/第二十八章銳角三角函數(shù)一、填空題(每題3分,共21分)1．計(jì)算：2cos30°＝________．2．如圖28－Z－1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝2BC,那么sinB的值為________．3．α是銳角,且tan(90°－α)＝eq\r(3),那么α＝________．圖28－Z－14．如圖28－Z－2,在網(wǎng)格中,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,O都在格點(diǎn)上,那么∠OAB的正弦值是________．圖28－Z－25．如圖28－Z－3,在?ABCD中,AE⊥BD于點(diǎn)E,∠EAC＝30°,AE＝3,那么AC的長(zhǎng)等于________．圖28－Z－36．如圖28－Z－4,AB是⊙O的直徑,eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵)),AB＝5,BD＝4,那么sin∠ECB的值為________．圖28－Z－47．如圖28－Z－5,某輪船由西向東航行,在A處測(cè)得小島P的方位是北偏東75°,又繼續(xù)航行7海里到達(dá)B處,在B處測(cè)得小島P的方位是北偏東60°,那么此時(shí)輪船與小島P的距離BP＝________海里．圖28－Z－5二、選擇題(每題4分,共32分)8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(2,1)和點(diǎn)B(3,0),那么sin∠AOB的值是()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(1,2)9．計(jì)算6tan45°－2cos60°的結(jié)果是()A．4eq\r(3)B．4C．5eq\r(3)D．510．在△ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對(duì)邊,如果a2＋b2＝c2,那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．csinA＝aB．bcosB＝cC．a(chǎn)tanA＝bD．ctanB＝b11．如圖28－Z－6,廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC＝10米,∠B＝36°,那么中柱AD(D為底邊中點(diǎn))的長(zhǎng)是()圖28－Z－6A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米12．在△ABC中,假設(shè)sinA＝eq\f(1,2),cosB＝eq\f(1,2),且∠A,∠B是銳角,那么△ABC的形狀是()A．銳角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形13．如圖28－Z－7,在等腰三角形ABC中,AC＝BC＝6cm,AB＝10cm,那么tanA＝()圖28－Z－7A.eq\f(\r(11),5)B.eq\f(2\r(3),5)C.eq\f(13,5)D.eq\f(3,5)14．如圖28－Z－8,長(zhǎng)4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°,為了改善樓梯的平安性能,準(zhǔn)備重新建造樓梯,使其傾斜角∠ACD為45°,那么調(diào)整后的樓梯AC的長(zhǎng)為()圖28－Z－8A．2eq\r(3)mB．2eq\r(6)mC．(2eq\r(3)－2)mD．(2eq\r(6)－2)m15．如圖28－Z－9所示,半徑為3的⊙A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)C(0,2),B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上的一點(diǎn),那么tan∠OBC的值是()圖28－Z－9A.eq\f(1,3)B．2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(2\r(2),3)

三、解答題(共47分)16．(10分)計(jì)算：(1)eq\r(3)sin60°－eq\r(2)cos45°＋2；(2)(eq\f(1,2))－1＋(sin60°－1)0－2cos30°＋|eq\r(3)－1|.17．(10分)如圖28－Z－10,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ADC＝90°,∠B＝30°,CE⊥AB,垂足為E.假設(shè)AD＝eq\f(1,2),AB＝2eq\r(3),求CE的長(zhǎng)．圖28－Z－1018．(12分)如圖28－Z－11,某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想測(cè)量一棵樹CD的高度,他們先在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為30°,然后沿AD方向前行10m到達(dá)點(diǎn)B,在B處測(cè)得樹頂C的仰角為60°(A,B,D三點(diǎn)在同一直線上)．請(qǐng)你根據(jù)他們測(cè)量的數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹CD的高度．(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414,eq\r(3)≈1.732)圖28－Z－1119．(15分)如圖28－Z－12所示,在Rt△ABC與Rt△OCD中,∠ACB＝∠DCO＝90°,O是AB的中點(diǎn)．