乘逼近(40)

是否存在？是否唯一？如何計(jì)算？§6

曲線擬合最小二乘法252.解法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)極值問(wèn)題得到(40)式的等價(jià)問(wèn)題：多元二次函數(shù)，教材上以殘差概念引出有即P(x)由aj

(j=0,1…,n)唯一確定26(41)由多元函數(shù)極值必要條件或記為其中27定理（最小二乘逼近）：(1)設(shè)有y=f(x)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,f(xi))(i=1,…m),(a)y=f(x)在Hn中的最小二乘逼近函數(shù)存在且唯一。線性無(wú)關(guān)，則(2)設(shè)S=Hn中連續(xù)函數(shù)組關(guān)于點(diǎn)集可由法方程（正規(guī)方程組）28(c)最小平方誤差最大偏差：注：事實(shí)上，(42)(1)權(quán)系數(shù)ωi

的選取可取ωi

=1(i=1,…m),也可以適當(dāng)選取使得離散內(nèi)積近似于連續(xù)內(nèi)積：即29求下面數(shù)據(jù)表的最小二乘二次擬合多項(xiàng)式：

i123456789

xi-1-0.75-0.5-0.2500.250.50.751

yi-0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.76014.2836解：設(shè)二次擬合多項(xiàng)式為P2(x)=a0+a1x+a2x2，將數(shù)據(jù)表直接代入正規(guī)方程組：其解為a0=2.0034,a1=2.2625,a2=0.0378。所以此數(shù)據(jù)組的最小二乘二次擬合多項(xiàng)式為：例30例：xy(xi,yi),i=1,2,…,m方案一：設(shè)求a

和b

使得最小。線性化/*linearization*/：令，則就是個(gè)線性問(wèn)題將化為后易解a

和b。),(iiYX),(iiyx31方案二：設(shè)(a>0,b>0)線性化：由