(1)求證：∠B＝∠ACD；(2)點(diǎn)E在AB上,且BC2＝AB·BE,假設(shè)tan∠ACD＝eq\f(3,4),BC＝10,求CE的長(zhǎng)．圖28－Z－12教師詳解詳析1.eq\r(3)[解析]2cos30°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).2.eq\f(\r(3),2)[解析]∵AB＝2BC,∴AC＝eq\r(〔2BC〕2－BC2)＝eq\r(3)BC,∴sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(3)BC,2BC)＝eq\f(\r(3),2).故答案為eq\f(\r(3),2).3．30°[解析]∵tan(90°－α)＝eq\r(3),α為銳角,∴90°－α＝60°,∴α＝30°.4.eq\f(\r(5),5)[解析]如圖,過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,那么AC＝4,OC＝2,在Rt△ACO中,AO＝eq\r(AC2＋OC2)＝eq\r(42＋22)＝eq\r(20)＝2eq\r(5),∴sin∠OAB＝eq\f(OC,AO)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5).故答案為eq\f(\r(5),5).5．4eq\r(3)[解析]設(shè)AC,BD相交于點(diǎn)O.在Rt△AEO中,cos∠EAC＝eq\f(AE,AO),即cos30°＝eq\f(3,AO),解得AO＝2eq\r(3).∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AC＝2AO＝4eq\r(3).6.eq\f(4,5)[解析]如圖,連接DA,DE.∵eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵)),∴∠B＝∠AED＝∠DAE,∴∠ECB＝∠EAB＋∠B＝∠EAB＋∠DAE＝∠DAB.在△DAB中,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB＝90°.又∵AB＝5,BD＝4,∴sin∠ECB＝sin∠DAB＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(4,5).7．78．A[解析]根據(jù)題意可畫圖,如圖,過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C.根據(jù)勾股定理,得OA＝eq\r(5),∴sin∠AOB＝eq\f(AC,OA)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).應(yīng)選A.9．D[解析]6tan45°－2cos60°＝6×1－2×eq\f(1,2)＝6－1＝5.應(yīng)選D.10．A[解析]∵a2＋b2＝c2,∴△ABC是直角三角形,且∠C＝90°,∴sinA＝eq\f(a,c),即csinA＝a.應(yīng)選A.11．C[解析]∵AB＝AC,BC＝10米,D為BC的中點(diǎn),∴DC＝BD＝5米,AD⊥BC.在Rt△ADB中,∠B＝36°,∴tan36°＝eq\f(AD,BD),∴AD＝BD·tan36°＝5tan36°米．12．B13.A14．B[解析]在Rt△ABD中,∵sin∠ABD＝eq\f(AD,AB),∴AD＝4sin60°＝2eq\r(3)(m)．在Rt△ACD中,∵sin∠ACD＝eq\f(AD,AC),∴AC＝eq\f(2\r(3),sin45°)＝2eq\r(6)(m)．15．C[解析]連接CD.∵∠COD＝90°,∴CD是⊙A的直徑．在Rt△OCD中,CD＝6,OC＝2,那么OD＝eq\r(CD2－OC2)＝4eq\r(2),∴tan∠CDO＝eq\f(OC,OD)＝eq\f(\r(2),4).由圓周角定理,得∠OBC＝∠CDO,∴tan∠OBC＝eq\f(\r(2),4).應(yīng)選C.16．解：(1)原式＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)－eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＋2＝eq\f(3,2)－1＋2＝eq\f(5,2).(2)原式＝2＋1－2×eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)－1＝3－eq\r(3)＋eq\r(3)－1＝2.17．解：如圖,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,那么AD＝HC＝eq\f(1,2).∵在Rt△ABH中,∠B＝30°,AB＝2eq\r(3),∴cos30°＝eq\f(BH,AB),∴BH＝AB·cos30°＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3,∴BC＝BH＋HC＝eq\f(7,2).∵CE⊥AB,∠B＝30°,∴CE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(7,4).18．解：∵∠ACB＝∠CBD－∠A＝60°－30°＝30°,∴∠A＝∠ACB,∴BC＝AB＝10m.在Rt△BCD中,∵sin60°＝eq\f(CD,BC),∴CD＝BC·sin60°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)≈8.7(m)．答：這棵樹CD的高度約為8.7m.19．解：(1)證明：∵∠ACB＝∠DCO＝90°,∴∠ACB－∠ACO＝∠DCO－∠ACO,即∠ACD＝∠OCB.∵O是AB的中點(diǎn),∴OC＝OB,∴∠OCB＝∠B,∴∠B＝∠ACD.